Geometria plana)

Operaciones

Distancia de un punto a un plano

Para un avión ${displaystyle Pi:ax+by+cz+d=0}$ y un punto ${displaystyle {boldsymbol {p}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}}$ no necesariamente tumbado en el avión, la distancia más corta de ${displaystyle {boldsymbol {p}_{1}$ al avión es

${displaystyle D={frac {left habitax_{1}+by_{1}+cz_{1}+dright sometida}{sqrt ¿Qué?$

De ello se desprende que ${displaystyle {boldsymbol {p}_{1}$ miente en el avión si y sólo si D = 0.

Si ${displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$, significa que a, b, y c son normalizados, entonces la ecuación se convierte

${displaystyle D=left habitax_{1}+by_{1}+cz_{1}+drightprehensi.}$

Otra forma vectorial para la ecuación de un plano, conocida como la forma normal de Hesse, se basa en el parámetro D. Este formulario es:

${cdot} {boldsymbol {R}-D_{0}=0,}$

Donde ${displaystyle {fn}$ es un vector normal de unidad en el plano, ${displaystyle {bun}}$ un vector de posición de un punto del plano y D₀ la distancia del avión desde el origen.

La fórmula general para dimensiones superiores se puede llegar rápidamente a utilizar notación vectorial. Que el hiperplano tenga ecuación ${displaystyle {boldsymbol {n}cdot ({boldsymbol {r}-{boldsymbol {r}_{0}=0}$, donde el ${displaystyle {fn}$ es un vector normal y ${displaystyle {boldsymbol {R}_{0}=(x_{10},x_{20},dotsx_{N0}}$ es un vector de posición a un punto en el hiperplano. Deseamos la distancia perpendicular al punto ${displaystyle {boldsymbol {R}_{1}=(x_{11},x_{21},dotsx_{N1}}$. El hiperplano también puede estar representado por la ecuación de escalar ${textstyle sum ¿Qué?$, para constantes ${displaystyle {fn}}$. Asimismo, una correspondiente ${displaystyle {fn}$ puede estar representado ${displaystyle (a_{1},a_{2},dotsa_{N}}$. Deseamos la proyección de escalar del vector ${displaystyle {boldsymbol {}_{1}-{boldsymbol {fn} {fn}}$ en la dirección de ${displaystyle {fn}$. Observando que ${cdot} {boldsymbol {fn} {fn}= {fnMicrosoft} {fnh}cdot {fnK}cdot {fnh}cdot {fnh}cdot {\fnh}mfnh} {n}=-a_{0}$ (como ${displaystyle {boldsymbol {fn} {fn}}$ satisface la ecuación del hiperplano) que tenemos

${displaystyle {begin{aligned}D ventaja={frac { imperf({boldsymbol {R}_{1}-{boldsymbol {r}_{0})cdot {boldsymbol {fn}tuvo} {fn}\\fn}\\fn}\fn}\\fn}\fn}\\fn}\\fn}\\fn}\\fn}\\fn}}\\\fn}}\\\\\fn}\\\\fn}\fn}\\\\\\\\\\\fn}fn}fn}fn}fn}\\fn}fn}\fn}\\fn}fn}fn}fn}\fn}fn}fn}\fn}\fn}fn}fn}\\\\\\\\\\ {fnMicrosoft {fnh} {}_{1}cdot {boldsymbol {n}-{boldsymbol {}_{0}cdot {boldsymbol {fn}tuvo} {fn}\\fn}\\fn}\fn}\\fn}\fn}\\fn}\\fn}\\fn}\\fn}\\fn}}\\\fn}}\\\\\fn}\\\\fn}\fn}\\\\\\\\\\\fn}fn}fn}fn}fn}\\fn}fn}\fn}\\fn}fn}fn}fn}\fn}fn}fn}\fn}\fn}fn}fn}\\\\\\\\\\ {fnMicrosoft {fnh} {}_{1}cdot {boldsymbol {fn}\fn}\fn}\fn}\\fn}\\fn}}\\fn}\fn}\\fn}\\fn}\\\\fn}\fn}\\fn}}\\\\\fn}\\\\\fn}\\\\fn}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}\\\\\\\\\\\\\\\ ##########{2}x_{21}+dots ##a_{N}x_{N1}+a_{0} {a_{1}{2}+a_{2}{2}+dots {fn}}}} {fnK}}$

Intersección línea-plano

En geometría analítica, la intersección de una línea y un plano en un espacio tridimensional puede ser el conjunto vacío, un punto o una línea.

Línea de intersección entre dos planos

Dos aviones intersecdores en el espacio tridimensional

La línea de intersección entre dos planos ${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {}=h_{1}$ y ${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {}=h_{2}$ Donde ${displaystyle {boldsymbol {n}_{i}$ se normaliza

${fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}} {fnK}}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}} {fnfn}}}} {f}}}}}}} {f}} {n}_{1}+c_{2}{boldsymbol {n}}_{2})+lambda ({boldsymbol {n}}_{1}times {boldsymbol {n}_{2}}}}}}}}}} {c_}} {cc}}}} {c}}}}}}}} {c_}}}}}}}}}}}} {c_}}}}}}}} {c_}}}}}}}} {c_c_}}}}}}}c_}}}}}}}}}}c_}}}}}}}}} {c_} {c_}}}}} {c_c_c_cc_c_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

dónde

${displaystyle c_{1}={frac {h_{1}-h_{2} {}} {cdot {boldsymbol {n}}}}{1-({boldsymbol {n}}} {c}} {cdot {cdot {boldsymbol {n}}}_{2}}}} {}}}}}} {}}}}}}}} {}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${displaystyle c_{2}={frac {fn}cdot {fn}} {cdot {fn}}}{1-({m} {m}}} {m} {m}} {m}}cdot {cdot {boldsymbol {c}}}}}} {2}}}}}}}} {cdot {cdot {}}}}}}} {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {}}}} {cdot {c_}}}}}}}}}}}}}}}}} {cdot {cdot {cdot {cdot {}}}}}}}}}}}}}} {cdot {cdot {}}}}}}}}}}}} {cdot {cdot {cdot {cdot {}}}}}}}}$

Esto se encuentra notando que la línea debe ser perpendicular a ambas normales de plano, y tan paralela a su producto cruzado ${displaystyle {boldsymbol {n}_{1}times {boldsymbol {n}_{2}$ (este producto cruzado es cero si y sólo si los aviones son paralelos, y por lo tanto no son de interés o totalmente coincidentes).

El resto de la expresión se llega encontrando un punto arbitrario en la línea. Para ello, considere que cualquier punto en el espacio puede ser escrito como ${displaystyle {boldsymbol {}=c_{1}{boldsymbol {n}_{1}+c_{2}{boldsymbol {n}_{2}+lambda ({boldsymbol {n}_{1}times {boldsymbol {n}_{2}}$, desde ${displaystyle {boldsymbol {n}_{1},{boldsymbol {n}_{2},({boldsymbol {n}}_{1}times {boldsymbol {n}_}}}}}}}}}}$ es una base. Deseamos encontrar un punto que está en ambos planos (es decir, en su intersección), así que inserte esta ecuación en cada una de las ecuaciones de los planos para conseguir dos ecuaciones simultáneas que se pueden resolver para ${displaystyle C_{1}$ y ${displaystyle c_{2}$.

Si además asumimos que ${displaystyle {boldsymbol {n}_{1}$ y ${displaystyle {boldsymbol {n}_{2}$ son ortonormales entonces el punto más cercano en la línea de intersección al origen es ${displaystyle {boldsymbol {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh}} {fnh}} {cH}}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {p}} {\p}}}}}}}} {p}}}}} {p}} {p}}}}}} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}} {p}} {p} {p}}}} {p}}}}}}}}}}}} {p}}}}}}}}} {p}}}}}}}}}}}}}}}} {p}}}}}}}}}}} {n}_{1}+h_{2}{boldsymbol {n}_{2}$. Si ese no es el caso, debe usarse un procedimiento más complejo.

Ángulo diedro

Dados dos planos interseccionales descritos por ${displaystyle Pi - ¿Qué?$ y ${displaystyle Pi ¿Por qué?$, el ángulo dihedral entre ellos se define como el ángulo ${displaystyle alpha }$ entre sus direcciones normales:

${displaystyle cos alpha ={frac {fnh}cdot} # {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}} {f} {f}} {f}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\fnf}}}}} {f}}} {f}} {f} {fnf}}}}} {f}}}}} {fnfnfnf}} {fnfnfnfnfn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fn}_{1} {fn} {fn} {fnK}} {fnK}}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}fn}fn}}fn}}}fnfnfn}}fn}}}\fn}fn}\fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fn}fn}fn}\fn}}\fn} {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}{{sqrt {a_{1}{2}+b_{1}{2}+c_{2}{2}{2} {sqrt} {sqrt}} {c}}}} {c}}} {c}}}} {c}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}} {c_}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}} {b}}}}}}}} {c_}} {c_}}}}} {c_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c_}}}} {b}}}}} {b}}}}}} {c_}} {c_}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}} {a_{2} {2}}}}}}}$

Planos en diversas áreas de las matemáticas

Además de su estructura geométrica familiar, con isomorfismos que son isometrías con respecto al producto interno habitual, el plano se puede ver en varios otros niveles de abstracción. Cada nivel de abstracción corresponde a una categoría específica.

En un extremo, todos los conceptos geométricos y métricos pueden descartarse para dejar el plano topológico, que puede considerarse como una hoja de goma infinita idealizada, homotópicamente trivial, que retiene una noción de proximidad, pero no tiene distancias. El plano topológico tiene el concepto de trayectoria lineal, pero no el concepto de línea recta. El plano topológico, o su equivalente, el disco abierto, es la vecindad topológica básica utilizada para construir superficies (o 2 variedades) clasificadas en topología de baja dimensión. Los isomorfismos del plano topológico son todos biyecciones continuas. El plano topológico es el contexto natural de la rama de la teoría de grafos que trata con grafos planos y resultados como el teorema de los cuatro colores.

El plano también puede verse como un espacio afín, cuyos isomorfismos son combinaciones de traslaciones y aplicaciones lineales no singulares. Desde este punto de vista no hay distancias, pero se conservan la colinealidad y las proporciones de distancias en cualquier línea.

La geometría diferencial ve un plano como una variedad real bidimensional, un plano topológico provisto de una estructura diferencial. De nuevo en este caso, no hay noción de distancia, pero ahora hay un concepto de suavidad de los mapas, por ejemplo, un camino diferenciable o suave (dependiendo del tipo de estructura diferencial aplicada). Los isomorfismos en este caso son biyecciones con el grado de diferenciabilidad elegido.

En la dirección opuesta de la abstracción, podemos aplicar una estructura de campo compatible al plano geométrico, dando lugar al plano complejo y al área principal de análisis complejo. El campo complejo tiene solo dos isomorfismos que dejan fija la recta real, la identidad y la conjugación.

De la misma manera que en el caso real, el plano también puede verse como la variedad compleja más simple, unidimensional (sobre los números complejos), a veces llamada línea compleja. Sin embargo, este punto de vista contrasta marcadamente con el caso del plano como una variedad real bidimensional. Los isomorfismos son todos biyecciones conformes del plano complejo, pero las únicas posibilidades son aplicaciones que corresponden a la composición de una multiplicación por un número complejo y una traslación.

Además, la geometría euclidiana (que tiene curvatura cero en todas partes) no es la única geometría que puede tener el plano. Al plano se le puede dar una geometría esférica usando la proyección estereográfica. Esto se puede considerar como colocar una esfera en el plano (como una pelota en el piso), quitar el punto superior y proyectar la esfera sobre el plano desde este punto). Esta es una de las proyecciones que pueden usarse para hacer un mapa plano de parte de la superficie de la Tierra. La geometría resultante tiene una curvatura positiva constante.

Alternativamente, al plano también se le puede dar una métrica que le dé una curvatura negativa constante dando el plano hiperbólico. La última posibilidad encuentra una aplicación en la teoría de la relatividad especial en el caso simplificado donde hay dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal. (El plano hiperbólico es una hipersuperficie temporal en el espacio tridimensional de Minkowski).

Nociones geométricas topológicas y diferenciales

La compactación en un punto del plano es homeomorfa a una esfera (ver proyección estereográfica); el disco abierto es homeomorfo a una esfera con el "polo norte" desaparecidos; agregar ese punto completa la esfera (compacta). El resultado de esta compactación es una variedad denominada esfera de Riemann o línea proyectiva compleja. La proyección desde el plano euclidiano a una esfera sin punto es un difeomorfismo e incluso un mapa conforme.

El plano en sí es homeomorfo (y difeomorfo) a un disco abierto. Para el plano hiperbólico tal difeomorfismo es conforme, pero para el plano euclidiano no lo es.