Geoide

El geoide () es la forma que tomaría la superficie del océano bajo la influencia de la gravedad de la Tierra, incluida la atracción gravitatoria y la rotación de la Tierra, si otras influencias como los vientos y las mareas estaban ausentes. Esta superficie se extiende a través de los continentes (como con hipotéticos canales muy estrechos). Según Gauss, quien lo describió por primera vez, es la 'figura matemática de la Tierra', una superficie lisa pero irregular cuya forma resulta de la distribución desigual de la masa dentro y sobre la superficie de la Tierra. Solo se puede conocer a través de extensas mediciones y cálculos gravitacionales. A pesar de ser un concepto importante durante casi 200 años en la historia de la geodesia y la geofísica, se ha definido con alta precisión solo desde los avances en la geodesia satelital a fines del siglo XX.

Todos los puntos en la superficie de un geoide tienen el mismo geopotencial (la suma de la energía potencial gravitatoria y la energía potencial centrífuga). La fuerza de la gravedad actúa en todas partes de manera perpendicular al geoide, lo que significa que las plomadas apuntan perpendicularmente y los niveles del agua paralelos al geoide si solo estuvieran en juego la gravedad y la aceleración de rotación. La aceleración de la gravedad de la Tierra no es uniforme sobre el geoide, que es solo una superficie equipotencial, condición suficiente para que una bola permanezca en reposo en lugar de rodar sobre el geoide. La ondulación del geoide o altura del geoide es la altura del geoide en relación con un elipsoide de referencia dado. El geoide sirve como superficie de coordenadas para varias coordenadas verticales, como alturas ortométricas, alturas geopotenciales y alturas dinámicas (ver Geodesia#Alturas).

Undulación geoide en pseudocolor, relieve sombreado y exageración vertical (10000 factor de escalado vertical).

Undulación geoide en pseudocolor, sin exageración vertical.

Descripción

1. Océano
2. Ellipsoid
3. Línea de fontanería local
4. Continente
5. Geoid

La superficie del geoide es irregular, a diferencia del elipsoide de referencia (que es una representación matemática idealizada de la Tierra física como un elipsoide), pero es considerablemente más suave que la superficie física de la Tierra. Aunque el "suelo" de la Tierra tiene excursiones del orden de +8.800 m (Monte Everest) y −11.000 m (Fosa de las Marianas), la desviación del geoide de un elipsoide varía de +85 m (Islandia) a −106 m (sur de la India), menos de 200 m en total.

Si el océano fuera isopícnico (de densidad constante) y no fuera perturbado por las mareas, las corrientes o el clima, su superficie se parecería al geoide. La desviación permanente entre el geoide y el nivel medio del mar se denomina topografía de la superficie del océano. Si las masas de tierra continental estuvieran atravesadas por una serie de túneles o canales, el nivel del mar en esos canales también coincidiría casi con el geoide. En realidad, el geoide no tiene un significado físico debajo de los continentes, pero los geodestas pueden derivar las alturas de los puntos continentales por encima de esta superficie imaginaria, aunque físicamente definida, mediante nivelación de burbuja.

Al ser una superficie equipotencial, el geoide es, por definición, una superficie a la que la fuerza de la gravedad es perpendicular en todas partes. Eso quiere decir que al viajar en barco, uno no nota las ondulaciones del geoide; la vertical local (plomada) siempre es perpendicular al geoide y el horizonte local es tangencial a este. Asimismo, los niveles de burbuja siempre estarán paralelos al geoide.

Ejemplo simplificado

El campo gravitacional de la tierra no es uniforme. Un esferoide achatado se usa típicamente como la tierra idealizada, pero incluso si la tierra fuera esférica y no rotara, la fuerza de la gravedad no sería la misma en todas partes porque la densidad varía en todo el planeta. Esto se debe a las distribuciones de magma, la densidad y el peso de las diferentes composiciones geológicas en la corteza terrestre, las cadenas montañosas, las fosas marinas profundas, la compactación de la corteza debido a los glaciares, etc.

Si esa esfera estuviera cubierta de agua, el agua no tendría la misma altura en todas partes. En cambio, el nivel del agua sería más alto o más bajo con respecto al centro de la Tierra, dependiendo de la integral de la fuerza de la gravedad desde el centro de la tierra hasta ese lugar. El nivel del geoide coincide con el lugar donde estaría el agua. Generalmente, el geoide se eleva donde el material de la tierra es localmente más denso, que es donde la tierra ejerce una mayor atracción gravitatoria.

Forma

La ondulación del geoide, la altura del geoide o la anomalía del geoide es la altura del geoide en relación con un elipsoide de referencia dado. La ondulación no está estandarizada, ya que diferentes países usan diferentes niveles medios del mar como referencia, pero más comúnmente se refiere al geoide EGM96.

Relación con GPS/GNSS

En los mapas y en el uso común, la altura sobre el nivel medio del mar (como la altura ortométrica) se utiliza para indicar la altura de las elevaciones, mientras que la altura elipsoidal resulta del sistema GPS y GNSS similar.

La desviación N{displaystyle N} entre la altura elipsoidal h{displaystyle h} y la altura ortométrica H{displaystyle H. puede calcularse

N=h− − H{displaystyle N=h- H.

(Existe una relación análoga entre las alturas normales y el cuasigeoide).

Entonces, un receptor GPS en un barco puede, durante el curso de un viaje largo, indicar variaciones de altura, aunque el barco siempre estará al nivel del mar (despreciando los efectos de las mareas). Esto se debe a que los satélites GPS, que orbitan alrededor del centro de gravedad de la Tierra, pueden medir alturas solo en relación con un elipsoide de referencia geocéntrico. Para obtener la altura ortométrica, se debe corregir una lectura de GPS sin procesar. Por el contrario, la altura determinada por el nivel de burbuja de un mareógrafo, como en la agrimensura tradicional, está más cerca de la altura ortométrica. Los receptores GPS modernos tienen una cuadrícula implementada en su software mediante la cual obtienen, a partir de la posición actual, la altura del geoide (por ejemplo, el geoide EGM-96) sobre el elipsoide del Sistema Geodésico Mundial (WGS). Luego pueden corregir la altura sobre el elipsoide WGS a la altura sobre el geoide EGM96. Cuando la altura no es cero en un barco, la discrepancia se debe a otros factores, como las mareas oceánicas, la presión atmosférica (efectos meteorológicos), la topografía local de la superficie del mar y las incertidumbres de medición.

Relación con la densidad de masa

La superficie del geoide es más alta que el elipsoide de referencia donde hay una anomalía de gravedad positiva (exceso de masa) y más baja que el elipsoide de referencia donde hay una anomalía de gravedad negativa (déficit de masa).

Esta relación se puede entender recordando que el potencial de gravedad se define de modo que tenga valores negativos y sea inversamente proporcional a la distancia del cuerpo. Entonces, mientras que un exceso de masa fortalecerá la aceleración de la gravedad, disminuirá el potencial de la gravedad. Como consecuencia, la superficie equipotencial que define el geoide se encontrará desplazada lejos del exceso de masa. Análogamente, un déficit de masa debilitará la atracción de la gravedad pero aumentará el geopotencial a una distancia determinada, lo que hará que el geoide se mueva hacia el déficit de masa. La presencia de una inclusión localizada en el medio de fondo hará que los vectores de aceleración de la gravedad giren ligeramente hacia y desde un cuerpo más denso o más ligero, respectivamente, provocando un hoyuelo o una protuberancia en la superficie equipotencial.

La mayor desviación absoluta se puede encontrar en el "bajo geoide del Océano Índico".

Anomalías de gravedad

Las anomalías de gravedad y geoide causadas por varios cambios de espesor crustal y litoesférico en relación con una configuración de referencia. Todos los ajustes están bajo compensación isostática local.

Las variaciones en la altura de la superficie geoidal están relacionadas con distribuciones de densidad anómalas dentro de la Tierra. Las medidas del geoide ayudan así a comprender la estructura interna del planeta. Cálculos sintéticos muestran que la firma geoidal de una corteza engrosada (por ejemplo, en cinturones orogénicos producidos por colisión continental) es positiva, al contrario de lo que cabría esperar si el engrosamiento afecta a toda la litosfera. La convección del manto también cambia la forma del geoide con el tiempo.

Visualización tridimensional de anomalías de gravedad en unidades de Gal., utilizando pseudo color y relieve sombreado.

Determinación

Calcular la ondulación es un desafío matemático. Esta es la razón por la que muchos receptores GPS portátiles tienen tablas de búsqueda de ondulación integradas para determinar la altura sobre el nivel del mar.

La solución de geoide precisa de Vaníček y colaboradores mejoró el enfoque de Stokesian para el cálculo del geoide. Su solución permite una precisión de milímetro a centímetro en el cálculo del geoide, una mejora en el orden de magnitud de las soluciones clásicas anteriores.

Las ondulaciones del geoide muestran incertidumbres que se pueden estimar utilizando varios métodos, p. Colocación por mínimos cuadrados (LSC), lógica difusa, redes neutrales artificiales, funciones de base radial (RBF) y técnicas geoestadísticas. El enfoque geoestadístico se ha definido como la técnica más mejorada en la predicción de la ondulación del geoide.

Cambio temporal

Misiones satelitales recientes, como Gravity Field y Steady-State Ocean Circulation Explorer (GOCE) y GRACE, han permitido el estudio de señales geoidales variables en el tiempo. Los primeros productos basados en datos satelitales GOCE estuvieron disponibles en línea en junio de 2010, a través de las herramientas de servicios de observación de la Tierra para usuarios de la Agencia Espacial Europea (ESA). La ESA lanzó el satélite en marzo de 2009 en una misión para mapear la gravedad de la Tierra con una precisión y resolución espacial sin precedentes. El 31 de marzo de 2011, se presentó el nuevo modelo de geoide en el Cuarto Taller Internacional de Usuarios de GOCE organizado en la Universidad Técnica de Munich, Alemania. Los estudios que utilizan el geoide variable en el tiempo calculado a partir de los datos de GRACE han proporcionado información sobre los ciclos hidrológicos globales, los balances de masa de las capas de hielo y el rebote posglacial. A partir de las mediciones de rebote posglacial, los datos GRACE variables en el tiempo se pueden utilizar para deducir la viscosidad del manto terrestre.

Representación de armónicos esféricos

Undulación geoide (rojo) relativa al ellipsoide de referencia (negro), exagerado en gran medida; vea también: la forma de pera de la Tierra.

Los armónicos esféricos se utilizan a menudo para aproximar la forma del geoide. El mejor conjunto actual de coeficientes armónicos esféricos es EGM2020 (Earth Gravity Model 2020), determinado en un proyecto de colaboración internacional dirigido por la Agencia Nacional de Imágenes y Cartografía (ahora la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial, o NGA). La descripción matemática de la parte no giratoria de la función potencial en este modelo es:

V=GMr()1+.. n=2nmax()ar)n.. m=0nP̄ ̄ nm()pecado⁡ ⁡ φ φ )[C̄ ̄ nm#⁡ ⁡ mλ λ +S̄ ̄ nmpecado⁡ ⁡ mλ λ ]),{displaystyle V={frac {} {}}left(1+{sum ¿Por qué? {fn}}derecha)} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}}}}}}}}}}derechosa}}}} {fn}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}} {n} {n}}}}} {n} {n}}}}}}}}}} {n}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}} {n}}}} {n}}} {n}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {fnMicrosoft Sans Serif} {fnm}sin phi)left[{overline] {C}_{nm}cos mlambda ###{overline {S}_{nm}sin mlambda right]right,}

Donde φ φ {displaystyle phi } y λ λ {displaystyle lambda} son geocéntrico (esférica) latitud y longitud respectivamente, P̄ ̄ nm{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} son los polinomios de grado Legendre totalmente normalizados n{displaystyle n} y orden m{displaystyle m}, y C̄ ̄ nm{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} y S̄ ̄ nm{displaystyle {fnMicrosoft Sans} {fnh}} {fnh}} {fnh}} {fnh}}} {fnm}}}} {fnm}}}}} {fnh}}}}} {nm}} son los coeficientes numéricos del modelo basados en datos medidos. Note que la ecuación anterior describe el potencial gravitacional de la Tierra V{displaystyle V., no la geoide misma, en el lugar φ φ ,λ λ ,r,{displaystyle phi;lambda;r, } el coordinado r{displaystyle r} ser el radio geocéntricoEs decir, distancia del centro de la Tierra. La geoide es una superficie particular y está algo implicada para calcular. El gradiente de este potencial también proporciona un modelo de aceleración gravitacional. El EGM96 más utilizado contiene un conjunto completo de coeficientes en grado y orden 360 (es decir, 360). nmax=360{displaystyle n_{text{max}=360}), describiendo detalles en el geoide global tan pequeño como 55 km (o 110 km, dependiendo de su definición de resolución). El número de coeficientes, C̄ ̄ nm{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} y S̄ ̄ nm{displaystyle {fnMicrosoft Sans} {fnh}} {fnh}} {fnh}} {fnh}}} {fnm}}}} {fnm}}}}} {fnh}}}}} {nm}}, se puede determinar por primera vez observando en la ecuación para V que para un valor específico de n hay dos coeficientes por cada valor de m excepto para m = 0. Sólo hay un coeficiente cuando m=0 desde pecado⁡ ⁡ ()0λ λ )=0{displaystyle sin(0lambda)=0}. Por lo tanto hay (2n+1) coeficientes por cada valor de n. Usando estos hechos y la fórmula, .. I=1LI=12L()L+1){textstyle sum ¿Qué? {1}{2}L(L+1)}, sigue que el número total de coeficientes es dado por

.. n=2nmax()2n+1)=nmax()nmax+1)+nmax− − 3=130317{displaystyle sum ¿Por qué?

nmax=360{displaystyle n_{text{max}=360}

Para muchas aplicaciones, la serie completa es innecesariamente compleja y se trunca después de algunos términos (quizás varias docenas).

Aún así, se han desarrollado incluso modelos de alta resolución. Muchos de los autores de EGM96 han publicado EGM2008. Él incorpora gran parte de los nuevos datos satelitales de gravedad (p. ej., el Experimento climático y de recuperación de la gravedad) y admite hasta el grado y orden 2160 (1/6 de grado, que requiere más de 4 millones de coeficientes), con coeficientes adicionales que se extienden hasta el grado 2190 y orden 2159. EGM2020 es el seguimiento planificado de 2020 (ahora vencido), que contiene la misma cantidad de armónicos generados con mejores datos.