Geometría de Klein

En matemáticas, una geometría de Klein es un tipo de geometría motivada por Felix Klein en su influyente programa de Erlangen. Más específicamente, es un espacio homogéneo X junto con una acción transitiva sobre X por un grupo de Lie G, que actúa como grupo de simetría de la geometría.

Para conocer los antecedentes y la motivación, consulte el artículo sobre el programa de Erlangen.

Definición formal

Una geometría de Klein es un par (G, H) donde G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie cerrado de G tal que el espacio lateral (izquierdo) G/ H está conectado. El grupo G se llama grupo principal de la geometría y G/H se llama espacio. de la geometría (o, por abuso de terminología, simplemente la geometría de Klein). El espacio X = G/H de una geometría de Klein es una variedad suave de dimensiones

dim X = dim G − Dim H.

Existe una acción suave y natural hacia la izquierda de G sobre X dada por

g⋅ ⋅ ()aH)=()ga)H.{displaystyle gcdot (aH)=(ga)H.}

Claramente, esta acción es transitiva (toma a = 1), para que uno pueda entonces considerar X como espacio homogéneo para la acción de G. El estabilizador del conjunto de identidad H ▪ X es precisamente el grupo H.

Dada cualquier variedad suave conectada X y una acción transitiva suave por un grupo de Lie G en X, podemos construir una geometría de Klein asociada (G, H) fijando un punto base x₀ en X y dejando que H sea el subgrupo estabilizador de x₀ en G . El grupo H es necesariamente un subgrupo cerrado de G y X es naturalmente difeomorfo a G/H. .

Dos geometrías de Klein (G₁, H₁) y (G₂, H₂) son geométricamente isomorfos si hay un isomorfismo de grupo de Lie φ: G₁ → G₂ de modo que φ(H₁) = H₂. En particular, si φ es conjugación por un elemento g ∈ G, vemos que (G, H) y (G, gHg⁻¹) son isomórficos. La geometría de Klein asociada a un espacio homogéneo X es entonces única hasta el isomorfismo (es decir, es independiente del punto base elegido x₀).

Descripción del paquete

Dado un grupo de Lie G y un subgrupo cerrado H, existe una acción natural correcta de H sobre G dado por multiplicación correcta. Esta acción es gratuita y adecuada. Las órbitas son simplemente las clases laterales izquierdas de H en G. Se concluye que G tiene la estructura de un haz H principal suave sobre el espacio lateral izquierdo G/H:

H→ → G→ → G/H.{displaystyle Hto Gto G/H.}

Tipos de geometrías de Klein

Geometrías efectivas

La acción de G en X = G/H no tiene por qué ser efectivo. El núcleo de una geometría de Klein se define como el núcleo de la acción de G sobre X. esta dado por

K={}k▪ ▪ G:g− − 1kg▪ ▪ HО О g▪ ▪ G}.{displaystyle K={kin G:g^{-1}kgin H;;forall gin G}

El núcleo K puede describirse también como el núcleo de H dentro G (es decir, el subgrupo más grande de H que es normal en G). Es el grupo generado por todos los subgrupos normales de G que mienten H.

Se dice que una geometría de Klein es efectiva si K = 1 y efectiva localmente si K es discreto. Si (G, H) es una geometría de Klein con núcleo K, entonces (G/K, H/K) es un método eficaz Geometría de Klein asociada canónicamente a (G, H).

Geometrías orientadas geométricamente

Una geometría de Klein (G, H) está orientada geométricamente si G está conectado. (Esto no implica que G/H sea una variedad orientada). Si H es conexo, se deduce que G también lo es (esto se debe a que se supone que G/H es conectado, y G → G/H es una fibración).

Dada cualquier geometría de Klein (G, H), existe una geometría orientada geométricamente asociada canónicamente a (G, H) con el mismo espacio base G/H. Esta es la geometría (G₀, G₀ ∩ H) donde G₀ es el componente de identidad de G. Tenga en cuenta que G = G₀ H.

Geometrías reductivas

Geometría de Klein ()G, H) se dice que reductivo y G/H a espacio reductivo homogéneo si el álgebra de Lie h{displaystyle {fnh} de H tiene una H- complemento invariable g{displaystyle {Mathfrak {}}.

Ejemplos

En la siguiente tabla se presenta una descripción de las geometrías clásicas, modeladas como geometrías de Klein.

	Espacio subyacente	Grupo de transformación G	Subgrupo H	Invariantes
Geometría proyectiva	Espacio proyectado real RPn{displaystyle mathbb {R} mathrm {fn}	Grupo de proyecto PGL()n+1){displaystyle mathrm {PGL} (n+1)}	Subgrupo P{displaystyle P} fijando una bandera {}0}⊂ ⊂ V1⊂ ⊂ Vn{displaystyle Subset V_{1} V_{n}	Líneas de proyecto, ratio
Geometría conformada en la esfera	Sphere Sn{displaystyle S^{n}	Grupo Lorentz de un ()n+2){displaystyle (n+2)}- espacio dimensional O()n+1,1){displaystyle mathrm {O} (n+1,1)}	Subgrupo P{displaystyle P} fijando una línea en el cono nulo de la métrica Minkowski	Círculos generalizados, ángulos
Geometría hiperbólica	Espacio hiperbólico H()n){displaystyle H(n)}, modelado como líneas similares al tiempo en el espacio de Minkowski R1,n{displaystyle mathbb {R} {1,n}	Ortocrono grupo Lorentz O()1,n)/O()1){displaystyle mathrm {O} (1,n)/mathrm {O} (1)}	O()1)× × O()n){displaystyle mathrm {O} (1)times mathrm {O} (n)}	Líneas, círculos, distancias, ángulos
Geometría elíptica	Espacio elíptico, modelado por ejemplo como las líneas a través del origen del espacio euclidiano Rn+1{displaystyle mathbb {R} {n+1}	O()n+1)/O()1){displaystyle mathrm {O} (n+1)/mathrm {O} (1)}	O()n)/O()1){displaystyle mathrm {O} (n)/mathrm {O} (1)}	Líneas, círculos, distancias, ángulos
Geometría esférica	Sphere Sn{displaystyle S^{n}	Grupo ortogonal O()n+1){displaystyle mathrm {O} (n+1)}	Grupo ortogonal O()n){displaystyle mathrm {O} (n)}	Líneas (círculos grandes), círculos, distancias de puntos, ángulos
Geometría fina	Affine space A()n)≃ ≃ Rn{displaystyle A(n)simeq mathbb {R} {n}}	Grupo Affine Aff()n)≃ ≃ Rn⋊ ⋊ GL()n){displaystyle mathrm {Aff} (n)simeq mathbb {R} ^{n}rtimes mathrm {GL} (n)}	Grupo lineal general GL()n){displaystyle mathrm {GL} (n)}	Líneas, cociente de superficies de formas geométricas, centro de masa de triángulos
Geometría eucaclidiana	Espacio euclidiano E()n){displaystyle E(n)}	Grupo Euclideano Euc()n)≃ ≃ Rn⋊ ⋊ O()n){displaystyle mathrm {Euc} (n)simeq mathbb {R} ^{n}rtimes mathrm {O} (n)}	Grupo ortogonal O()n){displaystyle mathrm {O} (n)}	Distancias de puntos, ángulos de vectores, áreas