Geodésico

En geometría, una geodésica () es una curva que representa en cierto sentido el camino más corto (arco) entre dos puntos en una superficie, o más generalmente en una variedad de Riemann. El término también tiene significado en cualquier variedad diferenciable con una conexión. Es una generalización de la noción de "línea recta".

El sustantivo geodésico y el adjetivo geodésico provienen de geodesia, la ciencia de medir el tamaño y la forma de la Tierra, aunque muchas de las Los principios subyacentes se pueden aplicar a cualquier geometría elipsoidal. En el sentido original, una geodésica era la ruta más corta entre dos puntos de la superficie terrestre. Para una Tierra esférica, es un segmento de un gran círculo (ver también distancia del gran círculo). Desde entonces, el término se ha generalizado a espacios matemáticos más abstractos; por ejemplo, en teoría de grafos, uno podría considerar una geodésica entre dos vértices/nodos de un gráfico.

En una variedad o subvariedad de Riemann, las geodésicas se caracterizan por la propiedad de tener curvatura geodésica nula. Más generalmente, en presencia de una conexión afín, una geodésica se define como una curva cuyos vectores tangentes permanecen paralelos si son transportados a lo largo de ella. Aplicando esto a la conexión Levi-Civita de una métrica riemanniana se recupera la noción anterior.

Las geodésicas son de particular importancia en la relatividad general. Las geodésicas temporales en relatividad general describen el movimiento de partículas de prueba en caída libre.

Introducción

Se puede definir un camino localmente más corto entre dos puntos dados en un espacio curvo, que se supone que es una variedad de Riemann, usando la ecuación para la longitud de una curva (una función f de un espacio abierto intervalo de R al espacio), y luego minimizando esta longitud entre los puntos usando el cálculo de variaciones. Esto tiene algunos problemas técnicos menores porque hay un espacio de dimensión infinita de diferentes formas de parametrizar el camino más corto. Es más sencillo restringir el conjunto de curvas a aquellas que están parametrizadas "con velocidad constante" 1, lo que significa que la distancia de f(s) a f(t) a lo largo de la curva es igual a |s−t|. De manera equivalente, se puede usar una cantidad diferente, denominada energía de la curva; minimizar la energía conduce a las mismas ecuaciones para una geodésica (aquí 'velocidad constante' es una consecuencia de la minimización). Intuitivamente, se puede entender esta segunda formulación observando que una banda elástica estirada entre dos puntos contraerá su ancho y, al hacerlo, minimizará su energía. La forma resultante de la banda es una geodésica.

Es posible que varias curvas diferentes entre dos puntos minimicen la distancia, como es el caso de dos puntos diametralmente opuestos en una esfera. En tal caso, cualquiera de estas curvas es una geodésica.

Un segmento contiguo de una geodésica es nuevamente una geodésica.

En general, la geodésica no es la misma que las " curvas más cortas" entre dos puntos, aunque los dos conceptos están estrechamente relacionados. La diferencia es que la geodésica es sólo localmente la distancia más corta entre puntos, y se parametizan con "velocidad constante". Ir a la "long way round" en un gran círculo entre dos puntos en una esfera es una geodésica pero no el camino más corto entre los puntos. El mapa t→ → t2{displaystyle tto t^{2} desde el intervalo de unidad en la línea de número real a sí mismo da el camino más corto entre 0 y 1, pero no es un geodésico porque la velocidad del movimiento correspondiente de un punto no es constante.

Las geodésicas se ven comúnmente en el estudio de la geometría riemanniana y, más generalmente, en la geometría métrica. En relatividad general, las geodésicas en el espacio-tiempo describen el movimiento de partículas puntuales bajo la influencia de la gravedad únicamente. En particular, el camino tomado por una roca que cae, un satélite en órbita o la forma de una órbita planetaria son geodésicas en el espacio-tiempo curvo. De manera más general, el tema de la geometría subriemanniana trata de los caminos que pueden tomar los objetos cuando no son libres y su movimiento está restringido de varias maneras.

Este artículo presenta el formalismo matemático involucrado en la definición, búsqueda y prueba de la existencia de geodésicas, en el caso de las variedades de Riemann. El artículo Conexión Levi-Civita analiza el caso más general de una variedad pseudo-riemanniana y geodésica (relatividad general) analiza el caso especial de la relatividad general con mayor detalle.

Ejemplos

Un geodésico en un elipsoide triaxial.

Si un insecto se coloca en una superficie y camina continuamente "para adelante", por definición se rastreará una geodésica.

Los ejemplos más familiares son las líneas rectas en la geometría euclidiana. En una esfera, las imágenes de las geodésicas son los grandes círculos. El camino más corto desde el punto A hasta el punto B en una esfera viene dado por el arco más corto del gran círculo que pasa por A y B. Si A y B son puntos antípodas, entonces hay infinidad de caminos más cortos entre ellos. Las geodésicas en un elipsoide se comportan de manera más complicada que en una esfera; en particular, no son cerrados en general (ver figura).

Triángulos

Un triángulo geodésico en la esfera.

Un triángulo geodésico está formado por las geodésicas que unen cada par de tres puntos en una superficie dada. En la esfera, las geodésicas son grandes arcos circulares que forman un triángulo esférico.

triángulos geodésicos en espacios de curvatura positiva (top), negativa (middle) y cero (bottom).

Geometría métrica

En geometría métrica, una geodésica es una curva que es en todas partes localmente un minimizador de distancia. Más precisamente, una curva γ: I → M de un intervalo I de los reales al espacio métrico M es una geodésica si existe una constante v ≥ 0 tal que para cualquier t ∈ I hay una vecindad J de t en I tal que para cualquier t₁, t₂ ∈ J tenemos

d()γ γ ()t1),γ γ ()t2))=vSilenciot1− − t2Silencio.{displaystyle d(gamma (t_{1}),gamma (t_{2})=vleft sometidat_{1}-t_{2}right impertine.}

Esto generaliza la noción de geodésica para las variedades de Riemann. Sin embargo, en geometría métrica, la geodésica considerada a menudo está equipada con parametrización natural, es decir, en la identidad anterior v = 1 y

d()γ γ ()t1),γ γ ()t2))=Silenciot1− − t2Silencio.{displaystyle d(gamma (t_{1}),gamma (t_{2})=left habitt_{1}-t_{2}right imper.}

Si la última igualdad se cumple para todos t₁, t₂ ∈ I, la geodésica se denomina geodésica minimizante o camino más corto.

En general, un espacio métrico puede no tener geodésicas, excepto curvas constantes. En el otro extremo, dos puntos cualesquiera en un espacio métrico de longitud están unidos por una secuencia minimizadora de caminos rectificables, aunque esta secuencia minimizadora no necesita converger en una geodésica.

Geometría de Riemann

En una variedad de Riemann M con tensor métrico g, la longitud L de una curva continuamente diferenciable γ: [a,b] → M está definido por

L()γ γ )=∫ ∫ abgγ γ ()t)()γ γ Í Í ()t),γ γ Í Í ()t))dt.{displaystyle L(gamma)=int _{a}{b}{sqrt {g_{gamma (t)}({dot {gamma }(t),{dot {gamma }(t)}},dt.}

La distancia d(p, q) entre dos puntos p y q de M se define como el mínimo de la longitud tomada sobre todas las curvas continuas diferenciables por partes continuas γ: [a,b] → M tal que γ(a) = p y γ(b) = q. En la geometría de Riemann, todas las geodésicas son caminos que minimizan la distancia localmente, pero lo contrario no es cierto. De hecho, solo las rutas que minimizan la distancia localmente y están parametrizadas proporcionalmente a la longitud del arco son geodésicas. Otra forma equivalente de definir las geodésicas en una variedad de Riemann es definirlas como los mínimos de la siguiente acción o energía funcional

E()γ γ )=12∫ ∫ abgγ γ ()t)()γ γ Í Í ()t),γ γ Í Í ()t))dt.{displaystyle E(gamma)={2}int _{a}{b}g_{gamma (t)}({dot {gamma }(t),{dot {gamma } {dot {gamma }(t),dt.}

Todo minima de E son también minima de L, pero L es un conjunto más grande desde caminos que son minima de L se puede reparar arbitrariamente (sin cambiar su longitud), mientras que minima de E No puedo. Para un poco sencillo C1{displaystyle C^{1} curva (más generalmente, una W1,2{displaystyle W^{1,2} curva), la desigualdad Cauchy-Schwarz da

L()γ γ )2≤ ≤ 2()b− − a)E()γ γ ){displaystyle L(gamma)}leq 2(b-a)E(gamma)}

con igualdad si g()γ γ .,γ γ .){displaystyle g(gamma ',gamma ')} es igual a una constante a.e.; el camino debe ser recorrido a velocidad constante. Sucede que los minimizadores E()γ γ ){displaystyle E(gamma)} también minimizar L()γ γ ){displaystyle L(gamma)}, porque resultan ser afinalmente parametrizados, y la desigualdad es una igualdad. La utilidad de este enfoque es que el problema de buscar minimizadores E es un problema de variación más robusto. De hecho, E es una "función convexa" de γ γ {displaystyle gamma }, para que dentro de cada clase isotopía de "funciones razonables", uno debe esperar la existencia, singularidad y regularidad de los minimizadores. En contraste, "minimizadores" de la funcionalidad L()γ γ ){displaystyle L(gamma)} generalmente no son muy regulares, porque se permiten reparameterizaciones arbitrarias.

Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange para el funcional E se dan en coordenadas locales por

d2xλ λ dt2+.. μ μ .. λ λ dxμ μ dtdx.. dt=0,{displaystyle {frac {f}x}{lambda } {dt^{2}} Gamma _{munu }{lambda ¿Qué? ¿Qué? } {dt}=0,}

Donde .. μ μ .. λ λ {displaystyle Gamma _{munu }{lambda } son los símbolos de Christoffel de la métrica. Este es el ecuación geodésica, discutido a continuación.

Cálculo de variaciones

Se pueden aplicar técnicas del cálculo clásico de variaciones para examinar el funcional energético E. La primera variación de energía se define en coordenadas locales por

δ δ E()γ γ )()φ φ )=∂ ∂ ∂ ∂ tSilenciot=0E()γ γ +tφ φ ).{displaystyle delta E(gamma)(varphi)=left.{frac {partial }{partial t}}}justo _{t=0}E(gamma +tvarphi).}

Los puntos críticos de la primera variación son precisamente las geodésicas. La segunda variación está definida por

δ δ 2E()γ γ )()φ φ ,↑ ↑ )=∂ ∂ 2∂ ∂ s∂ ∂ tSilencios=t=0E()γ γ +tφ φ +s↑ ↑ ).{displaystyle delta ^{2}E(gamma)(varphipsi)=left.{frac {partial ^{2}}{partial s,partial t}right perpetua_{s=t=0}E(gamma +tvarphi +spsi).}

En un sentido apropiado, los ceros de la segunda variación a lo largo de una geodésica γ surgen a lo largo de los campos de Jacobi. Por lo tanto, los campos de Jacobi se consideran variaciones a través de las geodésicas.

Al aplicar técnicas variacionales de la mecánica clásica, también se pueden considerar las geodésicas como flujos hamiltonianos. Son soluciones de las ecuaciones de Hamilton asociadas, con (pseudo-) métrica Riemanniana tomada como hamiltoniana.

Geodésicas afines

Una geodésica sobre una variedad uniforme M con una conexión afín ∇ se define como una curva γ(t) tal que el transporte paralelo a lo largo de la curva conserva el vector tangente a la curva, por lo que

Silencio Silencio γ γ Í Í γ γ Í Í =0{displaystyle nabla _{dot {gamma}{dot {gamma }=0}

()1)

en cada punto a lo largo de la curva, donde γ γ Í Í {fnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } es el derivado con respecto a t{displaystyle t}. Más precisamente, para definir el derivado covariante de γ γ Í Í {fnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } es necesario primero extender γ γ Í Í {fnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } a un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto. Sin embargo, el valor resultante de (1) es independiente de la elección de la extensión.

Usando las coordenadas locales en M, podemos escribir la ecuación geodésica (usando la convención de sumatoria) como

d2γ γ λ λ dt2+.. μ μ .. λ λ dγ γ μ μ dtdγ γ .. dt=0,{displaystyle {frac {fnK}gnMicrosoft Sans Serif} } {dt^{2}} Gamma _{munu }{lambda }{frac {dgamma }{mu } {dt}{frac {dgamma }{nu } {dt}=0}

Donde γ γ μ μ =xμ μ ∘ ∘ γ γ ()t){displaystyle gamma ^{mu }=x^{mu }circ gamma (t)} son las coordenadas de la curva γ(t) y .. μ μ .. λ λ {displaystyle Gamma _{munu }{lambda } son los símbolos de Christoffel de la conexión. Esta es una ecuación diferencial ordinaria para las coordenadas. Tiene una solución única, dada una posición inicial y una velocidad inicial. Por lo tanto, desde el punto de vista de la mecánica clásica, la geodésica se puede considerar como trayectorias de partículas libres en un múltiple. De hecho, la ecuación Silencio Silencio γ γ Í Í γ γ Í Í =0{displaystyle nabla _{dot {gamma}{dot {gamma }=0} significa que el vector de aceleración de la curva no tiene componentes en la dirección de la superficie (y por lo tanto es perpendicular al plano tangente de la superficie en cada punto de la curva). Por lo tanto, el movimiento está completamente determinado por la curvatura de la superficie. Esta es también la idea de la relatividad general donde las partículas se mueven sobre la geodésica y la flexión es causada por la gravedad.

Existencia y singularidad

El teorema de unicidad y existencia local para las geodésicas establece que las geodésicas en una variedad suave con una conexión afín existen y son únicas. Más precisamente:

Para cualquier punto p dentro M y para cualquier vector V dentro T_pM (el espacio tangente a M a p) existe una geodésica única γ γ {displaystyle gamma ,}: I → M tales que

γ γ ()0)=p{displaystyle gamma (0)=p,} y

γ γ Í Í ()0)=V,{displaystyle {dot {gamma}(0)=V,}

Donde I es un intervalo abierto máximo en R que contiene 0.

La demostración de este teorema se deriva de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, al notar que la ecuación geodésica es una EDO de segundo orden. La existencia y la unicidad se derivan del teorema de Picard-Lindelöf para las soluciones de EDO con condiciones iniciales prescritas. γ depende suavemente tanto de p como de V.

En general, I puede no ser todo R como por ejemplo para un disco abierto en R². Cualquier γ se extiende a todo ℝ si y solo si M está geodésicamente completo.

Flujo geodésico

Flujo geodésico es una acción R local sobre el haz tangente TM de una variedad M definida en de la siguiente manera

Gt()V)=γ γ Í Í V()t){displaystyle G^{t}(V)={dot {gamma }_{V}(t)}

Donde t▪R, V▪TM y γ γ V{displaystyle gamma _{V} denota la geodésica con datos iniciales γ γ Í Í V()0)=V{fnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }_{V}(0)=V}. Así, Gt{displaystyle G^{t}()V) = exp(tV) es el mapa exponencial del vector tV. Una órbita cerrada del flujo geodésico corresponde a una geodésica cerradaM.

En un manifold (pseudo-)Riemanniano, el flujo geodésico se identifica con un flujo Hamiltoniano en el paquete cotangente. El Hamiltonian es entonces dado por la inversa de la métrica (pseudo-)Riemanniana, evaluada contra la forma canónica. En particular, el flujo preserva la métrica (pseudo-) g{displaystyle g}, es decir.

g()Gt()V),Gt()V))=g()V,V).{displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V)=g(V,V).,}

En particular, cuando V es un vector unitario, γ γ V{displaystyle gamma _{V} permanece la velocidad de unidad a lo largo, por lo que el flujo geodésico es tangente a la unidad tangente. El teorema de Liouville implica la invariancia de una medida cinemática en el paquete tangente de la unidad.

Aerosol geodésico

El flujo geodésico define una familia de curvas en el paquete tangente. Las derivadas de estas curvas definen un campo vectorial sobre el espacio total del haz tangente, conocido como spray geodésico.

Más precisamente, una conexión afín da lugar a una división del paquete de doble tangente TTM en paquetes horizontales y verticales:

TTM=H⊕ ⊕ V.{displaystyle TTM=Hoplus V.}

El spray geodésico es el único campo vectorial horizontal W que satisface

π π Alternativa Alternativa Wv=v{displaystyle pi ¿Qué?

en cada punto v ∈ TM; aquí π_∗: TTM → TM denota el avance (diferencial) a lo largo de la proyección π: TM → M asociado a la fibra tangente.

Más generalmente, la misma construcción permite construir un campo vectorial para cualquier conexión de Ehresmann en el paquete tangente. Para que el campo vectorial resultante sea un spray (en el paquete de tangente eliminado TM {0}) es suficiente que la conexión sea equivariante bajo reescalados positivos: no necesita ser lineal. Es decir, (cf. conexión de Ehresmann#Paquetes vectoriales y derivadas covariantes) es suficiente que la distribución horizontal satisfaga

Hλ λ X=d()Sλ λ )XHX{displaystyle H_{lambda X}=d(S_{lambda }

para todos XTM {0} y λ Aquí d()S_λ) es el impulso a lo largo de la homothety del escalar Sλ λ :X↦ ↦ λ λ X.{displaystyle S_{lambda }:Xmapsto lambda X.} Un caso particular de una conexión no lineal que surge de esta manera es el asociado a un múltiple Finsler.

Geodésicas afines y proyectivas

La ecuación (1) es invariante bajo reparametrizaciones afines; es decir, parametrizaciones de la forma

t↦ ↦ at+b{displaystyle tmapsto at+b}

donde a y b son números reales constantes. Así, además de especificar una cierta clase de curvas incrustadas, la ecuación geodésica también determina una clase preferida de parametrizaciones en cada una de las curvas. En consecuencia, las soluciones de (1) se denominan geodésicas con parámetro afín.

Una conexión afinada es determinado por su familia de geodésica afinalmente parametrizada, hasta la torsión (Spivak 1999, cap. 6, Adición I). La torsión en sí no afecta, de hecho, a la familia de la geodésica, ya que la ecuación geodésica depende sólo de la parte simétrica de la conexión. Más precisamente, si Silencio Silencio ,Silencio Silencio ̄ ̄ {displaystyle nabla{bar} } son dos conexiones tales que la diferencia tensor

D()X,Y)=Silencio Silencio XY− − Silencio Silencio ̄ ̄ XY{displaystyle D(X,Y)=nabla Y... {nabla} - Sí.

es simétrico, entonces Silencio Silencio {displaystyle nabla } y Silencio Silencio ̄ ̄ {displaystyle {bar} } tienen la misma geodésica, con las mismas parametrizaciones de afin. Además, hay una conexión única que tiene la misma geodésica que Silencio Silencio {displaystyle nabla }Pero con la torsión desaparecida.

Las geodésicas sin una parametrización particular se describen mediante una conexión proyectiva.

Métodos computacionales

Kimmel y otros han propuesto solucionadores eficientes para el problema geodésico mínimo en superficies planteadas como ecuaciones eikonales.

Prueba de la cinta

Una cinta "Prueba" es una forma de encontrar una geodésica en una superficie física. La idea es colocar un trozo de papel alrededor de una línea recta (una cinta) sobre una superficie curva lo más cerca posible sin estirar ni aplastar la cinta (sin cambiar su geometría interna).

Por ejemplo, cuando una cinta se enrolla como un anillo alrededor de un cono, la cinta no se apoyaría en la superficie del cono sino que sobresaldría, de modo que el círculo no sería una geodésica en el cono. Si la cinta se ajusta de manera que todas sus partes toquen la superficie del cono, daría una aproximación a una geodésica.

Matemáticamente la prueba de la cinta se puede formular como encontrar una asignación f:N()l)→ → S{displaystyle f:N(l)to S} de un barrio N{displaystyle N} de una línea l{displaystyle l} en un plano en una superficie S{displaystyle S. para que la cartografía f{displaystyle f} "no cambia las distancias alrededor l{displaystyle l} por mucho"; es decir, a la distancia ε ε {displaystyle varepsilon } desde l{displaystyle l} tenemos gN− − fAlternativa Alternativa ()gS)=O()ε ε 2){displaystyle G_{N}-f^{*}(g_{S})=O(varepsilon ^{2})} Donde gN{displaystyle G_{N} y gS{displaystyle G_{S} son métricas en N{displaystyle N} y S{displaystyle S..

Aplicaciones

Las geodésicas sirven de base para calcular:

• estructuras aéreas geodésicas; vea el marco geodésico o el marco geodésico
• estructuras geodésicas – por ejemplo cúpulas geodésicas
• distancias horizontales en o cerca de la Tierra; ver geodésica de la Tierra
• mapear imágenes en superficies, para renderizar; ver mapa UV
• movimiento de partículas en simulaciones de computadora dinámica molecular (MD)
• planificación del movimiento del robot (por ejemplo, cuando pintura partes del coche); ver Problema del camino más corto