Gran circulo

Un gran círculo divide la esfera en dos hemisferios iguales.

En matemáticas, un gran círculo o un ortodromo es la intersección circular de una esfera y un plano que pasa por el punto central de la esfera.

Cualquier arco de un gran círculo es una geodésica de la esfera, de modo que los grandes círculos en geometría esférica son el análogo natural de las líneas rectas en el espacio euclidiano. Para cualquier par de puntos distintos no antípodas en la esfera, hay un gran círculo único que pasa por ambos. (Cada círculo máximo que pasa por cualquier punto también pasa por su punto antípoda, por lo que hay infinitos círculos máximos que pasan por dos puntos antípodas). El más corto de los dos arcos de círculo máximo entre dos puntos distintos de la esfera se denomina menor arc, y es el camino de superficie más corto entre ellos. Su longitud de arco es la distancia de círculo máximo entre los puntos (la distancia intrínseca en una esfera), y es proporcional a la medida del ángulo central formado por los dos puntos y el centro de la esfera.

Un gran círculo es el círculo más grande que se puede dibujar en cualquier esfera determinada. Cualquier diámetro de cualquier gran círculo coincide con un diámetro de la esfera y, por lo tanto, todo gran círculo es concéntrico con la esfera y comparte el mismo radio. Cualquier otro círculo de la esfera se llama pequeño círculo, y es la intersección de la esfera con un plano que no pasa por su centro. Los círculos pequeños son el análogo de geometría esférica de los círculos en el espacio euclidiano.

Cada círculo en el espacio tridimensional euclidiano es un gran círculo de exactamente una esfera.

El disco delimitado por un gran círculo se llama gran disco: es la intersección de una bola y un plano que pasa por su centro. En dimensiones superiores, los grandes círculos de la esfera n son la intersección de la esfera n con 2 planos que pasan por el origen en el espacio euclidiano R^{n + 1}.

Derivación de caminos más cortos

Para demostrar que el arco menor de un gran círculo es el camino más corto que conecta dos puntos en la superficie de una esfera, se le puede aplicar el cálculo de variaciones.

Considere la clase de todos los caminos regulares desde un punto ${displaystyle p}$ a otro punto ${displaystyle q}$. Introducir coordenadas esféricas para que ${displaystyle p}$ coincide con el polo norte. Cualquier curva en la esfera que no intersegue ni polo, excepto posiblemente en los puntos finales, puede ser parametrizada por

${displaystyle theta =theta (t),quad phi =phi (t),quad aleq tleq b}$

siempre que lo permita ${displaystyle phi }$ para asumir valores reales arbitrarios. La longitud de arco infinitesimal en estas coordenadas es

${displaystyle ds=r{sqrt {theta ################################################################################################################################################################################################################################################################ },dt.}$

Así que la longitud de una curva ${displaystyle gamma }$ desde ${displaystyle p}$ a ${displaystyle q}$ es un funcional de la curva dada por

${displaystyle S[gamma]=rint _{a}{b}{sqrt {theta '{2}+phi '{2}sin ^{2}theta },dt.}$

Según la ecuación Euler-Lagrange, ${displaystyle S[gamma]$ se minimiza si y sólo si

${displaystyle {frac {sin }theta phi}{sqrt {theta ################################################################################################################################################################################################################################################################ }=C}$,

Donde ${displaystyle C}$ es un ${displaystyle t}$- constante independiente, y

${displaystyle {frac {sin theta cos theta phi '^{2}{sqrt {theta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ }}}$

De la primera ecuación de estas dos, se puede obtener que

${displaystyle phi '={frac {Ctheta}{sin theta {sqrt {sin ^{2}theta - Sí.$.

Integrando ambos lados y considerando la condición de límite, la solución real ${displaystyle C}$ es cero. Así, ${displaystyle phi '=0}$ y ${displaystyle theta }$ puede ser cualquier valor entre 0 y ${displaystyle theta ¿Qué?$, indicando que la curva debe estar sobre un meridiano de la esfera. En las coordenadas cartesianas, esto es

${displaystyle xsin phi - Sí.$

que es un plano que pasa por el origen, es decir, el centro de la esfera.

Aplicaciones

Algunos ejemplos de grandes círculos en la esfera celeste incluyen el horizonte celeste, el ecuador celeste y la eclíptica. Los círculos máximos también se utilizan como aproximaciones bastante precisas de las geodésicas en la superficie de la Tierra para la navegación aérea o marítima (aunque no es una esfera perfecta), así como en los cuerpos celestes esferoidales.

El ecuador de la tierra idealizada es un gran círculo y cualquier meridiano y su meridiano opuesto forman un gran círculo. Otro gran círculo es el que divide los hemisferios terrestre y acuático. Un círculo máximo divide la tierra en dos hemisferios y si un círculo máximo pasa por un punto, debe pasar por su punto antípoda.

La transformada de Funk integra una función a lo largo de todos los grandes círculos de la esfera.