Gráfico log-log

En ciencia e ingeniería, una gráfico log-log o trama log-log es un gráfico bidimensional de datos numéricos que utiliza escalas logarítmicas tanto en los ejes horizontales como verticales. Funciones de poder – relaciones de la forma ${\displaystyle y=ax^{k}$ – aparecen como líneas rectas en un gráfico log-log, con el exponente correspondiente a la pendiente, y el coeficiente correspondiente a la interceptación. Así estos gráficos son muy útiles para reconocer estas relaciones y estimar parámetros. Cualquier base se puede utilizar para el logaritmo, aunque más comúnmente se utilizan 10 base (los registros comunes).

Relación con monomiales

Dada una ecuación monomial ${\displaystyle y=ax^{k}$ tomar el logaritmo de la ecuación (con cualquier base) rendimientos:

$${\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}$$

${\displaystyle X=\log x}$

${\displaystyle Y=\log y,}$

$${\displaystyle Y=mX+b}$$

Ecuaciones

La ecuación para una línea en una escala log-log sería:

$${\displaystyle \log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,}$$

$${\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b}$$

Pendiente de un diagrama logarítmico

Para encontrar la pendiente de la parcela, se seleccionan dos puntos en la x- Eje, di x₁ y x₂. Usando la ecuación anterior:

$${\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,}$$

$${\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.}$$

$${\displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1}}{\log(x_{2})-\log(x_{1}}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}}{\log(es)}{\log(\log)} ,}$$

$${\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}). }$$

Encontrar la función a partir del gráfico log-log

El procedimiento anterior ahora se invierte para encontrar la forma de la función F(x) usando su (supuesta) gráfica log-log conocida. Para encontrar la función F, elija algún punto fijo (x₀, F ₀), donde F₀ es la abreviatura de F(x ₀), en algún lugar de la línea recta en el gráfico anterior, y más adelante algún otro punto arbitrario (x₁, F₁) en el mismo gráfico. Luego de la fórmula de pendiente anterior:

$${\displaystyle #$$

$${\displaystyle \log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})}} {m}].}$$

$${\displaystyle {\frac {\f} {\f}}=\left({\f} {\fnh} {\fnh}} {\fnK}}}}}=\f}=\fn\fnK} {x_{1} {x_{0}}} {m}}}} {m}}} {x_}}}} {x_}}} {}}}}}}}} {}}}}} {}}}} {}}}} {}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

$${\displaystyle F_{1}={\frac ¿Qué?$$

$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}$$

$${\displaystyle F(x)={0}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}{\frac {\log(F_{1}/F_{0}}{\log()}{\log)} {\f} ,}$$

$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} ¿Qué?$$

Encontrar el área bajo un segmento de línea recta en una gráfica log-log

Para calcular el área bajo un segmento de línea recta continua de una gráfica log-log (o estimar el área de una línea casi recta), tome la función definida anteriormente

$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}$$

$${\displaystyle A(x)=\int ¿Por qué? } {m+1}\cdot ¿Qué?$$

Reorganizando la ecuación original y reemplazando los valores de punto fijo, se encuentra que

$${\displaystyle \mathrm {constant} ={\frac {\fn} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}} {\f}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Sustituyendo nuevamente en la integral, encontrarás que para A sobre x₀ a x ₁

$${\displaystyle {\begin{aligned}A limit={\frac {F_{0}/x_{m}{m+1}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}{m+1}\[1.2ex]\log A limit=\log \left[{\frac] {F_{0}/x_{m}{m+1}\cdot (x_{1} {m+1}-x_{0} {m+1})\right\\\q=\log {\frac {F_{0}{m+1}-\log {\frac} {1}{x_{0}}+\log(x_{1}{m+1}-x_{0}^{m+1}}\\\\\\\\c] {\frac {\f}{m+1}}+\log \left({\frac {\frac}}{\m+1}}}+\log \left({\frac {\frac {\frac {\fn\f}}}}\g\g}\g\g\g}\g\g\gn}\g\gn}\g\g\g\g\g\g\g\g\g\g\g\g\g\g\g\g\g\g\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c {x_{1}} {m+1}-x_{0}{m+1}{x_{m}}}\right)\\\\\\\fnMicroc {\f}{0}{m+1}+\log \left({\frac=\frac {\f}{\f}}\m+1}}}}\log \left({\frac\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fnK\fnK\fn\fn\fnK\fn\fnK\fnK\fnK\fn0}\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\ {x_{1} {m}{x_{0} {m}\cdot} x_{1}-{\frac {x_{0} {m+1} {x_{0} {m}\right)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, ${\displaystyle A={\frac {F_{0}{m+1}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1} {x_{0}}\right)} {m}-x_{0}\right]$

Para m = −1, la integral se convierte en

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{(m=-1)} ¿Por qué? ¿Por qué? } {x}\,dx={\frac {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}}} {\fn}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ {x_{1} {x_{0}}\end{aligned}$$

Aplicaciones

Estos gráficos son útiles cuando los parámetros a y b deben estimarse a partir de datos numéricos. Especificaciones como ésta se utilizan con frecuencia en economía.

Un ejemplo es la estimación de funciones de demanda de dinero basadas en la teoría de inventarios, en la que se puede suponer que la demanda de dinero en el momento t está dada por

$${\displaystyle ¿Qué?$$

$${\displaystyle ¿Qué?$$

Otro ejemplo económico es la estimación de la función de producción Cobb-Douglas de una empresa, que es el lado derecho de la ecuación.

$${\displaystyle Q_{t}=AN_{t}{\alpha ¿Qué?$$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle q_{t}=a+\alpha No. K_{t}+u_{t}$$

La regresión log-log también se puede utilizar para estimar la dimensión fractal de un fractal natural.

Sin embargo, ir en la otra dirección (observar que los datos aparecen como una línea aproximada en una escala log-log y concluir que los datos siguen una ley potencial) no siempre es válido.

De hecho, muchas otras formas funcionales aparecen aproximadamente lineales en la escala log-log, y simplemente se evalúa la bondad de ajuste de una regresión lineal en datos registrados utilizando el coeficiente de determinación (R²) puede no ser válido, ya que es posible que no se cumplan los supuestos del modelo de regresión lineal, como el error gaussiano; Además, las pruebas de ajuste de la forma log-log pueden exhibir un poder estadístico bajo, ya que estas pruebas pueden tener una baja probabilidad de rechazar leyes de potencia en presencia de otras formas funcionales verdaderas. Si bien los diagramas log-log simples pueden ser instructivos para detectar posibles leyes de potencia, y se han utilizado desde Pareto en la década de 1890, la validación como ley de potencia requiere estadísticas más sofisticadas.

Estos gráficos también son extremadamente útiles cuando los datos se recopilan variando la variable de control a lo largo de una función exponencial, en cuyo caso la variable de control x se representa más naturalmente en una escala logarítmica, de modo que los datos Los puntos están espaciados uniformemente, en lugar de comprimidos en el extremo inferior. La variable de salida y se puede representar linealmente, produciendo un gráfico lin-log (log x, y), o su logaritmo también se puede representar tomado, lo que produce el gráfico log-log (log x, log y).

La trama de bode (un gráfico de la respuesta de frecuencia de un sistema) también es trama log-log.

En cinética química, la forma general de dependencia de la velocidad de reacción con la concentración toma la forma de una ley de potencia (ley de acción de masas), por lo que una gráfica log-log es útil para estimar los parámetros de reacción a partir del experimento.