Geometría elíptica

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Geometría no euclidiana

La geometría elíptica es un ejemplo de una geometría en la que el postulado de las paralelas de Euclides no se cumple. En cambio, como en la geometría esférica, no hay líneas paralelas ya que dos líneas deben intersecarse. Sin embargo, a diferencia de la geometría esférica, generalmente se supone que dos líneas se cruzan en un solo punto (en lugar de dos). Debido a esto, la geometría elíptica descrita en este artículo a veces se denomina geometría elíptica simple, mientras que la geometría esférica a veces se denomina geometría elíptica doble.

La aparición de esta geometría en el siglo XIX estimuló el desarrollo de la geometría no euclidiana en general, incluida la geometría hiperbólica.

La geometría elíptica tiene una variedad de propiedades que difieren de las de la geometría clásica del plano euclidiano. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es mayor que 180°.

Definiciones

En geometría elíptica, dos líneas perpendiculares a una línea dada deben intersecarse. De hecho, todas las perpendiculares de un lado se cruzan en un solo punto llamado polo absoluto de esa línea. Las perpendiculares del otro lado también se cortan en un punto. Sin embargo, a diferencia de la geometría esférica, los polos de ambos lados son iguales. Esto se debe a que no hay puntos antípodas en la geometría elíptica. Por ejemplo, esto se logra en el modelo hiperesférico (descrito a continuación) haciendo que los "puntos" en nuestra geometría en realidad ser pares de puntos opuestos en una esfera. La razón para hacer esto es que permite que la geometría elíptica satisfaga el axioma de que hay una línea única que pasa por dos puntos cualesquiera.

Todo punto corresponde a una línea polar absoluta de la cual es el polo absoluto. Cualquier punto de esta línea polar forma un par conjugado absoluto con el polo. Tal par de puntos es ortogonal, y la distancia entre ellos es un cuadrante.

La distancia entre un par de puntos es proporcional al ángulo entre sus polares absolutos.

Como explica H. S. M. Coxeter:

El nombre "elliptic" es posiblemente engañoso. No implica ninguna conexión directa con la curva llamada elipse, sino sólo una analogía bastante estrecha. Un cónico central se llama elipse o una hiperbola según que no tiene asintoto o dos asintotos. Análogamente, se dice que un avión no euclidiano es elíptico o hiperbólico, ya que cada una de sus líneas no contiene ningún punto en el infinito o dos puntos en el infinito.

Dos dimensiones

Plano elíptico

El plano elíptico es el plano proyectivo real provisto de una métrica. Kepler y Desargues usaron la proyección gnomónica para relacionar un plano σ con puntos en un hemisferio tangente a él. Con O el centro del hemisferio, un punto P en σ determina una línea OP que corta el hemisferio, y cualquier línea L ⊂ σ determina un plano OL que corta el hemisferio en la mitad de un gran círculo. El hemisferio está delimitado por un plano que pasa por O y es paralelo a σ. Ninguna línea ordinaria de σ corresponde a este plano; en su lugar, se añade una línea en el infinito a σ. Como toda línea en esta extensión de σ corresponde a un plano que pasa por O, y como cualquier par de tales planos se interseca en una línea que pasa por O, se puede concluir que cualquier par de Las líneas en la extensión se intersecan: el punto de intersección se encuentra donde la intersección del plano se encuentra con σ o la línea en el infinito. Así se confirma el axioma de la geometría proyectiva, que requiere que todos los pares de líneas en un plano se corten.

Dados P y Q en σ, la distancia elíptica entre ellos es la medida del ángulo POQ, generalmente expresado en radianes. Arthur Cayley inició el estudio de la geometría elíptica cuando escribió 'Sobre la definición de distancia'. Esta aventura en la abstracción en geometría fue seguida por Felix Klein y Bernhard Riemann, lo que llevó a la geometría no euclidiana y la geometría riemanniana.

Comparación con la geometría euclidiana

Comparación de geometrías elípticas, euclidianas e hiperbólicas en dos dimensiones

En la geometría euclidiana, una figura se puede escalar hacia arriba o hacia abajo indefinidamente, y las figuras resultantes son similares, es decir, tienen los mismos ángulos y las mismas proporciones internas. En geometría elíptica, este no es el caso. Por ejemplo, en el modelo esférico podemos ver que la distancia entre dos puntos cualesquiera debe ser estrictamente menor que la mitad de la circunferencia de la esfera (porque se identifican los puntos antípodas). Por lo tanto, un segmento de línea no se puede escalar indefinidamente. Un geómetra que mide las propiedades geométricas del espacio que habita puede detectar, mediante mediciones, que existe una cierta escala de distancia que es una propiedad del espacio. En escalas mucho más pequeñas que esta, el espacio es aproximadamente plano, la geometría es aproximadamente euclidiana y las figuras se pueden escalar hacia arriba y hacia abajo sin dejar de ser aproximadamente similares.

Gran parte de la geometría euclidiana se transfiere directamente a la geometría elíptica. Por ejemplo, el primero y el cuarto de los postulados de Euclides, que hay una línea única entre dos puntos cualesquiera y que todos los ángulos rectos son iguales, se cumplen en la geometría elíptica. El postulado 3, que se puede construir un círculo con cualquier centro y radio dados, falla si "cualquier radio" se interpreta como "cualquier número real", pero se mantiene si se interpreta como "la longitud de cualquier segmento de línea dado". Por lo tanto, cualquier resultado en geometría euclidiana que se desprenda de estos tres postulados se cumplirá en geometría elíptica, como la proposición 1 del libro I de los Elementos, que establece que dado cualquier segmento de línea, se puede construir un triángulo equilátero. con el segmento como su base.

La geometría elíptica también es como la geometría euclidiana en que el espacio es continuo, homogéneo, isotrópico y sin límites. La isotropía está garantizada por el cuarto postulado, que todos los ángulos rectos son iguales. Para ver un ejemplo de homogeneidad, tenga en cuenta que la proposición I.1 de Euclides implica que el mismo triángulo equilátero se puede construir en cualquier lugar, no solo en lugares que son especiales de alguna manera. La falta de límites se deriva del segundo postulado, la extensibilidad de un segmento de línea.

Una forma en la que la geometría elíptica difiere de la geometría euclidiana es que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados. En el modelo esférico, por ejemplo, se puede construir un triángulo con vértices en las ubicaciones donde los tres ejes de coordenadas cartesianas positivas intersecan la esfera, y los tres ángulos internos son de 90 grados, sumando 270 grados. Para triángulos suficientemente pequeños, el exceso de 180 grados puede hacerse arbitrariamente pequeño.

El teorema pitagórico falla en la geometría elíptica. En el triángulo 90°-90°-90° descrito anteriormente, los tres lados tienen la misma longitud, y por consiguiente no satisfacen $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . El resultado de Pythagorean se recupera en el límite de pequeños triángulos.

La relación entre la circunferencia de un círculo y su área es menor que en la geometría euclidiana. En general, el área y el volumen no escalan como las potencias segunda y tercera de las dimensiones lineales.

Espacio elíptico (el caso 3D)

Nota: esta sección utiliza el término "espacio elíptico" para referirse específicamente a la geometría elíptica tridimensional. Esto contrasta con la sección anterior, que trataba sobre geometría elíptica bidimensional. Los cuaterniones se utilizan para dilucidar este espacio.

El espacio elíptico se puede construir de una manera similar a la construcción del espacio vectorial tridimensional: con clases de equivalencia. Se utilizan arcos dirigidos sobre círculos máximos de la esfera. Así como los segmentos de línea dirigidos son equipolentes cuando son paralelos, de la misma longitud y orientados de manera similar, los arcos dirigidos que se encuentran en círculos máximos son equipolentes cuando tienen la misma longitud, orientación y círculo máximo. Estas relaciones de equipolencia producen un espacio vectorial 3D y un espacio elíptico, respectivamente.

El acceso a la estructura espacial elíptica se proporciona a través del álgebra vectorial de William Rowan Hamilton: imaginó una esfera como un dominio de raíces cuadradas de menos uno. Entonces la fórmula de Euler $exp(theta r)=cos theta +rsin theta$ (donde) r está en la esfera) representa el gran círculo en el plano que contiene 1 y r. Puntos opuestos r y...r corresponden a círculos dirigidos opuestamente. Un arco entre θ y φ es desordenado con uno entre 0 y φ – θ. En el espacio elíptico, la longitud del arco es inferior a π, por lo que los arcos pueden ser parametrizados con θ en [0, π) o (–π/2, π/2].

Para $z=exp(theta r), z^{*}=exp(-theta r)implies zz^{*}=1.$ Se dice que el módulo o la norma z es uno (Hamilton lo llamó tensor de z). Pero... r rangos sobre una esfera en 3-espacio, exp(θ r) abarca una esfera en 4-espacio, ahora llamada la 3-sfera, ya que su superficie tiene tres dimensiones. Hamilton llamó sus quaternions álgebra y rápidamente se convirtió en una herramienta útil y celebrada de las matemáticas. Su espacio de cuatro dimensiones se desarrolla en coordenadas polares $texp(theta r),$ con t en los números reales positivos.

Al hacer trigonometría en la Tierra o en la esfera celeste, los lados de los triángulos son grandes arcos circulares. El primer éxito de los cuaterniones fue una traducción de la trigonometría esférica al álgebra. Hamilton llamó versor a un cuaternión de norma uno, y estos son los puntos del espacio elíptico.

Con $r$ corregidos, los versores

<math alttext="{displaystyle e^{ar},quad 0leq aear,0≤ ≤ a.π π {displaystyle e^{ar},quad 0leq a wonpi}<img alt="e^{ar},quad 0leq a

forma línea elíptica. La distancia desde $e^{ar}$ a 1 $a$ . Para un versor arbitrario $u$ , la distancia será ese θ para el cual $Porque θ = u + u Alternativa)/2$ ya que esta es la fórmula para la parte escalar de cualquier quaternión.

Un movimiento elíptico se describe mediante el mapeo de cuaterniones

qmapsto uqv,

Donde

u

v

son revisores fijos.

Las distancias entre puntos son las mismas que entre puntos de imagen de un movimiento elíptico. En el caso de que $u$ y $v$ son cuaterniones conjugados entre sí, el movimiento es una rotación espacial y su parte vectorial es el eje de rotación. En el caso de $u = 1$ , el movimiento elíptico se denomina traslación derecha de Clifford o parataxia. El caso $v = 1$ corresponde a la traducción izquierda de Clifford.

Líneas elípticas a través del verso $u$ pueden tener la forma

<math alttext="{displaystyle lbrace ue^{ar}:0leq a{}uear:0≤ ≤ a.π π }{displaystyle lbrace ue^{ar}:0leq a meantpi rbrace }<img alt="lbrace ue^{ar}:0leq a

<math alttext="{displaystyle lbrace e^{ar}u:0leq a{}earu:0≤ ≤ a.π π }{displaystyle lbrace e^{ar}u:0leq un 'pi rbrace }<img alt="lbrace e^{ar}u:0leq a

para un fijo

r

Son las traducciones de Clifford derecha e izquierda de $u$ a lo largo de una línea elíptica hasta el 1. El espacio elíptico se forma a partir de $S 3$ mediante la identificación de puntos antípodas.

El espacio elíptico tiene estructuras especiales llamadas paralelos de Clifford y superficies de Clifford.

Los puntos de versor del espacio elíptico se asignan mediante la transformada de Cayley a ℝ³ para una representación alternativa del espacio.

Espacios de dimensiones superiores

Modelo hiperesférico

El modelo hiperesférico es la generalización del modelo esférico a dimensiones superiores. Los puntos del espacio elíptico n-dimensional son los pares de vectores unitarios $(x, - x)$ en Rⁿ⁺¹, es decir, pares de puntos antípodas en la superficie de la bola unitaria en (n + 1)-espacio dimensional (la hiperesfera n-dimensional). Las líneas en este modelo son círculos máximos, es decir, intersecciones de la hiperesfera con hipersuperficies planas de dimensión n que pasan por el origen.

Geometría elíptica proyectiva

En el modelo proyectivo de geometría elíptica, los puntos del espacio proyectivo real n-dimensional se utilizan como puntos del modelo. Esto modela una geometría elíptica abstracta que también se conoce como geometría proyectiva.

Los puntos del espacio proyectivo n-dimensional se pueden identificar con líneas a través del origen en (n + 1)espacio dimensional, y puede representarse de forma no única mediante vectores distintos de cero en Rⁿ⁺¹, con el entendimiento de que $u$ y $λ u$ , para cualquier escalar distinto de cero $λ$ , representan el mismo punto. La distancia se define usando la métrica

d(u,v)=arccos left({frac {|ucdot v|}{|u| |v|}}right);

es decir, la distancia entre dos puntos es el ángulo entre sus líneas correspondientes en Rⁿ⁺¹. La fórmula de la distancia es homogénea en cada variable, con $d (λ u, μ v) = d (u, v)$ si $λ$ y $μ$ son escalares distintos de cero, por lo que define una distancia en los puntos del espacio proyectivo.

Una propiedad notable de la geometría elíptica proyectiva es que para dimensiones pares, como el plano, la geometría no es orientable. Borra la distinción entre la rotación en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj identificándolas.

Modelo estereográfico

Se puede obtener un modelo que represente el mismo espacio que el modelo hiperesférico mediante proyección estereográfica. Sea Eⁿ Rⁿ ∪ {∞}, es decir, $n$ -espacio real dimensional extendido por un solo punto en el infinito. Podemos definir una métrica, la métrica de cuerdas, en Eⁿ por

delta (u,v)={frac {2|u-v|}{sqrt {(1+|u|^{2})(1+|v|^{2})}}}

Donde $u$ y $v$ son dos vectores en Rⁿ y $|cdot |$ es la norma Euclideana habitual. También definimos

delta (u,infty)=delta (inftyu)={frac {2}{sqrt {1+|u|^{2}}}}.

El resultado es un espacio métrico en Eⁿ, que representa la distancia a lo largo de una cuerda de los puntos correspondientes en el modelo hiperesférico, a la que mapea biyectivamente por proyección estereográfica. Obtenemos un modelo de geometría esférica si usamos la métrica

d(u,v)=2arcsin left({frac {delta (u,v)}{2}}right).

La geometría elíptica se obtiene a partir de esto identificando los puntos antípodas $u$ y $- u / ‖ u ‖ 2$ , y tomando la distancia desde $v$ a este par para que sea el mínimo de las distancias desde $v$ a cada uno de estos dos puntos.

Coherencia propia

Debido a que la geometría elíptica esférica se puede modelar como, por ejemplo, un subespacio esférico de un espacio euclidiano, se deduce que si la geometría euclidiana es autoconsistente, también lo es la geometría elíptica esférica. Por lo tanto, no es posible probar el postulado de las paralelas con base en los otros cuatro postulados de la geometría euclidiana.

Tarski demostró que la geometría euclidiana elemental es completa: hay un algoritmo que, para cada proposición, puede demostrar que es verdadera o falsa. (Esto no viola el teorema de Gödel, porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad suficiente de aritmética para que se aplique el teorema). Por lo tanto, se deduce que la geometría elíptica elemental también es autoconsistente y completa.

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