Gottlob Frege

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (8 de noviembre de 1848 - 26 de julio de 1925) fue un filósofo, lógico y matemático alemán. Trabajó como profesor de matemáticas en la Universidad de Jena y es considerado por muchos como el padre de la filosofía analítica, concentrándose en la filosofía del lenguaje, la lógica y las matemáticas. Aunque fue ignorado en gran medida durante su vida, Giuseppe Peano (1858-1932), Bertrand Russell (1872-1970) y, hasta cierto punto, Ludwig Wittgenstein (1889-1951) introdujeron su trabajo a las generaciones posteriores de filósofos. Frege es ampliamente considerado como el más grande lógico desde Aristóteles y uno de los filósofos matemáticos más profundos de todos los tiempos.

Sus contribuciones incluyen el desarrollo de la lógica moderna en el Begriffsschrift y el trabajo en los fundamentos de las matemáticas. Su libro Fundamentos de la aritmética es el texto seminal del proyecto logicista, y Michael Dummett lo cita como el lugar donde señalar el giro lingüístico. Sus artículos filosóficos "Sobre el sentido y la referencia" y "El pensamiento" también son ampliamente citados. El primero aboga por dos tipos diferentes de significado y descriptivismo. En Fundamentos y "El pensamiento", Frege aboga por el platonismo contra el psicologismo o el formalismo, en relación con los números y las proposiciones, respectivamente. La paradoja de Russell socavó el proyecto logicista al mostrar que la Ley Básica V de Frege en los Fundamentos es falsa.

La vida

Infancia (1848-1869)

Frege nació en 1848 en Wismar, Mecklenburg-Schwerin (hoy parte de Mecklenburg-Vorpommern). Su padre Carl (Karl) Alexander Frege (1809–1866) fue cofundador y director de una escuela secundaria para niñas hasta su muerte. Después de la muerte de Carl, la escuela estuvo dirigida por la madre de Frege, Auguste Wilhelmine Sophie Frege (de soltera Bialloblotzky, 12 de enero de 1815 - 14 de octubre de 1898); su madre era Auguste Amalia Maria Ballhorn, descendiente de Philipp Melanchthon y su padre era Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, descendiente de una familia noble polaca que abandonó Polonia en el siglo XVII. Frege era luterano.

En la infancia, Frege encontró filosofías que guiarían su futura carrera científica. Por ejemplo, su padre escribió un libro de texto sobre el idioma alemán para niños de 9 a 13 años, titulado Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (2.ª ed., Wismar 1850; 3.ª ed., Wismar and Ludwigslust: Hinstorff, 1862) (Libro de ayuda para la enseñanza del alemán a niños de 9 a 13 años), cuya primera parte trataba de la estructura y lógica del lenguaje.

Frege estudió en Große Stadtschule Wismar [ de ] y se graduó en 1869. Su maestro Gustav Adolf Leo Sachse (5 de noviembre de 1843 - 1 de septiembre de 1909), poeta, desempeñó el papel más importante en la determinación de la futura carrera científica de Frege, alentándolo a continuar sus estudios en la Universidad de Jena.

Estudios en la universidad (1869-1874)

Frege se matriculó en la Universidad de Jena en la primavera de 1869 como ciudadano de la Confederación Alemana del Norte. En los cuatro semestres de sus estudios asistió a aproximadamente veinte cursos de conferencias, la mayoría de ellos sobre matemáticas y física. Su maestro más importante fue Ernst Karl Abbe (1840-1905; físico, matemático e inventor). Abbe dio conferencias sobre teoría de la gravedad, galvanismo y electrodinámica, teoría del análisis complejo de funciones de una variable compleja, aplicaciones de la física, divisiones seleccionadas de la mecánica y mecánica de sólidos. Abbe fue más que un maestro para Frege: era un amigo de confianza y, como director del fabricante de productos ópticos Carl Zeiss AG, estaba en condiciones de hacer avanzar la carrera de Frege. Después de la graduación de Frege, entablaron una correspondencia más cercana.

Sus otros profesores universitarios notables fueron Christian Philipp Karl Snell (1806-1886; materias: uso del análisis infinitesimal en geometría, geometría analítica de planos, mecánica analítica, óptica, fundamentos físicos de la mecánica); Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer (1824-1900; geometría analítica, física aplicada, análisis algebraico, telégrafo y otras máquinas electrónicas); y el filósofo Kuno Fischer (1824-1907; filosofía kantiana y crítica).

A partir de 1871, Frege continuó sus estudios en Göttingen, la universidad líder en matemáticas en los territorios de habla alemana, donde asistió a las conferencias de Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833–72; geometría analítica), Ernst Christian Julius Schering (1824–97; teoría de funciones), Wilhelm Eduard Weber (1804-1891; estudios físicos, física aplicada), Eduard Riecke (1845-1915; teoría de la electricidad) y Hermann Lotze (1817-1881; filosofía de la religión). Muchas de las doctrinas filosóficas del Frege maduro tienen paralelos en Lotze; ha sido objeto de debate académico si hubo o no una influencia directa en las opiniones de Frege derivadas de su asistencia a las conferencias de Lotze.

En 1873, Frege obtuvo su doctorado con Ernst Christian Julius Schering, con una disertación titulada "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" ("Sobre una representación geométrica de formas imaginarias en un plano"), en la que tenía como objetivo resolver problemas tan fundamentales en geometría como la interpretación matemática de los puntos infinitamente distantes (imaginarios) de la geometría proyectiva.

Frege se casó con Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg (15 de febrero de 1856 - 25 de junio de 1904) el 14 de marzo de 1887.

Trabaja como lógico

Aunque su educación y sus primeros trabajos matemáticos se centraron principalmente en la geometría, el trabajo de Frege pronto se convirtió en lógica. Su Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens [ Escritura conceptual: un lenguaje formal para el pensamiento puro inspirado en el de la aritmética ], Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879marcó un punto de inflexión en la historia de la lógica. El Begriffsschrift abrió nuevos caminos, incluido un tratamiento riguroso de las ideas de funciones y variables. El objetivo de Frege era mostrar que las matemáticas surgen de la lógica y, al hacerlo, ideó técnicas que lo separaron de la silogística aristotélica pero lo acercaron bastante a la lógica proposicional estoica.

En efecto, Frege inventó la lógica de predicados axiomáticos, en gran parte gracias a su invención de las variables cuantificadas, que eventualmente se volvieron omnipresentes en las matemáticas y la lógica, y que resolvieron el problema de la generalidad múltiple. La lógica anterior se había ocupado de las constantes lógicas y, o, si... entonces..., no, y algunas y todas, pero las iteraciones de estas operaciones, especialmente "algunos" y "todos", se entendieron poco: incluso la distinción entre una oración como "todos los niños aman a una niña" y "alguna niña es amada por todos los niños" podría representarse solo de manera muy artificial., mientras que el formalismo de Frege no tuvo dificultad para expresar las diferentes lecturas de "todo chico ama a una chica que ama a un chico que ama a una chica" y oraciones similares, en completo paralelo con su tratamiento de, digamos, "todo chico es tonto".

Un ejemplo que se observa con frecuencia es que la lógica de Aristóteles no puede representar declaraciones matemáticas como el teorema de Euclides, una declaración fundamental de la teoría de números de que hay un número infinito de números primos. La "notación conceptual" de Frege, sin embargo, puede representar tales inferencias. El análisis de los conceptos lógicos y la maquinaria de formalización que es esencial para Principia Mathematica (3 vols., 1910-13, por Bertrand Russell, 1872-1970, y Alfred North Whitehead, 1861-1947), para la teoría de las descripciones de Russell, para Los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel (1906-1978) y la teoría de la verdad de Alfred Tarski (1901-1983) se deben en última instancia a Frege.

Uno de los propósitos declarados de Frege era aislar principios de inferencia genuinamente lógicos, de modo que en la representación adecuada de la prueba matemática, uno en ningún momento apelara a la "intuición". Si había un elemento intuitivo, debía aislarse y representarse por separado como un axioma: de ahí en adelante, la demostración debía ser puramente lógica y sin lagunas. Habiendo exhibido esta posibilidad, el propósito más amplio de Frege era defender el punto de vista de que la aritmética es una rama de la lógica, un punto de vista conocido como logicismo: a diferencia de la geometría, se demostraría que la aritmética no tiene base en la "intuición" y que no necesita de la no lógica. axiomas lógicos. Ya en el Begriffsschrift de 1879 se derivaron importantes teoremas preliminares, por ejemplo, una forma generalizada de ley de tricotomía, dentro de lo que Frege entendió como lógica pura.

Esta idea fue formulada en términos no simbólicos en su The Foundations of Arithmetic (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884). Más tarde, en sus Leyes básicas de la aritmética (Grundgesetze der Arithmetik, vol. 1, 1893; vol. 2, 1903; el vol. 2 se publicó por cuenta propia), Frege intentó derivar, mediante el uso de su simbolismo, todos los leyes de la aritmética a partir de axiomas que afirmó como lógicos. La mayoría de estos axiomas se trasladaron de su Begriffsschrift, aunque no sin algunos cambios significativos. El único principio verdaderamente nuevo fue el que llamó la Ley Básica V: el "rango de valores" de la función f (x) es lo mismo que el "rango de valores" de la función g (x) si y solo si ∀ x [ f (x) = g (x)].

El caso crucial de la ley puede formularse en notación moderna como sigue. Sea { x | Fx } denota la extensión del predicado Fx, es decir, el conjunto de todas las Fs, y de manera similar para Gx. Entonces la Ley Básica V dice que los predicados Fx y Gx tienen la misma extensión si y sólo si ∀x[ Fx ↔ Gx ]. El conjunto de Fs es el mismo que el conjunto de Gs en el caso de que todo F sea un G y todo G sea un F. (El caso es especial porque lo que aquí se llama la extensión de un predicado, o un conjunto, es sólo un tipo de "rango de valores" de una función).

En un episodio famoso, Bertrand Russell le escribió a Frege, al igual que el Vol. 2 de Grundgesetze estaba a punto de publicarse en 1903, mostrando que la paradoja de Russell podría derivarse de la Ley Básica V de Frege. Es fácil definir la relación de pertenencia a un conjunto o extensión en el sistema de Frege; Russell luego llamó la atención sobre "el conjunto de cosas x que son tales que x no es un miembro de x ". El sistema de Grundgesetze implica que el conjunto así caracterizado es yno es un miembro de sí mismo, y por lo tanto es inconsistente. Frege escribió un apéndice apresurado y de última hora al vol. 2, derivando la contradicción y proponiendo eliminarla modificando la Ley Básica V. Frege abrió el Apéndice con el comentario excepcionalmente honesto: "Difícilmente algo más desafortunado puede sucederle a un escritor científico que uno de los cimientos de su edificio se tambalee después de la obra". está terminado. Esta fue la posición en la que fui colocado por una carta del Sr. Bertrand Russell, justo cuando la impresión de este volumen estaba a punto de completarse ". (Esta carta y la respuesta de Frege están traducidas en Jean van Heijenoort 1967.)

Posteriormente se demostró que el remedio propuesto por Frege implica que sólo hay un objeto en el universo del discurso y, por lo tanto, carece de valor (de hecho, esto generaría una contradicción en el sistema de Frege si hubiera axiomatizado la idea, fundamental para su discusión, de que el Lo verdadero y lo falso son objetos distintos; véase, por ejemplo, Dummett 1973), pero un trabajo reciente ha demostrado que gran parte del programa de los Grundgesetze podría salvarse de otras formas:

• La Ley Básica V puede debilitarse de otras maneras. La forma más conocida se debe al filósofo y lógico matemático George Boolos (1940-1996), experto en la obra de Frege. Un "concepto" F es "pequeño" si los objetos que caen bajo F no pueden ponerse en correspondencia biunívoca con el universo del discurso, es decir, a menos que: ∃ R [ R sea 1 a 1 & ∀ x ∃ y (xRy & Fy)]. Ahora debilite V a V*: un "concepto" F y un "concepto" G tienen la misma "extensión"↔Gx ). V* es consistente si la aritmética de segundo orden lo es, y basta para demostrar los axiomas de la aritmética de segundo orden.
• La Ley básica V se puede reemplazar simplemente con el principio de Hume, que dice que el número de F s es el mismo que el número de G s si y solo si el F s se puede poner en una correspondencia uno a uno con el G s. Este principio también es consistente si la aritmética de segundo orden lo es, y basta para probar los axiomas de la aritmética de segundo orden. Este resultado se denomina teorema de Frege porque se observó que, al desarrollar la aritmética, el uso que hace Frege de la Ley Básica V se limita a una prueba del principio de Hume; de ahí, a su vez, se derivan los principios aritméticos. Sobre el principio de Hume y el teorema de Frege, véase "Lógica, teorema y fundamentos de la aritmética de Frege".
• La lógica de Frege, ahora conocida como lógica de segundo orden, puede debilitarse a la llamada lógica predicativa de segundo orden. La lógica predicativa de segundo orden más la Ley Básica V es demostrablemente consistente por métodos finitistas o constructivos, pero solo puede interpretar fragmentos muy débiles de aritmética.

El trabajo de Frege en lógica tuvo poca atención internacional hasta 1903 cuando Russell escribió un apéndice de Los principios de las matemáticas en el que establece sus diferencias con Frege. La notación esquemática que usó Frege no tenía antecedentes (y no ha tenido imitadores desde entonces). Además, hasta que apareció Principia Mathematica (3 vols.) de Russell y Whitehead en 1910-13, el enfoque dominante de la lógica matemática seguía siendo el de George Boole (1815-1864) y sus descendientes intelectuales, especialmente Ernst Schröder (1841-1902). No obstante, las ideas lógicas de Frege se difundieron a través de los escritos de su alumno Rudolf Carnap (1891-1970) y otros admiradores, en particular Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein (1889-1951).

Filósofo

Frege es uno de los fundadores de la filosofía analítica, cuyo trabajo sobre la lógica y el lenguaje dio lugar al giro lingüístico en la filosofía. Sus contribuciones a la filosofía del lenguaje incluyen:

• Análisis de funciones y argumentos de la proposición;
• Distinción entre concepto y objeto (Begriff und Gegenstand);
• Principio de composicionalidad;
• principio de contexto; y
• Distinción entre el sentido y la referencia (Sinn und Bedeutung) de nombres y otras expresiones, a veces se dice que implica una teoría de la referencia mediada.

Como filósofo de las matemáticas, Frege atacó la apelación psicológica a las explicaciones mentales del contenido del juicio sobre el significado de las oraciones. Su propósito original estaba muy lejos de responder preguntas generales sobre el significado; en cambio, ideó su lógica para explorar los fundamentos de la aritmética, comprometiéndose a responder preguntas como "¿Qué es un número?" o "¿A qué objetos se refieren las palabras numéricas ('uno', 'dos', etc.)?" Pero al investigar estos asuntos, eventualmente se encontró analizando y explicando qué es el significado, y así llegó a varias conclusiones que resultaron ser muy importantes para el curso posterior de la filosofía analítica y la filosofía del lenguaje.

Sentido y referencia

El artículo de Frege de 1892, "Sobre el sentido y la referencia" ("Über Sinn und Bedeutung"), introdujo su influyente distinción entre sentido ("Sinn") y referencia ("Bedeutung", que también se ha traducido como "significado" o "denotación "). Mientras que las explicaciones convencionales del significado consideraban que las expresiones tenían solo una característica (referencia), Frege introdujo la opinión de que las expresiones tienen dos aspectos diferentes de significado: su sentido y su referencia.

Referencia (o "Bedeutung") aplicada a nombres propios, donde una expresión dada (digamos la expresión "Tom") simplemente se refiere a la entidad que lleva el nombre (la persona llamada Tom). Frege también sostuvo que las proposiciones tenían una relación referencial con su valor de verdad (en otras palabras, un enunciado "se refiere" al valor de verdad que toma). Por el contrario, el sentido (o "Sinn") asociado con una oración completa es el pensamiento que expresa. Se dice que el sentido de una expresión es el "modo de presentación" del elemento al que se hace referencia, y puede haber múltiples modos de representación para el mismo referente.

La distinción se puede ilustrar así: en sus usos ordinarios, el nombre "Charles Philip Arthur George Mountbatten-Windsor", que a efectos lógicos es un todo no analizable, y la expresión funcional "el Príncipe de Gales", que contiene las partes significativas " el príncipe de ξ" y "Gales", tienen la misma referencia, es decir, la persona más conocida como el Príncipe Carlos. Pero el sentido de la palabra "Gales" es parte del sentido de la última expresión, pero no del sentido del "nombre completo" del Príncipe Carlos.

Estas distinciones fueron cuestionadas por Bertrand Russell, especialmente en su artículo "Sobre la denotación"; la controversia ha continuado hasta el presente, alimentada especialmente por las famosas conferencias de Saul Kripke "Nombramiento y necesidad".

Diario de 1924

Los escritos filosóficos publicados de Frege eran de naturaleza muy técnica y estaban divorciados de cuestiones prácticas, tanto que el erudito de Frege, Dummett, expresó su "conmoción al descubrir, mientras leía el diario de Frege, que su héroe era un antisemita". Después de la Revolución Alemana de 1918-1919, sus opiniones políticas se volvieron más radicales. En el último año de su vida, a la edad de 76 años, su diario contenía opiniones políticas contrarias al sistema parlamentario, demócratas, liberales, católicos, franceses y judíos, que consideraba debían ser privados de derechos políticos y, preferentemente, expulsados. de Alemania. Frege confió "que una vez se consideró a sí mismo como un liberal y admirador de Bismarck", pero luego simpatizó con el general Ludendorff. Algunas interpretaciones se han escrito sobre esa época.El diario contiene una crítica al sufragio universal y al socialismo. Frege mantuvo relaciones amistosas con los judíos en la vida real: entre sus alumnos estaba Gershom Scholem, quien valoraba mucho su enseñanza, y fue él quien animó a Ludwig Wittgenstein a marcharse a Inglaterra para estudiar con Bertrand Russell. El diario de 1924 se publicó póstumamente en 1994. Aparentemente, Frege nunca habló en público sobre sus puntos de vista políticos.

Personalidad

Frege fue descrito por sus alumnos como una persona muy introvertida, que rara vez entablaba diálogos con los demás y, en su mayoría, se enfrentaba a la pizarra mientras daba una conferencia. Sin embargo, era conocido por mostrar ocasionalmente ingenio e incluso amargo sarcasmo durante sus clases.

Fechas importantes

• Nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar, Mecklenburg-Schwerin.
• 1869 — asiste a la Universidad de Jena.
• 1871 — asiste a la Universidad de Göttingen.
• 1873 - PhD, doctor en matemáticas (geometría), obtenido en Göttingen.
• 1874 — Habilitación en Jena; maestro privado.
• 1879 — Profesor Ausserordentlicher en Jena.
• 1896 - Ordentlicher Honorarprofessor en Jena.
• 1918 — se jubila.
• Murió el 26 de julio de 1925 en Bad Kleinen (ahora parte de Mecklenburg-Vorpommern).

Obras importantes

Lógica, fundamento de la aritmética

Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879), Halle an der Saale: Verlag von Louis Nebert (versión en línea).

• En inglés: Begriffsschrift, a Formula Language, Modeled Upon That of Arithmetic, for Pure Thought, en: J. van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard, MA: Prensa de la Universidad de Harvard, 1967, págs. 5–82.
• En inglés (secciones seleccionadas revisadas en notación formal moderna): RL Mendelsohn, The Philosophy of Gottlob Frege, Cambridge: Cambridge University Press, 2005: "Apéndice A. Begriffsschrift en notación moderna: (1) a (51)" y "Apéndice B. Begriffsschrift en notación moderna: (52) a (68)."

Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (1884), Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner (versión en línea).

• En inglés: The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Inquiry into the Concept of Number, traducido por JL Austin, Oxford: Basil Blackwell, 1950.

Grundgesetze der Arithmetik, Banda I (1893); Band II (1903), Jena: Verlag Hermann Pohle (versión en línea).

• En inglés (traducción de secciones seleccionadas), "Translation of Part of Frege's Grundgesetze der Arithmetik ", traducida y editada por Peter Geach y Max Black en Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege, New York, NY: Philosophical Library, 1952, pp. 137–158.
• En alemán (revisado en notación formal moderna): Grundgesetze der Arithmetik, Korpora (portal de la Universidad de Duisburg-Essen), 2006: Band I y Band II.
• En alemán (revisado en notación formal moderna): Grundgesetze der Arithmetik – Begriffsschriftlich abgeleitet. Band I und II: In moderne Formelnotation transkribiert und mit einem ausführlichen Sachregister versehen, editado por T. Müller, B. Schröder y R. Stuhlmann-Laeisz, Paderborn: mentis, 2009.
• En inglés: Leyes básicas de la aritmética, traducida y editada con una introducción de Philip A. Ebert y Marcus Rossberg. Oxford: Oxford University Press, 2013. ISBN 978-0-19-928174-9.

Estudios filosóficos

"Función y concepto" (1891)

• Original: "Funktion und Begriff", una dirección a la Jenaische Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, Jena, 9 de enero de 1891.
• En inglés: "Función y concepto".

"Sobre sentido y referencia" (1892)

• Original: "Über Sinn und Bedeutung", en Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik C (1892): 25–50.
• En inglés: "Sobre el sentido y la referencia", traducido alternativamente (en una edición posterior) como "Sobre el sentido y el significado".

"Concepto y objeto" (1892)

• Original: "Ueber Begriff und Gegenstand", en Vierteljahresschrift für wissenschaftliche Philosophie XVI (1892): 192–205.
• En inglés: "Concept and Object".

"¿Qué es una función?" (1904)

• Original: "Was ist eine Funktion?", en Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage, 20 de febrero de 1904, S. Meyer (ed.), Leipzig, 1904, págs. 656–666.
• En inglés: "¿Qué es una función?".

Investigaciones lógicas (1918-1923). Frege pretendía que los siguientes tres artículos se publicaran juntos en un libro titulado Logische Untersuchungen (Investigaciones lógicas). Aunque el libro alemán nunca apareció, los artículos se publicaron juntos en Logische Untersuchungen, ed. G. Patzig, Vandenhoeck & Ruprecht, 1966, y las traducciones al inglés aparecieron juntas en Logical Investigations, ed. Peter Geach, Blackwell, 1975.

• 1918–19. "Der Gedanke: Eine logische Untersuchung" ("El pensamiento: una investigación lógica"), en Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus I: 58–77.
• 1918–19. "Die Verneinung" ("Negación") en Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus I: 143–157.
• 1923. "Gedankengefüge" ("Pensamiento compuesto"), en Beiträge zur Philosophie des Deutschen Idealismus III: 36–51.

Artículos sobre geometría

• 1903: "Über die Grundlagen der Geometrie". II. Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung XII (1903), 368–375.
  • En inglés: "Sobre los fundamentos de la geometría".
• 1967: Kleine Schriften. (I. Angelelli, ed.). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1967 y Hildesheim, G. Olms, 1967. "Pequeños escritos", una colección de la mayoría de sus escritos (p. ej., los anteriores), publicado póstumamente.