Gravedad cuántica de bucles

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Teoría de gravedad cuántica, fusión de mecánica cuántica y relatividad general

Gravedad cuántica de bucles (LQG) es una teoría de la gravedad cuántica, que pretende fusionar la mecánica cuántica y la relatividad general, incorporando la materia del Modelo Estándar al marco establecido. para el caso de gravedad cuántica pura. Es un intento de desarrollar una teoría cuántica de la gravedad basada directamente en la formulación geométrica de Einstein en lugar del tratamiento de la gravedad como una fuerza. Como teoría, LQG postula que la estructura del espacio y el tiempo se compone de bucles finitos entretejidos en una tela o red extremadamente fina. Estas redes de bucles se denominan redes de espín. La evolución de una red de espín, o espuma de espín, tiene una escala superior al orden de una longitud de Planck, aproximadamente 10⁻³⁵ metros, y las escalas más pequeñas no tienen sentido. En consecuencia, no sólo la materia, sino el espacio mismo, prefiere una estructura atómica.

Las áreas de investigación, en las que participan unos 30 grupos de investigación de todo el mundo, comparten los supuestos físicos básicos y la descripción matemática del espacio cuántico. La investigación ha evolucionado en dos direcciones: la gravedad cuántica de bucle canónico más tradicional y la gravedad cuántica de bucle covariante más nueva, llamada teoría de espuma de espín. La teoría mejor desarrollada que se ha propuesto como resultado directo de la gravedad cuántica de bucles se llama cosmología cuántica de bucles (LQC). LQC avanza en el estudio del universo primitivo, incorporando el concepto del Big Bang a la teoría más amplia del Big Bounce, que contempla el Big Bang como el comienzo de un período de expansión que sigue a un período de contracción, del que se podría hablar. como el Gran Crunch.

Historia

En 1986, Abhay Ashtekar reformuló la relatividad general de Einstein en un lenguaje más cercano al del resto de la física fundamental, específicamente la teoría de Yang-Mills. Poco después, Ted Jacobson y Lee Smolin se dieron cuenta de que la ecuación formal de la gravedad cuántica, llamada ecuación de Wheeler-DeWitt, admitía soluciones etiquetadas por bucles cuando se reescribían en las nuevas variables de Ashtekar. Carlo Rovelli y Smolin definieron una teoría cuántica de la gravedad no perturbativa e independiente del fondo en términos de estas soluciones de bucle. Jorge Pullin y Jerzy Lewandowski entendieron que las intersecciones de los bucles son esenciales para la consistencia de la teoría, y la teoría debe formularse en términos de bucles que se cruzan, o gráficos.

En 1994, Rovelli y Smolin demostraron que los operadores cuánticos de la teoría asociados a área y volumen tienen un espectro discreto. Es decir, la geometría está cuantizada. Este resultado define una base explícita de los estados de la geometría cuántica, que resultaron estar etiquetados por las redes de espín de Roger Penrose, que son gráficos etiquetados por espines.

La versión canónica de la dinámica fue establecida por Thomas Thiemann, quien definió un operador hamiltoniano libre de anomalías y mostró la existencia de una teoría independiente del fondo matemáticamente consistente. La versión covariante, o "spin foam", de la dinámica fue desarrollada conjuntamente durante varias décadas por grupos de investigación en Francia, Canadá, Reino Unido, Polonia y Alemania. Se completó en 2008, lo que condujo a la definición de una familia de amplitudes de transición, que en el límite clásico se puede demostrar que está relacionado con una familia de truncamientos de la relatividad general. La finitud de estas amplitudes se demostró en 2011. Requiere la existencia de una constante cosmológica positiva, que es consistente con la aceleración observada en la expansión del Universo.

Independencia de antecedentes

LQG es formalmente independiente del fondo, lo que significa que las ecuaciones de LQG no están incrustadas ni dependen del espacio y el tiempo (excepto por su topología invariable. En su lugar, se espera que den lugar al espacio y al tiempo a distancias de 10 veces la longitud de Planck. El problema de la independencia de fondo en LQG todavía tiene algunas sutilezas sin resolver. Por ejemplo, algunas derivaciones requieren una elección fija de la topología, mientras que cualquier teoría cuántica consistente de la gravedad debe incluir el cambio de topología como un proceso dinámico.

El espacio-tiempo como "contenedor" sobre el que tiene lugar la física no tiene un significado físico objetivo y, en cambio, la interacción gravitacional se representa como uno más de los campos que forman el mundo. Esto se conoce como la interpretación relacionalista del espacio-tiempo. En LQG, este aspecto de la relatividad general se toma en serio y esta simetría se preserva al exigir que los estados físicos permanezcan invariantes bajo los generadores de difeomorfismos. La interpretación de esta condición es bien conocida para difeomorfismos puramente espaciales. Sin embargo, la comprensión de los difeomorfismos relacionados con el tiempo (la restricción hamiltoniana) es más sutil porque está relacionada con la dinámica y la llamada "naturaleza esclava del tiempo". en la relatividad general. Todavía no se ha encontrado un marco de cálculo generalmente aceptado para dar cuenta de esta restricción. Un candidato plausible para la restricción hamiltoniana cuántica es el operador introducido por Thiemann.

Restricciones y su álgebra de corchetes de Poisson

Observables de Dirac

Las limitaciones definen una superficie de restricción en el espacio de fase original. Los movimientos de calibre de las restricciones se aplican a todo el espacio de fase pero tienen la característica de que dejan la superficie de restricción donde está, y por lo tanto la órbita de un punto en la hipersuperficie bajo transformaciones de calibre será una órbita enteramente dentro de ella. Los observables Dirac se definen como funciones espaciales de fase, $O$ , que Poisson concuerda con todas las limitaciones cuando se imponen las ecuaciones de restricción,

{displaystyle {G_{j},O}_{G_{j}=C_{a}=H=0}={C_{a},O}_{G_{j}=C_{a}=H=0}={H,O}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=0,}

es decir, son cantidades definidas en la superficie de restricción que son invariantes bajo las transformaciones de calibre de la teoría.

Entonces, resolviendo sólo la limitación $G_{j}=0$ y determinar los observables Dirac con respecto a ella nos lleva de vuelta al espacio de fase Arnowitt–Deser–Misner (ADM) con limitaciones $H,C_{a}$ . Las dinámicas de la relatividad general se generan por las limitaciones, se puede demostrar que seis ecuaciones de Einstein que describen la evolución del tiempo (realmente una transformación de calibre) se pueden obtener calculando los corchetes Poisson de los tres parámetros y su impulso conjugado con una combinación lineal del difeomorfismo espacial y la limitación Hamiltoniana. La desaparición de las restricciones, dando el espacio de fase física, son las otras cuatro ecuaciones de Einstein.

Cuantización de las restricciones: las ecuaciones de la relatividad general cuántica

Prehistoria y Ashtekar nuevas variables

Muchos de los problemas técnicos de la gravedad cuántica canónica giran alrededor de las limitaciones. La relatividad general canónica fue formulada originalmente en términos de variables métricas, pero parecía haber dificultades matemáticas insuperables para promover las restricciones a los operadores cuánticos debido a su dependencia altamente no lineal de las variables canónicas. Las ecuaciones se simplificaron mucho con la introducción de las nuevas variables de Ashtekar. Las variables de Ashtekar describen la relatividad general canónica en términos de un nuevo par de variables canónicas más cercanas a las teorías del medidor. El primer paso consiste en utilizar triadas densibilizadas ${tilde {E}}_{i}^{a}$ (un triad $E_{i}^{a}$ es simplemente tres campos vectoriales ortogonales etiquetados por $i=1,2,3$ y la tríada densibilizada se define por ${textstyle {tilde {E}}_{i}^{a}={sqrt {det(q)}}E_{i}^{a}}$ ) para codificar información sobre la métrica espacial,

{displaystyle det(q)q^{ab}={tilde {E}}_{i}^{a}{tilde {E}}_{j}^{b}delta ^{ij}.}

(donde) $delta ^{ij}$ es la métrica plana del espacio, y la ecuación anterior expresa que $q^{ab}$ , cuando se escribe en términos de la base $E_{i}^{a}$ , es localmente plana). (La relatividad general imperante con triadas en lugar de métricas no era nueva). Las triadas densibilizadas no son únicas, y de hecho uno puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internos $i$ . La variable canónicamente conjugada está relacionada con la curvatura extrínseca por ${textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{tilde {E}}^{ai}/{sqrt {det(q)}}}$ . Pero surgen problemas similares al uso de la formulación métrica cuando se trata de cuantificar la teoría. La nueva visión de Ashtekar fue introducir una nueva variable de configuración,

$A_{a}^{i}=Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}$

que se comporta como un complejo $operatorname {SU} (2)$ conexión $Gamma _{a}^{i}$ está relacionado con la llamada conexión de giro a través de $Gamma _{a}^{i}=Gamma _{ajk}epsilon ^{jki}$ . Aquí. $A_{a}^{i}$ se llama la conexión de giro chiral. Define un derivado covariante ${mathcal {D}}_{a}$ . Resulta que ${tilde {E}}_{i}^{a}$ es el impulso conyugal $A_{a}^{i}$ , y juntos estas son las nuevas variables de Ashtekar.

Las expresiones para las restricciones en las variables de Ashtekar; El teorema de Gauss, la restricción del difeomorfismo espacial y la restricción hamiltoniana (densitizada) dicen:

G^{i}={mathcal {D}}_{a}{tilde {E}}_{i}^{a}=0

{displaystyle C_{a}={tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({mathcal {D}}_{b}{tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0,}

{displaystyle {tilde {H}}=epsilon _{ijk}{tilde {E}}_{i}^{a}{tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}

respectivamente, donde $F_{ab}^{i}$ es el tensor de fuerza de campo de la conexión $A_{a}^{i}$ y dónde $V_{a}$ se conoce como la limitación vectorial. El local mencionado anteriormente en la invariancia rotativa espacial es el original del $operatorname {SU} (2)$ Invariancia de calibre aquí expresada por el teorema de Gauss. Tenga en cuenta que estas limitaciones son polinómicas en las variables fundamentales, a diferencia de las limitaciones en la formulación métrica. Esta dramática simplificación parecía abrir el camino para cuantificar las limitaciones. (Ver el artículo Auto-dual Palatini acción para una derivación del formalismo de Ashtekar).

Con las nuevas variables de Ashtekar, dada la variable de configuración $A_{a}^{i}$ , es natural considerar las funciones de onda $Psi (A_{a}^{i})$ . Esta es la representación de conexión. Es análogo a la mecánica cuántica ordinaria con variable de configuración $q$ y funciones de onda $psi (q)$ . La variable de configuración se promueve a un operador cuántico a través de:

{displaystyle {hat {A}}_{a}^{i}Psi (A)=A_{a}^{i}Psi (A),}

(análogo a ${hat {q}}psi (q)=qpsi (q)$ ) y las triadas son (funcionales) derivados,

{displaystyle {hat {tilde {E_{i}^{a}}}}Psi (A)=-i{delta Psi (A) over delta A_{a}^{i}}.}

(análogo a ${hat {p}}psi (q)=-ihbar dpsi (q)/dq$ ). Al pasar a la teoría cuántica las restricciones se convierten en operadores en un espacio kinemático Hilbert (el no constriciado $operatorname {SU} (2)$ Yang-Mills Hilbert espacio). Note que el orden diferente del $A$ 's y ${tilde {E}}$ Es cuando se reemplaza el ${tilde {E}}$ 's con derivados dan lugar a diferentes operadores - la elección hecha se llama el orden del factor y debe ser elegido a través de razonamiento físico. Formalmente leen

{hat {G}}_{j}vert psi rangle =0

{hat {C}}_{a}vert psi rangle =0

{displaystyle {hat {tilde {H}}}vert psi rangle =0.}

Todavía hay problemas en definir correctamente todas estas ecuaciones y resolverlas. Por ejemplo, la limitación Hamiltoniana con la que Ashtekar trabajaba era la versión densibilizada en lugar del Hamiltonian original, es decir, trabajó con ${textstyle {tilde {H}}={sqrt {det(q)}}H}$ . Hubo graves dificultades para promover esta cantidad a un operador cuántico. Además, aunque las variables Ashtekar tenían la virtud de simplificar el Hamiltonian, son complejas. Cuando uno cuantiza la teoría, es difícil asegurar que uno recupera la relatividad general real en lugar de la relatividad general compleja.

Restricciones cuánticas como ecuaciones de la relatividad general cuántica

El resultado clásico del corchete Poisson de la ley de Gauss ${textstyle G(lambda)=int d^{3}xlambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ con las conexiones es

{displaystyle {G(lambda),A_{a}^{i}}=partial _{a}lambda ^{i}+gepsilon ^{ijk}A_{a}^{j}lambda ^{k}=(D_{a}lambda)^{i}.}

El Gauss cuántico' ley lee

{hat {G}}_{j}Psi (A)=-iD_{a}{delta lambda Psi [A] over delta A_{a}^{j}}=0.

Si uno mide la ley cuántica de Gauss y estudia su acción en el estado cuántico se encuentra que la acción de la restricción en el estado cuántico es equivalente a cambiar el argumento de $Psi$ por un infinitesimal (en el sentido del parámetro $lambda$ pequeña) transformación de calibre,

{displaystyle left[1+int d^{3}xlambda ^{j}(x){hat {G}}_{j}right]Psi (A)=Psi [A+Dlambda ]=Psi [A],}

y la última identidad proviene del hecho de que la restricción aniquila al estado. Así que la limitación, como operador cuántico, impone la misma simetría que su desaparición impuso clásicamente: nos está diciendo que las funciones $Psi [A]$ tienen que ser funciones invariantes de medición de la conexión. La misma idea es verdadera para las otras limitaciones.

Por lo tanto, el proceso de dos pasos en la teoría clásica de resolver las limitaciones $C_{I}=0$ (equivalente a resolver las condiciones de admisibilidad de los datos iniciales) y buscando las órbitas de calibre (solviendo las ecuaciones de la "evolución") es reemplazado por un proceso paso en la teoría cuántica, a saber, buscar soluciones $Psi$ de las ecuaciones cuánticas ${hat {C}}_{I}Psi =0$ . Esto es porque obviamente resuelve la restricción a nivel cuántico y simultáneamente busca estados que son medidores invariantes porque ${hat {C}}_{I}$ es el generador cuántico de transformaciones de calibre (las funciones invariantes de calibre son constantes a lo largo de las órbitas de calibre y por lo tanto las caracterizan). Recordemos que, a nivel clásico, resolver las condiciones de admisibilidad y las ecuaciones de evolución fue equivalente a resolver todas las ecuaciones de campo de Einstein, esto subraya el papel central de las ecuaciones de limitación cuántica en la gravedad cuántica canónica.

Introducción a la representación del bucle

Fue en particular la incapacidad de tener un buen control sobre el espacio de las soluciones a la ley de Gauss y las limitaciones del difeomorfismo espacial lo que llevó a Rovelli y Smolin a considerar la representación de bucles en las teorías de calibre y la gravedad cuántica.

LQG incluye el concepto de holonomía. Una holonomía es una medida de cuánto difieren los valores inicial y final de un espinor o vector después del transporte paralelo alrededor de un circuito cerrado; se denota

h_{gamma }[A]

El conocimiento de las holonomías es equivalente al conocimiento de la conexión, hasta la equivalencia de calibre. Las holonomías también se pueden asociar con un borde; bajo una ley de Gauss estos se transforman como

(h'_{e})_{{alpha beta }}=U_{{alpha gamma }}^{{-1}}(x)(h_{e})_{{gamma sigma }}U_{{sigma beta }}(y).

Para un bucle cerrado $x=y$ y suponiendo $alpha =beta$ , rendimientos

(h'_{e})_{alpha alpha }=U_{alpha gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{gamma sigma }U_{sigma alpha }(x)=[U_{sigma alpha }(x)U_{alpha gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{gamma sigma }=delta _{sigma gamma }(h_{e})_{gamma sigma }=(h_{e})_{gamma gamma }

operatorname {Tr} h'_{gamma }=operatorname {Tr} h_{gamma }.

La traza de una holonomía alrededor de un bucle cerrado se escribe

W_{gamma }[A]

y se llama bucle de Wilson. Por lo tanto, los bucles de Wilson son invariantes de calibre. La forma explícita de la Holonomía es

{displaystyle h_{gamma }[A]={mathcal {P}}exp left{-int _{gamma _{0}}^{gamma _{1}}ds{dot {gamma }}^{a}A_{a}^{i}(gamma (s))T_{i}right}}

Donde $gamma$ es la curva a lo largo de la cual se evalúa la holonomía, y $s$ es un parámetro a lo largo de la curva, ${mathcal {P}}$ denota la ruta que ordena factores de significado para valores más pequeños $s$ aparece a la izquierda, y $T_{i}$ son matrices que satisfacen $operatorname {SU} (2)$ álgebra

{displaystyle [T^{i},T^{j}]=2iepsilon ^{ijk}T_{k}.}

Las matrices Pauli satisfacen la relación anterior. Resulta que hay infinitamente muchos más ejemplos de conjuntos de matrices que satisfacen estas relaciones, donde cada conjunto comprende $(N+1)times (N+1)$ matrices con $N=1,2,3,dots$ , y donde ninguno de estos puede ser pensado para 'descomponer' en dos o más ejemplos de menor dimensión. Se llaman diferentes representaciones irreducibles de las $operatorname {SU} (2)$ álgebra. La representación más fundamental es la matrices Pauli. La holonomía es etiquetada por medio entero $N/2$ según la representación irreducible utilizada.

El uso de bucles de Wilson resuelve explícitamente la restricción de calibre de Gauss. Se requiere representación de bucle para manejar la restricción de difeomorfismo espacial. Con los bucles de Wilson como base, cualquier función invariante de calibre de Gauss se expande como,

{displaystyle Psi [A]=sum _{gamma }Psi [gamma ]W_{gamma }[A].}

Esto se llama la transformación del bucle y es análogo a la representación del impulso en la mecánica cuántica (ver Posición y espacio de impulso). The QM representation has a basis of states $exp(ikx)$ etiquetado por un número $k$ y se expande como

psi [x]=int dkpsi (k)exp(ikx).

y trabaja con los coeficientes de la expansión ${displaystyle psi (k).}$

La transformada de bucle inverso se define mediante

Psi [gamma ]=int [dA]Psi [A]W_{gamma }[A].

Esto define la representación del bucle. Dado un operador ${hat {O}}$ en la representación de conexión,

{displaystyle Phi [A]={hat {O}}Psi [A]qquad Eq;1,}

uno debe definir el operador correspondiente ${hat {O}}'$ on $Psi [gamma ]$ en la representación del bucle a través,

{displaystyle Phi [gamma ]={hat {O}}'Psi [gamma ]qquad Eq;2,}

Donde $Phi [gamma ]$ se define por la transformación inversa del bucle,

Phi [gamma ]=int [dA]Phi [A]W_{gamma }[A]qquad Eq;3.

Una fórmula de transformación que da la acción del operador ${hat {O}}'$ on $Psi [gamma ]$ en términos de la acción del operador ${hat {O}}$ on $Psi [A]$ se obtiene entonces equiparando el R.H.S. de $Eq;2$ con el R.H.S. de $Eq;3$ con $Eq;1$ sustituida $Eq;3$ , a saber

{hat {O}}'Psi [gamma ]=int [dA]W_{gamma }[A]{hat {O}}Psi [A],

{hat {O}}'Psi [gamma ]=int [dA]({hat {O}}^{dagger }W_{gamma }[A])Psi [A],

Donde ${hat {O}}^{dagger }$ significa el operador ${hat {O}}$ pero con la orden de factor inverso (recuerde de simple mecánica cuántica donde el producto de los operadores se invierte bajo conjugación). La acción de este operador en el bucle de Wilson se evalúa como un cálculo en la representación de la conexión y el resultado se reorganiza puramente como una manipulación en términos de bucles (en relación con la acción en el bucle de Wilson, el operador transformado elegido es el que tiene el factor opuesto ordenando en comparación con el utilizado para su acción en funciones de onda $Psi [A]$ ). Esto da el significado físico del operador ${hat {O}}'$ . Por ejemplo, si ${displaystyle {hat {O}}^{dagger }}$ correspondió a un diffeomorfismo espacial, entonces esto se puede considerar como mantener el campo de conexión $A$ de $W_{gamma }[A]$ donde está mientras realiza un diffeomorfismo espacial $gamma$ En su lugar. Por lo tanto, el significado de ${hat {O}}'$ es una difusión espacial en $gamma$ , el argumento de $Psi [gamma ]$ .

En la representación del bucle, la restricción de diffeomorfismo espacial se resuelve considerando funciones de bucles $Psi [gamma ]$ que son invariantes bajo diffeomorfismos espaciales del loop $gamma$ . Es decir, los invariantes nudos se usan. Esto abre una conexión inesperada entre la teoría del nudo y la gravedad cuántica.

Cualquier colección de bucles Wilson que no intersectan satisface la limitación cuántica Hamiltoniana de Ashtekar. Utilización de un orden particular de términos y sustitución ${tilde {E}}_{i}^{a}$ por un derivado, la acción de la limitación cuántica Hamiltoniana en un bucle Wilson es

{displaystyle {hat {tilde {H}}}^{dagger }W_{gamma }[A]=-epsilon _{ijk}{hat {F}}_{ab}^{k}{frac {delta }{delta A_{a}^{i}}}{frac {delta }{delta A_{b}^{j}}}W_{gamma }[A].}

Cuando se toma un derivado baja el vector tangente, ${dot {gamma }}^{a}$ , del bucle, $gamma$ . Entonces,

{displaystyle {hat {F}}_{ab}^{i}{dot {gamma }}^{a}{dot {gamma }}^{b}.}

Sin embargo, como $F_{ab}^{i}$ es anti-simétrico en los índices $a$ y $b$ esto desaparece (esto supone que $gamma$ no es discontinuo en cualquier lugar y por lo tanto el vector tangente es único).

Con respecto a la representación del bucle, las funciones de onda $Psi [gamma ]$ desaparecer cuando el bucle tiene discontinuidades y son invariantes nudos. Tales funciones resuelven la ley Gauss, la limitación de diffeomorfismo espacial y (formalmente) la limitación Hamiltoniana. Esto produce un conjunto infinito de soluciones exactas (si sólo formales) a todas las ecuaciones de relatividad general cuántica! Esto generó un gran interés en el enfoque y eventualmente condujo a LQG.

Operadores geométricos, la necesidad de intersección de bucles de Wilson y estados de red de espín

La cantidad geométrica más fácil es la zona. Escojamos coordenadas para que la superficie $Sigma$ se caracteriza por $x^{3}=0$ . El área de pequeño paraleograma de la superficie $Sigma$ es el producto de longitud de cada tiempo lateral $sin theta$ Donde $theta$ es el ángulo entre los lados. Digamos que un borde es dado por el vector ${vec {u}}$ y el otro por ${vec {v}}$ entonces,

{displaystyle A=|{vec {u}}||{vec {v}}|sin theta ={sqrt {|{vec {u}}|^{2}|{vec {v}}|^{2}(1-cos ^{2}theta)}}={sqrt {|{vec {u}}|^{2}|{vec {v}}|^{2}-({vec {u}}cdot {vec {v}})^{2}}}}

En el espacio cubierto por $x^{1}$ y $x^{2}$ hay un paralelograma infinitesimal descrito por ${vec {u}}={vec {e}}_{1}dx^{1}$ y ${vec {v}}={vec {e}}_{2}dx^{2}$ . Uso $q_{AB}^{(2)}={vec {e}}_{A}cdot {vec {e}}_{B}$ (donde los índices $A$ y $B$ corre de 1 a 2), produce el área de la superficie $Sigma$ dado por

{displaystyle A_{Sigma }=int _{Sigma }dx^{1}dx^{2}{sqrt {det left(q^{(2)}right)}}}

Donde ${displaystyle det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$ y es el determinante de la métrica inducida $Sigma$ . Este último puede ser reescrito ${displaystyle det(q^{(2)})=epsilon ^{AB}epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$ donde los índices $Adots D$ pasar de 1 a 2. Esto puede ser reescrito como

{displaystyle det(q^{(2)})={epsilon ^{3ab}epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} over 2}.}

La fórmula estándar para una matriz inversa es

{displaystyle q^{ab}={epsilon ^{bcd}epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} over 2!det(q)}.}

Hay una similitud entre esto y la expresión para ${displaystyle det(q^{(2)})}$ . Pero en las variables de Ashtekar, ${displaystyle {tilde {E}}_{i}^{a}{tilde {E}}^{bi}=det(q)q^{ab}}$ . Por lo tanto,

{displaystyle A_{Sigma }=int _{Sigma }dx^{1}dx^{2}{sqrt {{tilde {E}}_{i}^{3}{tilde {E}}^{3i}}}.}

Según las reglas de la cuantificación canónica las triadas ${tilde {E}}_{i}^{3}$ debe ser promovido a operadores cuánticos,

{hat {{tilde {E}}}}_{i}^{3}sim {delta over delta A_{3}^{i}}.

La zona $A_{Sigma }$ se puede promover a un operador cuántico bien definido a pesar de que contiene un producto de dos derivados funcionales y una base cuadrada. Putting $N=2J$ () $J$ -la representación)

{displaystyle sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1.}

Esta cantidad es importante en la fórmula final para el espectro del área. El resultado es

{hat {A}}_{Sigma }W_{gamma }[A]=8pi ell _{text{Planck}}^{2}beta sum _{I}{sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{gamma }[A]

donde la suma está sobre todos los bordes $I$ del bucle Wilson que perfora la superficie $Sigma$ .

La fórmula para el volumen de una región $R$ es dado por

{displaystyle V=int _{R}d^{3}x{sqrt {det(q)}}=int _{R}dx^{3}{sqrt {{frac {1}{3!}}epsilon _{abc}epsilon ^{ijk}{tilde {E}}_{i}^{a}{tilde {E}}_{j}^{b}{tilde {E}}_{k}^{c}}}.}

La cuantificación del volumen procede de la misma manera que con la zona. Cada vez que se toma el derivado, derriba el vector tangente ${dot {gamma }}^{a}$ , y cuando el operador de volumen actúa sobre la no intersección Wilson se desvanece el resultado. Por lo tanto, los estados cuánticos con volumen no cero deben incluir intersecciones. Dado que la summación anti-simétrica se toma en la fórmula para el volumen, necesita intersecciones con al menos tres líneas no planas. Se necesitan por lo menos cuatro vértices vacíos para que el operador de volumen no se desvanezca.

Suponiendo la representación real donde está el grupo medidor $operatorname {SU} (2)$ , los lazos de Wilson son una base completa ya que hay identidades relacionadas con diferentes lazos de Wilson. Estos ocurren porque los bucles Wilson se basan en matrices (la holonomía) y estas matrices satisfacen las identidades. Dados dos $operatorname {SU} (2)$ matrices $mathbb {A}$ y $mathbb {B}$ ,

{displaystyle operatorname {Tr} (mathbb {A})operatorname {Tr} (mathbb {B})=operatorname {Tr} (mathbb {A} mathbb {B})+operatorname {Tr} (mathbb {A} mathbb {B} ^{-1}).}

Esto implica que dado dos lazos $gamma$ y $eta$ que intersecta,

$W_{gamma }[A]W_{eta }[A]=W_{gamma circ eta }[A]+W_{gamma circ eta ^{-1}}[A]$

Donde $eta ^{-1}$ nos referimos al bucle $eta$ atravesado en la dirección opuesta y $gamma circ eta$ significa el bucle obtenido por rodear el bucle $gamma$ y luego $eta$ . Véase la siguiente figura. Dado que las matrices son unitarias uno tiene que $W_{gamma }[A]=W_{gamma ^{-1}}[A]$ . También dada la propiedad cíclica de los trazos de la matriz (es decir,. ${displaystyle operatorname {Tr} (mathbb {A} mathbb {B})=operatorname {Tr} (mathbb {B} mathbb {A})}$ Uno tiene eso $W_{gamma circ eta }[A]=W_{eta circ gamma }[A]$ . Estas identidades pueden combinarse entre sí en nuevas identidades de creciente complejidad añadiendo más lazos. Estas identidades son las llamadas identidades de Mandelstam. Redes de giro ciertas son combinaciones lineales de bucles interseccionantes Wilson diseñados para abordar la sobrecompleteidad introducida por las identidades Mandelstam (para intersecciones trivalente eliminan la sobrecompleteidad enteramente) y en realidad constituyen una base para todas las funciones invariantes de calibre.

Representación gráfica de la identidad Mandelstam no-trivial más simple relacionada con diferentes lazos de Wilson.

Como se mencionó anteriormente, la holonomía le dice a uno cómo propagar las medias partículas de prueba. Un estado de red de giro asigna una amplitud a un conjunto de partículas medias de giro que rastrean un camino en el espacio, fusionando y dividiendo. Estas son descritas por redes de spin $gamma$ : los bordes son etiquetados por los giros junto con 'intertwiners' en los vértices que son recetados para cómo resumir de diferentes maneras los giros son redireccionados. La suma sobre el desvío se elige como tal para hacer la forma del interviniente invariante bajo las transformaciones de medidor de Gauss.

Restricción hamiltoniana de LQG

En la larga historia de la gravedad cuántica canónica, formular la restricción hamiltoniana como un operador cuántico (ecuación de Wheeler-DeWitt) de una manera matemáticamente rigurosa ha sido un problema formidable. Fue en la representación del bucle donde finalmente se formuló una restricción hamiltoniana matemáticamente bien definida en 1996. Dejamos más detalles de su construcción en el artículo Restricción hamiltoniana de LQG. Esto, junto con las versiones cuánticas de la ley de Gauss y las restricciones de difeomorfismo espacial escritas en la representación del bucle, son las ecuaciones centrales de LQG (relatividad general cuántica canónica moderna).

Encontrar los estados que son aniquilados por estas restricciones (los estados físicos) y encontrar el producto interno físico correspondiente y los observables es el objetivo principal del aspecto técnico de LQG.

Un aspecto muy importante del operador hamiltoniano es que solo actúa en los vértices (una consecuencia de esto es que el operador hamiltoniano de Thiemann, como el operador de Ashtekar, aniquila bucles que no se intersecan, excepto que ahora es no solo formal y tiene un significado matemático riguroso). Más precisamente, su acción es distinta de cero en al menos los vértices de valencia tres y mayores y da como resultado una combinación lineal de nuevas redes de espín donde el gráfico original ha sido modificado por la adición de líneas en cada vértice y un cambio en las etiquetas. de los eslabones adyacentes del vértice.

Espumas giratorias

En la gravedad cuántica de bucles (LQG), una red de espín representa un "estado cuántico" del campo gravitacional en una hipersuperficie tridimensional. El conjunto de todas las redes de espín posibles (o, más exactamente, 's-nudos', es decir, clases de equivalencia de redes de espín bajo difeomorfismos) es contable; constituye una base del espacio LQG de Hilbert.

En física, una espuma de espín es una estructura topológica formada por caras bidimensionales que representa una de las configuraciones que deben sumarse para obtener una descripción de la integral de trayectoria de Feynman (integración funcional) de la gravedad cuántica. Está estrechamente relacionado con la gravedad cuántica de bucles.

Espuma giratoria derivada del operador de restricción hamiltoniano

En esta sección ver y referencias en el mismo. La restricción hamiltoniana genera 'tiempo' evolución. Resolver la restricción hamiltoniana debería decirnos cómo evolucionan los estados cuánticos en el 'tiempo' desde un estado de red de espín inicial hasta un estado de red de espín final. Un enfoque para resolver la restricción hamiltoniana comienza con lo que se llama la función delta de Dirac. La suma de las cuales sobre diferentes secuencias de acciones se puede visualizar como una suma sobre diferentes historias de 'vértices de interacción' en el 'tiempo' evolución enviando la red de espín inicial a la red de espín final. Cada vez que actúa un operador hamiltoniano lo hace añadiendo una nueva arista en el vértice.

Esto, naturalmente, da lugar al complejo de dos (un conjunto combinatorio de caras que se unen a lo largo de los bordes, que a su vez se unen en los vértices) subyacente a la descripción de la espuma giratoria; desarrollamos hacia adelante una red de espín inicial que barre una superficie, la acción del operador de restricción hamiltoniano es producir una nueva superficie plana que comienza en el vértice. Podemos usar la acción de la restricción hamiltoniana en el vértice de un estado de red de espín para asociar una amplitud a cada "interacción" (en analogía con los diagramas de Feynman). Vea la figura a continuación. Esto abre una forma de tratar de vincular directamente el LQG canónico con una descripción integral de ruta. Ahora, al igual que las redes de espín describen el espacio cuántico, cada configuración que contribuye a estas integrales de ruta, o sumas a lo largo de la historia, describe el "espacio-tiempo cuántico". Debido a su parecido con las espumas de jabón y la forma en que se etiquetan, John Baez dio a estos 'espacios-tiempos cuánticos' el nombre 'espumas giratorias'.

La acción de la restricción Hamiltoniana traducida a la ruta integral o llamada descripción de la espuma de giro. Un solo nodo se divide en tres nodos, creando un vértice de espuma de espina.

N(x_{n})

es el valor de

N

en el vértice y

H_{nop}

son los elementos de matriz de la limitación Hamiltoniana

{hat {H}}

Sin embargo, hay graves dificultades con este enfoque en particular, por ejemplo el operador Hamiltoniano no es auto-adjunto, de hecho ni siquiera es un operador normal (es decir, el operador no se comunica con su unión) y por lo tanto el teorema espectral no se puede utilizar para definir el exponencial en general. El problema más grave es que el ${hat {H}}(x)$ 's no se comunican mutuamente, entonces se puede mostrar la cantidad formal ${textstyle int [dN]e^{iint d^{3}xN(x){hat {H}}(x)}}$ ni siquiera puede definir un proyector (generalizado). El límite maestro (ver abajo) no sufre de estos problemas y como tal ofrece una manera de conectar la teoría canónica a la formulación integral del camino.

Espumas giratorias de la teoría BF

Resulta que hay rutas alternativas para formular el camino integral, sin embargo su conexión con el formalismo Hamiltoniano es menos clara. Una manera es empezar con la teoría de BF. Esta es una teoría más simple que la relatividad general, no tiene grados locales de libertad y como tal depende sólo de aspectos topológicos de los campos. La teoría de BF es lo que se conoce como una teoría de campo topológica. Sorprendentemente, resulta que la relatividad general se puede obtener de la teoría de BF imponiendo una restricción, la teoría de BF implica un campo $B_{ab}^{IJ}$ y si uno elige el campo $B$ para ser el producto (anti-simétrico) de dos tetrads

{displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 over 2}left(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J}right)}

(los tetrados son como triadas pero en cuatro dimensiones espacio), uno recupera la relatividad general. La condición de que $B$ campo dado por el producto de dos tetrads se llama la restricción de simplicidad. La dinámica de espuma de espina dorsal de la teoría del campo topológico es bien comprendida. Teniendo en cuenta las amplitudes de "interacción" de la espuma de espina dorsal para esta simple teoría, uno intenta implementar las condiciones de simplicidad para obtener un camino integral para la relatividad general. La tarea no-trivial de construir un modelo de espuma de espina dorsal se reduce entonces a la cuestión de cómo se debe imponer esta limitación de sencillez en la teoría cuántica. El primer intento fue el famoso modelo Barrett-Crane. Sin embargo, este modelo se mostró problemático, por ejemplo, no parecía haber suficientes grados de libertad para garantizar el límite clásico correcto. Se ha argumentado que la limitación de la sencillez se impuso con demasiada fuerza a nivel cuántico y sólo debería imponerse en el sentido de los valores de expectativa así como con la condición de medidor Lorenz $partial _{mu }{hat {A}}^{mu }$ en el formalismo Gupta-Bleuler de electrodinámica cuántica. Se han presentado nuevos modelos, a veces motivados por imponer las condiciones de simplicidad en un sentido más débil.

Otra dificultad aquí es que las espumas giratorias se definen en una discretización del espacio-tiempo. Si bien esto no presenta problemas para una teoría de campo topológica ya que no tiene grados de libertad locales, presenta problemas para GR. Esto se conoce como la dependencia de la triangularización del problema.

Formulación moderna de espumas giratorias

Así como imponer la restricción de simplicidad clásica recupera la relatividad general de la teoría BF, uno espera que una restricción de simplicidad cuántica apropiada recupere la gravedad cuántica de la teoría cuántica BF.

Engle, Pereira y Rovelli, Freidel y Krasnov y Livine y Speziale han logrado grandes avances con respecto a este tema al definir las amplitudes de interacción de la espuma giratoria con un comportamiento mucho mejor.

Se ha realizado un intento de hacer contacto entre la espuma giratoria EPRL-FK y la formulación canónica de LQG.

Espuma giratoria derivada del operador de restricción maestra

Ver más abajo.

El límite semiclásico y la gravedad cuántica de bucles

El límite clásico es la capacidad de una teoría física para aproximarse a la mecánica clásica. Se utiliza con teorías físicas que predicen un comportamiento no clásico. Cualquier candidata a teoría de la gravedad cuántica debe ser capaz de reproducir la teoría de la relatividad general de Einstein como un límite clásico de una teoría cuántica. Esto no está garantizado debido a una característica de las teorías cuánticas de campos que es que tienen diferentes sectores, estos son análogos a las diferentes fases que ocurren en el límite termodinámico de los sistemas estadísticos. Así como las diferentes fases son físicamente diferentes, también lo son los diferentes sectores de una teoría cuántica de campos. Puede resultar que LQG pertenezca a un sector no físico, uno en el que no se recupera la relatividad general en el límite semiclásico (de hecho, podría no haber ningún sector físico en absoluto).

Además, el espacio físico Hilbert $H_{phys}$ debe contener suficientes estados semiclásicos para garantizar que la teoría cuántica que se obtiene puede volver a la teoría clásica cuando ${displaystyle hbar to 0}$ . Para garantizar esto hay que evitar anomalías cuánticas a toda costa, porque si no hay restricciones sobre el espacio físico Hilbert que no tienen contraparte en la teoría clásica, lo que implica que la teoría cuántica tiene menos grados de libertad que la teoría clásica.

Teoremas que establecen la unicidad de la representación del bucle según lo definido por Ashtekar et al. (es decir, una cierta realización concreta de un espacio de Hilbert y operadores asociados que reproducen el álgebra de bucle correcta, la realización que todo el mundo estaba usando) han sido proporcionados por dos grupos (Lewandowski, Okolow, Sahlmann y Thiemann; y Christian Fleischhack). Antes de que se estableciera este resultado, no se sabía si podría haber otros ejemplos de espacios de Hilbert con operadores que invocaran el mismo álgebra de bucles, otras realizaciones no equivalentes a la que se había utilizado hasta ahora. Estos teoremas de unicidad implican que no existen otros, por lo que si LQG no tiene el límite semiclásico correcto, entonces los teoremas significarían el final de la representación del bucle de la gravedad cuántica por completo.

Dificultades y progreso comprobando el límite semiclásico

Hay una serie de dificultades al tratar de establecer LQG da la teoría de la relatividad general de Einstein en el límite semiclásico:

No hay operador correspondiente a las difeomorfismos espaciales infinitesimal (no es sorprendente que la teoría no tenga generador de 'translaciones' espaciales infinitesimal, ya que predice que la geometría espacial tiene una naturaleza discreta, comparada con la situación en materia condensada). En su lugar debe ser aproximado por diffeomorfismos espaciales finitos y por lo tanto la estructura del corchete Poisson de la teoría clásica no se reproduce exactamente. Este problema puede evitarse con la introducción de la llamada limitación maestro (véase más adelante)
Existe el problema de conciliar la naturaleza combinatoria discreta de los estados cuánticos con la naturaleza continua de los campos de la teoría clásica.
Hay serias dificultades derivadas de la estructura de los corchetes Poisson que implican la difusión espacial y las limitaciones Hamiltonianas. En particular, el álgebra de las limitaciones Hamiltonianas no cierra: Es proporcional a una suma sobre las difeomorfismos espaciales infinitesimal (que, como acabamos de señalar, no existe en la teoría cuántica) donde los coeficientes de proporcionalidad no son constantes sino que tienen dependencia espacial de fase no-trivial – como tal no forma un álgebra Lie. Sin embargo, la situación se ve mucho mejorada por la introducción del límite maestro.
La maquinaria semiclásica desarrollada hasta ahora sólo es apropiada para los operadores que no cambian gráficos, sin embargo, Thiemann's Hamiltonian limitt es un operador de cambio de gráficos – el nuevo gráfico que genera tiene grados de libertad sobre los cuales el estado coherente no depende y por lo tanto sus fluctuaciones cuánticas no se suprimen. Existe también la restricción, hasta ahora, de que estos estados coherentes sólo se definen a nivel Kinematic, y ahora hay que elevarlos al nivel de ${mathcal {H}}_{Diff}$ y ${mathcal {H}}_{Phys}$ . Se puede demostrar que la restricción Hamiltoniana de Thiemann es necesaria para cambiar gráficos para resolver el problema 3 en algún sentido. El álgebra de restricción maestro, sin embargo, es trivial y por lo tanto el requisito de que sea el intercambio de gráficos puede ser levantado y de hecho los operadores de restricciones maestras que no cambian gráficos han sido definidos. Por lo que se sabe actualmente, este problema está todavía fuera de alcance.
Formular observables para la relatividad general clásica es un problema formidable por sí mismo debido a su naturaleza no lineal y la invariancia diffeomorfismo espacio-tiempo. De hecho, recientemente se ha desarrollado un esquema de aproximación sistemática para calcular los observables.

Las dificultades para tratar de examinar el límite semiclásico de la teoría no deben confundirse con el límite semiclásico incorrecto.

Con respecto al problema número 2 anterior, se pueden considerar los llamados estados de tejido. Las medidas ordinarias de cantidades geométricas son macroscópicas y la discreción planckiana se suaviza. La tela de una camiseta es análoga: a la distancia es una superficie bidimensional curva suave, pero en una inspección más cercana vemos que en realidad está compuesta por miles de hilos unidos unidimensionales. La imagen del espacio dada en LQG es similar. Considere una red de espín muy grande formada por una gran cantidad de nodos y enlaces, cada uno de la escala de Planck. Sondeado a escala macroscópica, aparece como una geometría métrica continua tridimensional.

Para entrar en contacto con la física familiar de baja energía es obligatorio tener que desarrollar esquemas de aproximación tanto para el producto interno físico como para los observables de Dirac; los modelos de espuma giratoria que se han estudiado intensamente pueden verse como vías hacia esquemas de aproximación para dicho producto interno físico.

Markopoulou, et al. adoptó la idea de subsistemas sin ruido en un intento de resolver el problema del límite de baja energía en las teorías de la gravedad cuántica independiente del fondo. LQG (consulte la sección a continuación: LQG y programas de investigación relacionados).

Como Wightman destacó en la década de 1950, en Minkowski QFTs los $n-$ Funciones puntuales

{displaystyle W(x_{1},dotsx_{n})=langle 0|phi (x_{n})dots phi (x_{1})|0rangle}

determinar completamente la teoría. En particular, se puede calcular las amplitudes de dispersión de estas cantidades. Como se explica a continuación en la sección sobre Antecedentes separando las amplitudes, en el contexto independiente de los antecedentes, el $n-$ Las funciones de punto se refieren a un estado y en gravedad que el estado puede codificar naturalmente información sobre una geometría específica que puede aparecer en las expresiones de estas cantidades. A fin de dirigir el pedido, se ha demostrado que los cálculos de LQG están de acuerdo en un sentido apropiado con el $n-$ Funciones de punto calculadas en la relatividad general cuántica de baja energía efectiva.

Dinámica mejorada y la restricción maestra

La restricción maestra

El programa de restricciones maestras de Thiemann para la gravedad cuántica de bucles (LQG) se propuso como una forma clásicamente equivalente de imponer el número infinito de ecuaciones de restricciones hamiltonianas en términos de una única restricción maestra, que implica el cuadrado de las restricciones en pregunta. Una objeción inicial al uso de la restricción maestra fue que, a primera vista, no parecía codificar información sobre los observables; debido a que la restricción maestra es cuadrática en la restricción, cuando uno calcula su corchete de Poisson con cualquier cantidad, el resultado es proporcional a la restricción, por lo tanto, siempre desaparece cuando se imponen las restricciones y, como tal, no selecciona funciones de espacio de fase particulares. Sin embargo, se dio cuenta de que la condición es equivalente a ser un observable de Dirac. Entonces, la restricción maestra captura información sobre los observables. Debido a su importancia, esto se conoce como la ecuación maestra.

Que la restricción maestra del álgebra de Poisson sea un álgebra de Lie honesta abre la posibilidad de usar cierto método, conocido como promedio de grupo, para construir soluciones del número infinito de restricciones hamiltonianas, un producto interno físico y observables de Dirac. a través de lo que se conoce como cuantificación algebraica refinada o RAQ.

La restricción maestra cuántica

Defina la restricción maestra cuántica (aparte de los problemas de regularización) como

{displaystyle {hat {M}}:=int d^{3}x{widehat {left({frac {H}{sqrt[{4}]{det(q(x))}}}right)}}^{dagger }(x){widehat {left({frac {H}{sqrt[{4}]{det(q(x))}}}right)}}(x).}

Obviamente,

{displaystyle {widehat {left({frac {H}{sqrt[{4}]{det(q(x))}}}right)}}(x)Psi =0}

para todos $x$ implicación ${hat {M}}Psi =0$ . Por el contrario, si ${hat {M}}Psi =0$ entonces

{displaystyle 0=leftlangle Psi{hat {M}}Psi rightrangle =int d^{3}xleft|{widehat {left({frac {H}{sqrt[{4}]{det(q(x))}}}right)}}(x)Psi right|^{2}qquad Eq;4}

implica

{displaystyle {widehat {left({frac {H}{sqrt[{4}]{det(q(x))}}}right)}}(x)Psi =0}

Lo que se hace primero es, somos capaces de calcular los elementos de la matriz del operador sería-ser ${hat {M}}$ , es decir, computamos la forma cuadrática $Q_{M}$ . Resulta que $Q_{M}$ es un gráfico que cambia, diffeomorfismo invariante forma cuadrática que no puede existir en el espacio kinematic Hilbert $H_{{Kin}}$ , y debe definirse $H_{Diff}$ . Desde el operador de restricción maestro ${hat {M}}$ se define densamente $H_{{Diff}}$ , entonces ${hat {M}}$ es un operador positivo y simétrico en $H_{{Diff}}$ . Por lo tanto, la forma cuadrática $Q_{M}$ asociado con ${hat {M}}$ es imperdonable. El cierre $Q_{M}$ es la forma cuadrática de un operador único autoadjunto ${hat {overline {M}}}$ , llamada la extensión Friedrichs ${hat {M}}$ . We relabel ${hat {overline {M}}}$ como ${hat {M}}$ para la simplicidad.

Tenga en cuenta que la presencia de un producto interno, viz Eq 4, significa que no hay soluciones superfluas, es decir, no hay $Psi$ tales que

{displaystyle {widehat {left({frac {H}{sqrt[{4}]{det(q(x))}}}right)}}(x)Psi not =0,}

pero para el cual ${hat {M}}Psi =0$ .

También es posible construir una forma cuadrática $Q_{M_{E}}$ para lo que se llama la restricción maestra extendida (discutida abajo) $H_{{Kin}}$ que también implica la parte integral ponderada de la plaza de la limitación de diffeomorfismo espacial (esto es posible porque $Q_{M_{E}}$ no está cambiando el gráfico).

El espectro de la limitación maestro puede no contener cero debido a los efectos normales o de orden de factores que son finitos pero similares en la naturaleza a las energías de vacío infinitas de teorías de campo cuántico dependientes de fondo. En este caso resulta ser físicamente correcto reemplazar ${hat {M}}$ con ${displaystyle {hat {M}}':={hat {M}}-min(spec({hat {M}})){hat {1}}}$ siempre que la "normal constante de orden" desaparece en el límite clásico, es decir,

{displaystyle lim _{hbar to 0}min(spec({hat {M}}))=0,}

así ${hat {M}}'$ es una cuantificación válida $M$ .

Probar la restricción maestra

Las restricciones en su forma primitiva son bastante singulares, esta fue la razón para integrarlas sobre funciones de prueba para obtener restricciones difuminadas. Sin embargo, parecería que la ecuación para la restricción maestra, dada arriba, es aún más singular y involucra el producto de dos restricciones primitivas (aunque integradas en el espacio). Elevar al cuadrado la restricción es peligroso ya que podría empeorar el comportamiento ultravioleta del operador correspondiente y, por lo tanto, el programa maestro de restricción debe abordarse con el debido cuidado.

Al hacerlo, el programa maestro de restricciones se probó satisfactoriamente en varios sistemas modelo con álgebras de restricciones no triviales, teorías de campos libres e interactivos. La restricción maestra para LQG se estableció como un operador autoadjunto positivo genuino y se demostró que el espacio físico de Hilbert de LQG no está vacío, una prueba de consistencia obvia que LQG debe pasar para ser una teoría viable de la relatividad general cuántica.

Aplicaciones de la restricción maestra

La restricción maestra se ha empleado en intentos de aproximar el producto interno físico y definir integrales de ruta más rigurosas.

El enfoque de discretizaciones consistentes para LQG es una aplicación del programa de restricciones maestras para construir el espacio físico de Hilbert de la teoría canónica.

Hacer espuma de la restricción maestra

Resulta que la restricción maestra se generaliza fácilmente para incorporar las otras limitaciones. Se denomina entonces la limitación general del maestro, denotada $M_{E}$ . Podemos definir la limitación general que impone tanto la limitación Hamiltoniana como la limitación espacial de la diffeomorfismo como un solo operador,

{displaystyle M_{E}=int _{Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) over {sqrt {det(q)}}}}

Establecer esta limitación única a cero equivale a $H(x)=0$ y $V_{a}(x)=0$ para todos $x$ dentro $Sigma$ . Esta limitación implementa el difeomorfismo espacial y la limitación Hamiltoniana al mismo tiempo en el espacio Kinematic Hilbert. El producto interior físico se define entonces como

{displaystyle langle phipsi rangle _{text{Phys}}=lim _{Tto infty }leftlangle phiint _{-T}^{T}dte^{it{hat {M}}_{E}}psi rightrangle }

(como ${textstyle delta ({hat {M_{E}}})=lim _{Tto infty }int _{-T}^{T}dte^{it{hat {M}}_{E}}}$ ). Una representación de espuma de espina dorsal de esta expresión se obtiene dividiendo la $t$ -parametro en pasos discretos y escritura

${textstyle e^{it{hat {M}}_{E}}=lim _{nto infty }left[e^{it{hat {M}}_{E}/n}right]^{n}=lim _{nto infty }[1+it{hat {M}}_{E}/n]^{n}.}$

La descripción de la espuma de espina dorsal luego sigue de la aplicación de $[1+it{hat {M}}_{E}/n]$ en una red de giro que resulta en una combinación lineal de nuevas redes de giro cuyos gráficos y etiquetas han sido modificados. Obviamente una aproximación se hace al truncar el valor de $n$ a un entero finito. Una ventaja de la limitación maestra extendida es que estamos trabajando a nivel cinemático y hasta ahora es sólo aquí tenemos acceso a estados coherentes semiclásicos. Además, no se puede encontrar ninguna versión cambiante de este operador de restricciones maestras, que son el único tipo de operadores apropiados para estos estados coherentes.

Gravedad cuántica algebraica (AQG)

El programa de restricciones maestras se ha convertido en un tratamiento totalmente combinatorio de la gravedad conocido como gravedad cuántica algebraica (AQG). El operador de restricción maestra que no cambia de gráfico se adapta en el marco de la gravedad cuántica algebraica. Si bien AQG está inspirado en LQG, difiere drásticamente de él porque en AQG no hay fundamentalmente topología o estructura diferencial: es independiente del fondo en un sentido más generalizado y posiblemente podría tener algo que decir sobre el cambio de topología. En esta nueva formulación de la gravedad cuántica AQG, los estados semiclásicos siempre controlan las fluctuaciones de todos los grados de libertad presentes. Esto hace que el análisis semiclásico AQG sea superior al de LQG, y se han hecho progresos para establecer que tiene el límite semiclásico correcto y proporciona contacto con la física familiar de baja energía.

Aplicaciones físicas de LQG

Entropía del agujero negro

Un artista representa dos agujeros negros que se fusionan, un proceso en el que se mantienen las leyes de la termodinámica.

La termodinámica de agujeros negros es el área de estudio que busca reconciliar las leyes de la termodinámica con la existencia de horizontes de eventos de agujeros negros. La conjetura sin cabello de la relatividad general establece que un agujero negro se caracteriza solo por su masa, su carga y su momento angular; por lo tanto, no tiene entropía. Parece, entonces, que uno puede violar la segunda ley de la termodinámica dejando caer un objeto con entropía distinta de cero en un agujero negro. El trabajo de Stephen Hawking y Jacob Bekenstein demostró que se puede preservar la segunda ley de la termodinámica asignando a cada agujero negro una entropía de agujero negro

S_{text{BH}}={frac {k_{text{B}}A}{4ell _{text{P}}^{2}}},

Donde $A$ es el área del horizonte de eventos del agujero, $k_{text{B}}$ es la constante de Boltzmann, y ${textstyle ell _{text{P}}={sqrt {Ghbar /c^{3}}}}$ es la longitud Planck. El hecho de que la entropía del agujero negro es también la entropía máxima que puede obtenerse por el límite Bekenstein (donde el límite Bekenstein se convierte en una igualdad) fue la observación principal que llevó al principio holográfico.

Una supervisión en la aplicación del teorema no-hair es la suposición de que los grados pertinentes de la libertad contable para la entropía del agujero negro deben ser clásicos en la naturaleza; ¿qué si eran puramente mecánico cuántico en lugar y tenían entropía no cero? En realidad, esto es lo que se realiza en la derivación LQG de la entropía del agujero negro, y se puede ver como consecuencia de su independencia de fondo – la hora clásica del agujero negro espacio viene del límite semiclásico del estado cuántico del campo gravitacional, pero hay muchos estados cuánticos que tienen el mismo límite semiclásico. Específicamente, en LQG es posible asociar una interpretación geométrica cuántica a los microstates: Estas son las geometrías cuánticas del horizonte que son consistentes con el área, $A$ , del agujero negro y la topología del horizonte (es decir, esférico). LQG ofrece una explicación geométrica de la finicidad de la entropía y de la proporcionalidad del área del horizonte. Estos cálculos se han generalizado para girar agujeros negros.

Representación de geometrías cuánticas del horizonte. Las excitaciones polímeros en el vástago perforan el horizonte, dotándola con área cuantitativa. Intrínsecamente el horizonte es plano excepto en los pinchazos donde adquiere un ángulo de déficit cuantificado o una cantidad cuantitativa de curvatura. Estos ángulos de déficit se suman a

4pi

Es posible derivar, de la formulación covariante de la teoría cuántica completa (Spinfoam) la relación correcta entre energía y área (1ra ley), la temperatura de Unruh y la distribución que produce la entropía de Hawking. El cálculo utiliza la noción de horizonte dinámico y se realiza para agujeros negros no extremos.

Un éxito reciente de la teoría en esta dirección es la computación de la entropía de todos los agujeros negros no singulares directamente de la teoría e independiente del parámetro Immirzi. El resultado es la fórmula esperada $S=A/4$ , donde $S$ es la entropía y $A$ la zona del agujero negro, derivada por Bekenstein y Hawking en terrenos heurísticos. Esta es la única derivación conocida de esta fórmula de una teoría fundamental, para el caso de agujeros negros genéricos no singulares. Los intentos más antiguos de este cálculo tuvieron dificultades. El problema era que aunque la gravedad cuántica de Loop predijo que la entropía de un agujero negro es proporcional a la zona del horizonte del evento, el resultado dependía de un parámetro libre crucial en la teoría, el parámetro Immirzi mencionado anteriormente. Sin embargo, no hay una computación conocida del parámetro Immirzi, por lo que tuvo que ser fijado por acuerdo exigente con el cálculo de Bekenstein y Hawking del agujero negro entropía.

Radiación de halcón en la gravedad cuántica de bucles

Se ha realizado un estudio detallado de la geometría cuántica del horizonte de un agujero negro utilizando la gravedad cuántica de bucles. La cuantización de bucle no reproduce el resultado de la entropía del agujero negro descubierta originalmente por Bekenstein y Hawking, a menos que se elija el valor del parámetro Immirzi para cancelar otra constante que surja en la derivación. Sin embargo, condujo al cálculo de correcciones de orden superior a la entropía y radiación de los agujeros negros.

Según las fluctuaciones del área del horizonte, un agujero negro cuántico presenta desviaciones del espectro de Hawking que serían observables si se observaran los rayos X de la radiación de Hawking de los agujeros negros primordiales que se evaporan. Los efectos cuánticos se centran en un conjunto de frecuencias discretas y sin mezclar muy pronunciadas en la parte superior del espectro de radiación de Hawking.

Estrella de Planck

En 2014, Carlo Rovelli y Francesca Vidotto propusieron que hay una estrella de Planck dentro de cada agujero negro. Basado en LQG, la teoría establece que a medida que las estrellas colapsan en agujeros negros, la densidad de energía alcanza la densidad de energía de Planck, lo que provoca una fuerza repulsiva que crea una estrella. Además, la existencia de tal estrella resolvería la paradoja del cortafuegos del agujero negro y la información del agujero negro.

Cosmología cuántica de bucles

La literatura popular y técnica hace amplias referencias al tema relacionado con LQG de la cosmología cuántica de bucles. LQC fue desarrollado principalmente por Martin Bojowald, se popularizó en Scientific American para predecir un Big Bounce antes del Big Bang. La cosmología cuántica de bucles (LQC) es un modelo de simetría reducida de la relatividad general clásica cuantificada utilizando métodos que imitan los de la gravedad cuántica de bucles (LQG) que predice un "puente cuántico" entre las ramas cosmológicas que se contraen y se expanden.

Los logros de LQC han sido la resolución de la singularidad del big bang, la predicción de un gran rebote y un mecanismo natural para la inflación.

Los modelos LQC comparten características de LQG, por lo que es un modelo de juguete útil. Sin embargo, los resultados obtenidos están sujetos a la restricción habitual de que una teoría clásica truncada, luego cuantizada, podría no mostrar el verdadero comportamiento de la teoría completa debido a la supresión artificial de los grados de libertad que podrían tener grandes fluctuaciones cuánticas en la teoría completa. Se ha argumentado que la evitación de la singularidad en LQC está disponible por mecanismos que solo están disponibles en estos modelos restrictivos y que la evitación de la singularidad en la teoría completa todavía se puede obtener, pero mediante una característica más sutil de LQG.

Fenomenología de la gravedad cuántica de bucles

Los efectos de la gravedad cuántica son notoriamente difíciles de medir porque la longitud de Planck es increíblemente pequeña. Sin embargo, recientemente físicos como Jack Palmer han comenzado a considerar la posibilidad de medir los efectos de la gravedad cuántica principalmente a partir de observaciones astrofísicas y detectores de ondas gravitacionales. La energía de esas fluctuaciones a escalas tan pequeñas causa perturbaciones espaciales que son visibles a escalas más altas.

Amplitudes de dispersión independientes del fondo

La gravedad cuántica del loop se formula en un lenguaje independiente de fondo. No se asume tiempo espacial a priori, pero más bien se construye por los propios estados de la teoría – sin embargo las amplitudes dispersas se derivan de $n$ - funciones puntuales (función de correlación) y éstas, formuladas en teoría convencional de campo cuántico, son funciones de puntos de un espacio-tiempo de fondo. La relación entre el formalismo independiente de fondo y el formalismo convencional de la teoría del campo cuántico en un espacio determinado está lejos de ser obvia, y está lejos de obvio cómo recuperar cantidades de baja energía de la teoría de fondo-independiente completo. A uno le gustaría derivar el $n$ - Funciones puntuales de la teoría del formalismo independiente de fondo, con el fin de compararlas con la expansión perturbadora estándar de la relatividad general cuántica y, por lo tanto, comprobar que la gravedad cuántica del bucle produce el límite de baja energía correcto.

Se ha sugerido una estrategia para hacer frente a este problema; la idea es estudiar la amplitud de límites, a saber, una ruta integral sobre una región de tiempo espacial finita, vista como una función del valor límite del campo. En la teoría convencional del campo cuántico, esta amplitud de límites está bien definida y codifica la información física de la teoría; lo hace también en la gravedad cuántica, pero de manera totalmente independiente. Una definición generalmente covariante $n$ - Las funciones de punto pueden basarse en la idea de que la distancia entre los puntos físicos –argumentos de los $n$ - la función de punto está determinada por el estado del campo gravitacional en el límite de la región espacial considerada.

Se ha avanzado en el cálculo de amplitudes de dispersión independientes del fondo de esta manera con el uso de espumas giratorias. Esta es una forma de extraer información física de la teoría. Se han hecho afirmaciones de haber reproducido el comportamiento correcto para las amplitudes de dispersión de gravitones y de haber recuperado la gravedad clásica. "Hemos calculado la ley de Newton a partir de un mundo sin espacio ni tiempo." – Carlo Rovelli.

Gravitones, teoría de cuerdas, supersimetría, dimensiones extra en LQG

Algunas teorías cuánticas de la gravedad postulan un campo cuántico de espín 2 que se cuantiza y da lugar a los gravitones. En la teoría de cuerdas, generalmente se comienza con excitaciones cuantificadas sobre un fondo fijo clásico. Esta teoría se describe así como dependiente del fondo. Las partículas como los fotones, así como los cambios en la geometría del espacio-tiempo (gravitones) se describen como excitaciones en la hoja del mundo de cuerdas. La dependencia del fondo de la teoría de cuerdas puede tener importantes consecuencias físicas, como determinar el número de generaciones de quarks. En contraste, la gravedad cuántica de bucles, como la relatividad general, es manifiestamente independiente del fondo, eliminando el fondo requerido en la teoría de cuerdas. La gravedad cuántica de bucles, como la teoría de cuerdas, también tiene como objetivo superar las divergencias no renormalizables de las teorías cuánticas de campos.

LQG nunca introduce un fondo y excitaciones que viven en este fondo, por lo que LQG no usa gravitones como bloques de construcción. En cambio, uno espera recuperar una especie de límite semiclásico o límite de campo débil donde algo así como 'gravitones'; aparecerá de nuevo. Por el contrario, los gravitones juegan un papel clave en la teoría de cuerdas, donde se encuentran entre el primer nivel (sin masa) de excitaciones de una supercuerda.

LQG se diferencia de la teoría de cuerdas en que está formulada en 3 y 4 dimensiones y sin supersimetría ni dimensiones adicionales de Kaluza-Klein, mientras que esta última requiere que ambas sean ciertas. No hay evidencia experimental hasta la fecha que confirme las predicciones de la teoría de cuerdas sobre la supersimetría y las dimensiones extra de Kaluza-Klein. En un artículo de 2003 'A Dialog on Quantum Gravity', Carlo Rovelli considera que el hecho de que LQG se formule en 4 dimensiones y sin supersimetría es una fortaleza de la teoría, ya que representa la explicación más parsimoniosa, consistente con los resultados experimentales actuales., sobre su teoría de cuerdas/M rival. Los defensores de la teoría de cuerdas a menudo señalarán el hecho de que, entre otras cosas, reproduce de manera demostrable las teorías establecidas de la relatividad general y la teoría cuántica de campos en los límites apropiados, algo que la gravedad cuántica de bucles ha luchado por hacer. En ese sentido, la conexión de la teoría de cuerdas con la física establecida puede considerarse más fiable y menos especulativa a nivel matemático. La gravedad cuántica de bucles no tiene nada que decir sobre la materia (fermiones) en el universo.

Dado que LQG se ha formulado en 4 dimensiones (con y sin supersimetría), y la teoría M requiere supersimetría y 11 dimensiones, no ha sido posible una comparación directa entre los dos. Es posible extender el formalismo LQG convencional a la supergravedad de dimensiones superiores, la relatividad general con supersimetría y las dimensiones adicionales de Kaluza-Klein en caso de que la evidencia experimental establezca su existencia. Por lo tanto, sería deseable disponer de cuantizaciones de bucles de supergravedad de mayor dimensión para poder comparar estos enfoques. De hecho, se han publicado una serie de artículos que intentan precisamente esto. Más recientemente, Thiemann (y sus ex alumnos) han avanzado en el cálculo de la entropía de los agujeros negros para la supergravedad en dimensiones superiores. Será interesante comparar estos resultados con los cálculos de supercadenas correspondientes.

LQG y programas de investigación relacionados

Varios grupos de investigación han intentado combinar LQG con otros programas de investigación: Johannes Aastrup, Jesper M. Grimstrup et al. La investigación combina la geometría no conmutativa con la gravedad cuántica canónica y las variables de Ashtekar, Laurent Freidel, Simone Speziale, et al., Spinors y la teoría del twistor con la gravedad cuántica de bucles, y Lee Smolin et al. con gravedad entrópica de Verlinde y gravedad de bucle. Stephon Alexander, Antonino Marciano y Lee Smolin han intentado explicar los orígenes de la quiralidad de la fuerza débil en términos de las variables de Ashketar, que describen la gravedad como quiral, y LQG con los campos de la teoría de Yang-Mills en cuatro dimensiones. Sundance Bilson-Thompson, Hackett et al., ha intentado introducir el modelo estándar a través de los grados de libertad de LQG como una propiedad emergente (empleando la idea de subsistemas silenciosos, una noción útil introducida en una situación más general para sistemas restringidos por Fotini Markopoulou -Kalamara et al. )

Además, LQG ha establecido comparaciones filosóficas con la triangulación dinámica causal y la gravedad asintóticamente segura, y la espuma giratoria con la teoría del campo grupal y la correspondencia AdS/CFT. Smolin y Wen han sugerido combinar LQG con string-net liquid, tensores y la grafidad cuántica de Smolin y Fotini Markopoulou-Kalamara. Existe el enfoque de discretizaciones consistentes. Además, Pullin y Gambini proporcionan un marco para conectar los enfoques canónico e integral de trayectoria a la gravedad cuántica. Pueden ayudar a reconciliar los enfoques de representación de la espuma giratoria y del bucle canónico. Una investigación reciente de Chris Duston y Matilde Marcolli introduce el cambio de topología a través de redes topspin.

Problemas y comparaciones con enfoques alternativos

Algunos de los principales problemas no resueltos de la física son teóricos, lo que significa que las teorías existentes parecen incapaces de explicar un determinado fenómeno observado o resultado experimental. Los otros son experimentales, lo que significa que existe una dificultad para crear un experimento para probar una teoría propuesta o investigar un fenómeno con mayor detalle.

Muchos de estos problemas se aplican a LQG, incluidos:

¿Se puede realizar la mecánica cuántica y la relatividad general como una teoría totalmente consistente (tal vez como una teoría de campo cuántica)?
¿Es el tiempo espacial fundamentalmente continuo o discreto?
¿Una teoría consistente implicaría una fuerza mediada por un gravitón hipotético, o sería un producto de una estructura discreta del tiempo espacial mismo (como en la gravedad cuántica del lazo)?
¿Hay desviaciones de las predicciones de la relatividad general a escalas muy pequeñas o muy grandes o en otras circunstancias extremas que fluyen de una teoría de la gravedad cuántica?

La teoría de LQG es una posible solución al problema de la gravedad cuántica, al igual que la teoría de cuerdas. Hay diferencias sustanciales sin embargo. Por ejemplo, la teoría de cuerdas también aborda la unificación, la comprensión de todas las fuerzas y partículas conocidas como manifestaciones de una sola entidad, postulando dimensiones adicionales y partículas y simetrías adicionales hasta ahora no observadas. Contrariamente a esto, LQG se basa únicamente en la teoría cuántica y la relatividad general y su alcance se limita a comprender los aspectos cuánticos de la interacción gravitatoria. Por otro lado, las consecuencias de LQG son radicales, porque cambian fundamentalmente la naturaleza del espacio y el tiempo y proporcionan una imagen física y matemática tentativa pero detallada del espacio-tiempo cuántico.

Actualmente, no se ha demostrado que exista ningún límite semiclásico que recupere la relatividad general. Esto significa que sigue sin probarse que la descripción de LQG del espacio-tiempo en la escala de Planck tenga el límite continuo correcto (descrito por la relatividad general con posibles correcciones cuánticas). Específicamente, la dinámica de la teoría está codificada en la restricción hamiltoniana, pero no hay un hamiltoniano candidato. Otros problemas técnicos incluyen encontrar el cierre fuera de la capa del álgebra de restricciones y el espacio vectorial del producto interno físico, el acoplamiento a los campos de materia de la teoría cuántica de campos, el destino de la renormalización del gravitón en la teoría de perturbaciones que conduce a la divergencia ultravioleta más allá de 2 bucles (ver diagrama de Feynman de un lazo en el diagrama de Feynman).

Si bien ha habido una propuesta relacionada con la observación de singularidades desnudas y la relatividad doblemente especial como parte de un programa llamado cosmología cuántica de bucles, no hay ninguna observación experimental para la cual la gravedad cuántica de bucles haga una predicción que no sea hecha por el modelo estándar. o la relatividad general (un problema que afecta a todas las teorías actuales de la gravedad cuántica). Debido a la falta de un límite semiclásico antes mencionado, LQG aún no ha reproducido las predicciones hechas por la relatividad general.

Una crítica alternativa es que la relatividad general puede ser una teoría de campo eficaz y, por lo tanto, la cuantización ignora los grados de libertad fundamentales.

El satélite INTEGRAL de la ESA midió la polarización de fotones de diferentes longitudes de onda y pudo poner un límite a la granularidad del espacio eso es menos de 10⁻⁴⁸m o 13 órdenes de magnitud por debajo de la escala de Planck.

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