Geometría simpléctica

La geometría simpléctica es una rama de la geometría diferencial y la topología diferencial que estudia las variedades simplécticas; es decir, variedades diferenciables equipadas con una forma 2 cerrada, no degenerada. La geometría simpléctica tiene su origen en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, donde el espacio de fases de ciertos sistemas clásicos adopta la estructura de una variedad simpléctica.

El término "simpléctico", introducido por Weyl, es un calco de "complejo"; anteriormente, el "grupo simpléctico" había sido llamado el "grupo complejo de línea". "Complejo" proviene del latín com-plexus, que significa "trenzado entre sí" (co- + plexo), mientras que el simpléctico proviene del griego correspondiente sym-plektikos (συμπλεκτικός); en ambos casos la raíz proviene de la raíz indoeuropea *pleḱ- El nombre refleja las profundas conexiones entre estructuras complejas y simplécticas.

Según el teorema de Darboux, las variedades simplécticas son isomorfas al espacio vectorial simpléctico estándar a nivel local, por lo tanto, solo tienen invariantes globales (topológicas). "Topología simpléctica," que estudia las propiedades globales de las variedades simplécticas, a menudo se usa indistintamente con "geometría simpléctica".

Introducción

Una geometría simpléctica se define en un espacio uniforme de dimensión uniforme que es una variedad diferenciable. En este espacio se define un objeto geométrico, la forma simpléctica de 2, que permite la medición de tamaños de objetos bidimensionales en el espacio. La forma simpléctica en la geometría simpléctica juega un papel análogo al del tensor métrico en la geometría de Riemann. Donde el tensor métrico mide longitudes y ángulos, la forma simpléctica mide áreas orientadas.

La geometría simpléctica surgió del estudio de la mecánica clásica y un ejemplo de una estructura simpléctica es el movimiento de un objeto en una dimensión. Para especificar la trayectoria del objeto, se requiere tanto la posición q como el momento p, que forman un punto (p, q) en el plano euclidiano ℝ². En este caso, la forma simpléctica es

⋅ ⋅ =dp∧ ∧ dq{displaystyle omega =dpwedge dq}

y es una forma de área que mide el área A de una región S en el plano a través de la integración:

A=∫ ∫ S⋅ ⋅ .{displaystyle A=int _{S}omega.}

El área es importante porque a medida que los sistemas dinámicos conservadores evolucionan en el tiempo, esta área es invariable.

Las geometrías simplécticas de dimensiones superiores se definen de manera análoga. Una geometría simpléctica de 2n dimensiones está formada por pares de direcciones

()()x1,x2),()x3,x4),...... ()x2n− − 1,x2n)){displaystyle (x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),ldots (x_{2n-1},x_{2n})}

en una variedad de 2n dimensiones junto con una forma simpléctica

⋅ ⋅ =dx1∧ ∧ dx2+dx3∧ ∧ dx4+⋯ ⋯ +dx2n− − 1∧ ∧ dx2n.{displaystyle omega =dx_{1}wedge Dx. dx_{4}+cdots +dx_{2n-1}wedge dx_{2n}

Esta forma simpléctica produce el tamaño de una región de 2n dimensiones V en el espacio como la suma de las áreas de las proyecciones de V sobre cada uno de los planos formados por los pares de direcciones

A=∫ ∫ V⋅ ⋅ =∫ ∫ Vdx1∧ ∧ dx2+∫ ∫ Vdx3∧ ∧ dx4+⋯ ⋯ +∫ ∫ Vdx2n− − 1∧ ∧ dx2n.{displaystyle A=int _{V}omega =int ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? dx_{4}+cdots +int ¿Qué?

Comparación con la geometría de Riemann

La geometría simpléctica tiene una serie de similitudes y diferencias con la geometría de Riemann, que es el estudio de variedades diferenciables equipadas con dos tensores simétricos no degenerados (llamados tensores métricos). A diferencia del caso de Riemann, las variedades simplécticas no tienen invariantes locales como la curvatura. Esta es una consecuencia del teorema de Darboux, que establece que una vecindad de cualquier punto de una variedad simpléctica de 2n dimensiones es isomorfa a la estructura simpléctica estándar en un conjunto abierto de ℝ ²ⁿ. Otra diferencia con la geometría de Riemann es que no toda variedad diferenciable necesita admitir una forma simpléctica; hay ciertas restricciones topológicas. Por ejemplo, toda variedad simpléctica es uniforme y orientable. Además, si M es una variedad simpléctica cerrada, entonces el segundo grupo de cohomología de De Rham H²(M) no es trivial; esto implica, por ejemplo, que la única n-esfera que admite una forma simpléctica es la 2-esfera. Un paralelo que se puede trazar entre los dos temas es la analogía entre las geodésicas en la geometría de Riemann y las curvas pseudoholomórficas en la geometría simpléctica: las geodésicas son curvas de longitud más corta (localmente), mientras que las curvas pseudoholomórficas son superficies de área mínima. Ambos conceptos juegan un papel fundamental en sus respectivas disciplinas.

Ejemplos y estructuras

Cada variedad de Kähler es también una variedad simpléctica. Hasta bien entrada la década de 1970, los expertos en simpléctica no estaban seguros de si existían variedades simplécticas compactas que no fueran de Kähler, pero desde entonces se han construido muchos ejemplos (el primero se debió a William Thurston); en particular, Robert Gompf ha demostrado que todo grupo presentado de forma finita se presenta como el grupo fundamental de alguna cuadriplicidad simpléctica, en marcado contraste con el caso de Kähler.

La mayoría de las variedades simplécticas, se puede decir, no son Kähler; y por tanto no tienen una estructura compleja integrable compatible con la forma simpléctica. Sin embargo, Mikhail Gromov hizo la importante observación de que las variedades simplécticas admiten una gran cantidad de estructuras casi complejas compatibles, de modo que satisfacen todos los axiomas de una variedad de Kähler excepto el requisito de que las aplicaciones de transición sean holomorfas.

Gromov utilizó la existencia de estructuras casi complejas en variedades simplécticas para desarrollar una teoría de curvas pseudoholomórficas, lo que ha llevado a una serie de avances en la topología simpléctica, incluida una clase de invariantes simplécticas que ahora se conocen como invariantes de Gromov-Witten. Más tarde, usando la técnica de la curva pseudoholomórfica, Andreas Floer inventó otra herramienta importante en geometría simpléctica conocida como la homología de Floer.