Geometría sintética

Geometría sintética (a veces denominada geometría axiomática o incluso geometría pura) es geometría sin el uso de coordenadas. Se basa en el método axiomático para probar todos los resultados a partir de unas pocas propiedades básicas inicialmente llamadas postulados, y en la actualidad llamadas axiomas.

El término "geometría sintética" ha sido acuñado solo después del siglo XVII, y la introducción por parte de René Descartes del método de coordenadas, que se denominó geometría analítica. Así que el término "geometría sintética" se introdujo para referirse a los métodos más antiguos que eran, antes de Descartes, los únicos conocidos.

Según Félix Klein

La geometría sintética es la que estudia figuras como tales, sin recurrir a fórmulas, mientras que la geometría analítica constantemente hace uso de las fórmulas que se pueden escribir después de la adopción de un sistema apropiado de coordenadas.

El primer enfoque sistemático para la geometría sintética son los Elementos de Euclides. Sin embargo, a finales del siglo XIX pareció que los postulados de Euclides no eran suficientes para caracterizar la geometría. El primer sistema completo de axiomas para la geometría fue dado solo a fines del siglo XIX por David Hilbert. Al mismo tiempo, parecía que tanto los métodos sintéticos como los métodos analíticos se pueden usar para construir geometría. El hecho de que los dos enfoques son equivalentes ha sido probado por Emil Artin en su libro Geometric Algebra.

Debido a esta equivalencia, la distinción entre geometría sintética y analítica ya no se usa, excepto a nivel elemental, o para geometrías que no están relacionadas con ningún tipo de números, como algunas geometrías finitas y geometría no desarguesiana.

Síntesis lógica

El proceso de síntesis lógica comienza con un punto de partida arbitrario pero definido. Este punto de partida es la introducción de nociones primitivas o primitivas y axiomas sobre estas primitivas:

• Primitivos son las ideas más básicas. Típicamente incluyen objetos y relaciones. En la geometría, los objetos son cosas como puntos, líneas y aviones, mientras que una relación fundamental es la de incidencia – de una reunión de objetos o unirse con otro. Los términos mismos son indefinidos. Hilbert comentó una vez que en lugar de puntos, líneas y planos uno podría hablar también de mesas, sillas y tazas de cerveza, el punto es que los términos primitivos son sólo propietarios de lugares vacíos y no tienen propiedades intrínsecas.
• Axiomas son declaraciones sobre estos primitivos; por ejemplo, cualquier dos puntos son juntos incidente con sólo una línea (es decir, por cada dos puntos, sólo hay una línea que pasa a través de ambos). Los axiomas son asumidos verdaderos, y no probados. Ellos son bloques de construcción de conceptos geométricos, ya que especifican las propiedades que tienen los primitivos.

A partir de un conjunto dado de axiomas, la síntesis procede como un argumento lógico cuidadosamente construido. Cuando un resultado significativo se prueba rigurosamente, se convierte en un teorema.

Propiedades de los conjuntos de axiomas

No hay un conjunto fijo de axiomas para la geometría, ya que se puede elegir más de un conjunto consistente. Cada uno de estos conjuntos puede conducir a una geometría diferente, mientras que también hay ejemplos de diferentes conjuntos que dan la misma geometría. Con esta plétora de posibilidades, ya no es apropiado hablar de "geometría" en singular.

Históricamente, el postulado de las paralelas de Euclides ha resultado ser independiente de los demás axiomas. Simplemente descartarlo da geometría absoluta, mientras que negarlo produce geometría hiperbólica. Otros conjuntos de axiomas consistentes pueden generar otras geometrías, como geometría proyectiva, elíptica, esférica o afín.

Axiomas de continuidad y "intermediación" también son opcionales, por ejemplo, se pueden crear geometrías discretas descartándolas o modificándolas.

Siguiendo el programa de Erlangen de Klein, la naturaleza de cualquier geometría dada puede verse como la conexión entre la simetría y el contenido de las proposiciones, más que como el estilo de desarrollo.

Historia

El tratamiento original de Euclides permaneció indiscutible durante más de dos mil años, hasta que los descubrimientos simultáneos de las geometrías no euclidianas por parte de Gauss, Bolyai, Lobachevsky y Riemann en el siglo XIX llevaron a los matemáticos a cuestionar el significado subyacente de Euclides. suposiciones

Uno de los primeros analistas franceses resumió la geometría sintética de esta manera:

Los Elementos de Euclid son tratados por el método sintético. Este autor, después de haber planteado al axiomas, y formó los requisitos, estableció las proposiciones que él demuestra sucesivamente ser apoyado por aquello que precedió, procediendo siempre de los simple a compuesto, que es el carácter esencial de la síntesis.

Se puede considerar que el apogeo de la geometría sintética fue el siglo XIX, cuando algunos geómetras como Jakob Steiner ignoraron los métodos analíticos basados en coordenadas y cálculo, en favor de un desarrollo puramente sintético de la geometría proyectiva. Por ejemplo, el tratamiento del plano proyectivo a partir de axiomas de incidencia es en realidad una teoría más amplia (con más modelos) que la que se obtiene a partir de un espacio vectorial de dimensión tres. La geometría proyectiva tiene, de hecho, la expresión sintética más simple y elegante de cualquier geometría.

En su programa de Erlangen, Felix Klein restó importancia a la tensión entre los métodos sintéticos y analíticos:

Sobre la Antítesis entre el Método Sintético y el Método Analítico en la Geometría Moderna:

La distinción entre la síntesis moderna y la geometría analítica moderna ya no debe considerarse como esencial, ya que tanto la materia como los métodos de razonamiento han tomado gradualmente una forma similar en ambos. Por lo tanto, elegimos en el texto como denominación común de ambos el término geometría proyectiva. Aunque el método sintético tiene más que ver con la percepción del espacio y por lo tanto imparte un raro encanto a sus primeros desarrollos simples, el reino de la percepción del espacio no está cerrado al método analítico, y las fórmulas de la geometría analítica se pueden considerar como una declaración precisa y perspicaz de las relaciones geométricas. Por otra parte, la ventaja de la investigación original de un análisis bien formulado no debe subestimarse, una ventaja debido a su movimiento, por así decirlo, con antelación al pensamiento. Pero siempre se debe insistir en que un sujeto matemático no debe ser considerado agotado hasta que se ha hecho intuitivamente evidente, y el progreso realizado por la ayuda del análisis es sólo un primer paso, aunque un paso muy importante.

El minucioso estudio axiomático de la geometría euclidiana condujo a la construcción del cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri. Estas estructuras introdujeron el campo de la geometría no euclidiana donde se niega el axioma paralelo de Euclides. Gauss, Bolyai y Lobachevski construyeron de forma independiente la geometría hiperbólica, donde las líneas paralelas tienen un ángulo de paralelismo que depende de su separación. Este estudio se volvió ampliamente accesible a través del modelo de disco de Poincaré donde los movimientos son dados por transformaciones de Möbius. De manera similar, Riemann, estudiante de Gauss, construyó la geometría riemanniana, de la cual la geometría elíptica es un caso particular.

Otro ejemplo se refiere a la geometría inversa propuesta por Ludwig Immanuel Magnus, que puede considerarse sintética en espíritu. La operación estrechamente relacionada de reciprocidad expresa el análisis del plano.

Karl von Staudt demostró que los axiomas algebraicos, como la conmutatividad y la asociatividad de la suma y la multiplicación, eran de hecho consecuencias de la incidencia de las líneas en configuraciones geométricas. David Hilbert mostró que la configuración de Desargues jugó un papel especial. Ruth Moufang y sus alumnos realizaron más trabajos. Los conceptos han sido uno de los motivadores de la geometría de incidencia.

Cuando las líneas paralelas se toman como primarias, la síntesis produce una geometría afín. Aunque la geometría euclidiana es a la vez una geometría afín y métrica, en general, a los espacios afines les puede faltar una métrica. La flexibilidad adicional que se obtiene de este modo hace que la geometría afín sea adecuada para el estudio del espacio-tiempo, como se explica en la historia de la geometría afín.

En 1955, Herbert Busemann y Paul J. Kelley emitieron una nota nostálgica para la geometría sintética:

Aunque renuentemente, los geométricos deben admitir que la belleza de la geometría sintética ha perdido su atractivo para la nueva generación. Las razones son claras: no hace mucho tiempo la geometría sintética era el único campo en el que el razonamiento procedía estrictamente de los axiomas, mientras que este llamamiento — tan fundamental para muchas personas matemáticamente interesadas— ahora está hecho por muchos otros campos.

Por ejemplo, los estudios universitarios ahora incluyen álgebra lineal, topología y teoría de grafos donde el tema se desarrolla a partir de los primeros principios y las proposiciones se deducen mediante pruebas elementales. Esperar reemplazar la geometría sintética con la analítica conduce a la pérdida de contenido geométrico.

El estudiante de geometría actual tiene otros axiomas disponibles además de los de Euclides: vea los axiomas de Hilbert y los axiomas de Tarski.

Ernst Kötter publicó un informe (alemán) en 1901 sobre "El desarrollo de la geometría sintética de Monge a Staudt (1847)";

Pruebas usando geometría sintética

Las demostraciones sintéticas de teoremas geométricos utilizan construcciones auxiliares (como líneas auxiliares) y conceptos como la igualdad de lados o ángulos y la similitud y congruencia de triángulos. Se pueden encontrar ejemplos de tales demostraciones en los artículos Teorema de la mariposa, Teorema de la bisectriz del ángulo, Apolonio' teorema de la bandera británica, teorema de Ceva, teorema de los círculos iguales, teorema de la media geométrica, fórmula de Heron, teorema del triángulo isósceles, ley de los cosenos y otros que están vinculados aquí.

Geometría sintética computacional

Junto con la geometría computacional, se ha fundado una geometría sintética computacional, que tiene estrecha relación, por ejemplo, con la teoría matroide. La geometría diferencial sintética es una aplicación de la teoría del topos a los fundamentos de la teoría de las variedades diferenciables.