Geometría proyectiva

En matemáticas, la geometría proyectiva es el estudio de las propiedades geométricas que son invariantes con respecto a las transformaciones proyectivas. Esto significa que, en comparación con la geometría euclidiana elemental, la geometría proyectiva tiene un entorno diferente, un espacio proyectivo y un conjunto selectivo de conceptos geométricos básicos. Las intuiciones básicas son que el espacio proyectivo tiene más puntos que el espacio euclidiano, para una dimensión dada, y que se permiten transformaciones geométricas que transforman los puntos extra (llamados 'puntos en el infinito') en puntos euclidianos, y viceversa. viceversa

Las propiedades significativas para la geometría proyectiva son respetadas por esta nueva idea de transformación, que tiene efectos más radicales de lo que puede expresar una matriz de transformación y traslaciones (las transformaciones afines). El primer problema para los geómetras es qué tipo de geometría es adecuada para una situación nueva. No es posible referirse a ángulos en geometría proyectiva como lo es en geometría euclidiana, porque el ángulo es un ejemplo de un concepto que no es invariante con respecto a las transformaciones proyectivas, como se ve en el dibujo en perspectiva. Una fuente para la geometría proyectiva fue de hecho la teoría de la perspectiva. Otra diferencia con la geometría elemental es la forma en que se puede decir que las líneas paralelas se encuentran en un punto en el infinito, una vez que el concepto se traduce a los términos de la geometría proyectiva. Una vez más, esta noción tiene una base intuitiva, como las vías del tren que se encuentran en el horizonte en un dibujo en perspectiva. Ver plano proyectivo para los conceptos básicos de geometría proyectiva en dos dimensiones.

Si bien las ideas estaban disponibles antes, la geometría proyectiva fue principalmente un desarrollo del siglo XIX. Esto incluía la teoría del espacio proyectivo complejo, siendo las coordenadas utilizadas (coordenadas homogéneas) números complejos. Varios tipos principales de matemáticas más abstractas (incluida la teoría de invariantes, la escuela italiana de geometría algebraica y el programa Erlangen de Felix Klein que resultó en el estudio de los grupos clásicos) fueron motivados por la geometría proyectiva. También fue un tema con muchos practicantes por sí mismo, como geometría sintética. Otro tema que se desarrolló a partir de estudios axiomáticos de geometría proyectiva es la geometría finita.

El tema de la geometría proyectiva ahora se divide en muchos subtemas de investigación, dos ejemplos de los cuales son la geometría algebraica proyectiva (el estudio de las variedades proyectivas) y la geometría diferencial proyectiva (el estudio de las invariantes diferenciales de las transformaciones proyectivas).

Resumen

The Fundamental Theory of Projective Geometry

La geometría proyectiva es una forma elemental no métrica de geometría, lo que significa que no se basa en un concepto de distancia. En dos dimensiones se inicia con el estudio de configuraciones de puntos y líneas. Desargues y otros establecieron por primera vez que existe cierto interés geométrico en este entorno disperso en su exploración de los principios del arte de la perspectiva. En espacios de dimensiones superiores se consideran hiperplanos (que siempre se encuentran), y otros subespacios lineales, que exhiben el principio de dualidad. La ilustración más simple de la dualidad está en el plano proyectivo, donde las afirmaciones "dos puntos distintos determinan una línea única" (es decir, la línea que los atraviesa) y "dos líneas distintas determinan un punto único" (es decir, su punto de intersección) muestran la misma estructura que las proposiciones. La geometría proyectiva también puede verse como una geometría de construcciones con un solo borde recto. Dado que la geometría proyectiva excluye las construcciones de compás, no hay círculos, ni ángulos, ni medidas, ni paralelos, ni concepto de intermediación (o 'intermediación'). Se dio cuenta de que los teoremas que se aplican a la geometría proyectiva son enunciados más simples. Por ejemplo, las diferentes secciones cónicas son todas equivalentes en geometría proyectiva (compleja), y algunos teoremas sobre círculos pueden considerarse como casos especiales de estos teoremas generales.

A principios del siglo XIX, el trabajo de Jean-Victor Poncelet, Lazare Carnot y otros establecieron la geometría proyectiva como un campo independiente de las matemáticas. . Sus rigurosos cimientos fueron abordados por Karl von Staudt y perfeccionados por los italianos Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa y Gino Fano a fines del siglo XIX. La geometría proyectiva, como la geometría afín y euclidiana, también se puede desarrollar a partir del programa Erlangen de Felix Klein; la geometría proyectiva se caracteriza por invariantes bajo transformaciones del grupo proyectivo.

Después de mucho trabajo en la gran cantidad de teoremas en el tema, por lo tanto, se entendieron los conceptos básicos de la geometría proyectiva. La estructura de incidencia y la relación cruzada son invariantes fundamentales bajo transformaciones proyectivas. La geometría proyectiva se puede modelar mediante el plano afín (o espacio afín) más una línea (hiperplano) "en el infinito" y luego tratar esa línea (o hiperplano) como "ordinaria". Un modelo algebraico para hacer geometría proyectiva al estilo de la geometría analítica viene dado por coordenadas homogéneas. Por otro lado, los estudios axiomáticos revelaron la existencia de planos no desarguesianos, ejemplos para mostrar que los axiomas de incidencia pueden ser modelados (solo en dos dimensiones) por estructuras no accesibles al razonamiento a través de sistemas de coordenadas homogéneos.

Medida de crecimiento y los vórtices polares. Basado en el trabajo de Lawrence Edwards

En un sentido fundamental, la geometría proyectiva y la geometría ordenada son elementales, ya que involucran un mínimo de axiomas y pueden usarse como base para la geometría afín y euclidiana. La geometría proyectiva no está "ordenada" y por lo tanto es una base distinta para la geometría.

Historia

Las primeras propiedades geométricas de naturaleza proyectiva fueron descubiertas durante el siglo III por Pappus de Alejandría. Filippo Brunelleschi (1404-1472) comenzó a investigar la geometría de la perspectiva durante 1425 (consulte la historia de la perspectiva para obtener una discusión más detallada del trabajo en las bellas artes que motivó gran parte del desarrollo de la geometría proyectiva). Johannes Kepler (1571-1630) y Gérard Desargues (1591-1661) desarrollaron de forma independiente el concepto de "punto en el infinito". Desargues desarrolló una forma alternativa de construir dibujos en perspectiva generalizando el uso de puntos de fuga para incluir el caso cuando estos están infinitamente lejos. Hizo de la geometría euclidiana, donde las líneas paralelas son verdaderamente paralelas, un caso especial de un sistema geométrico que lo abarca todo. El estudio de Desargues sobre las secciones cónicas llamó la atención de Blaise Pascal, de 16 años, y lo ayudó a formular el teorema de Pascal. Los trabajos de Gaspard Monge a finales del siglo XVIII y principios del XIX fueron importantes para el posterior desarrollo de la geometría proyectiva. El trabajo de Desargues fue ignorado hasta que Michel Chasles encontró por casualidad una copia manuscrita durante 1845. Mientras tanto, Jean-Victor Poncelet había publicado el tratado fundamental sobre geometría proyectiva durante 1822. Poncelet examinó las propiedades proyectivas de los objetos (aquellos invariantes bajo proyección central) y, al basar su teoría en el polo concreto y la relación polar con respecto a un círculo, estableció una relación entre propiedades métricas y proyectivas. Finalmente se demostró que las geometrías no euclidianas descubiertas poco después tenían modelos, como el modelo de Klein del espacio hiperbólico, relacionado con la geometría proyectiva.

En 1855, A. F. Möbius escribió un artículo sobre permutaciones, ahora llamadas transformaciones de Möbius, de círculos generalizados en el plano complejo. Estas transformaciones representan proyectividades de la línea proyectiva compleja. En el estudio de las líneas en el espacio, Julius Plücker usó coordenadas homogéneas en su descripción, y el conjunto de líneas se vio en la cuádrica de Klein, una de las primeras contribuciones de la geometría proyectiva a un nuevo campo llamado geometría algebraica, una rama de la geometría analítica. con ideas proyectivas.

La geometría proyectiva fue fundamental en la validación de las especulaciones de Lobachevski y Bolyai sobre la geometría hiperbólica al proporcionar modelos para el plano hiperbólico: por ejemplo, el modelo de disco de Poincaré donde los círculos generalizados perpendiculares al círculo unitario corresponden a "líneas hiperbólicas& #34; (geodésicas), y las "traducciones" de este modelo se describen mediante transformaciones de Möbius que asignan el disco unitario a sí mismo. La distancia entre puntos viene dada por una métrica de Cayley-Klein, conocida por ser invariante bajo las traslaciones ya que depende de la relación cruzada, una invariante proyectiva clave. Las traslaciones se describen de diversas formas como isometrías en la teoría del espacio métrico, formalmente como transformaciones fraccionarias lineales y como transformaciones lineales proyectivas del grupo lineal proyectivo, en este caso SU(1, 1).

El trabajo de Poncelet, Jakob Steiner y otros no pretendía ampliar la geometría analítica. Se suponía que las técnicas eran sintéticas: en efecto, el espacio proyectivo, tal como ahora se entiende, debía introducirse axiomáticamente. Como resultado, reformular los primeros trabajos en geometría proyectiva para que satisfaga los estándares actuales de rigor puede ser algo difícil. Incluso en el caso del plano proyectivo solo, el enfoque axiomático puede dar como resultado modelos que no se pueden describir mediante álgebra lineal.

Este período en geometría fue superado por la investigación sobre la curva algebraica general de Clebsch, Riemann, Max Noether y otros, que ampliaron las técnicas existentes, y luego por la teoría invariante. Hacia finales de siglo, la escuela italiana de geometría algebraica (Enriques, Segre, Severi) rompió con los temas tradicionales hacia un área que demandaba técnicas más profundas.

Durante la última parte del siglo XIX, el estudio detallado de la geometría proyectiva se puso menos de moda, aunque la literatura es voluminosa. Schubert realizó algunos trabajos importantes en geometría enumerativa en particular, que ahora se considera que anticipan la teoría de las clases de Chern, consideradas como representantes de la topología algebraica de los grassmannianos.

Más tarde, la geometría proyectiva demostró ser clave para la invención de la mecánica cuántica de Paul Dirac. En un nivel fundamental, el descubrimiento de que las mediciones cuánticas podrían fallar en conmutar había perturbado y disuadido a Heisenberg, pero el estudio anterior de planos proyectivos sobre anillos no conmutativos probablemente había insensibilizado a Dirac. En trabajos más avanzados, Dirac usó extensos dibujos en geometría proyectiva para comprender el significado intuitivo de sus ecuaciones, antes de redactar su trabajo en un formalismo exclusivamente algebraico.

Descripción

La geometría proyectiva es menos restrictiva que la geometría euclidiana o la geometría afín. Es una geometría intrínsecamente no métrica, lo que significa que los hechos son independientes de cualquier estructura métrica. Bajo las transformaciones proyectivas, se conservan la estructura de incidencia y la relación de conjugados armónicos proyectivos. Un rango proyectivo es la base unidimensional. La geometría proyectiva formaliza uno de los principios centrales del arte de la perspectiva: que las líneas paralelas se encuentran en el infinito y, por lo tanto, se dibujan de esa manera. En esencia, una geometría proyectiva puede considerarse como una extensión de la geometría euclidiana en la que la "dirección" de cada línea se subsume dentro de la línea como un "punto" adicional, y en el que un "horizonte" de direcciones correspondientes a líneas coplanares se considera una "línea". Así, dos líneas paralelas se encuentran en una línea de horizonte en virtud de que incorporan la misma dirección.

Las direcciones idealizadas se denominan puntos en el infinito, mientras que los horizontes idealizados se denominan líneas en el infinito. A su vez, todas estas líneas se encuentran en el plano en el infinito. Sin embargo, el infinito es un concepto métrico, por lo que una geometría puramente proyectiva no destaca ningún punto, línea o plano a este respecto; los que están en el infinito se tratan como cualquier otro.

Debido a que una geometría euclidiana está contenida dentro de una geometría proyectiva, y la geometría proyectiva tiene una base más simple, los resultados generales de la geometría euclidiana se pueden derivar de una manera más transparente, donde los teoremas separados pero similares de la geometría euclidiana se pueden manejar colectivamente dentro de la marco de la geometría proyectiva. Por ejemplo, las líneas paralelas y no paralelas no necesitan tratarse como casos separados; más bien, se selecciona un plano proyectivo arbitrario como el plano ideal y se ubica "en el infinito" utilizando coordenadas homogéneas.

Propiedades adicionales de fundamental importancia incluyen Desargues' Teorema y el Teorema de Pappus. En espacios proyectivos de dimensión 3 o mayor hay una construcción que permite probar Desargues' Teorema. Pero para la dimensión 2, debe postularse por separado.

Uso de Desargues' Teorema, combinado con los otros axiomas, es posible definir geométricamente las operaciones básicas de la aritmética. Las operaciones resultantes satisfacen los axiomas de un campo, excepto que la conmutatividad de la multiplicación requiere el teorema del hexágono de Pappus. Como resultado, los puntos de cada línea están en correspondencia uno a uno con un campo dado, F, complementado por un elemento adicional, ∞, tal que r ⋅ ∞ = ∞, −∞ = ∞, r + ∞ = ∞, r / 0 = ∞, r / ∞ = 0, ∞ − r = r − ∞ = ∞, excepto que 0 / 0, ∞ / ∞, ∞ + ∞, ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞ y ∞ ⋅ 0 permanecen sin definir.

La geometría proyectiva también incluye una teoría completa de las secciones cónicas, un tema que también se desarrolla ampliamente en la geometría euclidiana. Hay ventajas en poder pensar en una hipérbola y una elipse como distinguidas solo por la forma en que la hipérbola se encuentra a través de la línea en el infinito; y que una parábola se distingue sólo por ser tangente a la misma línea. Toda la familia de círculos se puede considerar como cónicas que pasan por dos puntos dados en la línea en el infinito, a costa de requerir coordenadas complejas. Dado que las coordenadas no son "sintéticas", se las reemplaza fijando una línea y dos puntos en ella, y considerando el sistema lineal de todas las cónicas que pasan por esos puntos como el objeto básico de estudiar. Este método resultó muy atractivo para los geómetras talentosos, y el tema se estudió a fondo. Un ejemplo de este método es el tratado de varios volúmenes de H. F. Baker.

Hay muchas geometrías proyectivas, que se pueden dividir en discretas y continuas: una geometría discreta comprende un conjunto de puntos, que pueden o no ser finitos en número, mientras que una geometría continua tiene infinitos puntos sin espacios entre ellos.

La única geometría proyectiva de dimensión 0 es un solo punto. Una geometría proyectiva de dimensión 1 consta de una sola línea que contiene al menos 3 puntos. La construcción geométrica de operaciones aritméticas no se puede realizar en ninguno de estos casos. Para la dimensión 2, hay una estructura rica en virtud de la ausencia de Desargues' Teorema.

El avión Fano es el plano proyectivo con los puntos y líneas más bajos.

La geometría proyectiva bidimensional más pequeña (la que tiene menos puntos) es el plano de Fano, que tiene 3 puntos en cada línea, con 7 puntos y 7 líneas en total, teniendo las siguientes colinealidades:

con coordenadas homogéneas A = (0,0,1), B = (0,1,1), C = (0,1,0), D = (1,0,1), E = (1,0,0), F = (1,1,1), G = (1,1,0), o, en coordenadas afines, A = (0,0), B = (0,1), C = (∞), D = (1,0), E = (0), F = (1,1) y G = (1). Las coordenadas afines en un plano desarguesiano para los puntos designados como puntos en el infinito (en este ejemplo: C, E y G) se pueden definir de varias otras formas.

En notación estándar, una geometría proyectiva finita se escribe PG(a, b) donde:

a es la dimensión proyectiva (o geométrica) y

b es menos que el número de puntos en una línea (llamado el orden de la geometría).

Por lo tanto, el ejemplo que tiene solo 7 puntos se escribe PG(2, 2).

El término "geometría proyectiva" se usa a veces para indicar la geometría abstracta subyacente generalizada, y a veces para indicar una geometría particular de amplio interés, como la geometría métrica del espacio plano que analizamos mediante el uso de coordenadas homogéneas, y en el que la geometría euclidiana puede estar incrustada (por lo tanto, su nombre, Plano Euclidiano Extendido).

La propiedad fundamental que destaca todas las geometrías proyectivas es la propiedad de incidencia elíptica que dos líneas distintas L y M en el plano proyectivo se cruzan exactamente en un punto P. El caso especial en geometría analítica de líneas paralelas se subsume en la forma más suave de una línea en el infinito en la que P mentiras. La línea en el infinito es, por lo tanto, una línea como cualquier otra en la teoría: de ninguna manera es especial o distinguida. (En el espíritu posterior del programa de Erlangen, se podría señalar la forma en que el grupo de transformaciones puede mover cualquier línea a la línea en el infinito).

Las propiedades paralelas de las geometrías elíptica, euclidiana e hiperbólica contrastan de la siguiente manera:

Dada una línea l y un punto P no en la línea,

Elliptic

no existe ninguna línea P que no se reúne l

Euclidean

existe exactamente una línea a través P que no se reúne l

Hiperbólico

existe más de una línea a través de P que no se reúne l

La propiedad paralela de la geometría elíptica es la idea clave que conduce al principio de dualidad proyectiva, posiblemente la propiedad más importante que todas las geometrías proyectivas tienen en común.

Dualidad

En 1825, Joseph Gergonne notó el principio de dualidad que caracteriza la geometría plana proyectiva: dado cualquier teorema o definición de esa geometría, sustituyendo punto por línea, mentira en para pasar, colineal para concurrente, intersección para unirse, o viceversa, da como resultado otro teorema o definición válida, el "dual" del primero De manera similar, en 3 dimensiones, la relación de dualidad se mantiene entre puntos y planos, lo que permite transformar cualquier teorema intercambiando punto y plano está contenido por y contiene. Más generalmente, para espacios proyectivos de dimensión N, existe una dualidad entre los subespacios de dimensión R y la dimensión N−R−1. Para N = 2, esto se especializa en la forma de dualidad más comúnmente conocida: la que existe entre puntos y líneas. El principio de dualidad también fue descubierto de forma independiente por Jean-Victor Poncelet.

Para establecer la dualidad solo se requiere establecer teoremas que son las versiones duales de los axiomas para la dimensión en cuestión. Por lo tanto, para espacios tridimensionales, se necesita mostrar que (1*) cada punto se encuentra en 3 planos distintos, (2*) cada dos planos se intersecan en una línea única y una versión dual de (3*) en el sentido: si la intersección del plano P y Q es coplanar con la intersección del plano R y S, entonces también lo son las respectivas intersecciones de los planos P y R, Q y S (suponiendo que los planos P y S son distintos de Q y R).

En la práctica, el principio de dualidad nos permite establecer una correspondencia dual entre dos construcciones geométricas. El más famoso de estos es la polaridad o reciprocidad de dos figuras en una curva cónica (en 2 dimensiones) o una superficie cuádrica (en 3 dimensiones). Un ejemplo común se encuentra en la reciprocidad de un poliedro simétrico en una esfera concéntrica para obtener el poliedro dual.

Otro ejemplo es el teorema de Brianchon, el dual del ya mencionado teorema de Pascal, y una de cuyas demostraciones consiste simplemente en aplicar el principio de dualidad al de Pascal. Aquí hay enunciados comparativos de estos dos teoremas (en ambos casos dentro del marco del plano proyectivo):

• Pascal: Si los seis vértices de un hexágono se encuentran en un cónico, entonces las intersecciones de sus lados opuestos (regarded as full lines, since in the projective plano there is no such thing as a "line segment") son tres puntos collineales. La línea que se une a ellos se llama entonces Línea pascal del hexágono.
• Brianchon: Si los seis lados de un hexágono son tangentes a un cónico, entonces sus diagonales (es decir, las líneas que unen vértices opuestos) son tres líneas concurrentes. Su punto de intersección se llama entonces Brianchon punto del hexágono.

(Si el cónico degenera en dos líneas rectas, Pascal se convierte en teorema de Pappus, que no tiene doble interesante, ya que el punto Brianchon trivialmente se convierte en el punto de intersección de las dos líneas.)

Axiomas de geometría proyectiva

Cualquier geometría dada puede deducirse de un conjunto apropiado de axiomas. Las geometrías proyectivas se caracterizan por el "paralelo elíptico" axioma, que cualesquiera dos planos siempre se encuentran en una sola línea, o en el plano, cualesquiera dos líneas siempre se encuentran en un solo punto. En otras palabras, no existen tales cosas como líneas paralelas o planos en geometría proyectiva.

Se han propuesto muchos conjuntos alternativos de axiomas para la geometría proyectiva (ver, por ejemplo, Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).

Axiomas de Whitehead

Estos axiomas se basan en Whitehead, "Los axiomas de la geometría proyectiva". Hay dos tipos, puntos y líneas, y uno de "incidencia" Relación entre puntos y rectas. Los tres axiomas son:

• G1: Cada línea contiene al menos 3 puntos
• G2: Cada dos puntos distintos, A y B, se encuentran en una línea única, AB.
• G3: Si las líneas AB y CD se intersectan, entonces también las líneas AC y BD (donde se supone que A y D son distintos de B y C).

La razón por la que se supone que cada línea contiene al menos 3 puntos es para eliminar algunos casos degenerados. Los espacios que satisfacen estos tres axiomas tienen como máximo una línea, o son espacios proyectivos de alguna dimensión sobre un anillo de división, o son planos no desarguesianos.

Axiomas adicionales

Se pueden agregar más axiomas que restrinjan la dimensión o el anillo de coordenadas. Por ejemplo, la Geometría proyectiva de Coxeter hace referencia a Veblen en los tres axiomas anteriores, junto con otros 5 axiomas que hacen que la dimensión 3 y el anillo de coordenadas sean un campo conmutativo de característica no 2.

Axiomas usando una relación ternaria

Se puede buscar la axiomatización postulando una relación ternaria, [ABC] para denotar cuando tres puntos (no todos necesariamente distintos) son colineales. También se puede escribir una axiomatización en términos de esta relación:

• C0: [ABA]
• C1: Si A y B son dos puntos tales que [ABC] y [ABD] entonces [BDC]
• C2: Si A y B son dos puntos entonces hay un tercer punto C tal que [ABC]
• C3: Si A y C son dos puntos, B y D también, con [BCE], [ADE] pero no [ABE] entonces hay un punto F tal que [ACF] y [BDF].

Para dos puntos diferentes, A y B, la línea AB se define como compuesta por todos los puntos C para los cuales [ABC]. Los axiomas C0 y C1 proporcionan entonces una formalización de G2; C2 para G1 y C3 para G3.

El concepto de línea se generaliza a planos y subespacios de dimensiones superiores. Un subespacio, AB...XY puede así ser definido recursivamente en términos del subespacio AB...X como el que contiene todos los puntos de todas las líneas YZ, ya que Z se extiende sobre AB...X. La colinealidad entonces se generaliza a la relación de "independencia". Un conjunto {A, B,..., Z} de puntos es independiente, [AB...Z] si {A, B,..., Z} es un subconjunto mínimo generador del subespacio AB...Z.

Los axiomas proyectivos pueden complementarse con otros axiomas que postulan límites en la dimensión del espacio. La dimensión mínima está determinada por la existencia de un conjunto independiente del tamaño requerido. Para las dimensiones más bajas, las condiciones relevantes pueden establecerse en equivalente formulario de la siguiente manera. Un espacio proyectivo es de:

• (L1) al menos la dimensión 0 si tiene al menos 1 punto,
• (L2) al menos la dimensión 1 si tiene al menos 2 puntos distintos (y por lo tanto una línea),
• (L3) al menos la dimensión 2 si tiene al menos 3 puntos no alineados (o dos líneas, o una línea y un punto no en la línea),
• (L4) al menos la dimensión 3 si tiene al menos 4 puntos no planificadores.

La dimensión máxima también se puede determinar de manera similar. Para las dimensiones más bajas, toman las siguientes formas. Un espacio proyectivo es de:

• (M1) en la mayoría de la dimensión 0 si no tiene más de 1 punto,
• (M2) en la mayoría de la dimensión 1 si no tiene más de 1 línea,
• (M3) en la mayoría de la dimensión 2 si no tiene más de 1 plano,

y así sucesivamente. Es un teorema general (una consecuencia del axioma (3)) que todas las líneas coplanares se intersecan, el mismo principio que originalmente se pretendía encarnar en la Geometría Proyectiva. Por lo tanto, la propiedad (M3) puede establecerse de manera equivalente que todas las líneas se intersecan entre sí.

En general, se supone que los espacios proyectivos tienen al menos una dimensión 2. En algunos casos, si el foco está en los planos proyectivos, se puede postular una variante de M3. Los axiomas de (Eves 1997: 111), por ejemplo, incluyen (1), (2), (L3) y (M3). El axioma (3) se vuelve vacuamente verdadero bajo (M3) y por lo tanto no es necesario en este contexto.

Axiomas para planos proyectivos

En geometría de incidencia, la mayoría de los autores dan un tratamiento que abarca el plano de Fano PG(2, 2) como el plano proyectivo finito más pequeño. Un sistema de axiomas que logra esto es el siguiente:

• (P1) Cualquier dos puntos distintos se encuentran en una línea única.
• (P2) Cualquier dos líneas distintas se encuentran en un punto único.
• (P3) Existen al menos cuatro puntos de los cuales no tres son collinear.

La Introducción a la geometría de Coxeter proporciona una lista de cinco axiomas para un concepto más restrictivo de un plano proyectivo atribuido a Bachmann, agregando el teorema de Pappus a la lista de axiomas anteriores (que elimina los planos no desarguesianos) y excluyendo los planos proyectivos sobre campos de característica 2 (los que no satisfacen el axioma de Fano). Los planos restringidos dados de esta manera se asemejan más al plano proyectivo real.

Perspectividad y proyectividad

Dados tres puntos no colineales, hay tres líneas que los conectan, pero con cuatro puntos, no tres colineales, hay seis líneas que los conectan y tres "puntos diagonales" determinado por sus intersecciones. La ciencia de la geometría proyectiva capta este excedente determinado por cuatro puntos a través de una relación cuaternaria y las proyectividades que conservan la configuración del cuadrilátero completo.

Un cuádruple armónico de puntos en una línea ocurre cuando hay un cuadrilátero completo, dos de cuyos puntos diagonales están en la primera y tercera posición del cuádruple, y las otras dos posiciones son puntos en las líneas que unen dos puntos del cuadrilátero a través del tercer punto diagonal.

Una perspectiva espacial de una configuración proyectiva en un plano produce tal configuración en otro, y esto se aplica a la configuración del cuadrilátero completo. Así, los cuádruples armónicos se conservan mediante la perspectiva. Si una perspectiva sigue a otra, las configuraciones siguen. La composición de dos perspectividades ya no es una perspectividad, sino una proyectividad.

Si bien todos los puntos correspondientes de una perspectiva convergen en un punto, esta convergencia no es cierta para una proyectividad que no es una perspectiva. En geometría proyectiva, la intersección de líneas formadas por puntos correspondientes de una proyectividad en un plano son de particular interés. El conjunto de tales intersecciones se denomina cónica proyectiva y, en reconocimiento al trabajo de Jakob Steiner, se denomina cónica de Steiner.

Supongamos que una proyectividad está formada por dos perspectividades centradas en los puntos A y B, relacionando x con X por un intermediario p:

x⩞ ⩞ Ap⩞ ⩞ BX.{displaystyle x {fnMicrosoftware {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif} X}

La proyección es entonces x⊼ ⊼ X.{displaystyle x\\\barwedge X.} Entonces dada la proyección ⊼ ⊼ {displaystyle barwedge } el cónico inducido es

C()⊼ ⊼ )=⋃ ⋃ {}xX⋅ ⋅ Sí.Y:x⊼ ⊼ X∧ ∧ Sí.⊼ ⊼ Y}.{displaystyle C(barwedge) =bigcup {x Xcdot yY:xbarwedge X land ybarwedge Y}.}

Dada una C cónica y un punto P que no está sobre ella, dos rectas secantes distintas que pasan por P se intersecan C en cuatro puntos. Estos cuatro puntos determinan un cuadrángulo del cual P es un punto diagonal. La línea que pasa por los otros dos puntos diagonales se llama polar de P y P es el polo de esta línea. Alternativamente, la línea polar de P es el conjunto de conjugados armónicos proyectivos de P en una línea secante variable que pasa por P y C .