Geometría afín

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Geometría euclidiana sin distancia y ángulos

En la geometría affine, se utiliza el axioma de Playfair para encontrar la línea a través de C1 y paralela a B1B2, y para encontrar la línea a través de B2 y paralelo a B1C1: su intersección C2 es el resultado de la traducción indicada.

En matemáticas, la geometría afín es lo que queda de la geometría euclidiana al ignorar (los matemáticos suelen decir "olvidar") las nociones métricas de distancia y ángulo.

Como la noción de líneas paralelas es una de las principales propiedades que es independiente de cualquier métrica, la geometría afín se considera a menudo como el estudio de las líneas paralelas. Por lo tanto, el axioma de Playfair (Dada una línea $L$ y un punto $P$ no en $L$ , hay exactamente una línea paralela a $L$ que pasa por $P$ ). es fundamental en la geometría afín. Las comparaciones de figuras en geometría afín se realizan con transformaciones afines, que son asignaciones que conservan la alineación de los puntos y el paralelismo de las líneas.

La geometría afín se puede desarrollar de dos formas que son esencialmente equivalentes.

En geometría sintética, un espacio afín es un conjunto de puntos a los que se asocia un conjunto de líneas, que satisfacen algunos axiomas (como el axioma de Playfair).

La geometría afín también se puede desarrollar sobre la base del álgebra lineal. En este contexto, un espacio afín es un conjunto de puntos equipados con un conjunto de transformaciones (es decir, aplicaciones biyectivas), las traslaciones, que forman un espacio vectorial (sobre un determinado campo, comúnmente los números reales), y tales que para cualquier par ordenado dado de puntos existe una traducción única que envía el primer punto al segundo; la composición de dos traslaciones es su suma en el espacio vectorial de las traslaciones.

En términos más concretos, esto equivale a tener una operación que asocia a cualquier par ordenado de puntos un vector y otra operación que permite trasladar un punto por un vector para dar otro punto; estas operaciones son necesarias para satisfacer una serie de axiomas (en particular, que dos traslaciones sucesivas tienen el efecto de traslación por el vector suma). Al elegir cualquier punto como "origen", los puntos están en correspondencia uno a uno con los vectores, pero no hay una opción preferida para el origen; por lo tanto, un espacio afín puede verse como obtenido de su espacio vectorial asociado "olvidando" el origen (vector cero).

La idea de olvidar la métrica se puede aplicar en la teoría de las variedades. Eso se desarrolla en el artículo sobre la conexión afín.

Historia

En 1748, Leonhard Euler introdujo el término afín (del latín affinis 'relacionado') en su libro Introductio in analysin infinitorum (volumen 2, capítulo XVIII). En 1827, August Möbius escribió sobre geometría afín en su Der barycentrische Calcul (capítulo 3).

Después del programa Erlangen de Felix Klein, la geometría afín se reconoció como una generalización de la geometría euclidiana.

En 1918, Hermann Weyl se refirió a la geometría afín para su texto Espacio, Tiempo, Materia. Usó geometría afín para introducir la suma y resta de vectores en las primeras etapas de su desarrollo de la física matemática. Más tarde, E. T. Whittaker escribió:

La geometría de Weyl es interesante históricamente ya que ha sido la primera de las geometrías de ataúd que se han de elaborar en detalle: se basa en un tipo especial de transporte paralelo [...utilizando] mundanas de señales de luz en espacio-tiempo cuatro dimensiones. Un elemento corto de una de estas líneas mundiales puede ser llamado null-vector; entonces el transporte paralelo en cuestión es tal que lleva a cualquier vencedor nulo en un punto a la posición de un vencedor nulo en un punto vecino.

Sistemas de axiomas

Se han presentado varios enfoques axiomáticos para la geometría afín:

Pappus' ley

Ley de Pappus: si las líneas rojas son paralelas y las líneas azules son paralelas, entonces las líneas negras punteadas deben ser paralelas.

Como la geometría afín trata con líneas paralelas, se ha tomado como premisa una de las propiedades de las paralelas señaladas por Pappus de Alejandría:

Suppose $A, B, C$ están en una línea y $A', B', C'$ en otro. Si las líneas $AB '$ y $A'B$ son paralelos y las líneas $BC '$ y $B'C$ son paralelos, entonces las líneas $CA '$ y $C'A$ son paralelos.

El sistema de axiomas completo propuesto tiene punto, línea y línea que contiene punto como nociones primitivas:

Dos puntos están contenidos en una sola línea.
Para cualquier línea $L$ y cualquier punto $P$ , no en $L$ , sólo hay una línea que contiene $P$ y no contiene ningún punto $L$ . Esta línea se dice que paralelo a $L$ .
Cada línea contiene al menos dos puntos.
Hay al menos tres puntos que no pertenecen a una línea.

Según H. S. M. Coxeter:

El interés de estos cinco axiomas se ve realzado por el hecho de que pueden ser desarrollados en un vasto cuerpo de proposiciones, manteniendo no sólo en la geometría euclidiana sino también en la geometría del tiempo y el espacio de Minkowski (en el caso simple de 1 + 1 dimensiones, mientras que la teoría especial de relatividad necesita 1 + 3). La extensión a la geometría euclidiana o Minkowskia se logra agregando varios axiomas adicionales de ortogonalidad, etc.

Los diversos tipos de geometría afín corresponden a qué interpretación se toma para rotación. La geometría euclidiana corresponde a la idea ordinaria de rotación, mientras que la geometría de Minkowski corresponde a la rotación hiperbólica. Con respecto a las líneas perpendiculares, permanecen perpendiculares cuando el plano se somete a una rotación ordinaria. En la geometría de Minkowski, las líneas que son hiperbólicas-ortogonales permanecen en esa relación cuando el plano se somete a una rotación hiperbólica.

Estructura ordenada

Se puede construir un tratamiento axiomático de la geometría afín plana a partir de los axiomas de la geometría ordenada mediante la adición de dos axiomas adicionales:

(Afine axiom of paralelismo) Dado un punto $A$ y una línea $r$ no a través $A$ , hay en la mayoría de una línea a través $A$ que no se reúne $r$ .
(Desargues) Dados siete puntos distintos $A, A', B, B', C, C', O$ , tal que $AA', BB', CC'$ son líneas distintas $O$ , y $AB$ es paralelo a $A'B'$ , y $BC$ es paralelo a $B'C'$ , entonces $AC$ es paralelo a $A'C'$ .

El concepto afín de paralelismo forma una relación de equivalencia en líneas. Dado que los axiomas de la geometría ordenada que se presentan aquí incluyen propiedades que implican la estructura de los números reales, esas propiedades se trasladan aquí, de modo que se trata de una axiomatización de la geometría afín sobre el campo de los números reales.

Anillos ternarios

El primer plano no desarguesiano fue señalado por David Hilbert en su Fundamentos de geometría. El plano de Moulton es una ilustración estándar. Con el fin de proporcionar un contexto para dicha geometría, así como para aquellas en las que el teorema de Desargues es válido, Marshall Hall desarrolló el concepto de anillo ternario.

En este enfoque, los planos afines se construyen a partir de pares ordenados tomados de un anillo ternario. Se dice que un avión tiene la "propiedad afín menor de Desargues" cuando dos triángulos en perspectiva paralela, teniendo dos lados paralelos, deben tener también los terceros lados paralelos. Si esta propiedad se cumple en el plano afín definido por un anillo ternario, entonces existe una relación de equivalencia entre "vectores" definida por pares de puntos del plano. Además, los vectores forman un grupo abeliano bajo adición; el anillo ternario es lineal y satisface la distributividad correcta:

{displaystyle (a+b)c=ac+bc.}

Transformaciones afines

Geométricamente, las transformaciones afines (afinidades) preservan la colinealidad: transforman líneas paralelas en líneas paralelas y preservan las proporciones de distancias a lo largo de líneas paralelas.

Nos identificamos como affine theorems cualquier resultado geométrico que sea invariante bajo el grupo affine (en el programa Erlangen de Felix Klein este es su grupo subyacente de transformaciones de simetría para la geometría de afinidad). Considerar en un espacio vectorial $V$ , el grupo lineal general $GL(V)$ . No es todo affine group porque debemos permitir también traducciones de vectores $v$ dentro $V$ . (Tales mapas de traducción cualquiera $w$ dentro $V$ a $w + v$ .) El grupo affine es generado por el grupo lineal general y las traducciones y es de hecho su producto semidirecto ${displaystyle Vrtimes mathrm {GL} (V).}$ (Aquí pensamos $V$ como grupo bajo su funcionamiento de adición, y utilizar la representación definitoria $GL(V)$ on $V$ para definir el producto semidirecto.)

Por ejemplo, el teorema de la geometría plana de triángulos sobre la concurrencia de las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto (en el baricentro o baricentro) depende de las nociones de punto medio y centroide como invariantes afines. Otros ejemplos incluyen los teoremas de Ceva y Menelaus.

Los invariantes también pueden ayudar a los cálculos. Por ejemplo, las líneas que dividen el área de un triángulo en dos mitades iguales forman un sobre dentro del triángulo. La relación del área del sobre al área del triángulo es invariable afine, y por lo tanto sólo necesita ser calculado a partir de un caso simple, como un triángulo ángulo recto isosceles unidad para dar ${tfrac {3}{4}}log _{e}(2)-{tfrac {1}{2}},$ es decir, 0,019860... o menos del 2%, para todos los triángulos.

Fórmulas conocidas como la mitad de la base por la altura del área de un triángulo, o un tercio de la base por la altura del volumen de una pirámide, también son invariantes afines. Mientras que el último es menos obvio que el primero para el caso general, se ve fácilmente para la sexta parte del cubo unitario formado por una cara (área 1) y el punto medio del cubo (altura 1/2). Por lo tanto, vale para todas las pirámides, incluso las inclinadas cuyo vértice no está directamente sobre el centro de la base, y aquellas cuya base es un paralelogramo en lugar de un cuadrado. La fórmula se generaliza aún más a pirámides cuya base se puede dividir en paralelogramos, incluidos los conos al permitir infinitos paralelogramos (con la debida atención a la convergencia). El mismo enfoque muestra que una pirámide de cuatro dimensiones tiene hipervolumen 4D un cuarto del volumen 3D de su base paralelepipédica por la altura, y así sucesivamente para dimensiones más altas.

Cinemática

En cinemática se utilizan dos tipos de transformación afín, tanto clásica como moderna. La velocidad v se describe utilizando la longitud y la dirección, donde se supone que la longitud es ilimitada. Esta variedad de cinemática, denominada galileana o newtoniana, utiliza coordenadas de espacio y tiempo absolutos. El mapeo de corte de un plano con un eje para cada uno representa el cambio de coordenadas para un observador que se mueve con velocidad v en un marco de referencia en reposo.

La velocidad finita de la luz, notada por primera vez por el retraso en la aparición de las lunas de Júpiter, requiere una cinemática moderna. El método implica rapidez en lugar de velocidad, y sustituye el mapeo de compresión por el mapeo de cizallamiento utilizado anteriormente. Esta geometría afín se desarrolló sintéticamente en 1912 para expresar la teoría especial de la relatividad. En 1984, "el plano afín asociado al espacio vectorial lorentziano L2" fue descrito por Graciela Birman y Katsumi Nomizu en un artículo titulado "Trigonometría en la geometría lorentziana".

Espacio afín

La geometría afín puede verse como la geometría de un espacio afín de una dimensión dada n, coordinada sobre un campo K. También hay (en dos dimensiones) una generalización combinatoria del espacio afín coordinado, como se desarrolla en la geometría finita sintética. En geometría proyectiva, espacio afín significa el complemento de un hiperplano en el infinito en un espacio proyectivo. El espacio afín también puede verse como un espacio vectorial cuyas operaciones se limitan a aquellas combinaciones lineales cuyos coeficientes suman uno, por ejemplo $2 x - y$ , $x - y + z, (x + y + z)/3, i x + (1 - i) y, etc.$

Sintéticamente, los planos afines son geometrías afines bidimensionales definidas en términos de las relaciones entre puntos y líneas (o, a veces, en dimensiones más altas, hiperplanos). Al definir geometrías afines (y proyectivas) como configuraciones de puntos y líneas (o hiperplanos) en lugar de usar coordenadas, se obtienen ejemplos sin campos de coordenadas. Una propiedad importante es que todos estos ejemplos tienen dimensión 2. Los ejemplos finitos en dimensión 2 (planos afines finitos) han sido valiosos en el estudio de configuraciones en espacios afines infinitos, en teoría de grupos y en combinatoria.

A pesar de ser menos general que el enfoque configuracional, los otros enfoques discutidos han tenido mucho éxito en iluminar las partes de la geometría que están relacionadas con la simetría.

Visión proyectiva

En la geometría tradicional, la geometría afín se considera un estudio entre la geometría euclidiana y la geometría proyectiva. Por un lado, la geometría afín es geometría euclidiana con la congruencia omitida; por otro lado, la geometría afín se puede obtener de la geometría proyectiva mediante la designación de una línea o plano particular para representar los puntos en el infinito. En geometría afín, no hay estructura métrica pero el postulado paralelo se mantiene. La geometría afín proporciona la base para la estructura euclidiana cuando se definen líneas perpendiculares, o la base para la geometría de Minkowski a través de la noción de ortogonalidad hiperbólica. Desde este punto de vista, una transformación afín es una transformación proyectiva que no permuta puntos finitos con puntos en el infinito, y la geometría de transformación afín es el estudio de las propiedades geométricas a través de la acción del grupo de transformaciones afines.

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