Geometría

La geometría (del griego antiguo γεωμετρία (geōmetría) 'medida de la tierra'; de γῆ (gê) 'tierra, terreno' y μέτρον (métron) 'una medida') es, junto con la aritmética, una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Se ocupa de las propiedades del espacio que están relacionadas con la distancia, la forma, el tamaño y la posición relativa de las figuras. Un matemático que trabaja en el campo de la geometría se llama geómetra.

Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicó casi exclusivamente a la geometría euclidiana, que incluye las nociones de punto, línea, plano, distancia, ángulo, superficie y curva, como conceptos fundamentales.

Durante el siglo XIX, varios descubrimientos ampliaron drásticamente el alcance de la geometría. Uno de los descubrimientos más antiguos es el Teorema Egregium de Gauss ("teorema notable") que afirma aproximadamente que la curvatura gaussiana de una superficie es independiente de cualquier incrustación específica en un espacio euclidiano. Esto implica que las superficies se pueden estudiar de forma intrínseca, es decir, como espacios independientes, y se ha ampliado a la teoría de las variedades y la geometría de Riemann.

Más tarde, en el siglo XIX, apareció que las geometrías sin el postulado de las paralelas (geometrías no euclidianas) se pueden desarrollar sin introducir ninguna contradicción. La geometría que subyace a la relatividad general es una famosa aplicación de la geometría no euclidiana.

Desde entonces, el alcance de la geometría se ha ampliado considerablemente y el campo se ha dividido en muchos subcampos que dependen de los métodos subyacentes: geometría diferencial, geometría algebraica, geometría computacional, topología algebraica, geometría discreta (también conocida como geometría combinatoria), etc.—o sobre las propiedades de los espacios euclidianos que se desprecian—la geometría proyectiva que considera sólo la alineación de los puntos pero no la distancia y el paralelismo, la geometría afín que omite el concepto de ángulo y distancia, la geometría finita que omite la continuidad, y otras.

Desarrollada originalmente para modelar el mundo físico, la geometría tiene aplicaciones en casi todas las ciencias, y también en el arte, la arquitectura y otras actividades relacionadas con los gráficos. La geometría también tiene aplicaciones en áreas de las matemáticas que aparentemente no están relacionadas. Por ejemplo, los métodos de la geometría algebraica son fundamentales en la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, un problema que se planteó en términos de aritmética elemental y permaneció sin resolver durante varios siglos.

Historia

Los primeros comienzos registrados de la geometría se remontan a la antigua Mesopotamia y Egipto en el segundo milenio antes de Cristo. La geometría primitiva era una colección de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer alguna necesidad práctica en topografía, construcción, astronomía y diversas artesanías. Los primeros textos conocidos sobre geometría son el papiro egipcio Rhind (2000-1800 a. C.) y el papiro de Moscú (c. 1890 a. C.), y las tablillas de arcilla babilónicas, como Plimpton 322 (1900 a. C.). Por ejemplo, el Papiro de Moscú da una fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada o frustum.Las tablillas de arcilla posteriores (350–50 a. C.) demuestran que los astrónomos babilónicos implementaron procedimientos trapezoidales para calcular la posición y el movimiento de Júpiter dentro del espacio de tiempo y velocidad. Estos procedimientos geométricos anticiparon las calculadoras de Oxford, incluido el teorema de la velocidad media, en 14 siglos. Al sur de Egipto, los antiguos nubios establecieron un sistema de geometría que incluía las primeras versiones de los relojes solares.

En el siglo VII a. C., el matemático griego Tales de Mileto utilizó la geometría para resolver problemas como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos a la orilla. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del teorema de Tales. Pitágoras estableció la Escuela de Pitágoras, a la que se le atribuye la primera prueba del teorema de Pitágoras, aunque la declaración del teorema tiene una larga historia. Eudoxo (408–c. 355 a. C.) desarrolló el método de agotamiento, que permitió el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas,así como una teoría de las proporciones que evitó el problema de las magnitudes inconmensurables, lo que permitió a los geómetras posteriores realizar avances significativos. Alrededor del año 300 a. C., la geometría fue revolucionada por Euclides, cuyos Elementos, considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos, introdujo el rigor matemático a través del método axiomático y es el primer ejemplo del formato que todavía se usa en las matemáticas en la actualidad, el de la definición. axioma, teorema y demostración. Aunque la mayor parte del contenido de los Elementos ya se conocía, Euclides los arregló en un marco lógico único y coherente. los elementosfue conocido por todas las personas educadas en Occidente hasta mediados del siglo XX y sus contenidos todavía se enseñan en las clases de geometría en la actualidad. Arquímedes (c. 287-212 a. C.) de Siracusa usó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita, y dio aproximaciones de pi muy precisas. También estudió la espiral que lleva su nombre y obtuvo fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución.

Los matemáticos indios también hicieron muchas contribuciones importantes en geometría. El Satapatha Brahmana (siglo III a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sulba Sutras. Según (Hayashi 2005, p. 363), los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua existente del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya lo conocían los antiguos babilonios. Contienen listas de ternas pitagóricas, que son particulares casos de ecuaciones diofánticas. En el manuscrito de Bakhshali, hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para cero".Aryabhatiya de Aryabhata (499) incluye el cálculo de áreas y volúmenes. Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (que incluyen raíces cúbicas, fracciones, razón y proporción, y trueque) y "matemáticas prácticas" (que incluye mezcla, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de grano). En la última sección, enunció su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico. El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron), así como una descripción completa de los triángulos racionales (es decir,triángulos con lados racionales y áreas racionales).

En la Edad Media, las matemáticas en el Islam medieval contribuyeron al desarrollo de la geometría, especialmente la geometría algebraica. Al-Mahani (n. 853) concibió la idea de reducir problemas geométricos como duplicar el cubo a problemas de álgebra. Thābit ibn Qurra (conocido como Thebit en latín) (836–901) se ocupó de las operaciones aritméticas aplicadas a proporciones de cantidades geométricas y contribuyó al desarrollo de la geometría analítica. Omar Khayyám (1048–1131) encontró soluciones geométricas para ecuaciones cúbicas. Los teoremas de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam y Nasir al-Din al-Tusi sobre cuadriláteros, incluido el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri, fueron los primeros resultados en geometría hiperbólica y, junto con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair., estas obras tuvieron una influencia considerable en el desarrollo de la geometría no euclidiana entre los geómetras europeos posteriores, incluidos Witelo (c. 1230–c. 1314), Gersonides (1288–1344), Alfonso, John Wallis y Giovanni Girolamo Saccheri.

A principios del siglo XVII, hubo dos desarrollos importantes en la geometría. El primero fue la creación de la geometría analítica, o geometría con coordenadas y ecuaciones, por René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). Este fue un precursor necesario para el desarrollo del cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física. El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva de Girard Desargues (1591-1661). La geometría proyectiva estudia las propiedades de las formas que no cambian bajo proyecciones y secciones, especialmente en lo que se refiere a la perspectiva artística.

Dos desarrollos en la geometría en el siglo XIX cambiaron la forma en que se había estudiado anteriormente.Estos fueron el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai y Carl Friedrich Gauss y de la formulación de la simetría como consideración central en el Programa de Erlangen de Felix Klein (que generalizó las geometrías euclidianas y no euclidianas). Dos de los maestros geómetras de la época fueron Bernhard Riemann (1826–1866), que trabajó principalmente con herramientas de análisis matemático e introdujo la superficie de Riemann, y Henri Poincaré, el fundador de la topología algebraica y la teoría geométrica de los sistemas dinámicos. Como consecuencia de estos grandes cambios en la concepción de la geometría, el concepto de "espacio" se convirtió en algo rico y variado, y en el trasfondo natural de teorías tan diferentes como el análisis complejo y la mecánica clásica.

Conceptos principales

Los siguientes son algunos de los conceptos más importantes en geometría.

Axiomas

Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos, uno de los libros más influyentes jamás escritos. Euclides introdujo ciertos axiomas, o postulados, expresando propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos. Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante razonamiento matemático. El rasgo característico del enfoque de la geometría de Euclides fue su rigor, y ha llegado a conocerse como geometría axiomática o sintética. A principios del siglo XIX, el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) y otroscondujo a un resurgimiento del interés en esta disciplina y, en el siglo XX, David Hilbert (1862-1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría.

Objetos

Puntos

Los puntos generalmente se consideran objetos fundamentales para la construcción de geometría. Pueden definirse por las propiedades que deben tener, como en la definición de Euclides como "aquello que no tiene partes", o en la geometría sintética. En las matemáticas modernas, generalmente se definen como elementos de un conjunto llamado espacio, que a su vez está definido axiomáticamente.

Con estas definiciones modernas, toda forma geométrica se define como un conjunto de puntos; no es el caso de la geometría sintética, donde la línea es otro objeto fundamental que no es visto como el conjunto de los puntos por los que pasa.

Sin embargo, existen geometrías modernas, en las que los puntos no son objetos primitivos, o incluso sin puntos. Una de las geometrías más antiguas de este tipo es la geometría sin puntos de Whitehead, formulada por Alfred North Whitehead en 1919-1920.

Líneas

Euclides describió una línea como "longitud sin anchura" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma". En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente ligado a la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica, una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada, pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto de el conjunto de puntos que se encuentran sobre él. En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos.

Aviones

En la geometría euclidiana, un plano es una superficie bidimensional plana que se extiende infinitamente; las definiciones para otros tipos de geometrías son generalizaciones de eso. Los planos se utilizan en muchas áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin referencia a distancias o ángulos; puede estudiarse como un espacio afín, donde pueden estudiarse la colinealidad y las razones pero no las distancias; puede estudiarse como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo; y así.

Anglos

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo.

En la geometría euclidiana, los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos, además de formar un objeto de estudio por derecho propio. El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría.

En geometría diferencial y cálculo, los ángulos entre curvas planas o curvas espaciales o superficies se pueden calcular usando la derivada.

Curvas

Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las que se encuentran en el espacio tridimensional se denominan curvas espaciales.

En topología, una curva se define por una función de un intervalo de los números reales a otro espacio. En geometría diferencial, se usa la misma definición, pero se requiere que la función definidora sea diferenciable. La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas, que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno.

Superficies

Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide. En geometría diferencial y topología, las superficies se describen mediante "parches" (o vecindades) bidimensionales que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos, respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas.

Colectores

Una variedad es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología, una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano. En geometría diferencial, una variedad diferenciable es un espacio donde cada vecindad es difeomorfa al espacio euclidiano.

Las variedades se utilizan ampliamente en física, incluida la relatividad general y la teoría de cuerdas.

Longitud, área y volumen

La longitud, el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones, respectivamente.

En geometría euclidiana y geometría analítica, la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.

El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional. Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo, el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales, como la integral de Riemann o la integral de Lebesgue.

Métricas y medidas

El concepto de longitud o distancia se puede generalizar, dando lugar a la idea de métrica. Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano, mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico. Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y la métrica semirriemanniana de la relatividad general.

En una dirección diferente, los conceptos de longitud, área y volumen son ampliados por la teoría de la medida, que estudia métodos para asignar un tamaño o medida a conjuntos, donde las medidas siguen reglas similares a las del área y volumen clásicos.

Congruencia y semejanza

La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares. En la geometría euclidiana, la similitud se usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se usa para describir objetos que tienen el mismo tamaño y forma. Hilbert, en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas.

La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformación, que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones.

Construcciones con compás y regla

Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos que habían sido descritos de alguna otra forma. Clásicamente, los únicos instrumentos utilizados en la mayoría de las construcciones geométricas son el compás y la regla. Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver solo por estos medios, y se encontraron ingeniosas construcciones utilizando neusis, parábolas y otras curvas, o dispositivos mecánicos.

Dimensión

Mientras que la geometría tradicional permitía las dimensiones 1 (una línea), 2 (un plano) y 3 (nuestro mundo ambiental concebido como un espacio tridimensional), los matemáticos y físicos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos. Un ejemplo de un uso matemático para dimensiones superiores es el espacio de configuración de un sistema físico, que tiene una dimensión igual a los grados de libertad del sistema. Por ejemplo, la configuración de un tornillo se puede describir mediante cinco coordenadas.

En topología general, el concepto de dimensión se ha extendido desde los números naturales, hasta la dimensión infinita (espacios de Hilbert, por ejemplo) y los números reales positivos (en geometría fractal). En geometría algebraica, la dimensión de una variedad algebraica ha recibido una serie de definiciones aparentemente diferentes, todas ellas equivalentes en los casos más comunes.

Simetría

El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la propia ciencia de la geometría. Las formas simétricas como el círculo, los polígonos regulares y los sólidos platónicos tenían un profundo significado para muchos filósofos antiguos y se investigaron en detalle antes de la época de Euclides. Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y se representaron artísticamente en una multitud de formas, incluidos los gráficos de Leonardo da Vinci, MC Escher y otros. En la segunda mitad del siglo XIX, la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio. El programa de Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada a través de la noción de un grupo de transformación, determina qué es la geometría.La simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva las colineaciones, transformaciones geométricas que convierten líneas rectas en líneas rectas, desempeñan un papel análogo. Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y Sophus Lie que la idea de Klein de 'definir una geometría a través de su grupo de simetría' encontró su inspiración. Tanto las simetrías discretas como las continuas juegan un papel destacado en la geometría, la primera en la topología y la teoría de grupos geométricos, la última en la teoría de Lie y la geometría de Riemann.

Un tipo diferente de simetría es el principio de dualidad en geometría proyectiva, entre otros campos. Este metafenómeno se puede describir aproximadamente de la siguiente manera: en cualquier teorema, el punto de intercambio con el plano, la unión con el encuentro, se encuentra con contiene, y el resultado es un teorema igualmente verdadero. Existe una forma de dualidad similar y estrechamente relacionada entre un espacio vectorial y su espacio dual.

Geometría contemporánea

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es geometría en su sentido clásico. Dado que modela el espacio del mundo físico, se utiliza en muchas áreas científicas, como la mecánica, la astronomía, la cristalografía y muchos campos técnicos, como la ingeniería, la arquitectura, la geodesia, la aerodinámica y la navegación. El currículo educativo obligatorio de la mayoría de las naciones incluye el estudio de conceptos euclidianos como puntos, líneas, planos, ángulos, triángulos, congruencia, semejanza, figuras sólidas, círculos y geometría analítica.

Geometría diferencial

La geometría diferencial utiliza técnicas de cálculo y álgebra lineal para estudiar problemas de geometría. Tiene aplicaciones en física, econometría y bioinformática, entre otras.

En particular, la geometría diferencial es de importancia para la física matemática debido a la postulación de la relatividad general de Albert Einstein de que el universo es curvo. La geometría diferencial puede ser intrínseca (lo que significa que los espacios que considera son variedades uniformes cuya estructura geométrica se rige por una métrica de Riemann, que determina cómo se miden las distancias cerca de cada punto) o extrínseca (donde el objeto en estudio es parte de algún ambiente). espacio euclidiano plano).

Geometría no euclidiana

La geometría euclidiana no fue la única forma histórica de geometría estudiada. La geometría esférica ha sido utilizada durante mucho tiempo por astrónomos, astrólogos y navegantes.

Immanuel Kant argumentó que solo hay una geometría absoluta, que se sabe que es verdadera a priori por una facultad interna de la mente: la geometría euclidiana era sintética a priori. Este punto de vista fue al principio algo cuestionado por pensadores como Saccheri, luego finalmente anulado por el descubrimiento revolucionario de la geometría no euclidiana en los trabajos de Bolyai, Lobachevsky y Gauss (quien nunca publicó su teoría). Demostraron que el espacio euclidiano ordinario es solo una posibilidad para el desarrollo de la geometría. Luego, Riemann expresó una visión amplia del tema de la geometría en su conferencia inaugural de 1867 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría).), publicado sólo después de su muerte. La nueva idea del espacio de Riemann resultó crucial en la teoría de la relatividad general de Albert Einstein. La geometría riemanniana, que considera espacios muy generales en los que se define la noción de longitud, es un pilar de la geometría moderna.

Topología

La topología es el campo relacionado con las propiedades de las aplicaciones continuas y puede considerarse una generalización de la geometría euclidiana. En la práctica, la topología a menudo significa tratar con propiedades de espacios a gran escala, como la conectividad y la compacidad.

El campo de la topología, que experimentó un desarrollo masivo en el siglo XX, es en un sentido técnico un tipo de geometría de transformación, en la que las transformaciones son homeomorfismos. Esto se ha expresado a menudo en la forma del dicho 'la topología es una geometría de hoja de caucho'. Los subcampos de topología incluyen topología geométrica, topología diferencial, topología algebraica y topología general.

Geometría algebraica

El campo de la geometría algebraica se desarrolló a partir de la geometría cartesiana de coordenadas. Pasó por períodos periódicos de crecimiento, acompañados de la creación y el estudio de la geometría proyectiva, la geometría biracional, las variedades algebraicas y el álgebra conmutativa, entre otros temas. Desde finales de la década de 1950 hasta mediados de la de 1970, experimentó un importante desarrollo fundacional, en gran parte debido al trabajo de Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck. Esto condujo a la introducción de esquemas y un mayor énfasis en los métodos topológicos, incluidas varias teorías de cohomología. Uno de los siete problemas del Premio del Milenio, la conjetura de Hodge, es una cuestión de geometría algebraica.La prueba de Wiles del último teorema de Fermat utiliza métodos avanzados de geometría algebraica para resolver un antiguo problema de teoría de números.

En general, la geometría algebraica estudia la geometría mediante el uso de conceptos en álgebra conmutativa como los polinomios multivariados. Tiene aplicaciones en muchas áreas, incluida la criptografía y la teoría de cuerdas.

Geometría compleja

La geometría compleja estudia la naturaleza de las estructuras geométricas modeladas o que surgen del plano complejo. La geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis de varias variables complejas, y ha encontrado aplicaciones en la teoría de cuerdas y la simetría especular.

La geometría compleja apareció por primera vez como un área distinta de estudio en el trabajo de Bernhard Riemann en su estudio de las superficies de Riemann. El trabajo en el espíritu de Riemann fue realizado por la escuela italiana de geometría algebraica a principios del siglo XX. El tratamiento contemporáneo de la geometría compleja comenzó con el trabajo de Jean-Pierre Serre, quien introdujo el concepto de poleas en el tema e iluminó las relaciones entre la geometría compleja y la geometría algebraica. Los principales objetos de estudio en geometría compleja son las variedades complejas, las variedades algebraicas complejas y las variedades analíticas complejas, y los haces de vectores holomorfos y los haces coherentes sobre estos espacios. Los ejemplos especiales de espacios estudiados en geometría compleja incluyen superficies de Riemann y variedades de Calabi-Yau, y estos espacios encuentran usos en la teoría de cuerdas. En particular, las láminas mundiales de cuerdas se modelan mediante superficies de Riemann, y la teoría de supercuerdas predice que las 6 dimensiones adicionales del espacio-tiempo de 10 dimensiones pueden modelarse mediante variedades de Calabi-Yau.

Geometría discreta

La geometría discreta es un tema que tiene estrechas conexiones con la geometría convexa. Se ocupa principalmente de cuestiones de posición relativa de objetos geométricos simples, como puntos, líneas y círculos. Los ejemplos incluyen el estudio de empaques de esferas, triangulaciones, la conjetura de Kneser-Poulsen, etc. Comparte muchos métodos y principios con la combinatoria.

Geometría Computacional

La geometría computacional se ocupa de los algoritmos y sus implementaciones para manipular objetos geométricos. Históricamente, los problemas importantes han incluido el problema del vendedor ambulante, los árboles de expansión mínimos, la eliminación de líneas ocultas y la programación lineal.

Aunque es un área joven de la geometría, tiene muchas aplicaciones en visión por computadora, procesamiento de imágenes, diseño asistido por computadora, imágenes médicas, etc.

Teoría de grupos geométricos

La teoría de grupos geométricos utiliza técnicas geométricas a gran escala para estudiar grupos generados finitamente. Está estrechamente relacionado con la topología de baja dimensión, como en la prueba de la conjetura de Geometrización de Grigori Perelman, que incluía la prueba de la conjetura de Poincaré, un Problema del Premio del Milenio.

La teoría de grupos geométricos a menudo gira en torno al gráfico de Cayley, que es una representación geométrica de un grupo. Otros temas importantes incluyen cuasi-isometrías, grupos hiperbólicos de Gromov y grupos de Artin en ángulo recto.

Geometría convexa

La geometría convexa investiga formas convexas en el espacio euclidiano y sus análogos más abstractos, a menudo utilizando técnicas de análisis real y matemáticas discretas. Tiene conexiones cercanas con el análisis convexo, la optimización y el análisis funcional e importantes aplicaciones en la teoría de números.

La geometría convexa se remonta a la antigüedad. Arquímedes dio la primera definición precisa conocida de convexidad. El problema isoperimétrico, un concepto recurrente en la geometría convexa, también fue estudiado por los griegos, incluido Zenodoro. Arquímedes, Platón, Euclides y más tarde Kepler y Coxeter estudiaron los politopos convexos y sus propiedades. A partir del siglo XIX, los matemáticos han estudiado otras áreas de las matemáticas convexas, incluidos los politopos de dimensiones superiores, el volumen y el área de superficie de los cuerpos convexos, la curvatura gaussiana, los algoritmos, los mosaicos y las redes.

Aplicaciones

La geometría ha encontrado aplicaciones en muchos campos, algunos de los cuales se describen a continuación.

Arte

Las matemáticas y el arte están relacionados en una variedad de formas. Por ejemplo, la teoría de la perspectiva mostró que hay más en la geometría que solo las propiedades métricas de las figuras: la perspectiva es el origen de la geometría proyectiva.

Los artistas han utilizado durante mucho tiempo conceptos de proporción en el diseño. Vitruvio desarrolló una complicada teoría de las proporciones ideales de la figura humana. Estos conceptos han sido utilizados y adaptados por artistas desde Miguel Ángel hasta los artistas de cómics modernos.

La proporción áurea es una proporción particular que ha tenido un papel controvertido en el arte. A menudo se afirma que es la proporción de longitudes más agradable estéticamente, y con frecuencia se afirma que se incorpora a obras de arte famosas, aunque los ejemplos más confiables e inequívocos fueron creados deliberadamente por artistas conscientes de esta leyenda.

Los mosaicos, o mosaicos, se han utilizado en el arte a lo largo de la historia. El arte islámico hace uso frecuente de mosaicos, al igual que el arte de MC Escher. El trabajo de Escher también hizo uso de la geometría hiperbólica.

Cézanne avanzó la teoría de que todas las imágenes pueden construirse a partir de la esfera, el cono y el cilindro. Esto todavía se usa en la teoría del arte hoy en día, aunque la lista exacta de formas varía de un autor a otro.

Arquitectura

La geometría tiene muchas aplicaciones en arquitectura. De hecho, se ha dicho que la geometría se encuentra en el centro del diseño arquitectónico. Las aplicaciones de la geometría a la arquitectura incluyen el uso de la geometría proyectiva para crear una perspectiva forzada, el uso de secciones cónicas en la construcción de cúpulas y objetos similares, el uso de mosaicos y el uso de la simetría.

Física

El campo de la astronomía, especialmente en lo que se refiere al mapeo de las posiciones de las estrellas y los planetas en la esfera celeste y la descripción de la relación entre los movimientos de los cuerpos celestes, ha sido una fuente importante de problemas geométricos a lo largo de la historia.

La geometría riemanniana y la geometría pseudo-riemanniana se utilizan en la relatividad general. La teoría de cuerdas hace uso de varias variantes de la geometría, al igual que la teoría de la información cuántica.

Otros campos de las matemáticas.

El cálculo estuvo fuertemente influenciado por la geometría. Por ejemplo, la introducción de las coordenadas por parte de René Descartes y los desarrollos simultáneos del álgebra marcaron una nueva etapa para la geometría, ya que las figuras geométricas, como las curvas planas, ahora podían representarse analíticamente en forma de funciones y ecuaciones. Esto jugó un papel clave en el surgimiento del cálculo infinitesimal en el siglo XVII. La geometría analítica sigue siendo un pilar del plan de estudios de precálculo y cálculo.

Otra importante área de aplicación es la teoría de números. En la antigua Grecia, los pitagóricos consideraron el papel de los números en la geometría. Sin embargo, el descubrimiento de longitudes inconmensurables contradecía sus puntos de vista filosóficos. Desde el siglo XIX, la geometría se ha utilizado para resolver problemas de teoría de números, por ejemplo a través de la geometría de números o, más recientemente, la teoría de esquemas, que se utiliza en la demostración de Wiles del último teorema de Fermat.