Griegos (finanzas)

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Parámetros modelo en finanzas matemáticas

En finanzas matemáticas, los griegos son las cantidades que representan la sensibilidad del precio de los derivados, como las opciones, a un cambio en los parámetros subyacentes de los que depende el valor de un instrumento o cartera de instrumentos financieros.. El nombre se usa porque las más comunes de estas sensibilidades se denotan con letras griegas (al igual que otras medidas financieras). En conjunto, estos también se han denominado sensibilidades al riesgo, medidas de riesgo o parámetros de cobertura.

Uso de los griegos

Underlying parámetro	Parámetro de opción
Underlying parámetro	Precio del lugar, S	Volatilidad, $sigma$	Paso del tiempo
Valor (V)	$Delta$ Delta	${mathcal {V}}$ Vega	$Theta$ Theta
Delta $Delta$ )	$Gamma$ Gamma	Vanna	Charm
Vega ${mathcal {V}}$ )	Vanna	Vomma	Veta
Theta $Theta$ )	Charm	Veta
Gamma (Gamma) $Gamma$ )	Velocidad	Zomma	Color
Vomma		Ultima

Definición de griegos como la sensibilidad del precio y el riesgo de una opción (en la primera fila) al parámetro subyacente (en la primera columna). Primera orden Los griegos están en griegos azules, de segunda orden están en verde, y los griegos de tercera orden están en amarillo. Tenga en cuenta que vanna, encanto y veta aparecen dos veces, ya que los derivados parciales cruzados son iguales por el teorema de Schwarz. Rho, lambda, epsilon, y vera son dejados fuera ya que no son tan importantes como el resto. Tres lugares en la tabla no están ocupados, porque las cantidades respectivas aún no se han definido en la literatura financiera.

Los griegos son herramientas vitales en la gestión de riesgos. Cada griego mide la sensibilidad del valor de una cartera a un pequeño cambio en un parámetro subyacente determinado, de modo que los riesgos de los componentes se puedan tratar de forma aislada y la cartera se reequilibre en consecuencia para lograr la exposición deseada; véase, por ejemplo, cobertura delta.

Los griegos en el modelo Black-Scholes son relativamente fáciles de calcular, una propiedad deseable de los modelos financieros, y son muy útiles para los comerciantes de derivados, especialmente aquellos que buscan proteger sus carteras de cambios adversos en las condiciones del mercado. Por esta razón, los griegos que son particularmente útiles para la cobertura, como delta, theta y vega, están bien definidos para medir los cambios en el precio, el tiempo y la volatilidad. Aunque rho es una entrada principal en el modelo de Black-Scholes, el impacto general sobre el valor de una opción correspondiente a cambios en la tasa de interés libre de riesgo generalmente es insignificante y, por lo tanto, los derivados de orden superior que involucran la tasa de interés libre de riesgo no son importantes. común.

Las más comunes de las griegas son las derivadas de primer orden: delta, vega, theta y rho, así como gamma, una derivada de segundo orden de la función de valor. Las sensibilidades restantes en esta lista son lo suficientemente comunes como para tener nombres comunes, pero esta lista no es exhaustiva.

Nombres

El uso de nombres de letras griegas es presumiblemente una extensión de los términos financieros comunes alfa y beta, y el uso de sigma (la desviación estándar de los rendimientos logarítmicos) y tau (tiempo hasta el vencimiento) en el modelo de valoración de opciones de Black-Scholes.. Varios nombres como 'vega' y 'zomma' son inventadas, pero suenan similares a las letras griegas. Los nombres 'color' y 'encanto' presumiblemente derivan del uso de estos términos para las propiedades exóticas de los quarks en la física de partículas.

Griegos de primer orden

Delta

Delta, $Delta$ , mide la tasa de cambio del valor teórico de opción con respecto a los cambios en el precio del activo subyacente. Delta es el primer derivado del valor $V$ de la opción con respecto al precio del instrumento subyacente $S$ .

Delta = frac{partial V}{partial S}

Uso práctico

Para una opción estándar, delta será un número entre 0,0 y 1,0 para una opción call larga (o una opción put corta) y entre 0,0 y −1,0 para una opción put larga (o una opción call corta); dependiendo del precio, una opción de compra se comporta como si uno fuera dueño de 1 acción de la acción subyacente (si está muy en el dinero), o no posee nada (si está muy fuera del dinero), o algo intermedio, y viceversa para una opción de venta. La diferencia entre el delta de una opción de compra y el delta de una opción de venta en el mismo ejercicio es igual a uno. Por paridad put-call, una call larga y una put corta es equivalente a un forward F, que es lineal en el spot S, con factor unitario, por lo que la derivada dF /dS es 1. Consulte las fórmulas a continuación.

Estas cifras suelen presentarse como un porcentaje de la cantidad total de acciones representadas por los contratos de opciones. Esto es conveniente porque la opción se comportará (instantáneamente) como el número de acciones indicado por el delta. Por ejemplo, si una cartera de 100 opciones de compra americanas en XYZ tiene cada una un delta de 0,25 (=25 %), ganará o perderá valor al igual que 2500 acciones de XYZ a medida que el precio cambia para pequeños movimientos de precios (100 contratos de opciones cubren 10.000 acciones). El signo y el porcentaje a menudo se eliminan: el signo está implícito en el tipo de opción (negativo para venta, positivo para compra) y se entiende el porcentaje. Los más comúnmente cotizados son 25 delta put, 50 delta put/50 delta call y 25 delta call. 50 Delta put y 50 Delta call no son del todo idénticos, debido a que el spot y el forward difieren según el factor de descuento, pero a menudo se combinan.

Delta siempre es positivo para llamadas largas y negativo para opciones put largas (a menos que sean cero). El delta total de una cartera compleja de posiciones en el mismo activo subyacente se puede calcular simplemente tomando la suma de los deltas para cada posición individual: el delta de una cartera es lineal en los constituyentes. Dado que la delta del activo subyacente es siempre 1,0, el comerciante podría cubrir delta toda su posición en el subyacente comprando o vendiendo en corto el número de acciones indicado por la delta total. Por ejemplo, si la delta de una cartera de opciones en XYZ (expresada como acciones del subyacente) es de +2,75, el comerciante podría cubrir la cartera con la delta vendiendo al descubierto 2,75 acciones del subyacente. Esta cartera retendrá su valor total independientemente de la dirección en la que se mueva el precio de XYZ. (Aunque solo por pequeños movimientos del subyacente, un corto período de tiempo y sin perjuicio de los cambios en otras condiciones del mercado, como la volatilidad y la tasa de rendimiento de una inversión libre de riesgo).

Como proxy de probabilidad

El (valor absoluto de) Delta es cercano, pero no idéntico, al porcentaje monetario de una opción, es decir, la probabilidad implícita de que la opción caduque en el dinero (si el mercado se mueve bajo el movimiento browniano en la medida neutral al riesgo). Por esta razón, algunos comerciantes de opciones usan el valor absoluto de delta como una aproximación del porcentaje de dinero. Por ejemplo, si una opción de compra fuera del dinero tiene un delta de 0,15, el comerciante podría estimar que la opción tiene aproximadamente un 15 % de probabilidad de vencer dentro del dinero. De manera similar, si un contrato de venta tiene un delta de -0,25, el operador podría esperar que la opción tenga una probabilidad del 25 % de vencer en el dinero. Las opciones de compra y venta at-the-money tienen un delta de aproximadamente 0,5 y −0,5 respectivamente, con un ligero sesgo hacia deltas más altos para las llamadas en cajeros automáticos. La probabilidad real de que una opción termine en dinero es su doble delta, que es la primera derivada del precio de la opción con respecto al precio de ejercicio.

Relación entre call y put delta

Dada una opción de compra y venta europea para el mismo subyacente, precio de ejercicio y tiempo hasta el vencimiento, y sin rendimiento de dividendos, la suma de los valores absolutos del delta de cada opción será 1; más precisamente, el delta de el call (positivo) menos el delta del put (negativo) es igual a 1. Esto se debe a la paridad put-call: un call largo más un put corto (un call menos un put) replica un reenvío, que tiene un delta igual a 1.

Si se conoce el valor del delta de una opción, se puede calcular el valor del delta de la opción del mismo precio de ejercicio, subyacente y vencimiento pero de derecho opuesto restando 1 de un delta de llamada conocido o sumando 1 a un delta puesta conocida.

${displaystyle Delta (call)-Delta (put)=1}$ , por lo tanto: ${displaystyle Delta (call)=Delta (put)+1}$ y ${displaystyle Delta (put)=Delta (call)-1}$ .

Por ejemplo, si el delta de una opción call es 0,42, se puede calcular el delta de la opción put correspondiente al mismo precio de ejercicio por 0,42 − 1 = −0,58. Para derivar el delta de una opción de compra a partir de una opción de venta, se puede tomar −0,58 y sumar 1 para obtener 0,42.

Vega

Vega mide la sensibilidad a la volatilidad. Vega es el derivado del valor de la opción con respecto a la volatilidad del activo subyacente.

{displaystyle {mathcal {V}}={frac {partial V}{partial sigma }}}

Vega no es el nombre de ninguna carta griega. El glifo utilizado es una versión no estándar de la letra griega nu ( ${textstyle nu }$ ), escrito como ${mathcal {V}}$ . Presumiblemente el nombre vega fue adoptado porque la carta griega desnuda parecía una vee latina, y vega se deriva de vee por analogía con cómo beta, eta, y theta son pronunciados en inglés americano.

El símbolo kappa, $kappa$ , a veces se utiliza (por académicos) en lugar de vega (como es tau) $tau$ ) o capital lambda $Lambda$ ), aunque estos son raros).

Vega normalmente se expresa como la cantidad de dinero por acción subyacente que el valor de la opción ganará o perderá a medida que la volatilidad aumente o disminuya en 1 punto porcentual. Todas las opciones (tanto de compra como de venta) ganarán valor con el aumento de la volatilidad.

Vega puede ser un griego importante para monitorear para un comerciante de opciones, especialmente en mercados volátiles, ya que el valor de algunas estrategias de opciones puede ser particularmente sensible a los cambios en la volatilidad. El valor de una opción at-the-money, por ejemplo, depende en gran medida de los cambios en la volatilidad.

Theta

Theta, $Theta$ , mide la sensibilidad del valor del derivado al paso del tiempo (ver Valor de Tiempo de Opción): la "desintegración del tiempo".

Theta = -frac{partial V}{partial tau}

El resultado matemático de la fórmula para theta (ver más abajo) se expresa en valor por año. Por convención, es habitual dividir el resultado por el número de días en un año, para llegar a la cantidad que bajará el precio de una opción, en relación con el precio de la acción subyacente. Theta es casi siempre negativa para opciones call y put largas, y positiva para opciones call y put cortas (o escritas). Una excepción es una opción de venta europea muy in-the-money. El theta total para una cartera de opciones se puede determinar sumando los thetas para cada posición individual.

El valor de una opción se puede analizar en dos partes: el valor intrínseco y el valor del tiempo. El valor intrínseco es la cantidad de dinero que ganaría si ejerciera la opción de inmediato, por lo que una opción de compra con un precio de ejercicio de $50 en una acción con un precio de $60 tendría un valor intrínseco de $10, mientras que la opción de venta correspondiente tendría un valor intrínseco de cero. El valor del tiempo es el valor de tener la opción de esperar más tiempo antes de decidirse a hacer ejercicio. Incluso una opción de venta muy fuera del dinero valdrá algo, ya que existe la posibilidad de que el precio de las acciones caiga por debajo del precio de ejercicio antes de la fecha de vencimiento. Sin embargo, a medida que el tiempo se acerca al vencimiento, hay menos posibilidades de que esto suceda, por lo que el valor temporal de una opción disminuye con el tiempo. Por lo tanto, si tiene una opción larga, tiene theta corto: su cartera perderá valor con el paso del tiempo (todos los demás factores se mantienen constantes).

Rho

Rho, $rho$ , mide sensibilidad a la tasa de interés: es el derivado del valor de opción con respecto a la tasa de interés libre de riesgo (para el término pendiente pertinente).

rho = frac{partial V}{partial r}

Excepto en circunstancias extremas, el valor de una opción es menos sensible a cambios en la tasa de interés libre de riesgo que a cambios en otros parámetros. Por esta razón, rho es el menos utilizado de los griegos de primer orden.

Rho normalmente se expresa como la cantidad de dinero, por acción del subyacente, que el valor de la opción ganará o perderá a medida que la tasa de interés libre de riesgo suba o baje un 1,0 % anual (100 puntos básicos).

Lambda

Lambda, $lambda$ , omega, $Omega$ , o elasticidad es el cambio porcentual en valor de opción por porcentaje cambio en el precio subyacente, una medida de apalancamiento, a veces llamado engranaje.

{displaystyle lambda =Omega ={frac {partial V}{partial S}}times {frac {S}{V}}}

Sostiene que ${displaystyle lambda =Omega =Delta times {frac {S}{V}}}$ .

Epsilon

Epsilon, $epsilon$ (también conocido como psi, $psi$ ), es el cambio porcentual en valor de opción por porcentaje de cambio en el rendimiento de dividendo subyacente, una medida del riesgo de dividendo. El impacto del rendimiento del dividendo se determina en la práctica utilizando un aumento del 10% en esos rendimientos. Obviamente, esta sensibilidad sólo se puede aplicar a instrumentos derivados de productos de equidad.

{displaystyle epsilon =psi ={frac {partial V}{partial q}}}

Numéricamente, todas las sensibilidades de primer orden se pueden interpretar como diferenciales en los rendimientos esperados. La geometría de la información ofrece otra interpretación (trigonométrica).

Griegos de segundo orden

Gama

Gamma, $Gamma$ , mide la tasa de cambio en el delta con respecto a los cambios en el precio subyacente. Gamma es el segundo derivado de la función de valor con respecto al precio subyacente.

Gamma = frac{partial Delta}{partial S} = frac{partial^2 V}{partial S^2}

La mayoría de las opciones largas tienen gamma positiva y la mayoría de las opciones cortas tienen gamma negativa. Las opciones largas tienen una relación positiva con gamma porque a medida que aumenta el precio, Gamma también aumenta, lo que hace que Delta se acerque a 1 desde 0 (opción de compra larga) y a 0 desde −1 (opción de venta larga). Lo contrario es cierto para las opciones cortas.

Larga opción delta, precio subyacente, y gamma.

Gamma es mayor aproximadamente en el dinero (ATM) y disminuye a medida que avanza, ya sea en el dinero (ITM) o fuera del dinero (OTM). Gamma es importante porque corrige la convexidad del valor.

Cuando un comerciante busca establecer una cobertura delta efectiva para una cartera, el comerciante también puede buscar neutralizar la gamma de la cartera, ya que esto garantizará que la cobertura sea efectiva en un rango más amplio de precios subyacentes. movimientos

Vana

Vanna, también conocido como DvegaDspot y DdeltaDvol, es un derivado de segundo orden del valor de la opción, una vez al precio al contado subyacente y una vez a la volatilidad. Es matemáticamente equivalente a DdeltaDvol, la sensibilidad de la opción delta con respecto al cambio en la volatilidad; o alternativamente, el parcial de vega con respecto al precio del instrumento subyacente. Vanna puede ser una sensibilidad útil para monitorear cuando se mantiene una cartera con cobertura delta o vega, ya que vanna ayudará al comerciante a anticipar cambios en la efectividad de una cobertura delta a medida que cambia la volatilidad o la efectividad de una cobertura vega contra cambios en el precio al contado subyacente.

Si el valor subyacente tiene derivaciones parciales continuas, entonces ${displaystyle {text{Vanna}}={frac {partial Delta }{partial sigma }}={frac {partial {mathcal {V}}}{partial S}}={frac {partial ^{2}V}{partial Spartial sigma }}}$ ,

Encanto

Encanto o desintegración delta mide la tasa instantánea de cambio de delta a lo largo del tiempo.

{displaystyle {text{Charm}}=-{frac {partial Delta }{partial tau }}={frac {partial Theta }{partial S}}=-{frac {partial ^{2}V}{partial tau ,partial S}}}

Charm también ha sido llamado DdeltaDtime. El encanto puede ser un griego importante para medir/monitorear cuando se cubre una posición con delta durante un fin de semana. El encanto es una derivada de segundo orden del valor de la opción, una vez al precio y otra vez al paso del tiempo. También es entonces la derivada de theta con respecto al precio del subyacente.

El resultado matemático de la fórmula del encanto (ver más abajo) se expresa en delta/año. A menudo es útil dividir esto por el número de días por año para llegar a la descomposición delta por día. Este uso es bastante preciso cuando la cantidad de días restantes hasta el vencimiento de la opción es grande. Cuando una opción se acerca al vencimiento, el encanto en sí mismo puede cambiar rápidamente, lo que hace que las estimaciones de decaimiento delta de día completo sean inexactas.

Vomma

Vomma, volga, vega convexidad o DvegaDvol miden la sensibilidad de segundo orden a la volatilidad. Vomma es la segunda derivada del valor de la opción con respecto a la volatilidad o, dicho de otra manera, vomma mide la tasa de cambio a vega a medida que cambia la volatilidad.

{displaystyle {text{Vomma}}={frac {partial {mathcal {V}}}{partial sigma }}={frac {partial ^{2}V}{partial sigma ^{2}}}}

Con vomma positivo, una posición se convertirá en vega larga a medida que aumenta la volatilidad implícita y vega corta a medida que disminuye, que se puede escalar de forma análoga a la gamma larga. Y se puede construir una posición de vomma larga, inicialmente vegana, a partir de proporciones de opciones en diferentes precios. Vomma es positivo para opciones largas lejos del dinero, e inicialmente aumenta con la distancia del dinero (pero cae cuando cae vega). (Específicamente, vomma es positivo donde los términos habituales d1 y d2 son del mismo signo, lo cual es cierto cuando d1 < 0 o d2 > 0).

Veta

Veta o DvegaDtime mide la tasa de cambio en la vega con respecto al paso del tiempo. Veta es la segunda derivada de la función de valor; una vez a la volatilidad y una vez al tiempo.

{displaystyle {text{Veta}}={frac {partial {mathcal {V}}}{partial tau }}={frac {partial ^{2}V}{partial sigma ,partial tau }}}

Es una práctica común dividir el resultado matemático de veta por 100 veces el número de días por año para reducir el valor al cambio porcentual en vega por un día.

Vera

Vera (a veces rhova) mide la tasa de cambio en rho con respecto a la volatilidad. Vera es la segunda derivada de la función de valor; una vez a la volatilidad y una vez a la tasa de interés.

{displaystyle {text{Vera}}={frac {partial rho }{partial sigma }}={frac {partial ^{2}V}{partial sigma ,partial r}}}

La palabra 'Vera' fue acuñado por R. Naryshkin a principios de 2012 cuando esta sensibilidad necesitaba usarse en la práctica para evaluar el impacto de los cambios de volatilidad en la cobertura de rho, pero aún no existía un nombre en la literatura disponible. 'Vera' fue elegido para sonar similar a una combinación de Vega y Rho, sus respectivos griegos de primer orden. Este nombre ahora tiene un uso más amplio, incluido, por ejemplo, el software de álgebra informática Maple (que tiene la función 'BlackScholesVera' en su paquete de Finanzas).

Derivada parcial de segundo orden con respecto al eje K

Esta derivada parcial tiene un papel fundamental en la fórmula de Breeden-Litzenberger, que utiliza precios de opciones de compra cotizadas para estimar las probabilidades neutrales al riesgo implícitas en dichos precios.

{displaystyle varphi ={frac {partial ^{2}V}{partial K^{2}}}}

Para las opciones de compra, se puede aproximar utilizando carteras infinitesimales de estrategias mariposa.

Griegos de tercer orden

Velocidad

Velocidad mide la tasa de cambio en Gamma con respecto a los cambios en el precio subyacente.

text{Speed} = frac{partialGamma}{partial S} = frac{partial^3 V}{partial S^3}

Esto también se conoce a veces como la gamma de la gamma o DgammaDspot. Velocidad es la tercera derivada de la función de valor con respecto al precio spot subyacente. La velocidad puede ser importante para monitorear cuando se cubre una cartera con cobertura delta o gamma.

Zomma

Zomma mide la tasa de cambio de gamma con respecto a los cambios en la volatilidad.

text{Zomma} = frac{partial Gamma}{partial sigma} = frac{partial text{vanna}}{partial S} = frac{partial^3 V}{partial S^2 , partial sigma}

Zomma también se conoce como DgammaDvol. Zomma es la tercera derivada del valor de la opción, dos veces al precio del activo subyacente y una vez a la volatilidad. Zomma puede ser una sensibilidad útil para monitorear cuando se mantiene una cartera con cobertura gamma, ya que ayudará al comerciante a anticipar cambios en la efectividad de la cobertura a medida que cambia la volatilidad.

Color

Color, desintegración gamma o DgammaDtime miden la tasa de cambio de gamma a lo largo del tiempo.

text{Color} = frac{partial Gamma}{partial tau} = frac{partial^3 V}{partial S^2 , partial tau}

El color es un derivado de tercer orden del valor de la opción, dos veces al precio del activo subyacente y una vez al tiempo. El color puede ser una sensibilidad importante para monitorear cuando se mantiene una cartera con cobertura gamma, ya que puede ayudar al comerciante a anticipar la efectividad de la cobertura a medida que pasa el tiempo.

El resultado matemático de la fórmula del color (ver más abajo) se expresa en gamma por año. A menudo es útil dividir esto por el número de días por año para llegar al cambio en gamma por día. Este uso es bastante preciso cuando la cantidad de días restantes hasta el vencimiento de la opción es grande. Cuando una opción se acerca al vencimiento, el color en sí mismo puede cambiar rápidamente, lo que hace que las estimaciones del cambio gamma de un día completo sean inexactas.

Última

Ultima mide la sensibilidad de la opción vomma con respecto al cambio en la volatilidad.

text{Ultima}= frac{partial text{vomma}}{partial sigma} = frac{partial^3 V}{partial sigma^3}

Ultima también se conoce como DvommaDvol. Ultima es un derivado de tercer orden del valor de la opción a la volatilidad.

Griegos para opciones de activos múltiples

Si el valor de un derivado depende de dos o más subyacentes, sus griegos se amplían para incluir los efectos cruzados entre los subyacentes.

Delta de correlación mide la sensibilidad del valor del derivado a un cambio en la correlación entre los subyacentes. También se conoce comúnmente como cega.

Cross gamma mide la tasa de cambio de delta en un subyacente a un cambio en el nivel de otro subyacente.

Cross vanna mide la tasa de cambio de vega en un subyacente debido a un cambio en el nivel de otro subyacente. De manera equivalente, mide la tasa de cambio de delta en el segundo subyacente debido a un cambio en la volatilidad del primer subyacente.

Volga cruzado mide la tasa de cambio de vega en un subyacente a un cambio en la volatilidad de otro subyacente.

Fórmulas para opciones europeas griegas

Los griegos de opciones europeas (llamas y puestos) bajo el modelo Black–Scholes se calculan como sigue, donde $phi$ (fi) es la función normal de densidad de probabilidad y $Phi$ es la función de distribución acumulativa normal. Tenga en cuenta que las fórmulas gamma y vega son las mismas para llamadas y puestos.

Para un dado:

Precio del stock $S ,$ ,
Precio de huelga $K ,$ ,
Tasa libre de riesgos $r ,$ ,
Rendimiento anual de dividendos $q ,$ ,
Tiempo de vencimiento ${displaystyle tau =T-t,}$ (representado como una fracción sin unidad de un año) y
Volatilidad $sigma ,$ .

	Llamadas	Puts
valor razonable $V$ )	${displaystyle Se^{-qtau }Phi (d_{1})-e^{-rtau }KPhi (d_{2}),}$	${displaystyle e^{-rtau }KPhi (-d_{2})-Se^{-qtau }Phi (-d_{1}),}$

delta $Delta$ )	${displaystyle e^{-qtau }Phi (d_{1}),}$	$-e^{-q tau} Phi(-d_1),$
vega ${mathcal {V}}$ )	$S e^{-q tau} phi(d_1) sqrt{tau} = K e^{-r tau} phi(d_2) sqrt{tau} ,$
theta $Theta$ )	${displaystyle -e^{-qtau }{frac {Sphi (d_{1})sigma }{2{sqrt {tau }}}}-rKe^{-rtau }Phi (d_{2})+qSe^{-qtau }Phi (d_{1}),}$	${displaystyle -e^{-qtau }{frac {Sphi (d_{1})sigma }{2{sqrt {tau }}}}+rKe^{-rtau }Phi (-d_{2})-qSe^{-qtau }Phi (-d_{1}),}$
rho $rho$ )	$K tau e^{-r tau}Phi(d_2),$	$-K tau e^{-r tau}Phi(-d_2) ,$
epsilon $epsilon$ )	${displaystyle -Stau e^{-qtau }Phi (d_{1})}$	${displaystyle Stau e^{-qtau }Phi (-d_{1})}$
lambda $lambda$ )	${displaystyle Delta {frac {S}{V}},}$

gamma $Gamma$ )	${displaystyle e^{-qtau }{frac {phi (d_{1})}{Ssigma {sqrt {tau }}}}=Ke^{-rtau }{frac {phi (d_{2})}{S^{2}sigma {sqrt {tau }}}},}$
vanna	${displaystyle -e^{-qtau }phi (d_{1}){frac {d_{2}}{sigma }},={frac {mathcal {V}}{S}}left[1-{frac {d_{1}}{sigma {sqrt {tau }}}}right],}$
encanto	$qe^{-q tau} Phi(d_1) - e^{-q tau} phi(d_1) frac{2(r-q) tau - d_2 sigma sqrt{tau}}{2tau sigma sqrt{tau}} ,$	$-qe^{-q tau} Phi(-d_1) - e^{-q tau} phi(d_1) frac{2(r-q) tau - d_2 sigma sqrt{tau}}{2tau sigma sqrt{tau}} ,$

Vomma	${displaystyle Se^{-qtau }phi (d_{1}){sqrt {tau }}{frac {d_{1}d_{2}}{sigma }}={mathcal {V}}{frac {d_{1}d_{2}}{sigma }},}$
veta	${displaystyle -Se^{-qtau }phi (d_{1}){sqrt {tau }}left[q+{frac {left(r-qright)d_{1}}{sigma {sqrt {tau }}}}-{frac {1+d_{1}d_{2}}{2tau }}right],}$
$varphi$	${displaystyle e^{-rtau }{frac {1}{K}}{frac {1}{sqrt {2pi sigma ^{2}tau }}}exp left{-{frac {1}{2sigma ^{2}tau }}left[ln left({frac {K}{S}}right)-left((r-q)-{frac {1}{2}}sigma ^{2}right)tau right]^{2}right}}$

velocidad	$-e^{-q tau} frac{phi(d_1)}{S^2 sigma sqrt{tau}} left(frac{d_1}{sigma sqrt{tau}} + 1right) = -frac{Gamma}{S}left(frac{d_1}{sigmasqrt{tau}}+1right) ,$
zomma	${displaystyle e^{-qtau }{frac {phi (d_{1})left(d_{1}d_{2}-1right)}{Ssigma ^{2}{sqrt {tau }}}}=Gamma {frac {d_{1}d_{2}-1}{sigma }},}$
color	$-e^{-q tau} frac{phi(d_1)}{2Stau sigma sqrt{tau}} left[2qtau + 1 + frac{2(r-q) tau - d_2 sigma sqrt{tau}}{sigma sqrt{tau}}d_1 right] ,$

ultima	${displaystyle {frac {-{mathcal {V}}}{sigma ^{2}}}left[d_{1}d_{2}(1-d_{1}d_{2})+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}right]}$

dual delta	$-e^{-r tau} Phi(d_2) ,$	$e^{-r tau} Phi(-d_2) ,$
gamma dual	$e^{-r tau} frac{phi(d_2)}{Ksigmasqrt{tau}} ,$

dónde

{displaystyle {begin{aligned}d_{1}&={frac {ln(S/K)+left(r-q+{frac {1}{2}}sigma ^{2}right)tau }{sigma {sqrt {tau }}}}\d_{2}&={frac {ln(S/K)+left(r-q-{frac {1}{2}}sigma ^{2}right)tau }{sigma {sqrt {tau }}}}=d_{1}-sigma {sqrt {tau }}\phi (x)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}\Phi (x)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{x}e^{-{frac {1}{2}}y^{2}},dy=1-{frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{x}^{infty }e^{-{frac {1}{2}}y^{2}},dyend{aligned}}}

Bajo el modelo Black (comúnmente utilizado para materias primas y opciones sobre futuros), los griegos se pueden calcular de la siguiente manera:

	Llamadas	Puts
valor razonable $V$ )	${displaystyle e^{-rtau }[FPhi (d_{1})-KPhi (d_{2})] }$	${displaystyle e^{-rtau }[KPhi (-d_{2})-FPhi (-d_{1})],}$

delta $Delta$ ) ${displaystyle =partial V/partial F}$	${displaystyle e^{-rtau }Phi (d_{1}),}$	${displaystyle -e^{-rtau }Phi (-d_{1}),}$
vega ${mathcal {V}}$ )	${displaystyle Fe^{-rtau }phi (d_{1}){sqrt {tau }}=Ke^{-rtau }phi (d_{2}){sqrt {tau }},}$ (*)
theta $Theta$ )	${displaystyle -{frac {Fe^{-rtau }phi (d_{1})sigma }{2{sqrt {tau }}}}-rKe^{-rtau }Phi (d_{2})+rFe^{-rtau }Phi (d_{1}),}$	${displaystyle -{frac {Fe^{-rtau }phi (d_{1})sigma }{2{sqrt {tau }}}}+rKe^{-rtau }Phi (-d_{2})-rFe^{-rtau }Phi (-d_{1}),}$
rho $rho$ )	${displaystyle -tau e^{-rtau }[FPhi (d_{1})-KPhi (d_{2})] }$	${displaystyle -tau e^{-rtau }[KPhi (-d_{2})-FPhi (-d_{1})],}$

gamma $Gamma$ ) ${displaystyle ={partial ^{2}V over partial F^{2}}}$	${displaystyle e^{-rtau }{frac {phi (d_{1})}{Fsigma {sqrt {tau }}}}=Ke^{-rtau }{frac {phi (d_{2})}{F^{2}sigma {sqrt {tau }}}},}$ (*)
vanna ${displaystyle ={frac {partial ^{2}V}{partial Fpartial sigma }}}$	${displaystyle -e^{-rtau }phi (d_{1}){frac {d_{2}}{sigma }},={frac {mathcal {V}}{F}}left[1-{frac {d_{1}}{sigma {sqrt {tau }}}}right],}$

Vomma	${displaystyle Fe^{-rtau }phi (d_{1}){sqrt {tau }}{frac {d_{1}d_{2}}{sigma }}={mathcal {V}}{frac {d_{1}d_{2}}{sigma }},}$

dónde

{displaystyle {begin{aligned}d_{1}&={frac {ln(F/K)+{frac {1}{2}}sigma ^{2}tau }{sigma {sqrt {tau }}}}\d_{2}&={frac {ln(F/K)-{frac {1}{2}}sigma ^{2}tau }{sigma {sqrt {tau }}}}=d_{1}-sigma {sqrt {tau }}end{aligned}}}

(*) Se puede demostrar que ${displaystyle Fphi (d_{1})=Kphi (d_{2})}$

Micro prueba:

Deja ${displaystyle x={sigma {sqrt {tau }}}}$
${displaystyle d_{1}={frac {ln(F/K)+{frac {1}{2}}x^{2}}{x}}}$
${displaystyle d_{1}*x=ln(F/K)+{frac {1}{2}}x^{2}}$
${displaystyle ln(F/K)=d_{1}*x-{frac {1}{2}}x^{2}}$
${displaystyle {frac {F}{K}}=e^{d_{1}*x-{frac {1}{2}}x^{2}}}$
Entonces tenemos: ${displaystyle {frac {F}{K}}*{frac {phi (d_{1})}{phi (d_{2})}}={frac {F}{K}}*e^{{frac {1}{2}}*{d_{2}}^{2}-{frac {1}{2}}*{d_{1}}^{2}}}$
${displaystyle =e^{d_{1}*x-{frac {1}{2}}x^{2}}*e^{{frac {1}{2}}*{(d_{1}-x)}^{2}-{frac {1}{2}}*{d_{1}}^{2}}=e^{d_{1}*x-{frac {1}{2}}x^{2}+{frac {1}{2}}*(2*d_{1}-x)*(-x)}=e^{0}=1}$
Así que... ${displaystyle Fphi (d_{1})=Kphi (d_{2})}$

Medidas relacionadas

A continuación se enumeran algunas medidas de riesgo relacionadas de los instrumentos financieros.

Duración del enlace y convexidad

En la negociación de bonos y otros valores de renta fija, se utilizan varias medidas de la duración de los bonos de forma análoga a la delta de una opción. El análogo más cercano a la delta es DV01, que es la reducción del precio (en unidades monetarias) por un aumento de un punto básico (es decir, 0,01 % anual) en el rendimiento (el rendimiento es la variable subyacente). Véase también Duración del bono § Riesgo: duración como sensibilidad a la tasa de interés.

Análogo a la lambda es la duración modificada, que es el cambio de porcentaje en el precio de mercado de los bonos por un cambio de unidad en el rendimiento (es decir, es equivalente a DV01 dividido por el precio de mercado). A diferencia de la lambda, que es una elasticidad (un cambio porcentual en la salida para un cambio porcentual en la entrada), la duración modificada es en cambio una semielasticidad: un cambio porcentual en la salida para un cambio de unidad en la entrada. Véase también Duración de la tasa de clave.

La convexidad del bono es una medida de la sensibilidad de la duración a los cambios en las tasas de interés, la segunda derivada del precio del bono con respecto a las tasas de interés (la duración es la primera derivada); entonces es análogo a gamma. En general, cuanto mayor es la convexidad, más sensible es el precio del bono al cambio en las tasas de interés. La convexidad de los bonos es una de las formas de convexidad más básicas y ampliamente utilizadas en las finanzas.

Para un bono con una opción incorporada, los cálculos basados en el rendimiento estándar al vencimiento aquí no consideran cómo los cambios en las tasas de interés alterarán los flujos de efectivo debido al ejercicio de la opción. Para abordar esto, se introducen la duración efectiva y la convexidad efectiva. Estos valores generalmente se calculan utilizando un modelo basado en árboles, creado para toda la curva de rendimiento (en oposición a un solo rendimiento al vencimiento) y, por lo tanto, capturan el comportamiento del ejercicio en cada punto de la vida de la opción en función de ambos tiempo y tasas de interés; ver Modelo de celosía (finanzas) § Derivados de tasa de interés.

Beta

La beta (β) de una acción o cartera es un número que describe la volatilidad de un activo en relación con la volatilidad del índice de referencia con el que se compara dicho activo. Este punto de referencia es generalmente el mercado financiero general y, a menudo, se estima mediante el uso de índices representativos, como el S&P 500.

Un activo tiene una beta de cero si sus rendimientos cambian independientemente de los cambios en los rendimientos del mercado. Una beta positiva significa que los rendimientos del activo generalmente siguen los rendimientos del mercado, en el sentido de que ambos tienden a estar por encima de sus respectivos promedios juntos, o ambos tienden a estar por debajo de sus respectivos promedios juntos. Una beta negativa significa que los rendimientos del activo generalmente se mueven en dirección opuesta a los rendimientos del mercado: uno tenderá a estar por encima de su promedio cuando el otro esté por debajo de su promedio.

Fugito

El fugit es el tiempo esperado para ejercer una opción americana o bermudeña. Fugit se calcula de manera útil con fines de cobertura; por ejemplo, uno puede representar los flujos de una swaption estadounidense como los flujos de un swap que comienza en el fugit multiplicado por delta, y luego usarlos para calcular otras sensibilidades.

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