Geometría tropical

En matemáticas, la geometría tropical es el estudio de polinomios y sus propiedades geométricas cuando la suma se reemplaza por la minimización y la multiplicación se reemplaza por la suma ordinaria:

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Por ejemplo, el polinomio clásico ${\displaystyle x^{3}+2xy+y^{4}$ se convertiría en ${\displaystyle \min\{x+x,\;2+x+y,\;y+y+y\}}$. Tales polinomios y sus soluciones tienen importantes aplicaciones en problemas de optimización, por ejemplo el problema de optimizar los tiempos de salida para una red de trenes.

La geometría tropical es una variante de la geometría algebraica en la que los gráficos polinomiales se asemejan a mallas lineales por partes y en la que los números pertenecen al semianillo tropical en lugar de a un campo. Debido a que la geometría clásica y tropical están estrechamente relacionadas, los resultados y métodos se pueden convertir entre ellas. Las variedades algebraicas se pueden asignar a una contraparte tropical y, dado que este proceso aún conserva cierta información geométrica sobre la variedad original, se puede utilizar para ayudar a probar y generalizar resultados clásicos de la geometría algebraica, como el teorema de Brill-Noether, utilizando las herramientas de geometría tropical.

Historia

Las ideas básicas del análisis tropical fueron desarrolladas de forma independiente utilizando la misma notación por matemáticos que trabajan en diversos campos. Las ideas centrales de la geometría tropical aparecieron en diferentes formas en varias obras anteriores. Por ejemplo, Victor Pavlovich Maslov introdujo una versión tropical del proceso de integración. También notó que la transformación de Legendre y las soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi son operaciones lineales en el sentido tropical. Sin embargo, sólo desde finales de la década de 1990 se ha hecho un esfuerzo por consolidar las definiciones básicas de la teoría. Esto fue motivado por su aplicación a la geometría algebraica enumerativa, con ideas de Maxim Kontsevich y obras de Grigory Mikhalkin, entre otros.

El adjetivo tropical fue acuñado por matemáticos franceses en honor al informático brasileño nacido en Hungría Imre Simon, que escribió sobre el campo. Jean-Éric Pin atribuye la acuñación a Dominique Perrin, mientras que el propio Simon atribuye la palabra a Christian Choffrut.

Antecedentes en álgebra

La geometría tropical se basa en el semianillo tropical. Esto se define de dos maneras, dependiendo de la convención máxima o mínima.

El min tropical semi es la semicama ${\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{+\infty \},\oplus\otimes)}$, con las operaciones:

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Las operaciones ${\displaystyle \oplus }$ y ${\displaystyle \otimes }$ se mencionan como tropical y multiplicación tropical respectivamente. El elemento de identidad ${\displaystyle \oplus }$ es ${\displaystyle +\infty}$, y el elemento de identidad para ${\displaystyle \otimes }$ es 0.

Del mismo modo, el max tropical semiring es la semicama ${\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{-\infty \},\oplus\otimes)}$, con operaciones:

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

El elemento de identidad ${\displaystyle \oplus }$ es ${\displaystyle -\infty$, y el elemento de identidad para ${\displaystyle \otimes }$ es 0.

Estas semirings son isomorfos, bajo negación ${\displaystyle x\mapsto -x}$, y generalmente uno de estos es elegido y se refiere simplemente como semiárea tropical. Los convenios difieren entre autores y subcampos: algunos utilizan el min convención, algunos usan max convención.

El modelo de operaciones de semiring tropical cómo las valoraciones se comportan bajo adición y multiplicación en un campo valorado.

Algunos campos de valores comunes que se encuentran en la geometría tropical (con convención mínima) son:

• ${\displaystyle \mathbb {Q}$ o ${\displaystyle \mathbb}$ con la valoración trivial, ${\displaystyle v(a)=0}$ para todos ${\displaystyle a\neq 0}$.
• ${\displaystyle \mathbb {Q}$ o sus extensiones con la valoración p-adic, ${\displaystyle v_{p}(p^{n}a/b)=n}$ para a y b coprime p.
• El campo de la serie Laurent ${\displaystyle \mathbb {C} (\! t)}$ (poderes enteros), o el campo de la serie Puiseux (complejo) ${\displaystyle \mathbb {} {\\fnMicrosoft Sans Serif}}}$, con valoración devolver el exponente más pequeño de t apareciendo en la serie.

Polinomios tropicales

A polinomia tropical es una función ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} {n}\to \mathbb {R}$ que se puede expresar como la suma tropical de un número finito de términos monomiales. Un término monomial es un producto tropical (y/o cociente) de una constante y variables ${\displaystyle X_{1},\ldots X_{n}$. Así un polinomio tropical F es el mínimo de una colección finita de funciones affine-linear en las que las variables tienen coeficientes enteros, por lo que es concave, continuo, y lineal en sentido parcial.

${\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{1},\ldotsX_{n}) limit=\left(C_{1}\otimes X_{1} {\otimes a_{11}\otimes \cdots \otimes X_{n}{\otimes a_{n1}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1} {\otimes a_{1s}\otimes \cdots \otimes ################################################################################################################################################################################################################################################################ +a_{n1}X_{n},\;\ldots\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots - ¿Qué?$

Dado un polinomio f en el anillo polinomio Laurent ${\displaystyle K[x_{1}{\pm 1}\ldotsx_{n}^{\pm 1}$ Donde K es un campo valorado, el tropicalización de f, denotado ${\displaystyle \operatorname {Trop} (f)}$, es el polinomio tropical obtenido de f sustituyendo la multiplicación y la adición por sus homólogos tropicales y cada constante en K por su valoración. Eso es, si

${\displaystyle f=\sum ¿Por qué?$

entonces

${\displaystyle \operatorname {Trop} (f)=\bigoplus _{i=1} {s}v(c_{i})\otimes X^{\otimes A_{i}}$

El conjunto de puntos donde un polinomio tropical F no diferenciable se llama su asociado hipersuperficie tropical, denotado ${\displaystyle \mathrm {V} (F)}$ (en analogía con el conjunto desaparecido de un polinomio). Equivalentemente, ${\displaystyle \mathrm {V} (F)}$ es el conjunto de puntos donde el mínimo entre los términos F se logra al menos dos veces. Cuando ${\displaystyle F=\operatorname {Trop} (f)}$ para un polinomio Laurent f, esta última caracterización de ${\displaystyle \mathrm {V} (F)}$ refleja el hecho de que en cualquier solución ${\displaystyle f=0}$, la valoración mínima de los términos f debe alcanzarse al menos dos veces para que todos cancelen.

Variedades tropicales

Definiciones

Para X una variedad algebraica en el torus algebraico ${\displaystyle (K^{\times )} {n}}$, el variedad tropical de X o tropicalización de X, denotado ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$, es un subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$ que se puede definir de varias maneras. La equivalencia de estas definiciones se denomina la Teorema fundamental de la geometría tropical.

Intersección de las hipersuperficies tropicales

Vamos. ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ ser el ideal de los polinomios Laurent que desaparecen X dentro ${\displaystyle K[x_{1}{\pm 1}\ldotsx_{n}^{\pm 1}$. Define

${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\bigcap _{f\in \mathrm {I} (X)}\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

Cuando X es una hipersuperficie, su ideal desaparecido ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ es un ideal principal generado por un polinomio Laurent f, y la variedad tropical ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ es precisamente la hipersuperficie tropical ${\displaystyle \mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f)}$.

Cada variedad tropical es la intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales. Un conjunto finito de polinomios ${\displaystyle \{f_{1},\ldotsf_{r}\subseteq \mathrm {I} (X)}$ se llama base tropical para X si ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ es la intersección de las hipersuperficies tropicales de ${\displaystyle \operatorname {Trop} (f_{1}),\ldots\operatorname {Trop} (f_{r})}$. En general, un conjunto generador de ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ no es suficiente para formar una base tropical. La intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales se llama una prevaricia tropical y en general no es una variedad tropical.

Ideales iniciales

Elegir un vector ${\displaystyle \mathbf}$ dentro ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$ define un mapa de los términos monomiales ${\displaystyle K[x_{1}{\pm 1}\ldotsx_{n}^{\pm 1}$ a ${\displaystyle \mathbb {R}$ enviando el término m a ${\displaystyle \operatorname {Trop} (m)(\mathbf {w})}$. Para un polinomio Laurent ${\displaystyle f=m_{1}+\cdots #$, definir el formulario inicial de f a ser la suma de los términos ${\displaystyle m_{i}$ de f para la cual ${\displaystyle \operatorname {Trop} (m_{i})(\mathbf {w})}$ es mínimo. Para el ideal ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$, definir su ideal con respecto a ${\displaystyle \mathbf}$ para ser

${\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)=(\operatorname {in} _{\mathbf {w}(f):f\in \mathrm {I} (X)). }$

Luego define

${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\{\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)\neq (1)}$

Como estamos trabajando en el anillo Laurent, este es el mismo que el conjunto de vectores de peso para el cual ${\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)}$ no contiene un monomial.

Cuando K tiene valoración trivial, ${\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)}$ es precisamente el ideal inicial ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ con respecto al orden monomial dado por un vector de peso ${\displaystyle \mathbf}$. De ello se desprende que ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ es un subfan del fan de Gröbner ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$.

Imagen del mapa de valoración

Supongamos que X es una variedad sobre un campo K con valoración v cuya imagen es densa ${\displaystyle \mathbb {R}$ (por ejemplo, un campo de la serie Puiseux). Al actuar como coordinador, v define un mapa del torus algebraico ${\displaystyle (K^{\times )} {n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$. Entonces defina

${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)={\overline {\{(v(x_{1}),\ldotsv(x_{n}):(x_{1},\ldotsx_{n}}}}}}}}}$

donde el overline indica el cierre en la topología Euclidea. Si la valoración de K no es denso en ${\displaystyle \mathbb {R}$, entonces la definición anterior se puede adaptar mediante la ampliación de los escalares al campo más grande que tiene una valoración densa.

Esta definición muestra que ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ es el ameba no armenio sobre un campo algebraicamente cerrado no-Arquimedean K.

Si X es una variedad sobre ${\displaystyle \mathbb}$, ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ puede considerarse como el objeto limitante de la ameba ${\displaystyle \operatorname {Log} _{t}(X)}$ como base t del mapa del logaritmo va al infinito.

Complejo poliedral

La caracterización siguiente describe las variedades tropicales intrínsecamente sin referencia a las variedades algebraicas y la tropicalización. Un juego V dentro ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$ es una variedad tropical irreducible si es el apoyo de un complejo poliedral ponderado de dimensión pura d que satisface a los Afección de la tensión cero y está conectado en la codimensión uno. Cuando d es uno, la condición de cero tensión significa que alrededor de cada vértice, la suma ponderada de las direcciones de salida de los bordes equivale a cero. Para mayor dimensión, las sumas se toman en lugar alrededor de cada célula de dimensión ${\displaystyle d-1}$ después de citar el afin de la celda. La propiedad que V está conectado en la codimensión uno significa para cualquier dos puntos que mienten en la dimensión d células, hay un camino que los conecta que no pasa a través de ninguna célula de dimensión menos que ${\displaystyle d-1}$.

Curvas tropicales

El estudio de las curvas tropicales (variedades tropicales de dimensión uno) está particularmente bien desarrollado y está fuertemente relacionado con la teoría de grafos. Por ejemplo, la teoría de los divisores de las curvas tropicales está relacionada con los juegos de disparo de fichas sobre gráficos asociados a las curvas tropicales.

Muchos teoremas clásicos de la geometría algebraica tienen contrapartes en la geometría tropical, incluyendo:

• El teorema hexagonal de Pappus.
• Teorema de Bézout.
• La fórmula de grado-geno.
• El teorema Riemann-Roch.
• La ley del grupo de los cubículos.

Oleg Viro utilizó curvas tropicales para clasificar curvas reales de grado 7 en el plano hasta la isotopía. Su método de patchwork proporciona un procedimiento para construir una curva real de una clase de isotopía dada a partir de su curva tropical.

Aplicaciones

Apareció una línea tropical en el diseño de Paul Klemperer de las subastas utilizadas por el Banco de Inglaterra durante la crisis financiera de 2007. Yoshinori Shiozawa definió el álgebra subtropical como un semiring de tiempos máximos o mínimos (en lugar de máximos más y min-plus). Encontró que la teoría del comercio ricardiano (comercio internacional sin comercio de insumos) puede interpretarse como un álgebra convexa subtropical. La geometría tropical también se ha utilizado para analizar la complejidad de las redes neuronales feedforward con activación ReLU.

Además, en el marco de la geometría tropical se pueden formular y resolver varios problemas de optimización que surgen, por ejemplo, en la programación de trabajos, análisis de ubicación, redes de transporte, toma de decisiones y sistemas dinámicos de eventos discretos. Se puede aplicar una contraparte tropical del mapa de Abel-Jacobi a un diseño de cristal. A menudo se requiere que los pesos en un transductor de estado finito ponderado sean un semianillo tropical. La geometría tropical puede mostrar una criticidad autoorganizada.