Geometría de los números

Geometría de números es la parte de la teoría del número que utiliza la geometría para el estudio de los números algebraicos. Típicamente, un anillo de enteros algebraicos es visto como una celosa en Rn,{displaystyle mathbb {R} ^{n} y el estudio de estas celosías proporciona información fundamental sobre los números algebraicos. La geometría de los números fue iniciada por Hermann Minkowski (1910).

Mejores aproximaciones racionales para π (círculo verde), e (Roma azul) φ (oblong de horquilla), (√3)/2 (hexágono gris), 1/√2 (octagon rojo) y 1/√3 (triángulo extraño) calculado a partir de sus continuas expansiones de fracciones, trazadas como pendientes Sí./x con errores de sus verdaderos valores

• v
• t
• e

La geometría de los números tiene una estrecha relación con otros campos de las matemáticas, especialmente con el análisis funcional y la aproximación diofántica, el problema de encontrar números racionales que se aproximen a una cantidad irracional.

Resultados de Minkowski

Supongamos que .. {displaystyle "Gamma" es una celosa n{displaystyle n}-dimensional Espacio euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} y K{displaystyle K} es un cuerpo centralmente simétrico convexo. El teorema de Minkowski, a veces llamado teorema de Minkowski, afirma que si 2^{n}operatorname {vol} (mathbb {R} ^{n}/Gamma)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">vol⁡ ⁡ ()K)■2nvol⁡ ⁡ ()Rn/.. ){displaystyle operatorname {vol} (K) confianza2^{n}operatorname {vol} (mathbb {R} ^{n}/Gamma)}2^{n}operatorname {vol} (mathbb {R} ^{n}/Gamma)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aa66412c80ed0a595cc5ee8c687d7921c6d1dc" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.136ex; height:2.843ex;"/>, entonces K{displaystyle K} contiene un vector no cero en .. {displaystyle "Gamma".

El mínimo sucesivo λ λ k{displaystyle lambda _{k} se define como el inf de los números λ λ {displaystyle lambda } tales que λ λ K{displaystyle lambda K} contiene k{displaystyle k} vectores linealmente independientes de .. {displaystyle "Gamma". El teorema de Minkowski sobre la minima sucesiva, a veces llamada el segundo teorema de Minkowski, es un fortalecimiento de su primer teorema y afirma que

λ λ 1λ λ 2⋯ ⋯ λ λ nvol⁡ ⁡ ()K)≤ ≤ 2nvol⁡ ⁡ ()Rn/.. ).{displaystyle lambda _{1}lambda _{2}cdots lambda ¿Por qué? }

Investigaciones posteriores en la geometría de los números

En 1930-1960, muchos teóricos de los números (incluidos Louis Mordell, Harold Davenport y Carl Ludwig Siegel) llevaron a cabo investigaciones sobre la geometría de los números. En los últimos años, Lenstra, Brion y Barvinok han desarrollado teorías combinatorias que enumeran los puntos de la red en algunos cuerpos convexos.

Teorema del subespacio de W. M. Schmidt

En la geometría de números, el teorema del subespacio fue obtenido por Wolfgang M. Schmidt en 1972. Establece que si n es un número entero positivo, y L₁,...,L_n son formas lineales linealmente independientes en variables n con coeficientes algebraicos y si ε>0 es cualquier número real dado, entonces el entero distinto de cero apunta x en n coordenadas con

<math alttext="{displaystyle |L_{1}(x)cdots L_{n}(x)|SilencioL1()x)⋯ ⋯ Ln()x)Silencio.SilencioxSilencio− − ε ε {displaystyle TENL_{1}(x)cdots L_{n}(x) Por supuesto que no es posible.<img alt="|L_{1}(x)cdots L_{n}(x)|

yacen en un número finito de subespacios propios de Qⁿ.

Influencia en el análisis funcional

La geometría de los números de Minkowski tuvo una profunda influencia en el análisis funcional. Minkowski demostró que los cuerpos convexos simétricos inducen normas en espacios vectoriales de dimensión finita. El teorema de Minkowski fue generalizado a espacios vectoriales topológicos por Kolmogorov, cuyo teorema establece que los conjuntos simétricos convexos que son cerrados y acotados generan la topología de un espacio de Banach.

Los investigadores continúan estudiando generalizaciones a conjuntos en forma de estrella y otros conjuntos no convexos.