Geometría compleja

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Estudio de múltiples complejos y varias variables complejas

En matemáticas, la geometría compleja es el estudio de las estructuras y construcciones geométricas que surgen de los números complejos o se describen a partir de ellos. En particular, la geometría compleja se ocupa del estudio de espacios como variedades complejas y variedades algebraicas complejas, funciones de varias variables complejas y construcciones holomorfas como haces de vectores holomorfos y haces coherentes. La aplicación de métodos trascendentales a la geometría algebraica cae en esta categoría, junto con aspectos más geométricos del análisis complejo.

La geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría algebraica, la geometría diferencial y el análisis complejo, y utiliza herramientas de las tres áreas. Debido a la combinación de técnicas e ideas de diversas áreas, los problemas de geometría compleja suelen ser más manejables o concretos que en general. Por ejemplo, la clasificación de variedades complejas y variedades algebraicas complejas a través del programa de modelo mínimo y la construcción de espacios de módulos diferencia el campo de la geometría diferencial, donde la clasificación de posibles variedades suaves es un problema significativamente más difícil. Además, la estructura adicional de la geometría compleja permite, especialmente en el entorno compacto, que los resultados analíticos globales se prueben con gran éxito, incluida la prueba de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi, la correspondencia de Hitchin-Kobayashi, la no abeliana Correspondencia de Hodge y resultados de existencia para métricas de Kähler-Einstein y métricas de Kähler de curvatura escalar constante. Estos resultados a menudo retroalimentan la geometría algebraica compleja y, por ejemplo, recientemente, la clasificación de las variedades de Fano utilizando la estabilidad K se ha beneficiado enormemente tanto de las técnicas de análisis como de la geometría birracional pura.

La geometría compleja tiene importantes aplicaciones en la física teórica, donde es esencial para comprender la teoría de campos conformes, la teoría de cuerdas y la simetría especular. A menudo es una fuente de ejemplos en otras áreas de las matemáticas, incluida la teoría de la representación, donde las variedades de banderas generalizadas pueden estudiarse utilizando geometría compleja que conduce al teorema de Borel-Weil-Bott, o en geometría simpléctica, donde las variedades de Kähler son simplécticas, en Riemannian. geometría donde las variedades complejas proporcionan ejemplos de estructuras métricas exóticas como las variedades de Calabi-Yau y las variedades de hyperkähler, y en la teoría de calibre, donde los paquetes de vectores holomorfos a menudo admiten soluciones a importantes ecuaciones diferenciales que surgen de la física, como las ecuaciones de Yang-Mills. La geometría compleja también es impactante en la geometría algebraica pura, donde los resultados analíticos en el entorno complejo, como la teoría de Hodge de las variedades de Kähler, inspiran la comprensión de las estructuras de Hodge para variedades y esquemas, así como la teoría p-ádica de Hodge, la teoría de la deformación para variedades complejas inspira la comprensión de la teoría de la deformación de los esquemas y los resultados sobre la cohomología de las variedades complejas inspiraron la formulación de las conjeturas de Weil y las conjeturas estándar de Grothendieck. Por otro lado, los resultados y las técnicas de muchos de estos campos a menudo retroalimentan la geometría compleja y, por ejemplo, los desarrollos en las matemáticas de la teoría de cuerdas y la simetría especular han revelado mucho sobre la naturaleza de las variedades de Calabi-Yau, que los teóricos de cuerdas predicen que deberían tienen la estructura de las fibraciones lagrangianas a través de la conjetura SYZ, y el desarrollo de la teoría de variedades simplécticas de Gromov-Witten ha llevado a avances en la geometría enumerativa de variedades complejas.

La conjetura de Hodge, uno de los problemas del premio del milenio, es un problema de geometría compleja.

Idea

Un ejemplo típico de un espacio complejo es la compleja línea de proyecto. Puede ser visto como la esfera, un conjunto suave que surge de la geometría diferencial, o la esfera Riemann, una extensión del plano complejo añadiendo un punto al infinito.

En términos generales, la geometría compleja se ocupa de espacios y objetos geométricos que se modelan, en cierto sentido, en el plano complejo. Características del plano complejo y análisis complejo de una sola variable, como una noción intrínseca de orientabilidad (es decir, ser capaz de rotar constantemente 90 grados en sentido antihorario en cada punto del plano complejo) y la rigidez de las funciones holomorfas (es decir,, la existencia de una única derivada compleja implica diferenciabilidad compleja en todos los órdenes) se manifiestan en todas las formas del estudio de la geometría compleja. Como ejemplo, toda variedad compleja es orientable canónicamente, y una forma del teorema de Liouville se aplica a variedades complejas compactas o variedades algebraicas complejas proyectivas.

La geometría compleja tiene un sabor diferente a lo que podría llamarse geometría real, el estudio de espacios basado en las propiedades geométricas y analíticas de la recta numérica real. Por ejemplo, mientras que las variedades suaves admiten particiones de unidad, colecciones de funciones suaves que pueden ser idénticamente iguales a uno en algún conjunto abierto e idénticamente cero en cualquier otro lugar, las variedades complejas no admiten tales colecciones de funciones holomorfas. De hecho, esta es la manifestación del teorema de identidad, un resultado típico en el análisis complejo de una sola variable. En cierto sentido, la novedad de la geometría compleja se remonta a esta observación fundamental.

Es cierto que cada múltiples complejos es en particular un verdadero andamio suave. Esto es porque el avión complejo $mathbb {C}$ es, después de olvidar su compleja estructura, isomorfa al plano real $mathbb {R} ^{2}$ . Sin embargo, la geometría compleja no se ve típicamente como un subcampo particular de geometría diferencial, el estudio de los manifolds lisos. En particular, el teorema GAGA de Serre dice que cada variedad analítica proyectiva es en realidad una variedad algebraica, y el estudio de los datos holomorfos sobre una variedad analítica es equivalente al estudio de los datos algebraicos.

Esta equivalencia indica que la geometría compleja está, en cierto sentido, más cerca de la geometría algebraica que de la geometría diferencial. Otro ejemplo de esto que se relaciona con la naturaleza del plano complejo es que, en el análisis complejo de una sola variable, las singularidades de las funciones meromórficas son fácilmente descriptibles. Por el contrario, el posible comportamiento singular de una función continua de valor real es mucho más difícil de caracterizar. Como resultado de esto, uno puede estudiar fácilmente espacios singulares en geometría compleja, como variedades analíticas complejas singulares o variedades algebraicas complejas singulares, mientras que en geometría diferencial a menudo se evita el estudio de espacios singulares.

En la práctica, la geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis de varias variables complejas, y un geómetra complejo utiliza herramientas de los tres campos para estudiar espacios complejos. Las direcciones típicas de interés en geometría compleja implican la clasificación de espacios complejos, el estudio de objetos holomorfos adjuntos a ellos (como paquetes de vectores holomorfos y haces coherentes) y las relaciones íntimas entre objetos geométricos complejos y otras áreas de las matemáticas y la física.

Definiciones

La geometría compleja se ocupa del estudio de variedades complejas y variedades analíticas y algebraicas complejas. En esta sección, se definen estos tipos de espacios y se presentan las relaciones entre ellos.

A complejo es un espacio topológico $X$ tal que:

$X$ Es Hausdorff y segundo contable.
$X$ es localmente homeomorfo a un subconjunto abierto de $mathbb {C} ^{n}$ para algunos $n$ . Eso es, por cada punto $pin X$ , hay un barrio abierto $U$ de $p$ y un homeomorfismo ${displaystyle varphi:Uto V}$ a un subconjunto abierto ${displaystyle Vsubseteq mathbb {C} ^{n}}$ . Tales conjuntos abiertos se llaman gráficos.
Si ${displaystyle (U_{1},varphi)}$ y ${displaystyle (U_{2},psi)}$ son dos gráficos superpuestos que mapa sobre conjuntos abiertos ${displaystyle V_{1},V_{2}}$ de $mathbb {C} ^{n}$ respectivamente, entonces el función de transición ${displaystyle psi circ varphi ^{-1}:varphi (U_{1}cap U_{2})to psi (U_{1}cap U_{2})}$ es un biholomorfismo.

Observe que puesto que cada biholomorfismo es un diffeomorfismo, y $mathbb {C} ^{n}$ es el isomorfismo como un espacio vectorial real ${mathbb {R}}^{{2n}}$ , cada complejo de dimensiones $n$ es en particular un conjunto suave de la dimensión $2n$ , que es siempre un número uniforme.

A diferencia de los complejos manifolds que siempre son suaves, la geometría compleja también se preocupa por espacios posiblemente singulares. An affine compleja variedad analítica es un subconjunto ${displaystyle Xsubseteq mathbb {C} ^{n}}$ tal que acerca de cada punto $pin X$ , hay un barrio abierto $U$ de $p$ y una colección de muchas funciones holomorfas ${displaystyle f_{1},dotsf_{k}:Uto mathbb {C} }$ tales que ${displaystyle Xcap U={zin Umid f_{1}(z)=cdots =f_{k}(z)=0}=Z(f_{1},dotsf_{k})}$ . Por convención también necesitamos el conjunto $X$ para ser irreducible. Un punto $pin X$ es singular si la matriz Jacobiana del vector de las funciones holomorfas ${displaystyle (f_{1},dotsf_{k})}$ no tiene rango completo $p$ , y non-singular De lo contrario. A variedad analítica compleja es un subconjunto ${displaystyle Xsubseteq mathbb {CP} ^{n}}$ de espacio complejo proyector que es, de la misma manera, dado localmente por los ceros de una colección finita de funciones holomorfas en subconjuntos abiertos de ${mathbb {CP}}^{n}$ .

Uno puede definir de forma similar un affine complejo variedad algebraica ser un subconjunto ${displaystyle Xsubseteq mathbb {C} ^{n}}$ que se da localmente como el conjunto cero de finitamente muchos polinomios en $n$ variables complejas. Para definir un complejo proyector variedad algebraica, uno requiere el subconjunto ${displaystyle Xsubseteq mathbb {CP} ^{n}}$ para ser dado localmente por el conjunto cero de finitamente muchos polinomios homogéneos.

Para definir una variedad algebraica compleja general o analítica compleja, se requiere la noción de un espacio con anillo local. A complejo algebraico / variedad analítica es un espacio llamado localmente $(X,{mathcal {O}}_{X})$ que es localmente isomorfo como un espacio de anillo local a una variedad álgebraica/analítica compleja afine. En el caso analítico, uno normalmente permite $X$ tener una topología que es localmente equivalente a la topología subespacial debido a la identificación con subconjuntos abiertos de $mathbb {C} ^{n}$ , mientras que en el caso algebraico $X$ a menudo está equipado con una topología Zariski. Una vez más, también por convención necesitamos que este espacio localmente llamado sea irreducible.

Puesto que la definición de un punto singular es local, la definición dada para una variedad afine analytic/algebraica se aplica a los puntos de cualquier variedad analítica o algebraica compleja. El conjunto de puntos de una variedad $X$ que son singulares se llama singular locus, denotado ${displaystyle X^{sing}}$ , y el complemento es el non-singular o locus lisa, denotado ${displaystyle X^{nonsing}}$ . Decimos que una variedad compleja es lisa o non-singular Si es un locus singular está vacío. Es decir, si es igual a su locus no-singular.

Según el teorema de la función implícita para las funciones holomorfas, cada variedad compleja es en particular una variedad analítica compleja no singular, pero no es afín ni proyectiva en general. Por el teorema GAGA de Serre, cada variedad analítica compleja proyectiva es en realidad una variedad algebraica compleja proyectiva. Cuando una variedad compleja no es singular, es una variedad compleja. Más generalmente, el locus no singular de cualquier variedad compleja es una variedad compleja.

Tipos de espacios complejos

Colectores Kähler

Los manifolds complejos pueden ser estudiados desde la perspectiva de la geometría diferencial, por lo que están equipados con estructuras geométricas extra como una forma métrica rítmica o simpléctica rígida ríemanniana. Para que esta estructura extra sea relevante para la geometría compleja, se debe pedir que sea compatible con la estructura compleja en un sentido adecuado. Un manifold Kähler es un manifold complejo con una estructura métrica y simpléctica Riemanniana compatible con la estructura compleja. Cada complejo submanifold de un Kähler manifold es Kähler, y por lo tanto, en particular cada afine no es-singular o variedad complejo proyector es Kähler, después de restringir la métrica hermitiana estándar en $mathbb {C} ^{n}$ o la métrica de Fubini-Study ${mathbb {CP}}^{n}$ respectivamente.

Otros ejemplos importantes de variedades de Kähler son las superficies de Riemann, las superficies K3 y las variedades de Calabi-Yau.

Colectores Stein

El teorema GAGA de Serre afirma que las variedades analíticas complejas de proyecto son en realidad algebraicas. Mientras que esto no es estrictamente cierto para las variedades de affine, hay una clase de manifolds complejos que actúan mucho como las variedades álgebraicas complejas affine, llamadas manifolds Stein. Un manifold $X$ es Stein si es holomorfamente convexo y holomorfamente separable (ver el artículo sobre los manifolds Stein para las definiciones técnicas). Se puede demostrar sin embargo que esto es equivalente a $X$ ser un complejo submanifold de $mathbb {C} ^{n}$ para algunos $n$ . Otra manera en la que los manifolds Stein son similares a las variedades álgebraicas complejas de affine es que los teoremas A y B de Cartan sostienen para los manifolds Stein.

Los ejemplos de variedades de Stein incluyen superficies de Riemann no compactas y variedades algebraicas complejas afines no singulares.

Colectores Hyper-Kähler

Una clase especial de manifolds complejos es los manifolds hiper-Kähler, que son manifolds Riemannianos admitiendo tres estructuras integradas compatibles diferentes casi complejas ${displaystyle I,J,K}$ que satisfacen las relaciones cuaternónicas ${displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-operatorname {Id} }$ . Así, los manifolds hiper-Kähler son manifolds Kähler de tres maneras diferentes, y posteriormente tienen una estructura geométrica rica.

Ejemplos de variedades hiper-Kähler incluyen espacios ALE, superficies K3, espacios de módulo de paquete de Higgs, variedades de carcaj y muchos otros espacios de módulo que surgen de la teoría de calibre y la teoría de representación.

Múltiples de Calabi-Yau

Una verdadera rebanada bidimensional de un cuantico Calabi–Yau tres veces

Como se mencionó, una clase particular de manifolds Kähler es dada por los manifolds Calabi-Yau. Estos son dados por los manifolds Kähler con un paquete canónico trivial ${displaystyle K_{X}=Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}X}$ . Típicamente la definición de un manifold Calabi–Yau también requiere $X$ para ser compacto. En este caso la prueba de Yau de la conjetura de Calabi implica que $X$ Admite una métrica Kähler con la curvatura de Ricci desaparecida, y esto puede tomarse como una definición equivalente de Calabi-Yau.

Las variedades de Calabi-Yau han encontrado uso en la teoría de cuerdas y la simetría especular, donde se utilizan para modelar las 6 dimensiones adicionales del espacio-tiempo en modelos de 10 dimensiones de la teoría de cuerdas. Las curvas elípticas, las superficies K3 y las variedades abelianas complejas dan ejemplos de variedades de Calabi-Yau.

Variedades complejas de Fano

Una variedad Fano compleja es una variedad algebraica compleja con un amplio paquete de línea anticanónica (es decir, ${displaystyle K_{X}^{*}}$ es amplio). Las variedades Fano son de gran interés en la geometría algebraica compleja, y en particular la geometría biracional, donde a menudo surgen en el programa modelo mínimo. Ejemplos fundamentales de variedades Fano son dados por espacio proyector ${mathbb {CP}}^{n}$ Donde ${displaystyle K={mathcal {O}}(-n-1)}$ , y las hipersuperficies lisas de ${mathbb {CP}}^{n}$ de grado inferior a $n+1$ .

Variedades tóricas

Politopo de Momento que describe la primera superficie de Hirzebruch.

Las variedades de letras son variedades algebraicas complejas de dimensión $n$ conteniendo un subconjunto denso abierto biholomorfo a ${displaystyle (mathbb {C} ^{*})^{n}}$ , equipado con una acción de ${displaystyle (mathbb {C} ^{*})^{n}}$ que extiende la acción en el subconjunto denso abierto. Una variedad de letras puede describirse combinatorialmente por su toric fan, y al menos cuando es no-singular, por un momento politope. Esto es un polígono en $mathbb {R} ^{n}$ con la propiedad que cualquier vértice puede ser puesto en la forma estándar del vértice del ortano positivo por la acción de ${displaystyle operatorname {GL} (n,mathbb {Z})}$ . La variedad toric se puede obtener como un espacio adecuado que fibra sobre el politopo.

Muchas construcciones que se realizan sobre variedades tóricas admiten descripciones alternativas en cuanto a la combinatoria y geometría del politopo de momento o su abanico tórico asociado. Esto hace que las variedades tóricas sean un caso de prueba particularmente atractivo para muchas construcciones en geometría compleja. Los ejemplos de variedades tóricas incluyen espacios proyectivos complejos y paquetes sobre ellos.

Técnicas en geometría compleja

Debido a la rigidez de las funciones holomorfas y las variedades complejas, las técnicas que normalmente se usan para estudiar variedades complejas y variedades complejas difieren de las que se usan en la geometría diferencial regular y están más cerca de las técnicas que se usan en la geometría algebraica. Por ejemplo, en geometría diferencial, muchos problemas se abordan tomando construcciones locales y uniéndolas globalmente usando particiones de unidad. Las particiones de unidad no existen en la geometría compleja, por lo que el problema de cuándo los datos locales pueden unirse a los datos globales es más sutil. Precisamente cuando los datos locales se pueden unir se mide mediante cohomología de gavillas, y las gavillas y sus grupos de cohomología son herramientas importantes.

Por ejemplo, los problemas famosos en el análisis de varias variables complejas que preceden a la introducción de definiciones modernas son los problemas de Cousin, que preguntan precisamente cuándo se pueden unir los datos meromórficos locales para obtener una función meromórfica global. Estos viejos problemas pueden resolverse simplemente después de la introducción de haces y grupos de cohomología.

Ejemplos especiales de poleas usadas en geometría compleja incluyen paquetes de líneas holomorfas (y los divisores asociados a ellos), paquetes de vectores holomorfos y poleas coherentes. Dado que la cohomología de haces mide obstrucciones en geometría compleja, una técnica que se utiliza es demostrar teoremas de desaparición. Los ejemplos de teoremas de desaparición en geometría compleja incluyen el teorema de desaparición de Kodaira para la cohomología de haces de líneas en variedades compactas de Kähler, y los teoremas A y B de Cartan para la cohomología de haces coherentes en variedades complejas afines.

La geometría compleja también hace uso de técnicas que surgen del análisis y la geometría diferencial. Por ejemplo, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer, calcula la característica holomorfa de Euler de un haz vectorial holomorfo en términos de clases características del haz vectorial complejo suave subyacente.

Clasificación en geometría compleja

Un tema importante en la geometría compleja es la clasificación. Debido a la naturaleza rígida de las variedades y variedades complejas, el problema de clasificar estos espacios suele ser manejable. La clasificación en geometría algebraica y compleja a menudo ocurre a través del estudio de espacios de módulos, que en sí mismos son variedades o variedades complejas cuyos puntos clasifican otros objetos geométricos que surgen en geometría compleja.

Superficies de Riemann

El término moduli fue acuñado por Bernhard Riemann durante su trabajo original en superficies Riemann. La teoría de clasificación es más conocida para superficies compactas Riemann. Por la clasificación de superficies cerradas orientadas, superficies compactas Riemann vienen en un número contable de tipos discretos, medidos por su género $g$ , que es un entero no negativo contando el número de agujeros en la superficie compacta dada Riemann.

La clasificación se deriva esencialmente del teorema de uniformización y es la siguiente:

g = 0: $mathbb{CP}^1$
g = 1: Hay un complejo monodimensional clasificando posibles superficies compactas Riemann del género 1, llamadas curvas elípticas, la curva modular. Por el teorema de uniformización cualquier curva elíptica puede ser escrita como un cociente ${displaystyle mathbb {C} /(mathbb {Z} +tau mathbb {Z})}$ Donde $tau$ es un número complejo con parte imaginaria estrictamente positiva. El espacio moduli es dado por el cociente del grupo ${displaystyle operatorname {PSL} (2,mathbb {Z})}$ actuando en el medio plano superior por transformaciones Möbius.
g 1: Para cada género mayor que uno, hay un espacio moduli ${mathcal {M}}_{g}$ de género g compacto superficies Riemann, de dimensión ${displaystyle dim _{mathbb {C} }{mathcal {M}}_{g}=3g-3}$ . Similar al caso de curvas elípticas, este espacio puede ser obtenido por un cociente adecuado de Siegel medio espacio superior por la acción del grupo ${displaystyle operatorname {Sp} (2g,mathbb {Z})}$ .

Paquetes de líneas holomorfas

La geometría compleja se preocupa no sólo por los espacios complejos, sino también por otros objetos holomorficos unidos a ellos. La clasificación de paquetes de línea holomorfa en una variedad compleja $X$ es dada por la variedad Picard $operatorname {Pic} (X)$ de $X$ .

La variedad picard se puede describir fácilmente en el caso donde $X$ es una superficie compacta Riemann del género g. Es decir, en este caso la variedad Picard es una unión disyuntiva de variedades Abelianas complejas, cada una de las cuales es isomorfa a la variedad jacobiana de la curva, clasificando divisores de grado cero hasta equivalencia lineal. En términos diferenciales-geométricos, estas variedades abelianas son tori complejo, manifolds complejos diffeomorfos a ${displaystyle (S^{1})^{2g}}$ , posiblemente con una de muchas estructuras complejas diferentes.

Por el teorema de Torelli, una superficie de Riemann compacta está determinada por su variedad jacobiana, y esto demuestra una de las razones por las que el estudio de estructuras en espacios complejos puede ser útil, ya que puede permitir resolver clasificar los espacios mismos.

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