Geometría analítica

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Estudio de la geometría utilizando un sistema de coordenadas

En matemáticas clásicas, la geometría analítica, también conocida como geometría de coordenadas o geometría cartesiana, es el estudio de la geometría utilizando un sistema de coordenadas. Esto contrasta con la geometría sintética.

La geometría analítica se utiliza en física e ingeniería, y también en aviación, cohetería, ciencias espaciales y vuelos espaciales. Es la base de la mayoría de los campos modernos de la geometría, incluida la geometría algebraica, diferencial, discreta y computacional.

Por lo general, el sistema de coordenadas cartesianas se aplica para manipular ecuaciones para planos, líneas rectas y círculos, a menudo en dos y, a veces, en tres dimensiones. Geométricamente se estudia el plano euclidiano (dos dimensiones) y el espacio euclidiano. Como se enseña en los libros escolares, la geometría analítica se puede explicar de manera más simple: se ocupa de definir y representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las formas. definiciones y representaciones numéricas. Que el álgebra de los números reales pueda emplearse para producir resultados sobre el continuo lineal de la geometría se basa en el axioma de Cantor-Dedekind.

Historia

Antigua Grecia

El matemático griego Menaechmus resolvió problemas y demostró teoremas mediante el uso de un método que tenía un gran parecido con el uso de coordenadas y, en ocasiones, se ha sostenido que introdujo la geometría analítica.

Apolonio de Perge, en Sobre la sección determinada, trató los problemas de una manera que puede llamarse geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos en una recta que estuvieran en proporción a los demás. Apolonio en las cónicas desarrolló un método que es tan similar a la geometría analítica que a veces se piensa que su trabajo se anticipó al trabajo de Descartes en unos 1800 años. Su aplicación de líneas de referencia, un diámetro y una tangente no es esencialmente diferente de nuestro uso moderno de un marco de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Desarrolló además relaciones entre las abscisas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a ecuaciones retóricas (expresadas en palabras) de curvas. Sin embargo, aunque Apolonio estuvo cerca de desarrollar la geometría analítica, no lo logró ya que no tuvo en cuenta las magnitudes negativas y en todos los casos el sistema de coordenadas se superpuso a una curva dada a posteriori. de a priori. Es decir, las ecuaciones estaban determinadas por curvas, pero las curvas no estaban determinadas por ecuaciones. Las coordenadas, las variables y las ecuaciones eran nociones subsidiarias aplicadas a una situación geométrica específica.

Persia

El matemático persa del siglo XI Omar Khayyam vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra y se estaba moviendo en la dirección correcta cuando ayudó a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y geométrica con su solución geométrica de las ecuaciones cúbicas generales, pero la decisiva El paso vino después con Descartes. A Omar Khayyam se le atribuye la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica, y su libro Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra (1070), que estableció los principios de la geometría analítica, es parte del cuerpo de las matemáticas persas. que finalmente se transmitió a Europa. Debido a su enfoque geométrico completo de las ecuaciones algebraicas, Khayyam puede considerarse un precursor de Descartes en la invención de la geometría analítica.

Europa Occidental

La geometría analítica fue inventada de forma independiente por René Descartes y Pierre de Fermat, aunque a Descartes a veces se le da el crédito exclusivo. Geometría cartesiana, el término alternativo utilizado para la geometría analítica, lleva el nombre de Descartes.

Descartes hizo un progreso significativo con los métodos en un ensayo titulado La Géométrie (Geometría), uno de los tres ensayos adjuntos (apéndices) publicados en 1637 junto con su Discurso sobre el método para Dirigir correctamente la razón y buscar la verdad en las ciencias, comúnmente denominado Discurso sobre el método. La Geometrie, escrita en su lengua materna francesa, y sus principios filosóficos, sirvieron de base para el cálculo en Europa. Inicialmente, el trabajo no fue bien recibido debido, en parte, a las muchas lagunas en los argumentos y ecuaciones complicadas. Solo después de la traducción al latín y la adición del comentario de van Schooten en 1649 (y el trabajo posterior) la obra maestra de Descartes recibió el debido reconocimiento.

Pierre de Fermat también fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica. Aunque no se publicó durante su vida, una forma manuscrita de Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a los lugares planos y sólidos) circulaba en París en 1637, justo antes de la publicación de Descartes' Discurso. Claramente escrita y bien recibida, la Introducción también sentó las bases para la geometría analítica. La diferencia clave entre Fermat y Descartes tratamientos es una cuestión de punto de vista: Fermat siempre comenzó con una ecuación algebraica y luego describió la curva geométrica que la satisfizo, mientras que Descartes comenzó con curvas geométricas y produjo sus ecuaciones como una de varias propiedades de las curvas. Como consecuencia de este enfoque, Descartes tuvo que lidiar con ecuaciones más complicadas y tuvo que desarrollar los métodos para trabajar con ecuaciones polinómicas de mayor grado. Fue Leonhard Euler quien aplicó por primera vez el método de coordenadas en un estudio sistemático de superficies y curvas espaciales.

Coordenadas

Ilustración de un avión de coordenadas cartesiano. Cuatro puntos están marcados y etiquetados con sus coordenadas: (2,3) en verde, (−3,1) en rojo, (−1,5,-2,5) en azul, y el origen (0,0) en púrpura.

En geometría analítica, al plano se le asigna un sistema de coordenadas, por el cual cada punto tiene un par de coordenadas de números reales. De manera similar, el espacio euclidiano recibe coordenadas donde cada punto tiene tres coordenadas. El valor de las coordenadas depende de la elección del punto de origen inicial. Hay una variedad de sistemas de coordenadas utilizados, pero los más comunes son los siguientes:

Coordenadas cartesianas (en un plano o espacio)

El sistema de coordenadas más común que se utiliza es el sistema de coordenadas cartesianas, donde cada punto tiene una coordenada x que representa su posición horizontal y una coordenada y que representa su posición vertical. Por lo general, se escriben como un par ordenado (x, y). Este sistema también se puede utilizar para la geometría tridimensional, donde cada punto en el espacio euclidiano se representa mediante un triple ordenado de coordenadas (x, y, z).

Coordenadas polares (en un plano)

En coordenadas polares, cada punto del plano está representado por su distancia r al origen y su ángulo θ, siendo θ normalmente medido en sentido antihorario desde el eje x positivo. Usando esta notación, los puntos normalmente se escriben como un par ordenado (r, θ). Uno puede transformar de un lado a otro entre coordenadas polares y cartesianas bidimensionales usando estas fórmulas:

{displaystyle x=r,cos theta,y=r,sin theta;,r={sqrt {x^{2}+y^{2}}},,theta =arctan(y/x).}

Coordenadas cilíndricas (en un espacio)

En coordenadas cilíndricas, cada punto del espacio está representado por su altura z, su radio r desde el eje z y el ángulo θ hace su proyección sobre el plano xy con respecto al eje horizontal.

Coordenadas esféricas (en un espacio)

En coordenadas esféricas, cada punto en el espacio está representado por su distancia ρ al origen, el ángulo θ su proyección sobre el xy que forma el plano con respecto al eje horizontal, y el ángulo φ que forma con respecto al eje z. Los nombres de los ángulos a menudo se invierten en física.

Ecuaciones y curvas

En geometría analítica, cualquier ecuación que involucre las coordenadas especifica un subconjunto del plano, es decir, el conjunto solución para la ecuación o lugar geométrico. Por ejemplo, la ecuación y = x corresponde al conjunto de todos los puntos en el plano cuyas coordenadas x y y-coordenadas son iguales. Estos puntos forman una línea, y se dice que y = x es la ecuación de esta línea. En general, las ecuaciones lineales que involucran x e y especifican líneas, las ecuaciones cuadráticas especifican secciones cónicas y las ecuaciones más complicadas describen figuras más complicadas.

Por lo general, una sola ecuación corresponde a una curva en el plano. Este no es siempre el caso: la ecuación trivial x = x especifica todo el plano, y la ecuación x² + y² = 0 especifica solo el punto único (0, 0). En tres dimensiones, una sola ecuación generalmente da una superficie y una curva debe especificarse como la intersección de dos superficies (ver más abajo) o como un sistema de ecuaciones paramétricas. La ecuación x² + y² = r² es la ecuación de cualquier circunferencia con centro en el origen (0, 0) y radio r.

Líneas y planos

Las líneas en un plano cartesiano, o más generalmente, en coordenadas afines, se pueden describir algebraicamente mediante ecuaciones lineales. En dos dimensiones, la ecuación para las líneas no verticales a menudo se da en la forma pendiente-intersección:

{displaystyle y=mx+b}

m es la pendiente o gradiente de la línea.
b es el intercepto y de la línea.
x es la variable independiente de la función Sí. = f()x).

De manera análoga a la forma en que las líneas en un espacio bidimensional se describen usando una forma punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural usando un punto en el plano y un vector ortogonal a (el vector normal) para indicar su "inclinación".

Específicamente, $mathbf {r} _{0}$ ser el vector de posición de algún punto $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ , y dejar $mathbf {n} =(a,b,c)$ ser un vector no cero. El plano determinado por este punto y vector consiste en esos puntos $P$ , con vector de posición $mathbf {r}$ , tal que el vector extraído $P_{0}$ a $P$ es perpendicular a $mathbf {n}$ . Recordando que dos vectores son perpendiculares si y sólo si su producto de punto es cero, sigue que el plano deseado puede describirse como el conjunto de todos los puntos $mathbf {r}$ tales que

{displaystyle mathbf {n} cdot (mathbf {r} -mathbf {r} _{0})=0.}

{displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}

que es punto-normal forma de la ecuación de un avión.

{displaystyle ax+by+cz+d=0,{text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}

abcdabc

{displaystyle ax+by+cz+d=0,}

es un avión que tiene el vector

mathbf {n} =(a,b,c)

como normal.Forma general

En tres dimensiones, las líneas no se pueden describir mediante una sola ecuación lineal, por lo que con frecuencia se describen mediante ecuaciones paramétricas:

{displaystyle x=x_{0}+at}

{displaystyle y=y_{0}+bt}

{displaystyle z=z_{0}+ct}

x, Sí., y z son todas las funciones de la variable independiente t que va más allá de los números reales.
()x₀, Sí.₀, z₀) es cualquier punto en la línea.
a, b, y c están relacionados con la pendiente de la línea, tal que el vector (a, b, c) es paralelo a la línea.

Secciones cónicas

En el sistema de coordenadas cartesianas, la gráfica de una ecuación cuadrática con dos variables siempre es una sección cónica, aunque puede ser degenerada, y todas las secciones cónicas surgen de esta manera. La ecuación será de la forma

{displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{text{ with }}A,B,C{text{ not all zero.}}}

mathbf {P} ^{5}.

Las secciones cónicas descritas por esta ecuación se pueden clasificar usando el discriminante

{displaystyle B^{2}-4AC.}

si <math alttext="{displaystyle B^{2}-4ACB2− − 4AC.0{displaystyle B^{2}-4AC won0}<img alt="B^{2}-4AC, la ecuación representa un elipse;
- si $A=C$ y $B=0$ , la ecuación representa un círculo, que es un caso especial de una elipse;
si $B^{2}-4AC=0$ , la ecuación representa una parabola;
si 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">B2− − 4AC■0{displaystyle B^{2}-4AC]0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9e76abadd219198741167893eb5f8692958a7f" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.591ex; height:2.843ex;"/>, la ecuación representa una hiperbola;
- si también tenemos $A+C=0$ , la ecuación representa una hiperbola rectangular.

Superficies cuadráticas

Una cuádrica, o superficie cuadrática, es una superficie bidimensional en un espacio tridimensional definida como el lugar geométrico de los ceros de un polinomio cuadrático. En coordenadas x₁, x₂,x₃, la cuádrica general está definida por la ecuación algebraica

{displaystyle sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}

Las superficies cuadráticas incluyen elipsoides (incluida la esfera), paraboloides, hiperboloides, cilindros, conos y planos.

Distancia y ángulo

La fórmula de distancia en el avión sigue del teorema pitagórico.

En la geometría analítica, las nociones geométricas, como la distancia y la medida del ángulo, se definen mediante fórmulas. Estas definiciones están diseñadas para ser consistentes con la geometría euclidiana subyacente. Por ejemplo, usando coordenadas cartesianas en el plano, la distancia entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) se define mediante la fórmula

{displaystyle d={sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}

{displaystyle theta =arctan(m),}

En tres dimensiones, la distancia viene dada por la generalización del teorema de Pitágoras:

{displaystyle d={sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}

{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {B} {stackrel {mathrm {def} }{=}}left|mathbf {A} right|left|mathbf {B} right|cos theta}

SilencioAB

Transformaciones

a) y = f(x) = ← b) y = f(x+3) c) y = f(x)-3 d) y = 1/2 f x)

Las transformaciones se aplican a una función principal para convertirla en una nueva función con características similares.

El gráfico de $R(x,y)$ es cambiado por las transformaciones estándar como sigue:

Cambio $x$ a $x-h$ mueve el gráfico a la derecha $h$ unidades.
Cambio $y$ a $y-k$ mueve el gráfico hacia arriba $k$ unidades.
Cambio $x$ a $x/b$ estira el gráfico horizontalmente por un factor $b$ . (Piensa en $x$ como dilatado)
Cambio $y$ a $y/a$ estira el gráfico verticalmente.
Cambio $x$ a $xcos A+ysin A$ y cambio $y$ a $-xsin A+ycos A$ gira el gráfico por un ángulo $A$ .

Hay otras transformaciones estándar que normalmente no se estudian en la geometría analítica elemental porque las transformaciones cambian la forma de los objetos de maneras que normalmente no se consideran. El sesgo es un ejemplo de una transformación que generalmente no se considera. Para obtener más información, consulte el artículo de Wikipedia sobre transformaciones afines.

Por ejemplo, la función padre $y=1/x$ tiene un asinto horizontal y vertical, y ocupa el primer y tercer cuadrante, y todas sus formas transformadas tienen un asinto horizontal y vertical, y ocupa el cuadrante primero y tercero o segundo y cuarto. En general, si $y=f(x)$ , entonces se puede transformar en $y=af(b(x-k))+h$ . En la nueva función transformada, $a$ es el factor que estira verticalmente la función si es mayor de 1 o verticalmente comprime la función si es menor de 1, y para negativo $a$ valores, la función se refleja en $x$ -Eje. El $b$ valor comprime el gráfico de la función horizontalmente si es mayor de 1 y estira la función horizontalmente si es menor de 1, y como $a$ , refleja la función en $y$ -eje cuando es negativo. El $k$ y $h$ valores introducir traducciones, $h$ , vertical, y $k$ horizontal. Positivo $h$ y $k$ valores significan que la función se traduce al final positivo de su eje y la traducción de significado negativo hacia el final negativo.

Las transformaciones se pueden aplicar a cualquier ecuación geométrica, ya sea que la ecuación represente una función o no. Las transformaciones se pueden considerar como transacciones individuales o en combinaciones.

Supongamos que $R(x,y)$ es una relación en $xy$ avión. Por ejemplo,

{displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}

Encontrar intersecciones de objetos geométricos

Para dos objetos geométricos P y Q representados por las relaciones $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ la intersección es la colección de todos los puntos $(x,y)$ que están en ambas relaciones.

Por ejemplo, $P$ podría ser el círculo con radio 1 y centro $(0,0)$ : $P={(x,y)|x^{2}+y^{2}=1}$ y $Q$ podría ser el círculo con radio 1 y centro $(1,0):Q={(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1}$ . La intersección de estos dos círculos es la colección de puntos que hacen realidad ambas ecuaciones. ¿El punto $(0,0)$ hacer ambas ecuaciones verdad? Uso $(0,0)$ para $(x,y)$ , la ecuación para $Q$ se convierte en $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ o $(-1)^{2}=1$ que es verdad, así $(0,0)$ está en la relación $Q$ . Por otro lado, todavía utilizando $(0,0)$ para $(x,y)$ la ecuación para $P$ se convierte en $0^{2}+0^{2}=1$ o $0=1$ que es falso. $(0,0)$ no está $P$ así que no está en la intersección.

La intersección de $P$ y $Q$ se puede encontrar resolviendo las ecuaciones simultáneas:

{displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

{displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}

Los métodos tradicionales para encontrar intersecciones incluyen sustitución y eliminación.

Sustitución: Resolver la primera ecuación para $y$ en términos de $x$ y luego sustituir la expresión $y$ en la segunda ecuación:

{displaystyle x^{2}+y^{2}=1}

{displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}

Luego sustituimos este valor para $y^{2}$ en la otra ecuación y proceder a resolver para $x$ :

{displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}

{displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}

{displaystyle -2x=-1}

{displaystyle x=1/2.}

A continuación, colocamos este valor de $x$ en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver para $y$ :

{displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}

{displaystyle y^{2}=3/4}

{displaystyle y={frac {pm {sqrt {3}}}{2}}.}

Entonces nuestra intersección tiene dos puntos:

{displaystyle left(1/2,{frac {+{sqrt {3}}}{2}}right);;{text{and}};;left(1/2,{frac {-{sqrt {3}}}{2}}right).}

Eliminación: Añadir (o restar) un múltiplo de una ecuación a la otra ecuación para que una de las variables sea eliminada. Para nuestro ejemplo actual, si restamos la primera ecuación del segundo obtenemos $(x-1)^{2}-x^{2}=0$ . El $y^{2}$ en la primera ecuación se resta de la $y^{2}$ en la segunda ecuación no dejando $y$ termino. La variable $y$ ha sido eliminado. Entonces resolvemos la ecuación restante para $x$ , de la misma manera que en el método de sustitución:

{displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}

{displaystyle -2x=-1}

{displaystyle x=1/2.}

Entonces colocamos este valor de $x$ en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver para $y$ :

{displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}

{displaystyle y^{2}=3/4}

{displaystyle y={frac {pm {sqrt {3}}}{2}}.}

Entonces nuestra intersección tiene dos puntos:

{displaystyle left(1/2,{frac {+{sqrt {3}}}{2}}right);;{text{and}};;left(1/2,{frac {-{sqrt {3}}}{2}}right).}

Para secciones cónicas, hasta 4 puntos pueden estar en la intersección.

Encontrar intersecciones

Un tipo de intersección que es ampliamente estudiado es la intersección de un objeto geométrico con el $x$ y $y$ coordinar ejes.

La intersección de un objeto geométrico y el $y$ -El eje se llama $y$ - interceptación del objeto. La intersección de un objeto geométrico y el $x$ -El eje se llama $x$ - interceptación del objeto.

Para la línea $y=mx+b$ , el parámetro $b$ especifica el punto donde la línea cruza la $y$ Axis. Dependiendo del contexto, $b$ o el punto $(0,b)$ se llama $y$ - Intercepto.

Eje geométrico

El eje en geometría es la línea perpendicular a cualquier línea, objeto o superficie.

También para esto se puede usar el lenguaje común como: línea normal (perpendicular), de lo contrario en ingeniería como línea axial.

En geometría, una normal es un objeto como una línea o un vector que es perpendicular a un objeto dado. Por ejemplo, en el caso bidimensional, la línea normal a una curva en un punto dado es la línea perpendicular a la línea tangente a la curva en el punto.

En el caso tridimensional una superficie normal, o simplemente normal, a una superficie en un punto P es un vector que es perpendicular al plano tangente a esa superficie en P. La palabra "normal" también se usa como adjetivo: una línea normal a un plano, la componente normal de una fuerza, el vector normal, etc. El concepto de normalidad se generaliza a ortogonalidad.

Planos esféricos y no lineales y sus tangentes

La tangente es la aproximación lineal de una línea esférica u otra línea curva o torcida de una función.

Rectas y planos tangentes

En geometría, la línea tangente (o simplemente tangente) a una curva plana en un punto dado es la línea recta que "toca" la curva en ese punto. Informalmente, es una línea a través de un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. Más precisamente, se dice que una línea recta es tangente a una curva y = f(x) en un punto x = c en la curva si la línea pasa por el punto (c, f(c)) en la curva y tiene pendiente <span class="nowrap" f'(c) donde f' es la derivada de f. Se aplica una definición similar a las curvas espaciales y las curvas en el espacio euclidiano n-dimensional.

Al pasar por el punto donde se unen la recta tangente y la curva, llamado punto de tangencia, la recta tangente "va en la misma dirección" como la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto.

Del mismo modo, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales en geometría diferencial y ha sido ampliamente generalizado; ver Espacio tangente.

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