Geometría aritmética

En matemáticas, la geometría aritmética es aproximadamente la aplicación de técnicas de geometría algebraica a problemas de teoría de números. La geometría aritmética se centra en la geometría diofántica, el estudio de puntos racionales de variedades algebraicas.

En términos más abstractos, la geometría aritmética se puede definir como el estudio de esquemas de tipo finito en el espectro del anillo de números enteros.

Descripción general

Los objetos clásicos de interés en geometría aritmética son puntos racionales: conjuntos de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas sobre campos numéricos, campos finitos, campos p-ádicos o campos funcionales, es decir, campos que no son algebraicamente cerrados excluyendo lo real. números. Los puntos racionales se pueden caracterizar directamente mediante funciones de altura que miden su complejidad aritmética.

La estructura de variedades algebraicas definidas sobre cuerpos no algebraicamente cerrados se ha convertido en un área central de interés que surgió con el desarrollo abstracto moderno de la geometría algebraica. Sobre campos finitos, la cohomología étale proporciona invariantes topológicos asociados a variedades algebraicas. La teoría p-ádica de Hodge proporciona herramientas para examinar cuándo las propiedades cohomológicas de las variedades en números complejos se extienden a aquellas en campos p-ádicos.

Historia

Siglo XIX: geometría aritmética temprana

A principios del siglo XIX, Carl Friedrich Gauss observó que existen soluciones enteras distintas de cero a ecuaciones polinómicas homogéneas con coeficientes racionales si existen soluciones racionales distintas de cero.

En la década de 1850, Leopold Kronecker formuló el teorema de Kronecker-Weber, introdujo la teoría de los divisores e hizo muchas otras conexiones entre la teoría de números y el álgebra. Luego conjeturó su "liebster Jugendtraum" ("el sueño más querido de la juventud"), una generalización que más tarde fue propuesta por Hilbert en una forma modificada como su duodécimo problema, que describe el objetivo de que la teoría de números opere sólo con anillos que sean cocientes de anillos polinomiales. sobre los números enteros.

Principios y mediados del siglo XX: desarrollos algebraicos y las conjeturas de Weil

A finales de la década de 1920, André Weil demostró profundas conexiones entre la geometría algebraica y la teoría de números con su trabajo doctoral que condujo al teorema de Mordell-Weil, que demuestra que el conjunto de puntos racionales de una variedad abeliana es un grupo abeliano finitamente generado.

Los fundamentos modernos de la geometría algebraica se desarrollaron basándose en el álgebra conmutativa contemporánea, incluida la teoría de la valoración y la teoría de los ideales de Oscar Zariski y otros en las décadas de 1930 y 1940.

En 1949, André Weil planteó las históricas conjeturas de Weil sobre las funciones zeta locales de variedades algebraicas en campos finitos. Estas conjeturas ofrecieron un marco entre la geometría algebraica y la teoría de números que impulsó a Alexander Grothendieck a reformular los fundamentos utilizando la teoría de la gavilla (junto con Jean-Pierre Serre) y, más tarde, la teoría de esquemas, en las décadas de 1950 y 1960. Bernard Dwork demostró una de las cuatro conjeturas de Weil (racionalidad de la función zeta local) en 1960. Grothendieck desarrolló la teoría de la cohomología étale para probar dos de las conjeturas de Weil (junto con Michael Artin y Jean-Louis Verdier) en 1965. La última de las Las conjeturas de Weil (análogas a la hipótesis de Riemann) serían finalmente demostradas en 1974 por Pierre Deligne.

Mediados y finales del siglo XX: desarrollos en modularidad, métodos p-ádicos y más

Entre 1956 y 1957, Yutaka Taniyama y Goro Shimura plantearon la conjetura de Taniyama-Shimura (ahora conocida como teorema de modularidad) que relaciona curvas elípticas con formas modulares. Esta conexión conduciría en última instancia a la primera prueba del último teorema de Fermat en teoría de números mediante técnicas de geometría algebraica de levantamiento de modularidad desarrolladas por Andrew Wiles en 1995.

En la década de 1960, Goro Shimura introdujo las variedades Shimura como generalizaciones de curvas modulares. Desde 1979, las variedades Shimura han desempeñado un papel crucial en el programa Langlands como un ámbito natural de ejemplos para probar conjeturas.

En artículos de 1977 y 1978, Barry Mazur demostró la conjetura de la torsión dando una lista completa de los posibles subgrupos de torsión de curvas elípticas sobre los números racionales. La primera demostración de Mazur de este teorema dependió de un análisis completo de los puntos racionales en ciertas curvas modulares. En 1996, Loïc Merel amplió la prueba de la conjetura de la torsión a todos los campos numéricos.

En 1983, Gerd Faltings demostró la conjetura de Mordell, demostrando que una curva de género mayor que 1 tiene solo un número finito de puntos racionales (donde el teorema de Mordell-Weil solo demuestra la generación finita del conjunto de puntos racionales en contraposición a la finitud) .

En 2001, la prueba de las conjeturas locales de Langlands para GLn se basó en la geometría de ciertas variedades de Shimura.

En la década de 2010, Peter Scholze desarrolló espacios perfectoides y nuevas teorías de cohomología en geometría aritmética sobre campos p-ádicos con aplicación a representaciones de Galois y ciertos casos de la conjetura de monodromía de peso.