Geometría esférica

La suma de los ángulos de un triángulo esférico no es igual a 180°. Una esfera es una superficie curvada, pero localmente las leyes de la geometría euclidiana plana (planar) son buenas aproximaciones. En un pequeño triángulo en la cara de la tierra, la suma de los ángulos es sólo ligeramente más de 180 grados.

Una esfera con un triángulo esférico en ella.

Geometría esférica es la geometría de la superficie bidimensional de una esfera. Largamente estudiada por sus aplicaciones prácticas (trigonometría esférica) a la navegación, la geometría esférica tiene muchas similitudes y relaciones con la geometría del plano euclidiano, así como importantes diferencias con respecto a ella. La esfera se ha estudiado en su mayor parte como parte de la geometría euclidiana tridimensional (a menudo llamada geometría sólida), la superficie se considera colocada dentro de un espacio tridimensional ambiental. También puede ser analizado por "intrínseco" métodos que solo involucran la superficie en sí misma, y no se refieren, ni siquiera asumen la existencia de, ningún espacio circundante fuera o dentro de la esfera.

Principios

En geometría plana (euclidiana), los conceptos básicos son puntos y líneas (rectas). En geometría esférica, los conceptos básicos son punto y círculo máximo. Sin embargo, dos círculos máximos en un plano se cortan en dos puntos antípodas, a diferencia de las líneas coplanares en la geometría elíptica.

En la imagen tridimensional extrínseca, un gran círculo es la intersección de la esfera con cualquier plano que pase por el centro. En el enfoque intrínseco, un gran círculo es una geodésica; un camino más corto entre dos de sus puntos, siempre que estén lo suficientemente cerca. O, en el enfoque axiomático (también intrínseco) análogo a los axiomas de geometría plana de Euclides, 'gran círculo' es simplemente un término indefinido, junto con postulados que estipulan las relaciones básicas entre grandes círculos y los 'puntos' también indefinidos. Esto es lo mismo que el método de Euclides de tratar el punto y la línea como nociones primitivas indefinidas y axiomatizar sus relaciones.

En muchos sentidos, los grandes círculos juegan el mismo papel lógico en la geometría esférica que las líneas en la geometría euclidiana, por ejemplo, como los lados de los triángulos (esféricos). Esto es más que una analogía; la geometría esférica y plana y otras pueden unificarse bajo el paraguas de la geometría construida a partir de la medición de distancias, donde las "líneas" se definen para significar caminos más cortos (geodésicas). Muchas afirmaciones sobre la geometría de puntos y "líneas" son igualmente ciertas en todas esas geometrías, siempre que las líneas se definan de esa manera, y la teoría se puede extender fácilmente a dimensiones más altas. Sin embargo, debido a que sus aplicaciones y pedagogía están ligadas a la geometría sólida, y debido a que la generalización pierde algunas propiedades importantes de las líneas en el plano, la geometría esférica ordinariamente no usa el término "línea" en absoluto para referirse a cualquier cosa en la esfera misma. Si se desarrolla como parte de la geometría sólida, se hace uso de puntos, líneas rectas y planos (en el sentido euclidiano) en el espacio circundante.

En geometría esférica, los ángulos se definen entre grandes círculos, lo que da como resultado una trigonometría esférica que difiere de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos; por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico supera los 180 grados.

Relación con geometrías similares

Debido a que una esfera y un plano difieren geométricamente, la geometría esférica (intrínseca) tiene algunas características de una geometría no euclidiana y, a veces, se describe como tal. Sin embargo, la geometría esférica no se consideró una geometría no euclidiana completa suficiente para resolver el antiguo problema de si el postulado de las paralelas es una consecuencia lógica del resto de los axiomas de la geometría plana de Euclides, porque requiere otro axioma para ser modificado. La resolución se encontró en cambio en la geometría elíptica, con la que la geometría esférica está estrechamente relacionada, y la geometría hiperbólica; cada una de estas nuevas geometrías hace un cambio diferente al postulado paralelo.

Los principios de cualquiera de estas geometrías se pueden extender a cualquier número de dimensiones.

Una geometría importante relacionada con la de la esfera es la del plano proyectivo real; se obtiene identificando puntos antípodas (pares de puntos opuestos) en la esfera. Localmente, el plano proyectivo tiene todas las propiedades de la geometría esférica, pero tiene propiedades globales diferentes. En particular, no es orientable o tiene un solo lado y, a diferencia de la esfera, no se puede dibujar como una superficie en un espacio tridimensional sin intersecarse a sí mismo.

Los conceptos de geometría esférica también se pueden aplicar a la esfera oblonga, aunque se deben implementar modificaciones menores en ciertas fórmulas.

Historia

Antigüedad griega

La primera obra matemática de la antigüedad que ha llegado hasta nuestros días es Sobre la esfera giratoria (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas) de Autólico de Pitane, que vivió a finales del siglo IV a.

La trigonometría esférica fue estudiada por los primeros matemáticos griegos como Teodosio de Bitinia, un astrónomo y matemático griego que escribió Sphaerics, un libro sobre la geometría de la esfera, y Menelao de Alejandría, quien escribió un libro sobre trigonometría esférica llamado Sphaerica y desarrolló Menelaus' teorema.

Mundo islámico

El Libro de los Arcos Desconocidos de una Esfera escrito por el matemático islámico Al-Jayyani es considerado el primer tratado sobre trigonometría esférica. El libro contiene fórmulas para triángulos a la derecha, la ley general de los senos y la solución de un triángulo esférico por medio del triángulo polar.

El libro Sobre triángulos de Regiomontanus, escrito alrededor de 1463, es el primer trabajo de trigonometría pura en Europa. Sin embargo, Gerolamo Cardano notó un siglo después que gran parte de su material sobre trigonometría esférica fue tomado del trabajo del siglo XII del erudito andalusí Jabir ibn Aflah.

Obra de Euler

Leonhard Euler publicó una serie de importantes memorias sobre geometría esférica:

• L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, págs. 233 a 257; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXVII, págs. 277 a 308.
• L. Euler, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, p. 258–293; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVII, p. 309–339.
• L. Euler, De curva rectificabili in surface sphaerica, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, pp. 195–216; Opera Omnia, Series 1, Volume 28, pp. 142–160.
• L. Euler, De mensura angulorum solidorum, Acta academia scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, p. 31–54; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, p. 204–223.
• L. Euler, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta academia scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, p. 91–96; Opera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, p. 237–242.
• L. Euler, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, p. 96–114; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, p. 344–358.
• L. Euler, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta academia scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, p. 72–86; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, p. 224–236.
• L. Euler, Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta academia scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, p. 47–62; Opera Omnia, Series 1, vol. XXIX, p. 253–266.

Propiedades

La geometría esférica tiene las siguientes propiedades:

• Cualquier dos grandes círculos se intersectan en dos puntos diametralmente opuestos, llamados puntos antipodadal.
• Cualquier dos puntos que no son puntos antipodales determinan un gran círculo único.
• Hay una unidad natural de medición de ángulo (basada en una revolución), una unidad natural de longitud (basada en la circunferencia de un gran círculo) y una unidad natural de área (basada en el área de la esfera).
• Cada gran círculo está asociado con un par de puntos antipodales, llamados su postes que son las intersecciones comunes del conjunto de grandes círculos perpendicular a él. Esto muestra que un gran círculo es, con respecto a la medición de distancia sobre la superficie de la esfera, un círculo: el locus de puntos a una distancia específica de un centro.
• Cada punto se asocia con un gran círculo único, llamado el círculo polar del punto, que es el gran círculo en el plano a través del centro de la esfera y perpendicular al diámetro de la esfera a través del punto dado.

Como hay dos arcos determinados por un par de puntos, que no son antípodas, en el círculo máximo que determinan, tres puntos no colineales no determinan un único triángulo. Sin embargo, si solo consideramos triángulos cuyos lados son arcos menores de grandes círculos, tenemos las siguientes propiedades:

• La suma de ángulo de un triángulo es superior a 180° y inferior a 540°.
• El área de un triángulo es proporcional al exceso de su suma de ángulo superior a 180°.
• Dos triángulos con la misma suma de ángulo son iguales en el área.
• Hay un límite superior para el área de triángulos.
• La composición (producto) de dos reflexiones-a través de un círculo grande puede considerarse como una rotación sobre cualquiera de los puntos de intersección de sus ejes.
• Dos triángulos son congruentes si y sólo si corresponden bajo un producto finito de tales reflexiones.
• Dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son congruentes (es decir, todos los triángulos similares son congruentes).

Relación con los postulados de Euclides

Si "línea" se toma en el sentido de gran círculo, la geometría esférica obedece a dos de los postulados de Euclides: el segundo postulado ("producir [extender] una línea recta finita continuamente en una línea recta") y el cuarto postulado ("que todos los ángulos rectos son iguales entre sí"). Sin embargo, viola los otros tres. Contrariamente al primer postulado ("que entre dos puntos cualesquiera, hay un único segmento de línea que los une"), no existe una única ruta más corta entre dos puntos cualesquiera (puntos antípodas como los polos norte y sur en un globo esférico son contraejemplos); contrariamente al tercer postulado, una esfera no contiene círculos de radio arbitrariamente grande; y contrariamente al quinto postulado (paralelo), no hay ningún punto a través del cual se pueda trazar una línea que nunca interseque una línea dada.

Un enunciado equivalente al postulado de las paralelas es que existe un triángulo cuyos ángulos suman 180°. Dado que la geometría esférica viola el postulado de las paralelas, no existe tal triángulo en la superficie de una esfera. La suma de los ángulos de un triángulo sobre una esfera es 180°(1 + 4f), donde f es la fracción de la superficie de la esfera que está encerrada por el triángulo. Para cualquier valor positivo de f, éste supera los 180°.