Glosario de la teoría de la categoría

Este es un glosario de propiedades y conceptos de la teoría de categorías en matemáticas. (ver también Esquema de la teoría de categorías).

• Notas sobre fundaciones: En muchas exposiciones (por ejemplo, Vistoli), se ignoran los problemas teóricos del conjunto; esto significa, por ejemplo, que uno no distingue entre categorías pequeñas y grandes y que uno puede formar arbitrariamente una localización de una categoría. Al igual que esas exposiciones, este glosario generalmente ignora los problemas teóricos del conjunto, excepto cuando son pertinentes (por ejemplo, el debate sobre la accesibilidad).

Especialmente para categorías superiores, en la teoría de categorías también se utilizan los conceptos de la topología algebraica. Para eso, consulte también el glosario de topología algebraica.

Las notaciones y convenciones utilizadas a lo largo del artículo son:

• [n# = {0, 1, 2, ..., n}, que se ve como una categoría (por escrito i→ → j. . i≤ ≤ j{displaystyle ito jLeftrightarrow ileq j})
• Gato, la categoría de categorías (pequeñas), donde los objetos son categorías (que son pequeñas con respecto a algún universo) y los functores morfistas.
• Fct()C, D), la categoría functor: la categoría de functores de una categoría C a una categoría D.
• Set, la categoría de conjuntos (pequeños).
• sSet, la categoría de conjuntos simpliciales.
• "debilidad" en lugar de "stricto" se da el estado predeterminado; por ejemplo, "n-categoría significa "mojado" n-categoría", no la estricta, por defecto.
• Por una categoría ∞, nos referimos a una cuasi-categoría, el modelo más popular, a menos que se discutan otros modelos.
• El número cero 0 es un número natural.

Un

abelian

Una categoría es abeliana si tiene un objeto cero, tiene todos retrocesos y empujes, y todos los monomorfismos y epimorfismos son normales.

accesible

1. Dado un número cardenal κ, un objeto X en una categoría es κ-accesible (o κ-compact o κ-presentable) si Hom⁡ ⁡ ()X,− − ){displaystyle operatorname {Hom} (X,-)} comunicaciones con límites llenos de κ.

2. Dado un cardenal regular κ, una categoría es κ-accesible si tiene κ-filtered colimits y existe un pequeño conjunto S de objetos κ-compact que genera la categoría bajo límites, lo que significa que cada objeto puede ser escrito como un colimit de diagramas de objetos en S.

aditivo

Una categoría es aditiva si es preadditiva (para ser precisa, tiene alguna estructura preadditiva) y admite todos los coproductos finitos. Aunque "preadditive" es una estructura adicional, se puede mostrar "additivo" es un propiedad de una categoría; es decir, se puede preguntar si una categoría determinada es aditiva o no.

adjunción

Una adjunción (también llamada par adjoint) es un par de functores F: C → D, G: D → C tal que hay una bijeción "natural"

HomD⁡ ⁡ ()F()X),Y)≃ ≃ HomC⁡ ⁡ ()X,G()Y)){displaystyle operatorname {Hom} _{D}(F(X),Y)simeq operatorname {Hom} _{C}(X,G(Y)};

F se dice que se deja unido a G y G derecho a F. Aquí, "natural" significa que hay un isomorfismo natural HomD⁡ ⁡ ()F()− − ),− − )≃ ≃ HomC⁡ ⁡ ()− − ,G()− − )){displaystyle operatorname {Hom} _{D}(F(-),-)simeq operatorname {Hom} _{C}(-,G(-)} de bifunctores (que son contravariantes en la primera variable.)

álgebra para un monad

Dado un monad T en una categoría X, un álgebra para T o a T- el álgebra es un objeto en X con una acción monoidea T ("algebra" es engañosa y "T-objeto" es quizás un mejor término.) Por ejemplo, dado un grupo G que determina una monada T dentro Set de la manera estándar, una T- el álgebra es un conjunto con una acción de G.

amnistía

Un functor es amnético si tiene la propiedad: si k es un isomorfismo y F()k) es una identidad, entonces k es una identidad.

B

equilibrado

Una categoría es equilibrada si cada bimorfismo es un isomorfismo.

Teorema de Beck

El teorema de Beck caracteriza la categoría de álgebras para una determinada monada.

bicategoría

Una bicategoría es un modelo de una débil 2-categoría.

bifunctor

Un bifunctor de un par de categorías C y D a una categoría E es un functor C × D → E. Por ejemplo, para cualquier categoría C, Hom⁡ ⁡ ()− − ,− − ){displaystyle operatorname {Hom} (-,-)} es un bifunctor de C^operaciones y C a Set.

bimonoidal

Una categoría bimonoidal es una categoría con dos estructuras monoidales, una repartición sobre la otra.

bimorfismo

Un bimorfismo es un morfismo que es un epimorfismo y un monomorfismo.

Localización de Bousfield

Vea la localización de Bousfield.

C

cálculo de los funerarios

El cálculo de los functores es una técnica de estudio de los funerarios de la manera similar a la forma en que se estudia una función a través de su expansión de la serie Taylor; cuando, el término "calculus".

cartesiano cerrado

Una categoría es cartesiana cerrada si tiene un objeto terminal y que cualquier dos objetos tienen un producto y exponencial.

cartesiano functor

Puestos relativos p:F→ → C,q:G→ → C{displaystyle p:Fto C,q:Gto C} sobre la misma categoría de base C, un functor f:F→ → G{displaystyle f:Fto G} sobre C es cartesiano si envía morfismos cartesianos a morfismos cartesianos.

morfismo cartesiano

1. Dado un functor π: C → D (por ejemplo, un prestack sobre esquemas), un morfismo f: x → Sí. dentro C es π-cartesian si, para cada objeto z dentro C, cada morfismo g: z → Sí. dentro C y cada morfismo v: π(z) →xEn D tal que πg) = π(f∘ v, existe un morfismo único u: z → x tal que πu) v y g = f ∘ u.

2. Dado un functor π: C → D (por ejemplo, un prestack sobre anillos), un morfismo f: x → Sí. dentro C es π-coCartesian si, para cada objeto z dentro C, cada morfismo g: x → z dentro C y cada morfismo v: π(Sí.) →zEn D tal que πg) v π πf), existe un morfismo único u: Sí. → z tal que πu) v y g = u ∘ f. (En resumen, f es el doble de un morfismo π-cartesiano.)

Plaza cartesiana

Un diagrama comunicativo que es isomorfo al diagrama dado como producto de fibra.

lógica categórica

La lógica cateórica es un acercamiento a la lógica matemática que utiliza la teoría de la categoría.

categorificación

La categorificación es un proceso de sustitución de conjuntos y conceptos teóricos de conjunto por categorías y conceptos teóricos de categoría de alguna manera notrivial para capturar sabores categóricos. La decategorificación es el reverso de la clasificación.

categoría

Una categoría consiste en los siguientes datos

1. Una clase de objetos,
2. Para cada par de objetos X, Y, un conjunto Hom⁡ ⁡ ()X,Y){displaystyle operatorname {Hom} (X,Y)}, cuyos elementos se llaman morfismos de X a Y,
3. Para cada triple de objetos X, Y, Z, un mapa (llamado composición)

   ∘ ∘ :Hom⁡ ⁡ ()Y,Z)× × Hom⁡ ⁡ ()X,Y)→ → Hom⁡ ⁡ ()X,Z),()g,f)↦ ↦ g∘ ∘ f{displaystyle circ:nombre de operador {Hom} (Y,Z)times operatorname {Hom} (X,Y)to operatorname {Hom} (X,Z),,(g,f)mapsto gcirc f},

4. Para cada objeto X, un morfismo de identidad idX▪ ▪ Hom⁡ ⁡ ()X,X){displaystyle operatorname {id} - ¿Por qué?

sujeto a las condiciones: para cualquier morfismo f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí., g:Y→ → Z{displaystyle g:Yto Z} y h:Z→ → W{displaystyle h:Zto W},

• ()h∘ ∘ g)∘ ∘ f=h∘ ∘ ()g∘ ∘ f){displaystyle (hcirc g)circ f=hcirco (gcirc f)} y idY∘ ∘ f=f∘ ∘ idX=f{displaystyle operatorname {id} _{Y}circ f=fcirc operatorname {id} ¿Qué?.

Por ejemplo, un conjunto parcialmente ordenado se puede ver como una categoría: los objetos son los elementos del conjunto y para cada par de objetos x, Sí., hay un morfismo único x→ → Sí.{displaystyle xto y} si x≤ ≤ Sí.{displaystyle xleq y}; la asociación de la composición significa transitividad.

categoría de categorías

La categoría de categorías (pequeñas) Gato, es una categoría donde los objetos son todas las categorías pequeñas con respecto a algún universo fijo y los morfismos son todos los functores.

espacio de clasificación

El espacio de clasificación de una categoría C es la realización geométrica del nervio C.

co-

A menudo se utiliza sinónimo de op-; por ejemplo, un colimit se refiere a un op-limit en el sentido de que es un límite en la categoría opuesta. Pero puede haber una distinción; por ejemplo, una o-fibración no es lo mismo que una cofibración.

coend

El coend de un functor F:Coperaciones× × C→ → X{displaystyle F:C^{text{op}times Cto X} es la dualidad del fin F y es denotado por

∫ ∫ c▪ ▪ CF()c,c){displaystyle int ^{cin C}F(c,c)}.

Por ejemplo, si R es un anillo, M derecho R- Mobiliario y N a izquierda R-módulo, luego el producto del tensor M y N es

M⊗ ⊗ RN=∫ ∫ RM⊗ ⊗ ZN{displaystyle Motimes _{R}N=int ^{R}Motimes _{mathbb {Z}N}

Donde R es vista como una categoría con un objeto cuyos morfismos son los elementos de R.

coequalizer

El coequalizer de un par de morfismos f,g:A→ → B{displaystyle f,g:Ato B} es el límite del par. Es el doble de un ecualizador.

coherencia

Un teorema de coherencia es un teorema de una forma que declara una estructura débil equivale a una estructura estricta.

coimage

La imagen de un morfismo f: X → Y es el coequalizer de X× × YX⇉ ⇉ X{displaystyle Xtimes _{Y}Xrightarrows X..

ópera de colores

Otro término para la multicategoría, una categoría generalizada donde un morfismo puede tener varios dominios. La noción de "período coloreado" es más primitiva que la de operado: de hecho, un operado se puede definir como un operado de colores con un solo objeto.

coma

Dados functores f:C→ → B,g:D→ → B{displaystyle f:Cto B,g:Dto B}, la categoría de coma ()f↓ ↓ g){displaystyle (fdownarrow g)} es una categoría donde (1) los objetos son morfismos f()c)→ → g()d){displaystyle f(c)to g(d)} y (2) un morfismo de α α :f()c)→ → g()d){displaystyle alpha:f(c)to g(d)} a β β :f()c.)→ → g()d.){displaystyle beta:f(c')to g(d')} consta de c→ → c.{displaystyle cto c} y d→ → d.{displaystyle dto d'a} tales que f()c)→ → f()c.)→ → β β g()d.){displaystyle f(c)to f(c'){overset {beta }{to }g(d)} es f()c)→ → α α g()d)→ → g()d.).{displaystyle f(c){overset {alpha }{to }g(d)to g(d').} Por ejemplo, si f es el functor de identidad y g es el functor constante con un valor b, entonces es la categoría de rebanada B sobre un objeto b.

comonad

Comonad en una categoría X es comonoide en la categoría monoidal de endofunctores de X.

compacto

Probablemente sinónimo de #accesible.

completo

Una categoría está completa si existen todos los límites pequeños.

composición

1. Una composición de morfismos en una categoría es parte del dato que define la categoría.

2. Si f:C→ → D,g:D→ → E{displaystyle f:Cto D,g:Dto E} son functores, luego la composición g∘ ∘ f{displaystyle gcirc f} o gf{displaystyle gf} es el functor definido por: para un objeto x y un morfismo u dentro C, ()g∘ ∘ f)()x)=g()f()x)),()g∘ ∘ f)()u)=g()f()u)){displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x)),,(gcirc f)=g(f(u)}.

3. Las transformaciones naturales se componen con sentido de punto: si φ φ :f→ → g,↑ ↑ :g→ → h{displaystyle varphi:fto g,,psi:gto h} son transformaciones naturales, entonces ↑ ↑ ∘ ∘ φ φ {displaystyle psi circ varphi } es la transformación natural dada por ()↑ ↑ ∘ ∘ φ φ )x=↑ ↑ x∘ ∘ φ φ x{displaystyle (psi circ varphi)_{x}=psi _{x}circ varphi _{x}.

hormigón

Una categoría concreta C es una categoría tal que hay un fiel functor de C a Set; por ejemplo, Vec, Grp y Top.

cone

Un cono es una manera de expresar la propiedad universal de un colimit (o doblemente un límite). Uno puede demostrar que el colimit lim→ → {displaystyle varinjlim } es la unión izquierda al functor diagonal Δ Δ :C→ → Fct⁡ ⁡ ()I,C){displaystyle Delta:Cto operatorname {Fct} (I,C)}, que envía un objeto X al functor constante con valor X; es decir, para cualquier X y cualquier functor f:I→ → C{displaystyle f:Ito C},

Hom⁡ ⁡ ()lim→ → ⁡ ⁡ f,X)≃ ≃ Hom⁡ ⁡ ()f,Δ Δ X),{displaystyle operatorname {Hom} (varinjlim f,X)simeq operatorname {Hom} (f,Delta _{X}),}

siempre que exista el límite en cuestión. El lado derecho es entonces el conjunto de conos con vértice X.

conectado

Una categoría está conectada si, para cada par de objetos x, Sí., existe una secuencia finita de objetos z_i tales que z0=x,zn=Sí.{displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y y bien Hom⁡ ⁡ ()zi,zi+1){displaystyle operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1}} o Hom⁡ ⁡ ()zi+1,zi){displaystyle operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})} no está vacío para ninguno i.

conservador functor

Un funerario conservador es un funerario que refleja isomorfismos. Muchos funerarios olvidadizos son conservadores, pero el funerario olvidadizo de Top a Set no es conservador.

constante

Un functor es constante si mapea cada objeto en una categoría al mismo objeto A y todo morfismo a la identidad A. Ponte de otra manera, un functor f:C→ → D{displaystyle f:Cto D} es constante si factores como: C→ → {}A}→ → iD{displaystyle Cto {fnK} {fn} {fn}}}} {fn}}} {\\\\\\fn}}}}}}}}}}} {\\\fn}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} para algún objeto A dentro D, donde i es la inclusión de la categoría discreta { A }.

contravariante functor

Un functor contravariante F de una categoría C a una categoría D es un functor (covariante) de C^operaciones a D. A veces también se llama un presheaf especialmente cuando D es Set o las variantes. Por ejemplo, para cada conjunto S, vamos P()S){displaystyle {mathfrak}(S)} ser el conjunto de poder S y para cada función f:S→ → T{displaystyle f:Sto T}, definir

P()f):P()T)→ → P()S){displaystyle {mathfrak {}(f):{mthfrak {}(T)to {mthfrak {}(S)}

enviando un subconjunto A de T a la imagen previa f− − 1()A){displaystyle f^{-1}(A)}. Con esto, P:Set→ → Set{displaystyle {mathfrak {}:mathbf {Set} to mathbf {Set} es un functor contravariante.

coproduct

El coproducto de una familia de objetos X_i en una categoría C indexado por un conjunto I es el límite inductivo lim→ → {displaystyle varinjlim } del functor I→ → C,i↦ ↦ Xi{displaystyle Ito C,,imapsto X_{i}, donde I se considera una categoría discreta. Es el doble del producto de la familia. Por ejemplo, un coproducto en Grp es un producto libre.

núcleo básico

El núcleo de una categoría es el grupo máximo contenido en la categoría.

D

Day convolution

Dado un grupo o monoide M, la Convolución del Día es el producto tensor en Fct()M,Set){displaystyle mathbf {Fct} (M,mathbf {Set})}.

densidad

El teorema de la densidad establece que cada antena (un funerario contravariante de valor fijo) es un límite de prehesas representables. La lema de Yoneda incorpora una categoría C en la categoría de prehesas en C. El teorema de densidad entonces dice que la imagen es "dense", por así decirlo. El nombre "densidad" es debido a la analogía con el teorema de densidad Jacobson (o otras variantes) en álgebra abstracta.

functor diagonal

Categorías I, C, el functor diagonal es el functor

Δ Δ :C→ → Fct()I,C),A↦ ↦ Δ Δ A{displaystyle Delta:Cto mathbf {Fct} (I,C),,Amapsto Delta _{A}

que envía cada objeto A al functor constante con valor A y cada morfismo f:A→ → B{displaystyle f:Ato B} a la transformación natural Δ Δ f,i:Δ Δ A()i)=A→ → Δ Δ B()i)=B{displaystyle Delta _{f,i}:Delta _{A}(i)=Ato Delta _{B}(i)=B} eso es f a cada uno i.

diagrama

Dado una categoría C, un diagrama en C es un functor f:I→ → C{displaystyle f:Ito C} de una pequeña categoría I.

categoría diferencial

Una categoría de grado diferencial es una categoría cuyos conjuntos Hom están equipados con estructuras de módulos de grado diferencial. En particular, si la categoría tiene sólo un objeto, es igual que un módulo de grado diferencial.

límite directo

Un límite directo es el límite de un sistema directo.

discreta

Una categoría es discreta si cada morfismo es un morfismo de identidad (de algún objeto). Por ejemplo, un conjunto puede verse como una categoría discreta.

distribuidor

Otro término para "profunctor".

Dwyer–Kan equivalence

Una equivalencia Dwyer-Kan es una generalización de una equivalencia de categorías al contexto simplicial.

E

Categoría Eilenberg-Moore

Otro nombre para la categoría de álgebras para una monada dada.

vacío

La categoría vacía es una categoría sin objeto. Es lo mismo que el conjunto vacío cuando el conjunto vacío se ve como una categoría discreta.

final

El final de un functor F:Coperaciones× × C→ → X{displaystyle F:C^{text{op}times Cto X} es el límite

∫ ∫ c▪ ▪ CF()c,c)=lim← ← ⁡ ⁡ ()F# # :C# # → → X){displaystyle int _{cin C}F(c,c)=varprojlim (F^{#}:C^{#}to X)}

Donde C# # {displaystyle C^{#} es la categoría (llamado la categoría de subdivisión C) cuyos objetos son símbolos c# # ,u# # {fnMicrosoft Sans Serif} para todos los objetos c y todos los morfismos u dentro C y cuyos morfismos son b# # → → u# # {fnMicrosoft Sans Serif} y u# # → → c# # {fnMicrosoft Sans Serif} si u:b→ → c{displaystyle u:bto c} y dónde F# # {displaystyle F^{#} es inducido por F así c# # {displaystyle c^{#}} iría F()c,c){displaystyle F(c,c)} y u# # ,u:b→ → c{displaystyle u^{#},u:bto c} iría F()b,c){displaystyle F(b,c)}. Por ejemplo, para functores F,G:C→ → X{displaystyle F,G:Cto X},

∫ ∫ c▪ ▪ CHom⁡ ⁡ ()F()c),G()c)){displaystyle int _{cin C}operatorname {Hom} (F(c),G(c)}

es el conjunto de transformaciones naturales de F a G. Para más ejemplos, vea este hilo de flujo de matemáticas. El doble de un extremo es un coend.

endofunctor

Un functor entre la misma categoría.

categoría enriquecida

Dada una categoría monoidalC, ⊗, 1), una categoría enriquecida C es, informalmente, una categoría en la que se encuentran C. Más precisamente, una categoría D enriquecido C es un dato consistente en

1. Una clase de objetos,
2. Para cada par de objetos X, Y dentro D, un objeto MapaD⁡ ⁡ ()X,Y){displaystyle operatorname {Map} _{D}(X,Y)} dentro C, llamado objeto de mapeo X a Y,
3. Para cada triple de objetos X, Y, Z dentro D, un morfismo en C,

   ∘ ∘ :MapaD⁡ ⁡ ()Y,Z)⊗ ⊗ MapaD⁡ ⁡ ()X,Y)→ → MapaD⁡ ⁡ ()X,Z){displaystyle circ:nombre de operador {Map} _{D}(Y,Z)otimes operatorname {Map} _{D}(X,Y)to operatorname {Map} _{D}(X,Z)},

   llamada la composición,

4. Para cada objeto X dentro D, un morfismo 1X:1→ → MapaD⁡ ⁡ ()X,X){displaystyle 1_{X}:1to operatorname {Map} _{D}(X,X)} dentro C, llamado el morfismo de la unidad X

sujeto a las condiciones que (aproximadamente) las composiciones son asociativas y los morfismos unitarios actúan como la identidad multiplicativa. Por ejemplo, una categoría enriquecida sobre conjuntos es una categoría ordinaria.

epimorfismo

Un morfismo f es un epimorfismo si g=h{displaystyle g=h} siempre g∘ ∘ f=h∘ ∘ f{displaystyle gcirc f=hcirc f}. En otras palabras, f es la dualidad de un monomorfismo.

equalizer

El ecualizador de un par de morfismos f,g:A→ → B{displaystyle f,g:Ato B} es el límite del par. Es el doble de un coequalizer.

equivalencia

1. Un functor es una equivalencia si es fiel, completo y esencialmente subjetivo.

2. Un morfismo en unacategoría C es una equivalencia si da un isomorfismo en la categoría de homotopy C.

equivalente

Una categoría es equivalente a otra categoría si hay una equivalencia entre ellos.

esencialmente subjetivo

Un functor F se llama esencialmente subjetivo (o isomorfismo-denso) si para cada objeto B existe un objeto A tales que F()A) es isomorfo a B.

evaluación

Categorías C, D y un objeto A dentro C, la evaluación en A es el functor

Fct()C,D)→ → D,F↦ ↦ F()A).{displaystyle mathbf {Fct} (C,D)to D,,,Fmapsto F(A). }

Por ejemplo, los axiomas Eilenberg–Steenrod dan un ejemplo cuando el functor es una equivalencia.

F

fieles

Un functor es fiel si es inyectable cuando se limita a cada hom-set.

categoría fundamental

El functor de categoría fundamental τ τ 1:sSet→ → Cat{displaystyle tau _{1}:smathbf {Set} to mathbf {Cat} es la unión izquierda al functor nervioso N. Por cada categoría C, τ τ 1NC=C{displaystyle tau ¿Qué?.

fundamental groupoid

El grupo fundamental ▪ ▪ 1X{displaystyle Pi _{1}X} de un complejo de Kan X es la categoría donde un objeto es un 0-simplex (vertex) Δ Δ 0→ → X{displaystyle Delta ^{0}to X}, un morfismo es una clase de homotopy de un 1-simplex (pata) Δ Δ 1→ → X{displaystyle Delta ^{1}to X} y una composición es determinada por la propiedad Kan.

categoría de fibra

Un functor π: C → D se dice que la exposición C como una categoría de fibra D si, por cada morfismo g: x → π(Sí.En D, existe un morfismo π-cartesiano f: x ' → Sí. dentro C tal que πf) g. Si D es la categoría de esquemas affine (de tipo finito sobre algún campo), entonces π es más comúnmente llamado prestack. Nota: π es a menudo un functor olvidadizo y de hecho la construcción de Grothendieck implica que cada categoría de fibra se puede tomar para ser esa forma (hasta equivalencias en un sentido adecuado).

producto de fibra

Dado una categoría C y un set I, el producto de fibra sobre un objeto S de una familia de objetos X_i dentro C indexado por I es el producto de la familia en la categoría de rodajas C/S{displaystyle C_{/S} de C sobre S (siempre que hay Xi→ → S{displaystyle X_{i}to S}). El producto de fibra de dos objetos X y Y sobre un objeto S es denotado por X× × SY{displaystyle Xtimes _{S}Y} y también se llama plaza cartesiana.

filtrado

1. Una categoría filtrada (también llamada categoría filtrante) es una categoría no vacía con las propiedades (1) i y j, hay un objeto k y morfismos i → k y j → k y 2) Morfismos dados u, v: i → j, hay un objeto k y un morfismo w: j → k tales que w ∘ u = w ∘ v. A category I se filtra si y sólo si, para cada categoría finita J y functor f: J → I, el conjunto lim← ← ⁡ ⁡ Hom⁡ ⁡ ()f()j),i){displaystyle varprojlim operatorname {Hom} (f(j),i)} no está vacío para algún objeto i dentro I.

2. Dado un número cardenal π, una categoría se dice que es π-filtrant si, para cada categoría J cuyo conjunto de morfismos tiene número cardinal estrictamente inferior a π, el conjunto lim← ← ⁡ ⁡ Hom⁡ ⁡ ()f()j),i){displaystyle varprojlim operatorname {Hom} (f(j),i)} no está vacío para algún objeto i dentro I.

finitary monad

Una monada finitaria o una monada algebraica es una monada sobre Set cuyo endofunctor subyacente se comunica con los límites filtrados.

finito

Una categoría es finita si tiene solamente muchos morfismos finitos.

funerario olvidadizo

El functor olvidadizo es, aproximadamente, un functor que pierde algunos datos de los objetos; por ejemplo, el functor Grp→ → Set{displaystyle mathbf {Grp} to mathbf {Set} que envía un grupo a su conjunto subyacente y un homomorfismo de grupo a sí mismo es un functor olvidadizo.

free functor

Un funerario libre es un conjunto izquierdo a un functor olvidadizo. Por ejemplo, para un anillo R, el functor que envía un set X al libre R-module generado por X es un functor libre (cuando el nombre).

Categoría Frobenius

Una categoría Frobenius es una categoría exacta que tiene suficientes inyectores y suficientes proyectivos y tal que la clase de objetos inyectables coincide con la de objetos proyectivos.

Categoría Fukaya

Véase la categoría Fukaya.

completo

1. Un functor está lleno si es subjetivo cuando se limita a cada hom-set.

2. A category A es una subcategoría completa de una categoría B si el functor de inclusión de A a B está lleno.

functor

Categorías C, D, un functor F desde C a D es un mapa reservado de la estructura C a D; es decir, consta de un objeto F()xEn D para cada objeto x dentro C y un morfismo F()fEn D para cada morfismo f dentro C satisfacción de las condiciones: (1) F()f∘ ∘ g)=F()f)∘ ∘ F()g){displaystyle F(fcirc g)=F(f)circ F(g)} siempre f∘ ∘ g{displaystyle fcirc g} se define y 2) F()idx)=idF()x){displaystyle F(operatorname {id}=operatorname {id} _{F(x)}}. Por ejemplo,

P:Set→ → Set,S↦ ↦ P()S){displaystyle {mathfrak {}:mathbf {Set} to mathbf {Set},Smapsto {Mathfrak}(S)},

Donde P()S){displaystyle {mathfrak}(S)} es el conjunto de poder S es un functor si definimos: para cada función f:S→ → T{displaystyle f:Sto T}, P()f):P()S)→ → P()T){displaystyle {mathfrak {}(f):{mthfrak {}(S)to {mthfrak {}(T)} por P()f)()A)=f()A){displaystyle {mathfrak {}(f)=f(A)}.

categoría de functor

La categoría de functor Fct()C, D) o DC{displaystyle D^{C} de una categoría C a una categoría D es la categoría donde los objetos son todos los functores de C a D y los morfismos son todas las transformaciones naturales entre los funerarios.

G

Gabriel-Popescu teorema

El teorema Gabriel-Popescu dice que una categoría abeliana es un cociente de la categoría de módulos.

Categoría Galois

1. En SGA 1, Exposé V (Definición 5.1.), una categoría se denomina categoría Galois si es equivalente a la categoría de finito G-sets for some profinite group G.

2. Por razones técnicas, algunos autores (por ejemplo, el proyecto Stacks o) utilizan definiciones ligeramente diferentes.

generador

En una categoría C, una familia de objetos Gi,i▪ ▪ I{displaystyle G_{i},iin I} es un sistema de generadores de C si el functor X↦ ↦ ∏ ∏ i▪ ▪ IHom⁡ ⁡ ()Gi,X){displaystyle Xmapsto prod _{iin I}operatorname {Hom} (G_{i},X)} es conservador. Su doble se llama un sistema de cogeneradores.

La teoría de los Galois de Grothendieck

Una generalización teórica de categoría de la teoría de Galois; vea la teoría de Grothendieck Galois.

Categoría Grothendieck

Una categoría de Grothendieck es un cierto tipo bien hecho de una categoría abeliana.

Construcción Grothendieck

Dado un functor U:C→ → Cat{displaystyle U:Cto mathbf {Cat}, vamos D_U ser la categoría donde los objetos son pares (x, u) que consiste en un objeto x dentro C y un objeto u en la categoría U()x) y un morfismo de (x, u... aSí., v) es un par que consiste en un morfismo f: x → Sí. dentro C y un morfismo U()f)u) → v dentro U()Sí.). El pasaje de U a D_U entonces se llama la construcción Grothendieck.

Grothendieck fibration

Una categoría de fibra.

groupoid

1. Una categoría se llama grupoide si cada morfismo en ella es un isomorfismo.

2. Una Categoria líquida se llama un grupo ∞ si cada morfismo en ella es una equivalencia (o equivalente si es un complejo de Kan).

H

Álgebra Hall de una categoría

Ver álgebra Ringel-Hall.

corazón

El corazón de una estructura t (D≥ ≥ 0{displaystyle D^{geq 0}, D≤ ≤ 0{displaystyle D^{leq 0}) en una categoría triangulada es la intersección D≥ ≥ 0∩ ∩ D≤ ≤ 0{displaystyle D^{geq 0}cap D^{leq .. Es una categoría abeliana.

Teoría de categoría superior

La teoría de la categoría superior es un subcampo de la teoría de la categoría que se refiere al estudio de las n-categorías y las categorías ∞.

dimensión homológica

La dimensión homológica de una categoría abeliana con suficientes inyectores es el menor integer no negativo n tal que cada objeto en la categoría admite una resolución inyectable de longitud a la mayoría n. La dimensión es ∞ si no existe tal entero. Por ejemplo, la dimensión homológica de ModR con un dominio ideal principal R es la mayoría.

categoría de homotopy

Ver categoría de homotopy. Está estrechamente relacionada con la localización de una categoría.

hipotesis homotopy

La hipótesis de homotopy dice que un ∞-groupoid es un espacio (sin equívoco, un n- El grupo puede ser usado como un homotopy n-tipo.)

Yo

identidad

1. Morfismo de identidad f de un objeto A es un morfismo de A a A tal que para cualquier morfismo g con dominio A y h con codomain A, g∘ ∘ f=g{displaystyle gcirc f=g} y f∘ ∘ h=h{displaystyle fcirc h=h}.

2. El functor de identidad en una categoría C es un functor de C a C que envía objetos y morfismos a sí mismos.

3. Dado un functor F: C → D, la transformación natural de la identidad F a F es una transformación natural que consiste en los morfismos de identidad de F()XEn D para los objetos X dentro C.

imagen

La imagen de un morfismo f: X → Y es el ecualizador de Y⇉ ⇉ Y⊔ ⊔ XY{displaystyle Yrightarrows Ysqcup _{X}Y}.

ind-limit

Un colimit (o límite inductivo) en Fct()Coperaciones,Set){displaystyle mathbf {Fct} (C^{text{op}},mathbf {Set}}.

límite inductivo

Otro nombre para el colimit.

∞-categoría

Una ∞-categoría C es un conjunto simplicial que satisface las siguientes condiciones: para cada 0 i c) n,

• cada mapa de conjuntos simpliciales f:▪ ▪ in→ → C{displaystyle f:Lambda _{i}{n}to C} se extiende a un n-simplex f:Δ Δ n→ → C{displaystyle f:Delta C}

Δⁿ es el estándar n-simplex y ▪ ▪ in{displaystyle "Lambda" se obtiene de Δⁿ eliminando el i-a la cara y el interior (ver fibración de Kan#Definiciones). Por ejemplo, el nervio de una categoría satisface la condición y, por lo tanto, puede ser considerado como una ∞-categoría.

inicial

1. Un objeto A es inicial si hay exactamente un morfismo de A a cada objeto; por ejemplo, vacío Set.

2. Un objeto A en unacategoría C es inicial si MapaC⁡ ⁡ ()A,B){displaystyle operatorname {Map} _{C}(A,B)} es contractual para cada objeto B dentro C.

inyección

1. Un objeto A en una categoría abeliana es inyectable si el functor Hom⁡ ⁡ ()− − ,A){displaystyle operatorname {Hom} (-,A)} es exacto. Es el doble de un objeto proyectivo.

2. El término “límite inyectable” es otro nombre para un límite directo.

interna Hom

Dada una categoría monoidalC, ⊗), el Hom interno es un functor [− − ,− − ]:Coperaciones× × C→ → C{displaystyle [-,-]:C^{text{op}times Cto C} tales que [Y,− − ]{displaystyle [Y,-] es la unión derecha a − − ⊗ ⊗ Y{displaystyle - 'otimes Y' para cada objeto Y dentro C. Por ejemplo, la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R tiene el Hom interno dado como [M,N]=HomR⁡ ⁡ ()M,N){displaystyle [M,N]=operatorname {Hom} _{R}(M,N)}, el conjunto de R- Mapas lineales.

inverso

1. Un morfismo f es un inverso a un morfismo g si g∘ ∘ f{displaystyle gcirc f} se define y es igual a la morfismo de identidad en el codominio de g, y f∘ ∘ g{displaystyle fcirc g} se define e igual a la morfismo de identidad en el dominio de g. El inverso de g es único y es denotado g⁻¹. f es un inverso izquierdo g si f∘ ∘ g{displaystyle fcirc g} se define y es igual a la morfismo de identidad en el dominio de g, y de forma similar para un inverso derecho.

2. Un límite inverso es el límite de un sistema inverso.

isomorfo

1. Un objeto es isomorfo a otro objeto si hay un isomorfismo entre ellos.

2. Una categoría es isomorfa a otra categoría si hay un isomorfismo entre ellos.

isomorfismo

Un morfismo f es un isomorfismo si existe inverso de f.

K

Complejo de Kan

Un complejo Kan es un objeto fibrante en la categoría de conjuntos simpliciales.

Extensión Kan

1. Dado una categoría C, el functor de extensión de Kan izquierda a lo largo de un functor f:I→ → J{displaystyle f:Ito J} es la unión izquierda (si existe) a fAlternativa Alternativa =− − ∘ ∘ f:Fct⁡ ⁡ ()J,C)→ → Fct⁡ ⁡ ()I,C){displaystyle f^{*}=-circ f:operatorname {Fct} (J,C)to operatorname {Fct} (I,C)} y es denotado por f!{displaystyle f_{}}. Para cualquier α α :I→ → C{displaystyle alpha:Ito C}, el functor f!α α :J→ → C{displaystyle f_{}alpha:Jto C} se llama la extensión Kan izquierda de α a lo largo f. Uno puede mostrar:

()f!α α )()j)=lim→ → f()i)→ → j⁡ ⁡ α α ()i){displaystyle (f_{!}alpha)(j)=varinjlim _{f(i)to j}alpha (i)}

donde el colimit se ejecuta sobre todos los objetos f()i)→ → j{displaystyle f(i)to j} en la categoría de coma.

2. El functor de extensión Kan adecuado es el derecho de unión (si existe) a fAlternativa Alternativa {displaystyle f^{*}.

El lema de Ken Brown

La lema de Ken Brown es una lema en la teoría de las categorías modelo.

Categoría Kleisli

Dado un monad T, la categoría Kleisli T es la subcategoría completa de la categoría de T- álgebras (llamado categoría Eilenberg-Moore) que consiste en gratis T- Álgebras.

L

lax

Un functor lax es una generalización de un pseudo-functor, en la que las transformaciones estructurales asociadas a la composición y las identidades no son necesarias para ser invertibles.

longitud

Se dice que un objeto en una categoría abeliana tiene longitud finita si tiene una serie de composición. El número máximo de subobjetos apropiados en cualquier serie de dicha composición se llama el longitud de A.

límite

1. El límite (o límite proyectivo) de un functor f:Ioperaciones→ → Set{displaystyle f:I^{text{op}to mathbf {Set} es

lim← ← i▪ ▪ I⁡ ⁡ f()i)={}()xiSilencioi)▪ ▪ ∏ ∏ if()i)Silenciof()s)()xj)=xi para cualquier s:i→ → j}.{displaystyle varprojlim _{iin I}f(i)={(x_{i} imperi)in prod _{i}f(i) imperf(s)(x_{j})=x_{i}{text{ for any }s:ito J.

2. El límite lim← ← i▪ ▪ I⁡ ⁡ f()i){displaystyle varprojlim _{iin I}f(i)} de un functor f:Ioperaciones→ → C{displaystyle f:I^{text{op}to} C} es un objeto, si lo hay, C que satisface: para cualquier objeto X dentro C, Hom⁡ ⁡ ()X,lim← ← i▪ ▪ I⁡ ⁡ f()i))=lim← ← i▪ ▪ I⁡ ⁡ Hom⁡ ⁡ ()X,f()i)){displaystyle operatorname {Hom} (X,varprojlim _{iin I}f(i)=varprojlim _{iin I}operatorname {Hom} (X,f(i)}}; es decir, es un objeto que representa al functor X↦ ↦ lim← ← i⁡ ⁡ Hom⁡ ⁡ ()X,f()i)).{displaystyle Xmapsto varprojlim ¿Por qué? {Hom} (X,f(i)). }

3. El colimit (o límite inductivo) lim→ → i▪ ▪ I⁡ ⁡ f()i){displaystyle varinjlim _{iin I}f(i)} es el doble de un límite; es decir, dado un functor f:I→ → C{displaystyle f:Ito C}, se satisface: para cualquier X, Hom⁡ ⁡ ()lim→ → ⁡ ⁡ f()i),X)=lim← ← ⁡ ⁡ Hom⁡ ⁡ ()f()i),X){displaystyle operatorname {Hom} (varinjlim f(i),X)=varprojlim operatorname {Hom} (f(i),X)}. Explícitamente, para dar lim→ → ⁡ ⁡ f()i)→ → X{displaystyle varinjlim f(i)to X} es dar una familia de morfismos f()i)→ → X{displaystyle f(i)to X} tal que para cualquier i→ → j{displaystyle ito j}, f()i)→ → X{displaystyle f(i)to X} es f()i)→ → f()j)→ → X{displaystyle f(i)to f(j)to X}. Tal vez el ejemplo más simple de un colimit es un coequalizer. Por otro ejemplo, tome f ser el funerario de identidad en C y supongan L=lim→ → X▪ ▪ C⁡ ⁡ f()X){displaystyle L=varinjlim _{Xin C}f(X)} existe; entonces el morfismo de identidad en L corresponde a una familia compatible de morfismos α α X:X→ → L{displaystyle alpha - Sí. tales que α α L{displaystyle alpha ¿Qué? es la identidad. Si f:X→ → L{displaystyle f:Xto L} es cualquier morfismo, entonces f=α α L∘ ∘ f=α α X{displaystyle f=alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?i.e., L es un objeto final C.

M

Mittag-Leffler condition

Un sistema inverso ⋯ ⋯ → → X2→ → X1→ → X0{displaystyle cdots to X_{2}to X_{1}to X_{0} se dice que satisface la condición Mittag-Leffler si para cada entero n≥ ≥ 0{displaystyle ngeq 0}Hay un entero m≥ ≥ n{displaystyle mgeq n} tal que para cada uno l≥ ≥ m{displaystyle lgeq m}, las imágenes de Xm→ → Xn{displaystyle X_{m}to X_{n} y Xl→ → Xn{displaystyle X_{l}to X_{n} son iguales.

monad

Una monada en una categoría X es un objeto monoide en la categoría monoidal de endofunctores de X con la estructura monoidal dada por la composición. Por ejemplo, dado un grupo G, definir un endofunctor T on Set por T()X)=G× × X{displaystyle T(X)=Gtimes X}. Entonces definir la multiplicación μ on T como la transformación natural μ μ :T∘ ∘ T→ → T{displaystyle mu:Tcirc Tto T} dado por

μ μ X:G× × ()G× × X)→ → G× × X,()g,()h,x))↦ ↦ ()gh,x){displaystyle mu _{X}:Gtimes (Gtimes X)to Gtimes X,,,(g,(h,x))mapsto (gh,x)}

y también definir el mapa de identidad . en la manera análoga. Entonces...T, μ, .) constituye una monada en Set. Más sustancialmente, un adjunto entre functores F:X▪ ▪ A:G{displaystyle F:Xrightleftarrows A:G} determina una monada en X; es decir, una toma T=G∘ ∘ F{displaystyle T=Gcirc F}, el mapa de identidad . on T ser una unidad de la adjunción y también define μ usando la orden.

monadic

1. Se dice que un adjunto es monádico si viene de la monada que determina por medio de la categoría Eilenberg-Moore (la categoría de álgebras para la monada).

2. Se dice que un functor es monádico si es un constitutivo de una adjunción monádica.

monoidal category

Una categoría monoidal, también llamada categoría de tensor, es una categoría C equipado con (1) un bifunctor ⊗ ⊗ :C× × C→ → C{displaystyle otimes: Ctimes Cto C}, (2) un objeto de identidad y (3) isomorfismos naturales que hacen ⊗ asociativo y la identidad objetan una identidad para ⊗, sujeto a ciertas condiciones de coherencia.

objeto monoide

Un objeto monoide en una categoría monoidal es un objeto junto con el mapa de multiplicación y el mapa de identidad que satisface las condiciones esperadas como la asociación. Por ejemplo, un objeto monoide en Set es un monoide habitual ( semigrupo universal) y un objeto monoide en R-mod es un álgebra asociativa sobre un anillo comunicativo R.

monomorfismo

Un morfismo f es un monomorfismo (también llamado monic) si g=h{displaystyle g=h} siempre f∘ ∘ g=f∘ ∘ h{displaystyle fcirc g=fcirch}; por ejemplo, una inyección en Set. En otras palabras, f es el doble de un epimorfismo.

multicategoría

Una multicategoría es una generalización de una categoría en la que se permite un morfismo tener más de un dominio. Es lo mismo que un operado de colores.

N

n- Categoria

[T]a cuestión de comparar las definiciones de débil n- la localización es una resbaladiza, ya que es difícil decir lo que incluso medios para que dos de esas definiciones sean equivalentes. [...] Se sostiene ampliamente que la estructura formada por débiles n-categorías y los funerarios, transformaciones... entre ellos deberían ser débiles (n + 1)-categoría; y si este es el caso entonces la pregunta es si su débil (n + 1)-categoría de débil No...categorías equivalentes a las minas, pero cuya definición de débil (n + 1)-categoría estamos usando aquí... ?

Tom Leinster, Una encuesta de definiciones de n-categoría

1. Una estricta n-categoría se define inductivamente: una estricta 0-categoría es un conjunto y un estricto n-categoría es una categoría cuyos conjuntos Hom son estrictos (n-1)-categorías. Precisamente, un estricto n-categoría es una categoría enriquecida con estricta (n-1)-categorías. Por ejemplo, una estricta categoría es una categoría ordinaria.

2. La noción de una débil n-categoría se obtiene de la estricta al debilitar las condiciones como la asociatividad de la composición para mantener sólo hasta isomorfismos coherentes en el sentido débil.

3. Uno puede definir una categoría ∞ como una especie de colim de n- Categorias. A la inversa, si uno tiene la noción de una (debilada) ∞-categoría (dice una cuasi-categoría) en el principio, entonces un débil n- lacategoría se puede definir como un tipo de truncado ∞-categoría.

naturales naturales

1. Una transformación natural es, aproximadamente, un mapa entre los funerarios. Precisamente, dado un par de functores F, G de una categoría C en la categoría D, una transformación natural φ de F a G es un conjunto de morfismos en D

{}φ φ x:F()x)→ → G()x)▪ ▪ x▪ ▪ Ob⁡ ⁡ ()C)}{displaystyle {phi _{x}:F(x)to G(x)mid xin operatorname {Ob} (C)}}

satisfacer la condición: para cada morfismo f: x → Sí. dentro C, φ φ Sí.∘ ∘ F()f)=G()f)∘ ∘ φ φ x{displaystyle phi _{y}circ F(f)=G(f)circ phi _{x}. Por ejemplo, escribir GLn()R){displaystyle GL_{n}(R)} para el grupo de invertibles n-por-n matrices con coeficientes en un anillo conmutativo RPodemos ver GLn{displaystyle GL_{n} como un functor de la categoría CRing de anillos conmutativos a la categoría Grp de grupos. Análogamente, R↦ ↦ RAlternativa Alternativa {displaystyle Rmapsto R^{*} es un functor de CRing a Grp. Entonces el punto determinante es una transformación natural de GLn{displaystyle GL_{n} to -^*.

2. Un isomorfismo natural es una transformación natural que es un isomorfismo (es decir, admite el inverso).

nervio

El functor nervioso N es el functor de Gato a sSet dado por N()C)n=HomCat⁡ ⁡ ()[n],C){displaystyle N(C)_{n}=operatorname ¿Qué?. Por ejemplo, si φ φ {displaystyle varphi } es un functor en N()C)2{displaystyle N(C)_{2} (llamado 2-simplex) xi=φ φ ()i),0≤ ≤ i≤ ≤ 2{displaystyle x_{i}=varphi (i),,0leq ileq 2}. Entonces... φ φ ()0→ → 1){displaystyle varphi (0to 1)} es un morfismo f:x0→ → x1{displaystyle f:x_{0}to x_{1}} dentro C y también φ φ ()1→ → 2)=g:x1→ → x2{displaystyle varphi (1to 2)=g:x_{1}to x_{2} para algunos g dentro C. Desde 0→ → 2{displaystyle 0to 2} es 0→ → 1{displaystyle 0to 1} seguido 1→ → 2{displaystyle 1to 2} y desde φ φ {displaystyle varphi } es un functor, φ φ ()0→ → 2)=g∘ ∘ f{displaystyle varphi (0to 2)=gcirc f}. En otras palabras, φ φ {displaystyle varphi } codificadores f, g y sus composiciones.

normal

Un monomorfismo es normal si es el núcleo de algún morfismo, y un epimorfismo es conormal si es el coqueño de algún morfismo. Una categoría es normal si cada monomorfismo es normal.

O

objeto

1. Un objeto es parte de un dato que define una categoría.

2. Un objeto [adjetivo] en una categoría C es un funerario contravariante (o prehesa) de alguna categoría fija correspondiente al "adjetivo" a C. Por ejemplo, un objeto simplicial en C es un functor contravariante de la categoría simplicial a C y un objeto de calibre es un functor contravariante puntiagudo de Dimensiones (aproximadamente la categoría puntiaguda de conjuntos finitos apuntados) a C proporcionadas C Está apuntado.

op-fibration

Un functor π:C → D es una op-fibración si, para cada objeto x dentro C y cada morfismo g: π(x) → Sí. dentro D, hay al menos un morfismo π-coCartesiano f: x → Sí. ' dentro C tal que πf) g. En otras palabras, π es el doble de una fibra Grothendieck.

opuesto

La categoría opuesta de una categoría se obtiene revirtiendo las flechas. Por ejemplo, si un conjunto parcialmente ordenado es considerado como una categoría, tomando sus cantidades opuestas para invertir el orden.

P

perfecto

A veces sinónimo de "compacto". Ver complejo perfecto.

apuntes

Se llama una categoría (o ∞-categoría) si tiene un objeto cero.

polinomios

Un functor de la categoría de espacios vectoriales finitos a sí mismo se llama functor polinomio si, por cada par de espacios vectoriales V, W, F: Hom(V, W) → Hom(F()V), F()W) es un mapa polinomio entre los espacios vectores. Un functor Schur es un ejemplo básico.

preadditivo

Una categoría es preaditiva si se enriquece sobre la categoría monoidal de grupos abelianos. Más generalmente, es R-linear si se enriquece sobre la categoría monoidal de R-modules, para R un anillo conmutativo.

presentable

Dado un cardenal regular κ, una categoría es κ-presentable si admite todos los pequeños colimites y es κ-accesible. Una categoría es presentable si es κ-presentable para algún cardenal regular κ (hence presentable para cualquier cardenal más grande). Nota: Algunos autores llaman a una categoría presentable una categoría localmente presentable.

presheaf

Otro término para un functor contravariante: un functor de una categoría C^operaciones a Set es una hoja de juego C y un functor de C^operaciones a sSet es un presheaf de conjuntos simpliciales o presheaf simplicial, etc. Una topología en C, si lo hay, le dice cuál es una hoja (con respecto a esa topología).

producto

1. El producto de una familia de objetos X_i en una categoría C indexado por un conjunto I es el límite de proyecto lim← ← {displaystyle varprojlim } del functor I→ → C,i↦ ↦ Xi{displaystyle Ito C,,imapsto X_{i}, donde I se considera una categoría discreta. Es denotado por ∏ ∏ iXi{displaystyle prod _{i}X_{i} y es el doble del coproducto de la familia.

2. El producto de una familia de categorías C_i's indexado por un conjunto I es la categoría de ∏ ∏ iCi{displaystyle prod _{i}C_{i} cuya clase de objetos es el producto de las clases de objetos C_i's y cuyos hom-sets son ∏ ∏ iHomCi⁡ ⁡ ()Xi,Yi){displaystyle prod _{i}operatorname {Hom} ¿Qué?; los morfismos se componen en sentido de componente. Es el doble de la unión descomunal.

profunctor

Categorías C y D, un profunctor (o un distribuidor) C a D es un functor de la forma Doperaciones× × C→ → Set{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ Cto mathbf {Set}.

proyecto

1. Un objeto A en una categoría abeliana es proyector si el functor Hom⁡ ⁡ ()A,− − ){displaystyle operatorname {Hom} (A,-)} es exacto. Es el doble de un objeto inyectable.

2. El término "límite proyectivo" es otro nombre para un límite inverso.

PROP

Un PROP es una categoría monoidal estricta simétrica cuyos objetos son números naturales y cuyo producto tensor añade números naturales.

pseudoalgebra

Un pseudoalgebra es una 2-categoría-versión de un álgebra para una monada (con una monada reemplazada por un 2-monad).

Q

Q

Q-categoría.

Quillen

Teorema de Quillen A proporciona un criterio para que un functor sea una equivalencia débil.

R

reflector

1. Se dice que un functor refleja identidades si tiene la propiedad: si F()k) es una identidad entonces k es una identidad también.

2. Se dice que un functor refleja isomorfismos si tiene la propiedad: F()k) es un isomorfismo entonces k es un isomorfismo también.

representable

Un functor contravariante de valor fijo F en una categoría C se dice que es representable si pertenece a la imagen esencial del embedding Yoneda C→ → Fct()Coperaciones,Set){displaystyle Cto mathbf {Fct} (C^{text{op},mathbf {Set})}i.e., F≃ ≃ HomC⁡ ⁡ ()− − ,Z){displaystyle Fsimeq operatorname {Hom} _{C}(-,Z)} para algún objeto Z. El objeto Z se dice que es el objeto que representa F.

retracción

Un morfismo es una retracción si tiene un inverso derecho.

rig

Una categoría de rig es una categoría con dos estructuras monoidales, una repartición sobre la otra.

S

Sección

Un morfismo es una sección si tiene un inverso izquierdo. Por ejemplo, el axioma de elección dice que cualquier función subjetiva admite una sección.

Espacio espontáneo

Los espacios seglares eran ciertos espacios simpliciales, introducidos como modelos para (∞, 1)-categorías.

semisimple

Una categoría abeliana es semisimple si cada secuencia exacta corta se divide. Por ejemplo, un anillo es semisimple si y sólo si la categoría de módulos sobre él es semisimple.

Serre functor

Dado a k- Categoría lineal C sobre un terreno k, un functor Serre f:C→ → C{displaystyle f:Cto C} es una auto-equivalencia tal que Hom⁡ ⁡ ()A,B)≃ ≃ Hom⁡ ⁡ ()B,f()A))Alternativa Alternativa {displaystyle operatorname {Hom} (A,B)simeq operatorname {Hom} (B,f(A))^{*} para cualquier objeto A, B.

objeto simple

Un objeto simple en una categoría abeliana es un objeto A que no es isomorfo al objeto cero y cuyo subobjeto es isomorfo a cero o a A. Por ejemplo, un módulo simple es precisamente un objeto simple en la categoría de módulos (por ejemplo, izquierda).

categoría simple

La categoría Δ simplex es la categoría donde un objeto es un conjunto [n♪ = 0, 1, ..., n }, n ≥ 0, totalmente ordenado de la manera estándar y un morfismo es una función de mantenimiento del orden.

simplicial category

Una categoría enriquecida sobre conjuntos simpliciales.

Localización simulacial

Localización Simplicial es un método de localización de una categoría.

simplicial objeto

Un objeto simplicial en una categoría C es aproximadamente una secuencia de objetos X0,X1,X2,... ... {displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},dots dentro C que forma un conjunto simplicial. En otras palabras, es un functor covariante o contravariante Δ → C. Por ejemplo, un presheaf simplicial es un objeto simplicial en la categoría de presheaves.

simplicial set

Un conjunto simplicial es un functor contravariante de Δ a Set, donde Δ es la categoría simplex, una categoría cuyos objetos son los conjuntos [n♪ = 0, 1, ..., n } y cuyos morfismos son funciones de mantenimiento del orden. Uno escribe Xn=X()[n]){displaystyle X_{n}=X(n)} y un elemento del conjunto Xn{displaystyle X_{n} se llama n-simplex. Por ejemplo, Δ Δ n=HomΔ Δ ⁡ ⁡ ()− − ,[n]){displaystyle Delta ^{n}=operatorname [Hom] _{Delta }(-,[n]} es un conjunto simplicial llamado el estándar n-simplex. Por la lema de Yoneda, Xn≃ ≃ Nat⁡ ⁡ ()Δ Δ n,X){displaystyle X_{n}simeq operatorname (Delta ^{n},X)}.

sitio

Una categoría equipada con una topología de Grothendieck.

esqueleto

1. Una categoría es esquelética si los objetos isomorfos son necesariamente idénticos.

2. Un esqueleto (no único) de una categoría es una subcategoría completa que es esqueleto.

Rebanada

Dado una categoría C y un objeto A en ella, la categoría de rebanada C_/A de C sobre A es la categoría cuyos objetos son todos los morfismos en C con codomain A, cuyos morfismos son morfismos en C tal si f es un morfismo de pX:X→ → A{displaystyle ¿Qué? a pY:Y→ → A{displaystyle Y a A.Entonces pY∘ ∘ f=pX{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ f=p_{X} dentro C y cuya composición es la de C.

pequeño

1. Una pequeña categoría es una categoría en la que la clase de todos los morfismos es un conjunto (es decir, no una clase adecuada); de otro modo grande. Una categoría es localmente pequeño si los morfismos entre cada par de objetos A y B formar un conjunto. Algunos autores asumen una fundación en la que la colección de todas las clases forma un "conglomerado", en cuyo caso un quasicategoría es una categoría cuyos objetos y morfismos forman simplemente un conglomerado. (NB: algunos autores utilizan el término "quasicategoría" con un significado diferente.)

2. Se dice que un objeto en una categoría es pequeño si es κ-compact para algún cardenal regular κ. La noción aparece prominentemente en el pequeño argumento de Quiilen (cf. https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument)

especie

Una especie (combinatorial) es un endofunctor en el grupo de conjuntos finitos con bijeciones. Es categóricamente equivalente a una secuencia simétrica.

estable

Una categoría ∞ es estable si (1) tiene un objeto cero, (2) cada morfismo en ella admite una fibra y un cofiber y (3) un triángulo en él es una secuencia de fibra si y sólo si es una secuencia de cofibra.

estricto

Un morfismo f en una categoría admitir límites finitos y colimites finitos es estricto si el morfismo natural Coim⁡ ⁡ ()f)→ → Im⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {Coim} (f)to operatorname {Im} (f)} es un isomorfismo.

estricto n- Categoria

Un estricto 0-categoría es un conjunto y para cualquier entero n ≤ 0, una estricta n-categoría es una categoría enriquecida sobre estricta (n-1)-categorías. Por ejemplo, una estricta categoría es una categoría ordinaria. Nota: el término "n-categoría" típicamente se refiere a la "categoría n débil"; no estricta.

subcanonical

Una topología en una categoría es subcanonical si cada functor contravariante representable en C es una hoja con respecto a esa topología. En términos generales, algunas topologías planas pueden no ser subcanónicas; pero las topologías planas que aparecen en la práctica tienden a ser subcanónicas.

subcategoría

A category A es una subcategoría de una categoría B si hay un functor de inclusión de A a B.

subobjeto

Dado un objeto A en una categoría, un subobjeto A es una clase de equivalencia de monomorfismos a A; dos monomorfismos f, g se consideran equivalentes si f factores g y g factores f.

subcociente

Un cociente es un cociente de un subobjeto.

objeto subterminal

Un objeto subterminal es un objeto X tal que cada objeto tiene a la mayoría un morfismo en X.

categoría monoidal simétrica

Una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal (es decir, una categoría con ⊗) que tiene trenzado máximo simétrico.

secuencia simétrica

Una secuencia simétrica es una secuencia de objetos con acciones de grupos simétricos. Es categóricamente equivalente a una especie (combinatorial).

T

t-estructura

Una estructura t es una estructura adicional en una categoría triangulada (más generalmente estable ∞-categoría) que axioma las nociones de complejos cuya cohomología se concentró en grados no negativos o no positivos.

dualidad tannakiana

La dualidad Tannakiana declara que, en una configuración apropiada, para dar un morfismo f:X→ → Y{displaystyle f:Xto Sí. es dar un functor de retroceso fAlternativa Alternativa {displaystyle f^{*} a lo largo. En otras palabras, el conjunto Hom Hom⁡ ⁡ ()X,Y){displaystyle operatorname {Hom} (X,Y)} se puede identificar con la categoría de functor Fct⁡ ⁡ ()D()Y),D()X)){displaystyle operatorname {Fct} (D(Y),D(X)}, quizás en el sentido derivado, donde D()X){displaystyle D(X)} es la categoría asociada a X (por ejemplo, la categoría derivada).

categoría de tensor

Generalmente sinónimo de categoría monoidal (aunque algunos autores distinguen entre los dos conceptos).

categoría de tensor triangulado

Una categoría triangulada de tensor es una categoría que lleva la estructura de una categoría monoidal simétrica y la de una categoría triangulada de manera compatible.

producto tensor

Dada una categoría monoidal B, el producto tensor de functores F:Coperaciones→ → B{displaystyle F:C^{text{op}to B. y G:C→ → B{displaystyle G:Cto B} es el coend:

F⊗ ⊗ CG=∫ ∫ c▪ ▪ CF()c)⊗ ⊗ G()c).{displaystyle Fotimes _{C}G=int ^{cin C}F(c)otimes G(c).}

2. Un objeto A en unacategoría C es terminal si MapaC⁡ ⁡ ()B,A){displaystyle operatorname {Map} _{C}(B,A)} es contractual para cada objeto B dentro C.

U

universal

1. Dado un functor f:C→ → D{displaystyle f:Cto D} y un objeto X dentro D, un morfismo universal de X a f es un objeto inicial en la categoría de coma ()X↓ ↓ f){displaystyle (Xdownarrow f)}. (Su dualidad también se llama morfismo universal.) Por ejemplo, tome f ser el funerario olvidadizo Veck→ → Set{displaystyle mathbf {Vec} _{k}to mathbf {Set} y X un set. Un objeto inicial ()X↓ ↓ f){displaystyle (Xdownarrow f)} es una función j:X→ → f()VX){displaystyle j:Xto f(V_{X})}. Que es inicial significa que si k:X→ → f()W){displaystyle k:Xto f(W)} es otro morfismo, entonces hay un morfismo único j a k, que consiste en un mapa lineal VX→ → W{displaystyle V_{X}to W} que se extiende k via j; es decir, VX{displaystyle V_{X} es el espacio vectorial gratuito generado por X.

2. Dictado más explícitamente, dado f como arriba, un morfismo X→ → f()uX){displaystyle Xto f(u_{X}} dentro D es universal si y sólo si el mapa natural

HomC⁡ ⁡ ()uX,c)→ → HomD⁡ ⁡ ()X,f()c)),α α ↦ ↦ ()X→ → f()ux)→ → f()α α )f()c)){displaystyle operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)to operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),,alpha mapsto (Xto f(u_{x}){overset {f(alpha)}{to }f(c)}}} {

es bijetivo. En particular, si HomC⁡ ⁡ ()uX,− − )≃ ≃ HomD⁡ ⁡ ()X,f()− − )){displaystyle operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)simeq operatorname {Hom} _{D}(X,f(-)}, entonces tomar c para ser u_X uno recibe un morfismo universal enviando el morfismo de identidad. En otras palabras, tener un morfismo universal equivale a la representabilidad del functor HomD⁡ ⁡ ()X,f()− − )){displaystyle operatorname {Hom} _{D}(X,f(-)}.

W

Categoría Waldhausen

Una categoría Waldhausen es, aproximadamente, una categoría con familias de cofibraciones y equivalencias débiles.

bien dotado

Una categoría es bien potenciada si para cada objeto sólo hay un conjunto de subobjetos no isómorfos pares.

Y

Yoneda

1.

El Lemma de Yoneda afirma... en términos más evocativos, un objeto matemático X es mejor pensado en el contexto de una categoría que lo rodea, y está determinado por la red de relaciones que disfruta con todos los objetos de esa categoría. Además, para entender X podría ser más germano tratar directamente con el funerario que lo representa. Esto es reminiscente del juego de la lengua de Wittgenstein’; es decir, que el significado de una palabra es, en esencia, determinado por, de hecho, no es nada más que, sus relaciones con todas las declaraciones en un idioma.

Barry Mazur, Pensando en Grothendieck

La lema de Yoneda dice: para cada functor contravariante de valor fijo F on C y un objeto X dentro C, hay una bijeción natural

F()X)≃ ≃ Nat⁡ ⁡ ()HomC⁡ ⁡ ()− − ,X),F){displaystyle F(X)simeq operatorname {Nat} (operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)}

donde Nat significa el conjunto de transformaciones naturales. En particular, el functor

Sí.:C→ → Fct()Coperaciones,Set),X↦ ↦ HomC⁡ ⁡ ()− − ,X){displaystyle y:Cto mathbf {Fct} (C^{text{op},mathbf {Set}),,Xmapsto operatorname [Hom] _{C}(-,X)}

es totalmente fiel y se llama la incrustación de Yoneda.

2. Si F:C→ → D{displaystyle F:Cto D} es un functor y Sí. es la incrustación de Yoneda C, entonces la extensión de Yoneda F es la extensión de Kan izquierda F y Sí..

Z

cero

Un objeto cero es un objeto inicial y terminal, como un grupo trivial en Grp.