Glosario de topología

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Glosario matemático

Este es un glosario de algunos términos utilizados en la rama de las matemáticas conocida como topología. Aunque no existe una distinción absoluta entre las diferentes áreas de la topología, el enfoque aquí está en la topología general. Las siguientes definiciones también son fundamentales para la topología algebraica, la topología diferencial y la topología geométrica.

Se asume que todos los espacios en este glosario son espacios topológicos a menos que se indique lo contrario.

A

Absolutamente cerrado: See H-closed

Accesible: See $T_{1}$ .

Punto de acumulación: Ver punto límite.

Topología Alexandrov: La topología de un espacio X es una topología Alexandrov (o es finitamente generado) si intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos en X están abiertos, o equivalentemente, si los sindicatos arbitrarios de conjuntos cerrados están cerrados, o, de nuevo equivalente, si los conjuntos abiertos son los conjuntos superiores de una pose.

Casi discreto: Un espacio es casi discreto si cada conjunto abierto está cerrado (de ahí clopen). Los espacios casi discretos son precisamente los espacios dimensionales generados finitamente.

α-cerrado, α-open: Un subconjunto A de un espacio topológico X es α-abierto si ${displaystyle Asubseteq operatorname {Int} _{X}left(operatorname {Cl} _{X}left(operatorname {Int} _{X}Aright)right)}$ , y el complemento de tal conjunto es α-cerrado.

Enfoque del espacio: Un espacio de enfoque es una generalización del espacio métrico basado en distancias de punto a punto, en lugar de punto a punto.

B

Espacio de carga

Esto tiene dos significados comunes distintos:

Un espacio es un Espacio de carga si la intersección de cualquier colección contable de conjuntos abiertos densos es densa; vea el espacio de Baire.
Espacio de carga es el conjunto de todas las funciones de los números naturales a los números naturales, con la topología de la convergencia puntiaguda; ver espacio de Baire (teoría de conjunto).

Base: Una colección B de conjuntos abiertos es una base (o base) para una topología $tau$ si cada juego abierto $tau$ es una unión de conjuntos $B$ . La topología $tau$ es la topología más pequeña en $X$ que contiene $B$ y se dice que se genera $B$ .

Basis: See Base.

β-abierto: See Semi-preopen.

b-abierto, b-cerrado: Un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ b-abierto si ${displaystyle Asubseteq operatorname {Int} _{X}left(operatorname {Cl} _{X}Aright)cup operatorname {Cl} _{X}left(operatorname {Int} _{X}Aright)}$ . El complemento de un conjunto b-abierto es b-cerrado.

Borel álgebra: El álgebra Borel en un espacio topológico $(X,tau)$ es el más pequeño $sigma$ - álgebra conteniendo todos los conjuntos abiertos. Se obtiene mediante la intersección de todos $sigma$ - álgebras en $X$ que contiene $tau$ .

Borel set: Un conjunto Borel es un elemento de álgebra Borel.

Boundary: El límite (o frontera) de un conjunto es el cierre del conjunto menos su interior. Equivalentemente, el límite de un conjunto es la intersección de su cierre con el cierre de su complemento. Límite de un conjunto $A$ es denotado por $partial A$ o $bd$ $A$ .

Librada: Un conjunto en un espacio métrico está atado si tiene diámetro finito. Equivalentemente, un conjunto está atado si está contenido en una bola abierta de radio finito. Una función que toma valores en un espacio métrico está atada si su imagen es un conjunto atado.

C

Categoría de espacios topológicos: La categoría Top tiene espacios topológicos como objetos y mapas continuos como morfismos.

Secuencia de caqui: Una secuencia {x_n} en un espacio métrico (M, d) es una secuencia de Cauchy si, por cada número real positivo r, hay un entero N tal que para todos los enteros m, n ■ N, tenemos d()x_m, x_n) r.

Set de cierre: Un set es clopen si está abierto y cerrado.

Bola cerrada: SiM, d) es un espacio métrico, una bola cerrada es un conjunto de la forma D()x; r) {}Sí. dentro M: d()x, Sí.≤ r}, donde x está dentro M y r es un número real positivo, el radio de la pelota. Una bola cerrada de radio r es un cerrado r- Bola. Cada bola cerrada es un conjunto cerrado en la topología inducida en M por d. Note que la bola cerrada D()x; r) no puede ser igual al cierre de la bola abierta B()x; r).

Conjunto cerrado: Un conjunto está cerrado si su complemento es miembro de la topología.

Función cerrada: Una función de un espacio a otro está cerrada si la imagen de cada conjunto cerrado está cerrada.

Clausura: El cierre de un conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene el conjunto original. Es igual a la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen. Un elemento del cierre de un conjunto S es un punto de cierre de S.

Closure operator: See Axiomas de cierre de Kuratowski.

Topología más gruesa: Si X es un juego, y si T₁ y T₂ son topologías en X, entonces T₁ es más gruesa (o más pequeño, más débil) que T₂ si T₁ figura en T₂. Tenga cuidado, algunos autores, especialmente analistas, usan el término más fuerte.

Vamos.: Un subconjunto A de un espacio X es comedia ()comeager) si su complemento XA es mero. También se llama residual.

Compacto: Un espacio es compacto si cada cubierta abierta tiene un subcover finito. Cada espacio compacto es Lindelöf y paracompacta. Por lo tanto, cada espacio Hausdorff compacto es normal. Véase también quasicompact.

Topología abierta compacta: La topología compacta abierta en el conjunto C()X, Y) de todos los mapas continuos entre dos espacios X y Y se define como sigue: dado un subconjunto compacto K de X y un subconjunto abierto U de Y, vamos V()K, U) denota el conjunto de todos los mapas f dentro C()X, Y. f()K) está contenida en U. Entonces la colección de todo eso V()K, U) es una subbase para la topología compacta-abierto.

Completa: Un espacio métrico está completo si cada secuencia Cauchy converge.

Completamente metrisable/completamente metrisable: See espacio completo.

Completamente normal: Un espacio es completamente normal si hay dos conjuntos separados que tienen barrios descomunales.

Completamente normal Hausdorff: Un espacio Hausdorff completamente normal (o espacio T5) es un T completamente normal₁ espacio. (Un espacio completamente normal es Hausdorff si y sólo si es T₁, por lo que la terminología es consistente.) Cada espacio Hausdorff completamente normal es Hausdorff normal.

Completamente regular: Un espacio es completamente regular si, cuando C es un conjunto cerrado y x es un punto que no C, entonces C yx} están funcionalmente separados.

Completamente T3: See Tychonoff.

Componente: See Componente conectado/Componente conectado con el camino.

Conectado: Un espacio está conectado si no es la unión de un par de conjuntos abiertos no vacíos. Equivalentemente, un espacio está conectado si los únicos conjuntos de clopen son todo el espacio y el conjunto vacío.

Componente conectado: Un componente conectado de un espacio es un subespacio máximo no vacío conectado. Cada componente conectado está cerrado, y el conjunto de componentes conectados de un espacio es una partición de ese espacio.

Continua: Una función de un espacio a otro es continua si la preimage de cada conjunto abierto está abierta.

Continuum: Un espacio se llama continuo si es un espacio compacto y conectado Hausdorff.

Contractible: Un espacio X es contractual si el mapa de identidad en X es homotopic a un mapa constante. Cada espacio contractual está simplemente conectado.

Coproduct topology: SiX_i} es una colección de espacios y X es la unión descomunal de {X_i}, entonces la topología del coproducto (o disjoint union topology, suma topológica de la X_i) on X es la mejor topología para la que todos los mapas de inyección son continuos.

Espacio cósmico: Una imagen continua de algún espacio métrico separable.

Estado de cadena contable: Un espacio X satisfice la condición de cadena contable si cada familia de conjuntos abiertos sin vacío es contable.

Contablemente compacto: Un espacio es contablemente compacto si cada cubierta abierta contable tiene un subcover finito. Cada espacio contablemente compacto es pseudocompacto y débilmente compacto.

Contablemente finito local: Una colección de subconjuntos de un espacio X es contablemente finito local (o σ-locally finite) si es la unión de una colección contable de colecciones locales finitas de subconjuntos X.

Cubierta: Una colección de subconjuntos de un espacio es una cubierta (o cobertura) de ese espacio si la unión de la colección es todo el espacio.

Cobertura: See Cubierta.

Punto de corte: Si X es un espacio conectado con más de un punto, luego un punto x de X es un punto de corte si el subespacio X −xEstá desconectado.

D

δ-cluster point, δ-closed, δ-open: Un punto x de un espacio topológico X es un punto δ-cluster de un subconjunto A si ${displaystyle Acap operatorname {Int} _{X}left(operatorname {Cl} _{X}(U)right)neq emptyset }$ para cada barrio abierto U de x dentro X. El subconjunto A es δ-cerrado si es igual al conjunto de sus puntos δ-cluster, y δ-abierto si su complemento es δ-cerrado.

Set de Dense: Un conjunto es denso si tiene intersección no vacía con cada conjunto abierto no vacío. Equivalentemente, un conjunto es denso si su cierre es todo el espacio.

Set denso en sí mismo: Un conjunto es denso en sí mismo si no tiene un punto aislado.

Densidad: la cardenalidad mínima de un subconjunto denso de un espacio topológico. Un conjunto de densidad₀ es un espacio separable.

Conjunto derivado: Si X es un espacio y S es un subconjunto de X, el conjunto derivado de S dentro X es el conjunto de puntos límite de S dentro X.

Espacio de desarrollo: Un espacio topológico con un desarrollo.

Desarrollo: Una colección contable de cubiertas abiertas de un espacio topológico, tal que para cualquier conjunto cerrado C y cualquier punto p en su complemento existe una cubierta en la colección tal que cada barrio p en la cubierta está descompuesto C.

Diámetro: SiM, d) es un espacio métrico y S es un subconjunto de M, el diámetro de S es el supremum de las distancias d()x, Sí.), donde x y Sí. rango S.

Discreta métrica: La métrica discreta en un conjunto X es la función d: X × X → R tal que para todos x, Sí. dentro X, d()x, x) = 0 y d()x, Sí.) = 1 si x ل Sí.. La métrica discreta induce la topología discreta en X.

Espacio discreto: Un espacio X es discreto si cada subconjunto de X está abierto. Decimos eso X la carga topología discreta.

Discreta topología: See espacio discreto.

Topología sindical: See Coproduct topology.

Punto de dispersión: Si X es un espacio conectado con más de un punto, luego un punto x de X es un punto de dispersión si el subespacial X −x} está hereditariamente desconectado (sólo los componentes conectados son los conjuntos de un punto).

Distancia: See espacio métrico.

Gorro de fuerza (topología)

E

Entorno: See Espacio uniforme.

Exterior: El exterior de un conjunto es el interior de su complemento.

F

Fσ set: Un conjunto Fσ es una unión contable de conjuntos cerrados.

Filtro

Vea también: Filtros en topología. Un filtro en un espacio X es una familia no vacía F of subsets of X tal que las siguientes condiciones:

El set vacío no está F.
La intersección de cualquier número finito de elementos F Otra vez F.
Si A está dentro F y si B contiene A, entonces B está dentro F.

Topología final: En un set X con respecto a una familia de funciones en $X$ , es la mejor topología en X que hace que esas funciones sean continuas.

Topología fina (teoría potencial): En el espacio euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ , la topología más gruesa haciendo todas las funciones subharmónicas (equivalentemente todas las funciones superarmónicas) continua.

Topología más fina: Si X es un juego, y si T₁ y T₂ son topologías en X, entonces T₂ es más fino (o más grande, más fuerte) que T₁ si T₂ contiene T₁. Tenga cuidado, algunos autores, especialmente analistas, usan el término más débil.

Generado finito: See Topología Alexandrov.

Primera categoría: See Meagre.

Primera contabilidad: Un espacio es de primera cuenta si cada punto tiene una base local contable.

Fréchet: See T1.

Frontier: See Boundary.

Juego completo: Un subconjunto compacto K del plano complejo se llama completo si su complemento está conectado. Por ejemplo, el disco de unidad cerrada está lleno, mientras que el círculo de unidad no es.

Funcionalmente separados: Dos sets A y B en un espacio X están funcionalmente separados si hay un mapa continuo f: X → [0, 1] tal que f()A) = 0 y f()B) = 1.

G

Gδ set: A Gδ set or conjunto de límite interno es una intersección contable de conjuntos abiertos.

G_δ espacio: Un espacio en el que cada conjunto cerrado es un G_δ Listo.

Punto genérico: Un punto genérico para un conjunto cerrado es un punto para el cual el conjunto cerrado es el cierre del conjunto de un soloton que contiene ese punto.

H

Hausdorff: Un espacio Hausdorff (o Espacio T2) es uno en el que cada dos puntos distintos tienen barrios disjoint. Cada espacio Hausdorff es T₁.
H-closed: Un espacio está cerrado o Hausdorff cerrado o absolutamente cerrado, si está cerrado en cada espacio Hausdorff que lo contiene.
Hereditario P: Un espacio es hereditario P para algunos bienes P si cada subespacio es también P.
Hereditario: Se dice que una propiedad de los espacios es hereditaria si cada vez que un espacio tiene esa propiedad, entonces también lo hace cada subespacio de ella. Por ejemplo, la segunda contabilidad es una propiedad hereditaria.
Homeomorfismo: Si X y Y son espacios, un homeomorfismo de X a Y es una función bijeactiva f:X→Y tales que f y f⁻¹ son continuos. Los espacios X y Y entonces se dice que homeomorfo. Desde el punto de vista de la topología, los espacios homeomorficos son idénticos.
Homogeneous: Un espacio X es homogénea si, por cada x y Sí. dentro X, hay un homeomorfismo f: X → X tales que f()x) Sí.. Intuitivamente, el espacio se ve igual en cada punto. Cada grupo topológico es homogéneo.
Homotopic maps: Dos mapas continuos f, g: X → Y son homotopic (in Y) si hay un mapa continuo H: X × [0, 1] → Y tales que H()x, 0) = f()x) y H()x, 1) = g()x) para todos x dentro X. Aquí, X × [0, 1] se da la topología del producto. La función H se llama Homotopy (en YEntre f y g.
Homotopy: See Homotopic maps.
Hyper-connected: Un espacio está hiperconectado si no hay dos conjuntos abiertos no vacíos están descompuestos Cada espacio hiperconectado está conectado.

Yo

Mapa de identificación: See Quotient mapa.
Espacio de identificación: See Espacio cualitativo.
Espacio indiscreto: See Topología trivial.
Topología infinita-dimensional: See Hilbert Manifold y Q-manifolds, es decir, manifolds (generalizados) modelados en el espacio Hilbert y en el cubo Hilbert respectivamente.
Conjunto de límite interno: A G_δ Listo.
Interior: El interior de un conjunto es el conjunto abierto más grande que contiene el conjunto original. Es igual a la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en ella. Un elemento del interior de un conjunto S es un interior punto de S.
Punto interior: See Interior.
Punto aislado: Un punto x es un punto aislado si el singleton {xEstá abierto. Más generalmente, si S es un subconjunto de un espacio X, y si x es un punto S, entonces x es un punto aislado S six} está abierto en la topología subespacial en S.
Isometric isomormorism: Si M₁ y M₂ son espacios métricos, un isométrico isomorfismo M₁ a M₂ es una isometría bijeactiva f: M₁ → M₂. Entonces se dice que los espacios métricos isométricamente isomorfo. Desde el punto de vista de la teoría del espacio métrico, los espacios isomorfos isométricos son idénticos.
Isometry: SiM₁, d₁) y (M₂, d₂) son espacios métricos, una isometría de M₁ a M₂ es una función f: M₁ → M₂ tales que d₂()f()x), f()Sí.) = d₁()x, Sí.) para todos x, Sí. dentro M₁. Cada isometría es inyectable, aunque no toda isometría es subjetiva.

K

Kolmogorov axiom: See T0.

Axiomas de cierre de Kuratowski

El axioma de cierre de Kuratowski es un conjunto de axiomas satisfechos por la función que toma cada subconjunto de X a su cierre:

Isotonicity: Cada conjunto está contenido en su cierre.
Idempotence: El cierre de un conjunto es igual al cierre de ese conjunto.
Preservación de sindicatos binarios: El cierre de la unión de dos conjuntos es la unión de sus cierres.
Preservación de sindicatos nularios: El cierre del set vacío está vacío.

Si c es una función del conjunto de potencia X a sí mismo, entonces c es un operador de cierre si satisface los axiomas de cierre de Kuratowski. Los axiomas de cierre de Kuratowski se pueden utilizar para definir una topología en X declarando que los conjuntos cerrados son los puntos fijos de este operador, es decir, un conjunto A está cerrado si c()A) A.

Topología Kolmogorov: T_Kol = {R, $varnothing$ }{(a,∞): a es número real}; el par (R,T_Kol) se llama Kolmogorov Straight.

I

L-espacio: An L-espacio es un espacio de Lindelöf hereditariamente separable. Una línea Suslin sería un espacio L.

Topología más grande: See Topología más fina.

Punto límite: Un punto x en un espacio X es un punto límite de un subconjunto S si cada conjunto abierto que contiene x también contiene un punto S de otros x en sí mismo. Esto equivale a exigir que cada barrio de x contiene un punto S de otros x en sí mismo.

Punto de límite compacto: See Contablemente compacto.

Lindelöf: Un espacio es Lindelöf si cada cubierta abierta tiene una cubierta contable.

Base local: Un juego B barrios de un punto x de un espacio X es una base local (o local, barrio, locales) at x si todos los barrios x contiene algunos miembros de B.

Base local: See Base local.

Localmente (P) espacio: Hay dos definiciones para que un espacio sea "localmente (P)" donde (P) es una propiedad topológica o teórica de conjunto: que cada punto tiene un barrio con propiedad (P), o que cada punto tiene una base neighourbood para la cual cada miembro tiene propiedad (P). La primera definición se toma generalmente para locales compactos, contablemente compactos, metros, separables, contables; el segundo para conectarse localmente.

Subconjunto cerrado localmente: Un subconjunto de un espacio topológico que es la intersección de un subconjunto abierto y cerrado. Equivalentemente, es un subconjunto relativamente abierto de su cierre.

Localmente compacto: Un espacio es localmente compacto si cada punto tiene un barrio compacto: la definición alternativa que cada punto tiene una base local que consiste en barrios compactos se utiliza a veces: son equivalentes para espacios Hausdorff. Cada espacio Hausdorff localmente compacto es Tychonoff.

Localmente conectado: Un espacio está conectado localmente si cada punto tiene una base local compuesta por barrios conectados.

Localmente denso: ver Preopen.

Localmente finito: Una colección de subconjuntos de un espacio es localmente finita si cada punto tiene un barrio que tiene intersección no vacía con sólo finitamente muchos de los subconjuntos. Véase también contablemente finito local, punto finito.

Localmente accesible/Localmente metrisable: Un espacio es localmente accesible si cada punto tiene un barrio metro.

Localmente conectado: Un espacio está conectado localmente si cada punto tiene una base local que consiste en barrios conectados por caminos. Un espacio conectado localmente se conecta si y sólo si está conectado a la ruta.

Localmente simplemente conectado: Un espacio es localmente simplemente conectado si cada punto tiene una base local que consiste en barrios simplemente conectados.

Loop: Si x es un punto en un espacio X, un bucle en x dentro X (o un bucle en X con punto base x) es un camino f dentro X, tal que f(0) f1) x. Equivalentemente, un bucle en X es un mapa continuo del círculo de la unidad S¹ en X.

M

Meagre: Si X es un espacio y A es un subconjunto de X, entonces A es un mero grado X (o de primera categoría dentro X) si es la unión contable de la nada conjuntos densos. Si A no es un malentendido X, A es de segunda categoría dentro X.

Metacompact: Un espacio es metacompacto si cada cubierta abierta tiene un punto finito refinamiento abierto.

métrica: See Espacio métrico.

Invariable métrico: Un invariante métrico es una propiedad que se conserva bajo el isomorfismo isométrico.

Mapa métrico: Si X y Y son espacios métricos con métricas d_X y d_Y respectivamente, entonces un mapa métrico es una función f desde X a Y, tal que para cualquier punto x y Sí. dentro X, d_Y()f()x), f()Sí.) ≤ d_X()x, Sí.). Un mapa métrico es estrictamente métrico si la desigualdad anterior es estricta para todos x y Sí. dentro X.

Espacio métrico

Un espacio métricoM, d) es un conjunto M equipado con una función d:M×M→R satisfaciendo los siguientes axiomas para todos x, Sí., y z dentro M:

d()x, Sí.) ≥ 0
d()x, x) = 0
si d()x, Sí.) = 0 entonces x = Sí. ()identidad de indiscernibles)
d()x, Sí.) d()Sí., x)simetría)
d()x, z≤ d()x, Sí.) + d()Sí., z)desigualdad)

La función d es un métrica on M, y d()x, Sí.) es el distancia entre x y Sí.. La colección de todas las bolas abiertas de M es una base para una topología en M; esta es la topología en M inducido por d. Cada espacio métrico es Hausdorff y paracompacto (y por lo tanto normal y Tychonoff). Cada espacio métrico es de primera cuenta.

Metrizable/Metrisable: Un espacio se puede medir si es homeomorfico a un espacio métrico. Cada espacio metro es Hausdorff y paracompacto (y por lo tanto normal y Tychonoff). Cada espacio habitable es de primera cuenta.

Monolith: Cada espacio compacto ultraconectado no vacío X tiene un subconjunto abierto adecuado más grande; este subconjunto se llama monolito.

Espacio de Moore: A El espacio Moore es un espacio Hausdorff normal desarrollado.

N

Casi abierto: ver preopen.

Vecindad/Barrio: Un barrio de un punto x es un conjunto que contiene un conjunto abierto que a su vez contiene el punto x. Más generalmente, un barrio de un conjunto S es un conjunto que contiene un conjunto abierto que a su vez contiene el conjunto S. Un barrio de un punto x es así un barrio del singleton set {x}. (Nota que bajo esta definición, el propio vecindario no necesita ser abierto. Muchos autores requieren que los barrios estén abiertos; tengan cuidado de observar convenciones.)

Base de vecinos/basis: See Base local.

Sistema de vecinos para un punto x: Un sistema de barrios en un momento x en un espacio es la colección de todos los barrios de x.

Cifras netas: Una red en un espacio X es un mapa de un conjunto dirigido A a X. Una red A a X es generalmente denotado (x_α), donde α es una variable índice que va más allá A. Cada secuencia es una red, tomando A ser el conjunto dirigido de números naturales con el orden habitual.

Normal: Un espacio es normal si alguno de los dos conjuntos cerrados disjoint tiene barrios disjoint. Cada espacio normal admite una partición de unidad.

Hausdorff normal: Un espacio Hausdorff normal (o espacio T4) es un T normal₁ espacio. (Un espacio normal es Hausdorff si y sólo si es T₁, por lo que la terminología es consistente.) Cada espacio Hausdorff normal es Tychonoff.

En ningún lugar denso: Un conjunto denso en ninguna parte es un conjunto cuyo cierre tiene interior vacío.

O

Cubierta abierta: Una cubierta abierta es una cubierta que consiste en conjuntos abiertos.

Bola abierta: SiM, d) es un espacio métrico, una bola abierta es un conjunto de la forma B()x; r) {}Sí. dentro M: d()x, Sí.) r}, donde x está dentro M y r es un número real positivo, el radio de la pelota. Una bola abierta de radio r es un abierto r- Bola. Cada bola abierta es un juego abierto en la topología en M inducido por d.
Condición abierta: See propiedad abierta.
Juego abierto: Un conjunto abierto es miembro de la topología.
Función abierta: Una función de un espacio a otro está abierta si la imagen de cada conjunto abierto está abierta.
Propiedad abierta: Una propiedad de puntos en un espacio topológico se dice que es "abierto" si aquellos puntos que lo poseen forman un conjunto abierto. Tales condiciones a menudo toman una forma común, y esa forma se puede decir que es una condición abierta; por ejemplo, en los espacios métricos, uno define una bola abierta como arriba, y dice que "la desigualdad de la restricción es una condición abierta".

P

Paracompactar: Un espacio es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito. Paracompactar implica metacompactar. Los espacios Paracompact Hausdorff son normales.

Partición de la unidad: Una partición de unidad de un espacio X es un conjunto de funciones continuas de X a [0, 1] tal que cualquier punto tiene un barrio donde todas, excepto un número finito de las funciones son idénticamente cero, y la suma de todas las funciones en todo el espacio es idénticamente 1.

Camino: Un camino en un espacio X es un mapa continuo f desde el intervalo de unidad cerrada [0, 1] X. El punto f(0) es el punto inicial f; el punto f(1) es el punto terminal f.

Conexión de caminos: Un espacio X está conectado con el camino si, por cada dos puntos x, Sí. dentro X, hay un camino f desde x a Sí., es decir, un camino con punto inicial f(0) x y punto terminal f1) Sí.. Cada espacio conectado con el camino está conectado.

Componente conectado con el camino: Un componente conectado con el camino de un espacio es un subespacial maximal sin vacío conectado con el camino. El conjunto de componentes conectados por caminos de un espacio es una partición de ese espacio, que es más fino que la partición en componentes conectados. El conjunto de componentes conectados por caminos de un espacio X es denotado π0(X).

Perfectamente normal: un espacio normal que es también un G_δ.

π-base: Una colección B de conjuntos abiertos no vacíos es una base π para una topología τ si cada conjunto abierto no vacío en τ incluye un conjunto de B.

Punto: Un punto es un elemento de un espacio topológico. Más generalmente, un punto es un elemento de cualquier conjunto con una estructura topológica subyacente; por ejemplo, un elemento de un espacio métrico o un grupo topológico es también un "punto".

Punto de cierre: See Clausura.

Polaco: Un espacio es polaco si es separable y completamente metrostable, es decir, si es homeomórfico a un espacio métrico separado y completo.

Polyadic: Un espacio es poliádico si es la imagen continua de la potencia de una compactación de un punto de un espacio Hausdorff localmente compacto y no compacto.

Punto P: Un punto de un espacio topológico es un punto P si su filtro de barrios está cerrado bajo intersecciones contables.

Pre-compact: See Relativamente compacto.

Juego pre-abierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X es preopen si ${displaystyle Asubseteq operatorname {Int} _{X}left(operatorname {Cl} _{X}Aright)}$ .

Topología prodiscreta: La topología prodiscreta en un producto A^G es la topología del producto cuando cada factor A se da la topología discreta.

Topología de productos: Si ${displaystyle left(X_{i}right)}$ es una colección de espacios y X es el (set-theoretic) producto cartesiano de ${displaystyle left(X_{i}right),}$ entonces la topología del producto en X es la topología más gruesa para la que todos los mapas de proyección son continuos.

Función/mapping adecuada: Una función continua f desde un espacio X a un espacio Y es apropiado si ${displaystyle f^{-1}(C)}$ es un conjunto compacto X para cualquier subespacio compacto C de Y.

Espacio de proximidad: Un espacio de proximidadX,d) es un conjunto X equipado con una relación binaria d entre subconjuntos de X satisfaciendo las siguientes propiedades:

Para todos los subconjuntos A, B y C de X,

A d B implicación B d A
A d B implicación A no está vacía
Si A y B tienen intersección no vacía, entonces A d B
A d ()B $cup$ CSi y sólo siA d B o A d C)
Si, para todos los subconjuntos E de X, tenemos (A d E o B d E), entonces debemos tener A d ()X − B)

Pseudocompact: Un espacio es pseudocompacto si cada función continua de valor real en el espacio está ligada.

Pseudometric: See Espacio pseudométrico.

Espacio pseudométrico: Un espacio pseudométricoM, d) es un conjunto M equipado con una función de valor real ${displaystyle d:Mtimes Mto mathbb {R} }$ satisfacer todas las condiciones de un espacio métrico, excepto posiblemente la identidad de indiscernibles. Es decir, los puntos en un espacio pseudométrico pueden estar "infinitamente cerca" sin ser idénticos. La función d es un pseudométrico on M. Cada métrica es un pseudométrico.

Barrio cerrado/Barrio cerrado: Un barrio puntiagudo de un punto x es un barrio x, menos {x}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {Sí.: −1 Sí. Es un barrio x = 0 en la línea real, así que el conjunto ${displaystyle (-1,0)cup (0,1)=(-1,1)-{0}}$ es un barrio puntiagudo de 0.

P

Quasicompact: See compacto. Algunos autores definen "compacto" para incluir el axioma de separación Hausdorff, y utilizan el término quasicompact significar lo que llamamos en este glosario simplemente "compactar" (sin el axioma Hausdorff). Esta convención se encuentra más comúnmente en francés, y ramas de las matemáticas fuertemente influenciadas por los franceses.

Quotient mapa: Si X y Y son espacios, y si f es un surjection de X a Y, entonces f es un mapa de referencia (o mapa de identificaciónSi, por cada subconjunto U de Y, U está abierto Y si f^-1()U) está abierto X. En otras palabras, Y tiene f- Una topología fuerte. Equivalentemente, $f$ es un mapa cociente si y sólo si es la composición transfinita de mapas $Xrightarrow X/Z$ , donde $Zsubset X$ es un subconjunto. Tenga en cuenta que esto no implica que f es una función abierta.

Espacio cualitativo: Si X es un espacio, Y es un conjunto, y f:X→Y es cualquier función subjetiva, luego la topología Quotient en Y inducido por f es la mejor topología para la cual f es continuo. El espacio X es un espacio o espacio de identificación. Por definición, f es un mapa cociente. El ejemplo más común de esto es considerar una relación de equivalencia sobre X, con Y el conjunto de clases de equivalencia y f el mapa de proyección natural. Esta construcción es dual a la construcción de la topología subespacial.

R

Refinement: Una cubierta K es un refinamiento de una cubierta L si cada miembro de K es un subconjunto de algunos miembros de L.
Recursos ordinarios: Un espacio es regular si, cuando C es un conjunto cerrado y x es un punto que no C, entonces C y x tienen barrios descomunales.
Hausdorff regular: Un espacio es regular Hausdorff (o T₃Si es un T regular₀ espacio. (Un espacio regular es Hausdorff si y sólo si es T₀, por lo que la terminología es consistente.)
Apertura periódica: Un subconjunto de un espacio X está abierto regularmente si es igual al interior de su cierre; doblemente, un conjunto cerrado regular es igual al cierre de su interior. Un ejemplo de un conjunto abierto no regular es el conjunto U = $(0,1)$ ∪ $(1,2)$ dentro R con su topología normal, ya que 1 está en el interior del cierre U, pero no en U. Los subconjuntos abiertos regulares de un espacio forman un álgebra boo completa.
Relativamente compacto: Un subconjunto Y de un espacio X es relativamente compacto en X si el cierre de Y dentro X es compacto.
Residual: Si X es un espacio y A es un subconjunto de X, entonces A es residual en X si el complemento A es un mero grado X. También se llama comedia o comeager.
Resolvable: Un espacio topológico se llama resolvable si es expresible como la unión de dos subconjuntos densos disjoint.
Rim-compact: Un espacio está lleno de bordes si tiene una base de conjuntos abiertos cuyos límites son compactos.

S

S-space: An S-space es un espacio separable hereditariamente que no es hereditariamente Lindelöf.

Scattered: Un espacio X se dispersa si cada subconjunto no vacío A de X contiene un punto aislado A.

Scott: La topología de Scott en una pose es la en la que los conjuntos abiertos son los El superior establece inaccesible por los enlaces dirigidos.

Segunda categoría: See Meagre.

Segunda contabilidad: Un espacio es de segunda cuenta o perfectamente separable si tiene una base contable para su topología. Cada segundo espacio es de primera cuenta, separable y Lindelöf.

Semilocally simplemente conectado: Un espacio X es semilocalmente simplemente conectado si, por cada punto x dentro X, hay un barrio U de x tal que cada bucle x dentro U es homotopic X al bucle constante x. Cada espacio simplemente conectado y cada espacio localmente simplemente conectado está semilocalmente simplemente conectado. (Comparar con simplemente conectado localmente; aquí, se permite la homotopia vivir en X, mientras que en la definición de simplemente conectado localmente, el homotopy debe vivir en U.)

Semi-open: Un subconjunto A de un espacio topológico X se llama semi-abierto si ${displaystyle Asubseteq operatorname {Cl} _{X}left(operatorname {Int} _{X}Aright)}$ .

Semi-preopen: Un subconjunto A de un espacio topológico X se llama semi-preopen si ${displaystyle Asubseteq operatorname {Cl} _{X}left(operatorname {Int} _{X}left(operatorname {Cl} _{X}Aright)right)}$

Semiregular: Un espacio es semiregular si los conjuntos abiertos regulares forman una base.

Separables: Un espacio es separable si tiene un subconjunto denso contable.

Separados: Dos sets A y B están separados si cada uno está descompuesto del cierre del otro.

Secuencialmente compacto: Un espacio es secuencialmente compacto si cada secuencia tiene una subsecuencia convergente. Cada espacio secuencialmente compacto es contablemente compacto, y cada espacio de primera cuenta, contablemente compacto, es secuencialmente compacto.

Mapa corto: See mapa métrico

Simplemente conectado: Un espacio está simplemente conectado si está conectado a la ruta y cada bucle es homotopic a un mapa constante.

Topología más pequeña: See Topología más gruesa.

Sober: En un espacio sobrio, cada subconjunto cerrado irreducible es el cierre de exactamente un punto: es decir, tiene un punto genérico único.

Star: La estrella de un punto en una cubierta dada de un espacio topológico es la unión de todos los conjuntos en la cubierta que contienen el punto. See refinamiento de estrellas.

$f$ - Topología fuerte: Vamos $fcolon Xrightarrow Y$ ser un mapa de espacios topológicos. Decimos eso. $Y$ tiene $f$ - topología fuerte si, por cada subconjunto $Usubset Y$ , uno tiene eso $U$ está abierto $Y$ si $f^{-1}(U)$ está abierto $X$

Topología más fuerte: See Topología más fina. Tenga cuidado, algunos autores, especialmente analistas, usan el término topología más débil.

Subbase: Una colección de conjuntos abiertos es una subbase (o subbasis) para una topología si cada conjunto abierto no vacío en la topología es una unión de intersecciones finitas de conjuntos en la subbase. Si B es cualquiera colección de subconjuntos de un conjunto X, la topología en X generados por B es la topología más pequeña que contiene B; esta topología consiste en el conjunto vacío, X y todos los sindicatos de intersecciones finitas de elementos de B.

Subbasis: See Subbase.

Subcover: Una cubierta K es un subcover (o encubrimiento) de una cubierta L si cada miembro de K es miembro de L.

Subcovering: See Subcover.
Espacio inferior: Se dice que un espacio topológico es submaximal si cada subconjunto de él está cerrado localmente, es decir, cada subconjunto es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado.

Aquí hay algunos datos sobre la submaximalidad como una propiedad de los espacios topológicos:

Cada espacio de la puerta es submaximal.
Cada espacio submarino es débilmente submaximal viz cada conjunto finito está cerrado localmente.
Cada espacio submaximal es irresolvable.

Subespacio: Si T es una topología en un espacio X, y si A es un subconjunto de X, entonces la topología subespacial en A inducido por T consta de todas las intersecciones de conjuntos abiertos en T con A. Esta construcción es dual a la construcción de la topología cociente.

T

T0: Un espacio es T0 (o Kolmogorov) si por cada par de puntos distintos x y Sí. en el espacio, ya sea hay un conjunto abierto que contiene x pero no Sí., o hay un conjunto abierto que contiene Sí. pero no x.

T1: Un espacio es T1 (o Fréchet o accesible) si por cada par de puntos distintos x y Sí. en el espacio, hay un conjunto abierto que contiene x pero no Sí.. (Compararar con T₀; aquí, se nos permite especificar qué punto estará contenido en el conjunto abierto.) Equivalentemente, un espacio es T₁ si todos sus singletons están cerrados. Cada T₁ espacio es T₀.

T2: See Espacio Hausdorff.

T3: See Hausdorff regular.

T31⁄2: See Espacio Tychonoff.

T4: See Hausdorff normal.

T5: See Completamente normal Hausdorff.

Top: See Categoría de espacios topológicos.

θ-cluster point, θ-closed, θ-open: Un punto x de un espacio topológico X es un punto θ-cluster de un subconjunto A si ${displaystyle Acap operatorname {Cl} _{X}(U)neq emptyset }$ para cada barrio abierto U de x dentro X. El subconjunto A es θ-cerrado si es igual al conjunto de sus puntos θ-cluster, y θ-abierto si su complemento está θ-cerrado.

Invariante topológico: Un invariante topológico es una propiedad que se conserva bajo el homeomorfismo. Por ejemplo, la compactidad y la conexión son propiedades topológicas, mientras que la contención y la integridad no lo son. La topología algebraica es el estudio de las construcciones de álgebra abstracta topológicamente invariante en los espacios topológicos.

Espacio topológico: Un espacio topológicoX, T) es un conjunto X equipado con una colección T of subsets of X satisfaciendo los siguientes axiomas:

El set vacío y X están dentro T.
La unión de cualquier colección de conjuntos en T también está T.
La intersección de cualquier par de sets en T también está T.

La colección T es un topología on X.

Resumen Topológico: See Coproduct topology.

Topológicamente completa: Espacios completamente metrizables (es decir, espacios topológicos homeomórficos a espacios métricos completos) a menudo se llaman topológicamente completa; a veces el término también se utiliza para espacios completos de Čech o espacios completamente uniformes.

Topología: See Espacio topológico.

Totalmente limitada: Un espacio métrico M está totalmente atado si, por cada r Hay una cubierta finita de M por bolas abiertas de radio r. Un espacio métrico es compacto si es completo y totalmente atado.

Totalmente desconectado: Un espacio está totalmente desconectado si no tiene subconjunto conectado con más de un punto.

Topología trivial: La topología trivial (o topología indiscreta) en un set X consiste precisamente en el conjunto vacío y todo el espacio X.

Tychonoff: Un espacio Tychonoff (o completamente regular Hausdorff espacio, T completamente₃ espacio, T_3.5 espacio) es un T completamente regular₀ espacio. (Un espacio completamente regular es Hausdorff si y sólo si es T₀, por lo que la terminología es consistente.) Cada espacio Tychonoff es habitual Hausdorff.

U

Ultraconectado: Un espacio está ultraconectado si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos están descompuestos. Cada espacio ultraconectado está conectado a la ruta.

Ultramétrica: Una métrica es un ultramétrico si satisface la siguiente versión más fuerte de la desigualdad del triángulo: para todos x, Sí., z dentro M, d()x, z≤ máxd()x, Sí.), d()Sí., z)).

Uniforme isomorfismo: Si X y Y son espacios uniformes, un isomorfismo uniforme X a Y es una función bijeactiva f: X → Y tales que f y f⁻¹ son uniformemente continuos. Se dice que los espacios son uniformemente isomorfos y comparten las mismas propiedades uniformes.

Uniformizable/Uniformisable: Un espacio es uniforme si es homeomórfico a un espacio uniforme.

Espacio uniforme: Un espacio uniforme es un conjunto X equipado con una colección no vacía Ё of subsets of the Cartesian product X × X satisfaciendo los siguientes axiomas:

si U está en Ё, entonces U contiene {x, xSilencio x dentro X }.
si U está en Ё, entonces { (Sí., xSilencio.x, Sí.En U } también está en VIEW
si U ⋅ and V es un subconjunto de X × X que contiene U, entonces V VIEW
si U y V se encuentran en Ё, entonces U ∩ V VIEW
si U está en Ё, entonces existe V CCPR tal que, cuando (x, Sí.) y (Sí., z) están en VEntonces...x, z) está en U.

Se denominan los elementos de la reestructuración séquitos, y ⋅ itself is called a estructura uniforme on X. La estructura uniforme induce una topología en X donde los barrios básicos de x son conjuntos de la forma {Sí.#x,Sí.)UPara UAlternativa.

Estructura uniforme: See Espacio uniforme.

W

Topología débil: La débil topología en un conjunto, con respecto a una colección de funciones de que se establecen en espacios topológicos, es la topología más gruesa en el conjunto que hace que todas las funciones continúen.
Topología Weaker: See Topología más gruesa. Tenga cuidado, algunos autores, especialmente analistas, usan el término topología más fuerte.
Contablemente compacto: Un espacio es débilmente compacto (o punto límite compacto) si cada subconjunto infinito tiene un punto límite.
Debilidad hereditaria: Se dice que una propiedad de los espacios es débilmente hereditaria si cada vez que un espacio tiene esa propiedad, entonces también lo hace cada subespacio cerrado de ella. Por ejemplo, la compactidad y la propiedad Lindelöf son propiedades poco hereditarias, aunque tampoco es hereditaria.
Peso: El peso de un espacio X es el número cardenal más pequeño κ tal que X tiene una base de cardenal κ. (Nota que tal número cardenal existe, porque toda la topología forma una base, y porque la clase de números cardinales está bien ordenada.)
Bien conectado: See Ultraconectado. (Algunos autores utilizan este término estrictamente para espacios compactos ultraconectados.)

Z

Cerodimensional: Un espacio es de dimensión cero si tiene una base de conjuntos de clopen.

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