Gavilla (matemáticas)

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Herramienta para rastrear datos definidos localmente unidos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico

En matemáticas, un gavilla (plural gavillas) es una herramienta para rastrear sistemáticamente datos (como conjuntos, grupos abelianos, anillos) adjuntos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico y definido localmente con respecto a ellos. Por ejemplo, para cada conjunto abierto, los datos podrían ser el anillo de funciones continuas definidas en ese conjunto abierto. Dichos datos se comportan bien en el sentido de que pueden restringirse a conjuntos abiertos más pequeños, y también los datos asignados a un conjunto abierto son equivalentes a todas las colecciones de datos compatibles asignados a colecciones de conjuntos abiertos más pequeños que cubren el conjunto abierto original (intuitivamente, cada pieza de datos es la suma de sus partes).

El campo de las matemáticas que estudia las gavillas se llama teoría de las gavillas.

Las poleas se entienden conceptualmente como objetos generales y abstractos. Su definición correcta es bastante técnica. Se definen específicamente como gavillas de conjuntos o como gavillas de anillos, por ejemplo, según el tipo de datos asignados a los conjuntos abiertos.

También hay mapas (o morfismos) de una gavilla a otra; los haces (de un tipo específico, como los haces de grupos abelianos) con sus morfismos en un espacio topológico fijo forman una categoría. Por otra parte, a cada función continua se le asocia tanto un funtor de imagen directo, que lleva los haces y sus morfismos en el dominio a los haces y morfismos en el codominio, y un funtor de imagen inverso que opera en dirección opuesta. Estos funtores, y ciertas variantes de ellos, son partes esenciales de la teoría de haces.

Debido a su naturaleza general y versatilidad, las poleas tienen varias aplicaciones en topología y especialmente en geometría algebraica y diferencial. Primero, las estructuras geométricas como las de una variedad diferenciable o un esquema pueden expresarse en términos de un haz de anillos en el espacio. En tales contextos, varias construcciones geométricas, como paquetes de vectores o divisores, se especifican naturalmente en términos de poleas. En segundo lugar, los haces proporcionan el marco para una teoría de la cohomología muy general, que abarca también la teoría "habitual" teorías de cohomología topológica como la cohomología singular. Especialmente en geometría algebraica y la teoría de variedades complejas, la cohomología de haces proporciona un vínculo poderoso entre las propiedades topológicas y geométricas de los espacios. Las poleas también proporcionan la base para la teoría de los módulos D, que brindan aplicaciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales. Además, las generalizaciones de las poleas a entornos más generales que los espacios topológicos, como la topología de Grothendieck, han proporcionado aplicaciones a la lógica matemática ya la teoría de números.

Definiciones y ejemplos

En muchas ramas matemáticas, varias estructuras definidas en un espacio topológico $X$ (por ejemplo, un múltiple diferente) puede ser natural localizada o restringido restringido restringido para abrir subconjuntos $Usubset X$ : ejemplos típicos incluyen funciones continuas de valor real o complejas, $n$ - veces funciones diferenciables (valoradas reales o complejas), funciones limitadas de valor real, campos vectoriales y secciones de cualquier paquete vectorial en el espacio. La capacidad de restringir los datos a los subconjuntos abiertos más pequeños da lugar al concepto de prehesas. Roughly speaking, sheaves are then those presheaves, where local data can be pegad to global data.

Pregavillas

Vamos $X$ ser un espacio topológico. A presheaf de conjuntos $F$ on $X$ consta de los siguientes datos:

Para cada conjunto abierto $U$ de $X$ , un conjunto $F(U)$ . Este set también está denotado ${displaystyle Gamma (U,F)}$ . Los elementos de este conjunto se llaman secciones de $F$ sobre $U$ . Las secciones de $F$ sobre $X$ son llamados Secciones mundiales de $F$ .
Para cada inclusión de conjuntos abiertos ${displaystyle Vsubseteq U}$ , una función ${displaystyle operatorname {res} _{V,U}colon F(U)rightarrow F(V)}$ . En vista de muchos de los ejemplos siguientes, los morfismos ${displaystyle {text{res}}_{V,U}}$ se llaman morfismos de restricción. Si ${displaystyle sin F(U)}$ , entonces su restricción ${displaystyle {text{res}}_{V,U}(s)}$ a menudo se denota ${displaystyle s|_{V}}$ por analogía con restricción de funciones.

Los morfismos de restricción son necesarios para satisfacer dos propiedades (funcionales) adicionales:

Para cada conjunto abierto $U$ de $X$ , el morfismo de restricción ${displaystyle operatorname {res} _{U,U}colon F(U)rightarrow F(U)}$ es el morfismo de identidad en $F(U)$ .
Si tenemos tres juegos abiertos ${displaystyle Wsubseteq Vsubseteq U}$ , entonces el compuesto ${displaystyle {text{res}}_{W,V}circ {text{res}}_{V,U}={text{res}}_{W,U}}$

De manera informal, el segundo axioma dice que no importa si restringimos a W en un paso o restringimos primero a V, luego a W . Más adelante se presenta una reformulación funcional concisa de esta definición.

Muchos ejemplos de prehesas provienen de diferentes clases de funciones: a cualquier $U$ , uno puede asignar el conjunto ${displaystyle C^{0}(U)}$ de funciones de valor real continuo $U$ . Los mapas de restricción se acaban de dar restringiendo una función continua en $U$ a un subconjunto abierto más pequeño $V$ , que de nuevo es una función continua. Los dos axiomas de la antena se verifican inmediatamente, dando así un ejemplo de una antena. Esto se puede extender a una hoja de funciones holomorfas ${displaystyle {mathcal {H}}(-)}$ y una hoja de funciones suaves ${displaystyle C^{infty }(-)}$ .

Otra clase común de ejemplos es asignar a $U$ el conjunto de funciones de valor real constante en $U$ . Esta sordera se llama constante asociados $mathbb {R}$ y está denotado ${displaystyle {underline {mathbb {R} }}^{psh}}$ .

Rodillos

Dada una hoja de cálculo, una pregunta natural a hacer es en qué medida sus secciones sobre un conjunto abierto $U$ se especifican por sus restricciones a grupos abiertos más pequeños $U_{i}$ de una cubierta abierta ${displaystyle {mathcal {U}}={U_{i}}_{iin I}}$ de $U$ . A Sheaf es una hoja que satisface ambos de los siguientes dos axiomas adicionales:

()Localidad) Suppose $U$ es un juego abierto, ${displaystyle {U_{i}}_{iin I}}$ es una cubierta abierta $U$ , y ${displaystyle s,tin F(U)}$ son secciones. Si ${displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$ para todos $iin I$ , entonces $s=t$ .
Supongamos $U$ es un juego abierto, ${displaystyle {U_{i}}_{iin I}}$ es una cubierta abierta $U$ , y ${displaystyle {s_{i}in F(U_{i})}_{iin I}}$ es una familia de secciones. Si todos los pares de secciones coinciden en la superposición de sus dominios, es decir, si ${displaystyle s_{i}|_{U_{i}cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}cap U_{j}}}$ para todos ${displaystyle i,jin I}$ , entonces existe una sección ${displaystyle sin F(U)}$ tales que ${displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$ para todos $iin I$ .

La sección $s$ cuya existencia está garantizada por el axioma 2 se llama glutinación, concatenación, o colación de las secciones s_i. Por axiom 1 es único. Secciones $s_{i}$ y $s_{j}$ satisfacción del acuerdo precondición del axioma 2 se llaman a menudo compatible; así los axiomas 1 y 2 juntos declaran que cualquier colección de secciones compatibles con pares puede ser pegada de forma única. A separado presheaf, o monopresheaf, es un antenafe que satisface el axioma 1.

La hoja previa que consiste en funciones continuas mencionadas anteriormente es una hoja. Esta afirmación reduce a comprobar que, dadas las funciones continuas ${displaystyle f_{i}:U_{i}to mathbb {R} }$ que convienen en las intersecciones ${displaystyle U_{i}cap U_{j}}$ , hay una función continua única ${displaystyle f:Uto mathbb {R} }$ cuya restricción es igual a la $f_{i}$ . Por el contrario, la hoja constante es generalmente no una hoja como no satisface el axioma de la localidad en el conjunto vacío (esto se explica con más detalle en la hoja constante).

Las ojivas y las ojivas suelen ser denotadas por letras mayúsculas, $F$ ser particularmente común, presumiblemente para la palabra francesa de hoja, faisceau. Uso de letras caligráficas como ${mathcal {F}}$ es también común.

Se puede demostrar que para especificar una hoja, es suficiente especificar su restricción a los conjuntos abiertos de una base para la topología del espacio subyacente. Además, también se puede demostrar que es suficiente para verificar los axiomas de hoja superior en relación con los conjuntos abiertos de una cubierta. Esta observación se utiliza para construir otro ejemplo que es crucial en la geometría algebraica, a saber cuasi-coherente cuchillas. Aquí el espacio topológico en cuestión es el espectro de anillo conmutativo $R$ , cuyos puntos son los ideales principales $p$ dentro $R$ . Los juegos abiertos ${displaystyle D_{f}:={psubset R,fnotin p}}$ forma una base para la topología Zariski en este espacio. Dado un $R$ - Mobiliario $M$ , hay una hoja, denotada ${tilde M}$ on the Spec $R$ , ese satisfizo

{displaystyle {tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}

la localización de

M

f

Hay otra caracterización de cuchillas que es equivalente a la discutida anteriormente. Un presheaf ${mathcal {F}}$ es una hoja si y sólo si para cualquier abierto $U$ y cualquier cubierta abierta ${displaystyle (U_{a})}$ de $U$ , ${mathcal {F}}(U)$ es el producto de fibra ${displaystyle {mathcal {F}}(U)cong {mathcal {F}}(U_{a})times _{{mathcal {F}}(U_{a}cap U_{b})}{mathcal {F}}(U_{b})}$ . Esta caracterización es útil en la construcción de cuchillas, por ejemplo, si ${displaystyle {mathcal {F}},{mathcal {G}}}$ son jaleas abelianas, luego el núcleo de jaleas morfismo ${displaystyle {mathcal {F}}to {mathcal {G}}}$ es una hoja, ya que los límites proyectivos se comunican con límites proyectivos. Por otro lado, el cokernel no siempre es una hoja porque el límite inductivo no necesariamente se comunica con límites proyectivos. Una de las maneras de arreglar esto es considerar los espacios topológicos noetherianos; cada conjunto abierto es compacto para que el cokernel sea una hoja, ya que los límites finitos de proyecto se comunican con límites inductivos.

Más ejemplos

Gavilla de secciones de un mapa continuo

Cualquier mapa continuo ${displaystyle f:Yto X}$ de los espacios topológicos determina una hoja $Gamma(Y/X)$ on $X$ por configuración

{displaystyle Gamma (Y/X)(U)={s:Uto Y,fcirc s=operatorname {id} _{U}}.}

Cualquier tal $s$ se llama comúnmente una sección de $f$ , y este ejemplo es la razón por la cual los elementos $F(U)$ generalmente se llaman secciones. Esta construcción es especialmente importante cuando $f$ es la proyección de un paquete de fibra sobre su espacio base. Por ejemplo, las cuchillas de funciones suaves son las cuchillas de secciones del paquete trivial. Otro ejemplo: la hoja de secciones de

{displaystyle mathbb {C} {stackrel {exp }{to }}mathbb {C} setminus {0}}

es la hoja que asigna a cualquier $U$ el conjunto de ramas del logaritmo complejo en $U$ .

Dado un punto $x$ y un grupo abeliano $S$ , el rascacielos hoja $S_{x}$ se define como sigue: si $U$ es un conjunto abierto que contiene $x$ , entonces ${displaystyle S_{x}(U)=S}$ . Si $U$ no contiene $x$ , entonces ${displaystyle S_{x}(U)=0}$ El grupo trivial. Los mapas de restricción son la identidad en $S$ , si ambos conjuntos abiertos contienen $x$ , o el mapa cero de otra manera.

Paladas en colectores

En una $n$ -dimensional $C^{k}$ - Manifold $M$ , hay una serie de cuchillas importantes, como la hoja de $j$ -tiempos funciones continuamente diferenciables ${mathcal {O}}_{M}^{j}$ (con ${displaystyle jleq k}$ ). Sus secciones en algunas abiertas $U$ son ${displaystyle C^{j}}$ - Funciones ${displaystyle Uto mathbb {R} }$ . Para $j = k$ , esta hoja se llama estructura jersey y está denotado ${mathcal {O}}_{M}$ . El no cero $C^{k}$ funciones también forman una hoja, denotada ${mathcal {O}}_{X}^{times }$ . Formas diferenciales (de grado) $p$ ) también forma una hoja ${displaystyle Omega _{M}^{p}}$ . En todos estos ejemplos, los morfismos de restricción se dan mediante la restricción de funciones o formas.

El envío de la asignación $U$ a las funciones de apoyo compacto $U$ no es una hoja, ya que en general no hay manera de preservar esta propiedad pasando a un subconjunto abierto más pequeño. En su lugar, esto forma una hoja de coca, un concepto dual donde los mapas de restricción van en la dirección opuesta que con cuchillas. Sin embargo, tomar el doble de estos espacios vectoriales da una hoja, la hoja de distribuciones.

Pregavillas que no son poleas

Además de la pregavilla constante mencionada anteriormente, que normalmente no es una gavilla, existen otros ejemplos de pregavillas que no son gavillas:

Vamos $X$ ser el espacio topológico de dos puntos ${x,y}$ con la topología discreta. Define un presheaf $F$ como sigue: ${displaystyle F(varnothing)={varnothing }, F({x})=mathbb {R} F({y})=mathbb {R} F({x,y})=mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} }$ El mapa de restricción ${displaystyle F({x,y})to F({x})}$ es la proyección de ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} }$ en su primera coordenadas, y el mapa de restricción ${displaystyle F({x,y})to F({y})}$ es la proyección de ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} times mathbb {R} }$ en su segunda coordenadas. $F$ es una hoja que no está separada: una sección global está determinada por tres números, pero los valores de esa sección sobre ${x}$ y ${y}$ determinar sólo dos de esos números. Así que mientras podamos pegar dos secciones ${x}$ y ${y}$ No podemos pegarlos de forma única.
Vamos ${displaystyle X=mathbb {R} }$ ser la línea real, y dejar $F(U)$ ser el conjunto de funciones continuas ligadas en $U$ . Esto no es una hoja porque no siempre es posible pegar. Por ejemplo, vamos $U_{i}$ ser el conjunto de todos $x$ tales que $<math alttext="{displaystyle |x| SilencioxSilencio.i{displaystyle Неливаниваный ] <img alt="{displaystyle |x|$ . Función de identidad $f(x)=x$ está ligado a cada uno $U_{i}$ . En consecuencia, tenemos una sección $s_{i}$ on $U_{i}$ . Sin embargo, estas secciones no pegan, porque la función $f$ no está atado en la línea real. En consecuencia $F$ es una sordera, pero no una hoja. De hecho, $F$ se separa porque es un sub-presheaf de la hoja de funciones continuas.

Motivando poleas de espacios analíticos complejos y geometría algebraica

Una de las motivaciones históricas para las cuchillas han venido de estudiar manifolds complejos, geometría analítica compleja, y teoría del esquema de la geometría algebraica. Esto se debe a que en todos los casos anteriores, consideramos un espacio topológico $X$ junto con una estructura de hoja ${mathcal {O}}$ dándole la estructura de un complejo múltiples, complejo espacio analítico, o esquema. Esta perspectiva de equipar un espacio topológico con una hoja es esencial para la teoría de los espacios sonados localmente (ver abajo).

Desafíos técnicos con variedades complejas

Una de las principales motivaciones históricas para la introducción de cuchillas fue la construcción de un dispositivo que mantiene un seguimiento de las funciones holomorfas en múltiples complejos. Por ejemplo, en un complejo compacto $X$ (como espacio complejo proyector o el lacus desaparecido de un polinomio homogéneo), el sólo funciones holomorfas

${displaystyle f:Xto mathbb {C} }$

son las funciones constantes. Esto significa que podría existir dos múltiples complejos compactos ${displaystyle X,X'}$ que no son isomorfos, pero sin embargo su anillo de funciones holomorfas globales, denotado ${displaystyle {mathcal {H}}(X),{mathcal {H}}(X')}$ Son isomorfos. Contraste esto con suaves manifolds donde cada manifold $M$ puede ser incrustado dentro de algunos $mathbb {R} ^{n}$ , por lo tanto su anillo de funciones suaves $C^{infty }(M)$ viene de restringir las funciones suaves de ${displaystyle C^{infty }(mathbb {R} ^{n})}$ . Otra complejidad al considerar el anillo de funciones holomorfas en un complejo $X$ se da un pequeño conjunto abierto suficiente $Usubset X$ , las funciones holomorfas serán isomorfas a ${displaystyle {mathcal {H}}(U)cong {mathcal {H}}(mathbb {C} ^{n})}$ . Las olas son una herramienta directa para lidiar con esta complejidad ya que permiten realizar un seguimiento de la estructura holomorfa en el espacio topológico subyacente $X$ on arbitrary open subsets $Usubset X$ . Esto significa como $U$ se vuelve más complejo topológicamente, el anillo ${displaystyle {mathcal {H}}(U)}$ se puede expresar al pegar el ${displaystyle {mathcal {H}}(U_{i})}$ . Tenga en cuenta que a veces esta hoja está denotada ${displaystyle {mathcal {O}}(-)}$ o simplemente ${mathcal {O}}$ , o incluso ${mathcal {O}}_{X}$ cuando queremos enfatizar el espacio al que se asocia la hoja de estructura.

Submanifolds de seguimiento con roldanas

Otro ejemplo común de cuchillas se puede construir considerando un complejo submanifold ${displaystyle Yhookrightarrow X}$ . Hay una hoja asociada ${mathcal {O}}_{Y}$ que toma un subconjunto abierto $Usubset X$ y da el anillo de las funciones holomorfas en ${displaystyle Ucap Y}$ . Este tipo de formalismo fue encontrado para ser extremadamente poderoso y motiva una gran cantidad de álgebra homológica como la cohomología de hoja ya que una teoría de intersección se puede construir utilizando estos tipos de cuchillas de la fórmula de intersección Serre.

Operaciones con poleas

Morfismos

Los morfismos de las poleas son, en términos generales, análogos a las funciones entre ellos. A diferencia de una función entre conjuntos, que es simplemente una asignación de salidas a entradas, también se requiere que los morfismos de los haces sean compatibles con las estructuras locales-globales de los haces subyacentes. Esta idea se concreta en la siguiente definición.

Vamos $F$ y $G$ ser dos cuchillas de conjuntos (resis. grupos abelianos, anillos, etc.) en $X$ . A morfismo ${displaystyle varphi:Fto G}$ consiste en un morfismo ${displaystyle varphi _{U}:F(U)to G(U)}$ de conjuntos (resp. grupos abelianos, anillos, etc.) para cada conjunto abierto $U$ de $X$ , sujeto a la condición de que este morfismo sea compatible con las restricciones. En otras palabras, para cada subconjunto abierto $V$ de un conjunto abierto $U$ , el siguiente diagrama es conmutativo.

${displaystyle {begin{array}{rcl}F(U)&xrightarrow {quad varphi _{U}quad } &G(U)\r_{V,U}{Biggl downarrow }&&{Biggl downarrow }r'_{V,U}\F(V)&{xrightarrow[{quad varphi _{V}quad }]{}}&G(V)end{array}}}$

Por ejemplo, tomar el derivado da un morfismo de cuchillas en $mathbb {R}$ : ${displaystyle {mathcal {O}}_{mathbb {R} }^{n}to {mathcal {O}}_{mathbb {R} }^{n-1}.}$ De hecho, dada una ( $n$ -times continuously differentiable) función ${displaystyle f:Uto mathbb {R} }$ (con $U$ dentro $mathbb {R}$ abierta), la restricción (a un subconjunto abierto más pequeño) $V$ ) de su derivado equivale al derivado de ${displaystyle f|_{V}}$ .

Con esta noción de morfismo, olas de conjuntos (resistentes grupos abelianos, anillos, etc.) en un espacio topológico fijo $X$ formar una categoría. Por lo tanto, las nociones categóricas generales de monomorfismo, epi e isomorfismo se pueden aplicar a las cuchillas.

Un morfismo ${displaystyle varphi colon Frightarrow G}$ de cuchillas $X$ es un isomorfismo (resp. monomorfismo) si y sólo si existe una cubierta abierta ${U_{alpha }}$ de $X$ tales que ${displaystyle varphi |_{U_{alpha }}colon F(U_{alpha })rightarrow G(U_{alpha })}$ son isomorfismos (resp. morfismos inyectables) de conjuntos (resp. grupos abelianos, anillos, etc.) para todos $alpha$ . Estas declaraciones dan ejemplos de cómo trabajar con cuchillas utilizando información local, pero es importante señalar que no podemos comprobar si un morfismo de cuchillas es un epimorfismo de la misma manera. De hecho, la declaración de que mapas en el nivel de conjuntos abiertos ${displaystyle varphi _{U}colon F(U)rightarrow G(U)}$ no siempre son subjetivos para los epimorfismos de las cuchillas es equivalente a la no-exactidad del funerario de secciones globales, o equivalentemente, a la no-trivialidad de la cohomología de la hoja.

Pezuñas de una gavilla

El Talla ${mathcal {F}}_{x}$ de una hoja ${mathcal {F}}$ captura las propiedades de una hoja "alrededor" un punto $xin X$ , generalizando los gérmenes de las funciones. Aquí, "alrededor" significa que, conceptualmente hablando, uno mira los barrios más pequeños y más pequeños del punto. Por supuesto, ningún vecindario será lo suficientemente pequeño, lo que requiere considerar un límite de algún tipo. Más precisamente, el tallo se define por

${mathcal {F}}_{x}=varinjlim _{Uni x}{mathcal {F}}(U),$

el límite directo sobre todos los subconjuntos abiertos de $X$ conteniendo el punto dado $x$ . En otras palabras, un elemento del tallo es dado por una sección sobre un vecindario abierto $x$ , y dos de estas secciones se consideran equivalentes si sus restricciones están de acuerdo en un vecindario más pequeño.

El morfismo natural ${displaystyle F(U)to F_{x}}$ toma una sección $x$ dentro $F(U)$ a su germen a $x$ . Esto generaliza la definición habitual de un germen.

En muchas situaciones, conocer los tallos de una hoja es suficiente para controlar la hoja misma. Por ejemplo, si un morfismo de olas es un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo puede ser probado en los tallos. En este sentido, una hoja está determinada por sus tallos, que son datos locales. Por contraste, el mundial información presente en una hoja, es decir, la Secciones mundiales, es decir, las secciones ${displaystyle {mathcal {F}}(X)}$ en todo el espacio $X$ , normalmente lleva menos información. Por ejemplo, para un complejo compacto $X$ , las secciones globales de la hoja de funciones holomorfas son sólo $mathbb {C}$ , desde cualquier función holomorfa

${displaystyle Xto mathbb {C} }$

es constante por el teorema de Liouville.

Convirtiendo una hafa en una gavilla

Con frecuencia es útil tomar los datos contenidos en una hoja de cálculo y expresarlos como una hoja. Resulta que hay una mejor manera de hacer esto. Se necesita una sordera. $F$ y produce una nueva hoja ${displaystyle aF}$ llamado sheafification o sorda asociada a la hoja $F$ . Por ejemplo, la recapitulación de la hoja de precaza constante (ver arriba) se llama la constante. A pesar de su nombre, sus secciones son funciones localmente constantes.

El jersey ${displaystyle aF}$ se puede construir utilizando el espacio étalé $F$ , a saber, como hoja de secciones del mapa

${displaystyle mathrm {Spe} (F)to X.}$

Otra construcción de la hoja ${displaystyle aF}$ procede por medio de un functor $L$ de las prehesas a las prehesas que gradualmente mejora las propiedades de una precaza: para cualquier precaza $F$ , ${displaystyle LF}$ es una sordera separada, y para cualquier sorda separada $F$ , ${displaystyle LF}$ es una hoja. La hoja asociada ${displaystyle aF}$ es dado por ${displaystyle LLF}$ .

La idea de que el jersey ${displaystyle aF}$ es la mejor aproximación posible $F$ por una hoja se hace precisa utilizando la siguiente propiedad universal: hay un morfismo natural de las capas ${displaystyle icolon Fto aF}$ así que para cualquier hoja $G$ y cualquier morfismo de las presas ${displaystyle fcolon Fto G}$ , hay un morfismo único de olas ${displaystyle {tilde {f}}colon aFrightarrow G}$ tales que $f={tilde {f}}i$ . De hecho $a$ es el funerario adjunto izquierdo al functor de inclusión (o functor olvidadizo) de la categoría de ollas a la categoría de ojivas, y $i$ es la unidad de la orden. De esta manera, la categoría de cuchillas se convierte en una subcategoría Giraud de prehesas. Esta situación categórica es la razón por la que aparece el functor de embutición en la construcción de coqueles de morfismos de hoja o productos tensores de cuchillas, pero no para los núcleos, digamos.

Subgavillas, poleas cocientes

Si $K$ es una sordera de una hoja $F$ de los grupos abelianos, luego quotient sheaf $Q$ es la hoja asociada a la hoja $Umapsto F(U)/K(U)$ ; en otras palabras, la hoja cociente encaja en una secuencia exacta de olas de grupos abelianos;

$0to Kto Fto Qto 0.$

(esto también se llama una extensión de gavilla).

Vamos $F,G$ ser olas de grupos abelianos. El set $operatorname {Hom}(F,G)$ de morfismos de jaleas $F$ a $G$ forma un grupo abeliano (por la estructura del grupo abeliano $G$ ). El Sheaf hom de $F$ y $G$ , denotado por,

${mathcal {Hom}}(F,G)$

es la hoja de grupos abelianos $Umapsto operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})$ Donde $F|_{U}$ es la hoja en $U$ dado por $(F|_{U})(V)=F(V)$ (no es necesario hacer una aclaración aquí). La suma directa $F$ y $G$ es la hoja dada por ${displaystyle Umapsto F(U)oplus G(U)}$ , y el producto del tensor $F$ y $G$ es la hoja asociada a la hoja $Umapsto F(U)otimes G(U)$ .

Todas estas operaciones se extienden a cuchillas de módulos sobre una hoja de anillos $A$ ; lo anterior es el caso especial cuando $A$ es la hoja constante ${underline {mathbf {Z} }}$ .

Functorialidad básica

Dado que los datos de una hoja (pre-) dependen de los subconjuntos abiertos del espacio base, los recubrimientos de diferentes espacios topológicos no están relacionados entre sí en el sentido de que no hay morfismos entre ellos. Sin embargo, dado un mapa continuo $f:Xto Y$ entre dos espacios topológicos, pushforward y pullback se relacionan en $X$ a los $Y$ y viceversa.

Imagen directa

El empuje (también conocido como imagen directa) de una hoja ${mathcal {F}}$ on $X$ es la hoja definida por

${displaystyle (f_{*}{mathcal {F}})(V)={mathcal {F}}(f^{-1}(V)).}$

Aquí. $V$ es un subconjunto abierto de $Y$ , por lo que su preimage está abierto $X$ por la continuidad de $f$ . Esta construcción recupera el rascacielos $S_{x}$ mencionado anteriormente:

${displaystyle S_{x}=i_{*}(S)}$

Donde ${displaystyle i:{x}to X}$ es la inclusión, y $S$ es considerado como una hoja en el singleton (por ${displaystyle S({*})=S,S(emptyset)=emptyset }$ .

Para un mapa entre espacios locales compactos, la imagen directa con soporte compacto es una submarina de la imagen directa. Por definición, ${displaystyle (f_{!}{mathcal {F}})(V)}$ consiste en los ${displaystyle fin {mathcal {F}}(f^{-1}(V))}$ cuyo apoyo es el mapa adecuado $V$ . Si $f$ es propio, entonces ${displaystyle f_{!}{mathcal {F}}=f_{*}{mathcal {F}}}$ , pero en general no están de acuerdo.

Imagen inversa

El retroceso o la imagen inversa va de otra manera: produce una hoja en $X$ , denotado ${displaystyle f^{-1}{mathcal {G}}}$ fuera de un jersey ${mathcal {G}}$ on $Y$ . Si $f$ es la inclusión de un subconjunto abierto, entonces la imagen inversa es sólo una restricción, es decir, se da por ${displaystyle (f^{-1}{mathcal {G}})(U)={mathcal {G}}(U)}$ para abrir $U$ dentro $X$ . A sheaf $F$ (en algún espacio $X$ ) se llama localmente constante si ${displaystyle X=bigcup _{iin I}U_{i}}$ por algunos subconjuntos abiertos $U_{i}$ tales que la restricción de $F$ a todos estos subconjuntos abiertos es constante. En una amplia gama de espacios topológicos $X$ , tales cuchillas son equivalentes a las representaciones del grupo fundamental $pi _{1}(X)$ .

Para mapas generales $f$ , la definición de ${displaystyle f^{-1}{mathcal {G}}}$ está más involucrado; se detalla en el functor de imagen inversa. El tallo es un caso especial esencial de la retirada en vista de una identificación natural, donde $i$ es como arriba:

${displaystyle {mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{mathcal {G}}({x}).}$

Más generalmente, los tallos satisfacen ${displaystyle (f^{-1}{mathcal {G}})_{x}={mathcal {G}}_{f(x)}}$ .

Extensión por cero

Para la inclusión ${displaystyle j:Uto X}$ de un subconjunto abierto, la extensión por cero de una hoja de grupos abelianos en $U$ se define como

${displaystyle (j_{!}{mathcal {F}})(V)={mathcal {F}}(V)}$ si ${displaystyle Vsubset U}$ y ${displaystyle (j_{!}{mathcal {F}})(V)=0}$ De lo contrario.

Por un jersey ${mathcal {G}}$ on $X$ , esta construcción es en un sentido complementario $i_*$ , donde $i$ es la inclusión del complemento $U$ :

${displaystyle (j_{!}j^{*}{mathcal {G}})_{x}={mathcal {G}}_{x}}$ para $x$ dentro $U$ , y el tallo es cero de otra manera, mientras

${displaystyle (i_{*}i^{*}{mathcal {G}})_{x}=0}$ para $x$ dentro $U$ , e iguales ${displaystyle {mathcal {G}}_{x}}$ De lo contrario.

Por lo tanto, estos functores son útiles para reducir las preguntas teóricas de hoja sobre $X$ a los estratos de una estratificación, es decir, una descomposición $X$ en subconjuntos más pequeños y cerrados localmente.

Complementos

Rodillos en categorías más generales

In addition to (pre-)sheaves as introduced above, where ${displaystyle {mathcal {F}}(U)}$ es simplemente un conjunto, es en muchos casos importante seguir la estructura adicional en estas secciones. Por ejemplo, las secciones de la hoja de funciones continuas forman naturalmente un espacio vectorial real, y la restricción es un mapa lineal entre estos espacios vectoriales.

Prehesas con valores en una categoría arbitraria $C$ se definen primero considerando la categoría de conjuntos abiertos en $X$ para ser la categoría posetal ${displaystyle O(X)}$ cuyos objetos son los conjuntos abiertos $X$ y cuyos morfismos son inclusiones. Entonces un $C$ - presheaf valorado $X$ es lo mismo que un functor contravariante ${displaystyle O(X)}$ a $C$ . Los morfismos en esta categoría de functores, también conocidos como transformaciones naturales, son los mismos que los morfismos definidos anteriormente, como se puede ver desentrañando las definiciones.

Si la categoría de destino $C$ admite todos los límites, un $C$ - una hoja prevalorada es una hoja si el siguiente diagrama es un ecualizador para cada cubierta abierta ${displaystyle {mathcal {U}}={U_{i}}_{iin I}}$ de cualquier conjunto abierto $U$ :

$F(U)rightarrow prod _{i}F(U_{i}){{{} atop longrightarrow } atop {longrightarrow atop {}}}prod _{i,j}F(U_{i}cap U_{j}).$

Aquí el primer mapa es el producto de los mapas de restricción

$operatorname {res} _{U_{i},U}colon F(U)rightarrow F(U_{i})$

y el par de flechas los productos de los dos conjuntos de restricciones

$operatorname {res} _{U_{i}cap U_{j},U_{i}}colon F(U_{i})rightarrow F(U_{i}cap U_{j})$

$operatorname {res} _{U_{i}cap U_{j},U_{j}}colon F(U_{j})rightarrow F(U_{i}cap U_{j}).$

Si $C$ es una categoría abeliana, esta condición también se puede reformular requiriendo que hay una secuencia exacta

${displaystyle 0to F(U)to prod _{i}F(U_{i})xrightarrow {operatorname {res} _{U_{i}cap U_{j},U_{i}}-operatorname {res} _{U_{i}cap U_{j},U_{j}}} prod _{i,j}F(U_{i}cap U_{j}).}$

Un caso particular de esta condición de hoja se produce para $U$ siendo el conjunto vacío, y el conjunto índice $I$ también estando vacía. En este caso, la condición de hoja requiere ${displaystyle {mathcal {F}}(emptyset)}$ ser el objeto terminal en $C$ .

Espacios anillados y gavillas de módulos

En varias disciplinas geométricas, incluyendo geometría algebraica y geometría diferencial, los espacios vienen junto con una hoja natural de anillos, a menudo llamado la hoja de estructura y denotado por ${mathcal {O}}_{X}$ . Un par así. ${displaystyle (X,{mathcal {O}}_{X})}$ se llama espacio anillo. Muchos tipos de espacios se pueden definir como ciertos tipos de espacios anillados. Comúnmente, todos los tallos ${displaystyle {mathcal {O}}_{X,x}}$ de la estructura de hoja son anillos locales, en cuyo caso el par se llama un localmente anillo espacio.

Por ejemplo, un $n$ -dimensional $C^{k}$ Manifold $M$ es un espacio de anillo local cuya estructura se compone $C^{k}$ - Funciones en los subconjuntos abiertos de $M$ . La propiedad de ser un localmente espacio anillo se traduce en el hecho de que tal función, que no es cero en un punto $x$ , también no es cero en un barrio suficientemente pequeño abierto $x$ . Algunos autores en realidad definir real (o complejo) manifolds para ser localmente anillo espacios que son localmente isomorfos al par que consiste en un subconjunto abierto de $mathbb {R} ^{n}$ (Resp. $mathbb {C} ^{n}$ ) junto con la hoja de $C^{k}$ (resp. holomorfa) funciones. Del mismo modo, los esquemas, la noción fundacional de espacios en geometría algebraica, son espacios localmente anillados que son localmente isomorfos al espectro de un anillo.

Dado un espacio anillo, un hoja de módulos es un jersey ${mathcal {M}}$ tal que en cada conjunto abierto $U$ de $X$ , ${mathcal {M}}(U)$ es un ${mathcal {O}}_{X}(U)$ -module y para cada inclusión de conjuntos abiertos $Vsubseteq U$ , el mapa de restricción ${mathcal {M}}(U)to {mathcal {M}}(V)$ es compatible con el mapa de restricción ${displaystyle {mathcal {O}}(U)to {mathcal {O}}(V)}$ : la restricción de f es la restricción $f$ los tiempos $s$ para cualquier $f$ dentro ${mathcal {O}}(U)$ y $s$ dentro ${mathcal {M}}(U)$ .

Los objetos geométricos más importantes son cuchillas de módulos. Por ejemplo, hay una correspondencia de uno a uno entre los paquetes vectores y los cubos locales libres de ${mathcal {O}}_{X}$ -módulos. Este paradigma se aplica a paquetes vectoriales reales, paquetes vectoriales complejos o paquetes vectoriales en geometría algebraica (donde ${mathcal {O}}$ consiste en funciones suaves, funciones holomorfas o funciones regulares, respectivamente). Cuevas de soluciones a ecuaciones diferenciales son $D$ -módulos, es decir, módulos sobre la hoja de operadores diferenciales. En cualquier espacio topológico, módulos sobre la hoja constante ${underline {mathbf {Z} }}$ son los mismos que los cubos de grupos abelianos en el sentido anterior.

Hay un divertidor de imagen inversa diferente para las cuchillas de los módulos sobre las cuchillas de los anillos. Este functor suele denotar $f^{*}$ y es diferente de $f^{-1}$ . Vea el functor de imagen inversa.

Condiciones de finitud para haces de módulos

Las condiciones de finiteness para el módulo sobre anillos conmutativos dan lugar a condiciones de finite similar para recubrimientos de módulos: ${mathcal {M}}$ se llama finitamente generado (Resp. presentada finitamenteSi, por cada punto $x$ de $X$ , existe un vecindario abierto $U$ de $x$ , un número natural $n$ (posiblemente dependiendo de $U$ ), y un morfismo subjetivo de jaleas ${mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}to {mathcal {M}}|_{U}$ (respectivamente, además de un número natural $m$ , y una secuencia exacta ${displaystyle {mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}to {mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}to {mathcal {M}}|_{U}to 0}$ .) Paralelamente a la noción de un módulo coherente, ${mathcal {M}}$ se llama jersey coherente si es de tipo finito y si, para cada conjunto abierto $U$ y cada morfismo de las ovejas $phi:{mathcal {O}}_{X}^{n}to {mathcal {M}}$ (no necesariamente subjetivo), el núcleo $phi$ es de tipo finito. ${mathcal {O}}_{X}$ es coherente si es coherente como un módulo sobre sí mismo. Como para los módulos, la coherencia es en general una condición estrictamente más fuerte que la presentación finita. El teorema de la coherencia de Oka establece que la hoja de funciones holomorfas en un conjunto complejo es coherente.

El espacio étalé de una gavilla

En los ejemplos anteriores se observó que algunas cuchillas ocurren naturalmente como cuchillas de secciones. De hecho, todas las cuchillas de conjuntos pueden ser representadas como cuchillas de secciones de un espacio topológico llamado étalé space, de la palabra francesa étalé [etales], que significa aproximadamente "salir". Si ${displaystyle Fin {text{Sh}}(X)}$ es una ramera $X$ , entonces el étalé space (A veces se llama el étale space) de $F$ es un espacio topológico $E$ junto con un homeomorfismo local $pi: E to X$ tal que la hoja de secciones ${displaystyle Gamma (pi-)}$ de $pi$ es $F$ . El espacio $E$ es generalmente muy extraño, e incluso si la hoja $F$ surge de una situación natural topológica, $E$ puede no tener ninguna interpretación topológica clara. Por ejemplo, si $F$ es la hoja de secciones de una función continua $f:Yto X$ , entonces ${displaystyle E=Y}$ si $f$ es un homeomorfismo local.

The étalé space $E$ se construye a partir de los tallos de $F$ sobre $X$ . Como conjunto, es su unión descomunal y $pi$ es el mapa obvio que toma el valor $x$ en el tallo de $F$ sobre $xin X$ . La topología de $E$ se define como sigue. Para cada elemento ${displaystyle sin F(U)}$ y cada uno $xin U$ , tenemos un germen de $s$ a $x$ , denotado ${displaystyle [s]_{x}}$ o $s_{x}$ . Estos gérmenes determinan puntos de $E$ . Para cualquier $U$ y ${displaystyle sin F(U)}$ , la unión de estos puntos (para todos $xin U$ ) se declara abierta $E$ . Observe que cada tallo tiene la topología discreta como topología subespacial. Dos morfismos entre cuchillas determinan un mapa continuo de los espacios correspondientes de étalé compatibles con los mapas de proyección (en el sentido de que cada germen es mapeado a un germen sobre el mismo punto). Esto convierte la construcción en un funerario.

La construcción anterior determina una equivalencia de categorías entre la categoría de cuchillas de conjuntos $X$ y la categoría de espacios de étalé sobre $X$ . La construcción de un espacio étalé también se puede aplicar a un presheaf, en cuyo caso la hoja de secciones del espacio étalé recupera la hoja asociada a la hoja dada.

Esta construcción hace que todos los sheaves en functores representables en ciertas categorías de espacios topológicos. Como arriba, déjese $F$ ser un imbécil $X$ , vamos $E$ ser su espacio étalé, y dejar $pi:E to X$ ser la proyección natural. Considere la sobrecategoría ${displaystyle {text{Top}}/X}$ de espacios topológicos sobre $X$ , es decir, la categoría de espacios topológicos junto con mapas continuos fijos a $X$ . Cada objeto de esta categoría es un mapa continuo ${displaystyle f:Yto X}$ , y un morfismo de $Yto X$ a ${displaystyle Zto X}$ es un mapa continuo ${displaystyle Yto Z}$ que comunica con los dos mapas a $X$ . Hay un functor

${displaystyle Gamma:{text{Top}}/Xto {text{Sets}}}$

enviar un objeto ${displaystyle f:Yto X}$ a ${displaystyle f^{-1}F(Y)}$ . Por ejemplo, si ${displaystyle i:Uhookrightarrow X}$ es la inclusión de un subconjunto abierto, entonces

${displaystyle Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=Gamma (F,U)}$

y para la inclusión de un punto ${displaystyle i:{x}hookrightarrow X}$ , entonces

${displaystyle Gamma (i)=f^{-1}F({x})=F|_{x}}$

es el tallo de $F$ a $x$ . Hay un isomorfismo natural

$(f^{-1}F)(Y)cong operatorname {Hom} _{mathbf {Top} /X}(f,pi)$ ,

que muestra $pi: E to X$ (para el espacio étalé) representa al functor $Gamma$ .

$E$ se construye para que el mapa de proyección $pi$ es un mapa de cobertura. En la geometría algebraica, el análogo natural de un mapa de cobertura se llama morfismo étale. A pesar de su similitud con "étalé", la palabra étale [etal] tiene un significado diferente en francés. Es posible girar $E$ en un plan y $pi$ en un morfismo de esquemas de tal manera que $pi$ conserva la misma propiedad universal, pero $pi$ es no en general un morfismo étale porque no es cuasi-finito. Es, sin embargo, formalmente étale.

La definición de poleas por espacios de étalé es más antigua que la definición dada anteriormente en el artículo. Todavía es común en algunas áreas de las matemáticas, como el análisis matemático.

Cohomología de la gavilla

En contextos donde el conjunto abierto $U$ se fija, y la hoja se considera una variable, el conjunto $F(U)$ es también a menudo denotado ${displaystyle Gamma (U,F).}$

Como se señaló anteriormente, este functor no conserva epimorfismos. En lugar de eso, un epimorfismo de las cuchillas ${mathcal F}to {mathcal G}$ es un mapa con la siguiente propiedad: para cualquier sección ${displaystyle gin {mathcal {G}}(U)}$ hay una cubierta ${displaystyle {mathcal {U}}={U_{i}}_{iin I}}$ Donde

${displaystyle U=bigcup _{iin I}U_{i}}$

de subconjuntos abiertos, tal que la restricción ${displaystyle g|_{U_{i}}}$ están en la imagen de ${displaystyle {mathcal {F}}(U_{i})}$ . Sin embargo, $g$ no necesita estar en la imagen de ${displaystyle {mathcal {F}}(U)}$ . Un ejemplo concreto de este fenómeno es el mapa exponencial

${displaystyle {mathcal {O}}{stackrel {exp }{to }}{mathcal {O}}^{times }}$

entre la hoja de funciones holomorfas y funciones no-cero holomorfas. Este mapa es un epimorfismo, que equivale a decir que cualquier función no cero holomorfa $g$ (en algún subconjunto abierto en $mathbb {C}$ , digamos), admite un logaritmo complejo localmente, es decir, después de restringir $g$ a los subconjuntos abiertos apropiados. Sin embargo, $g$ no necesita tener un logaritmo globalmente.

La cohomología de Sheaf captura este fenómeno. Más precisamente, para una secuencia exacta de caradas de grupos abelianos

${displaystyle 0to {mathcal {F}}_{1}to {mathcal {F}}_{2}to {mathcal {F}}_{3}to 0,}$

(es decir, un epimorfismo ${displaystyle {mathcal {F}}_{2}to {mathcal {F}}_{3}}$ cuyo núcleo ${displaystyle {mathcal {F}}_{1}}$ ), hay una secuencia exacta larga

{displaystyle 0to Gamma (U,{mathcal {F}}_{1})to Gamma (U,{mathcal {F}}_{2})to Gamma (U,{mathcal {F}}_{3})to H^{1}(U,{mathcal {F}}_{1})to H^{1}(U,{mathcal {F}}_{2})to H^{1}(U,{mathcal {F}}_{3})to H^{2}(U,{mathcal {F}}_{1})to dots }

${displaystyle H^{1}(U,{mathcal {F}}_{1})}$ ${displaystyle {mathcal {F}}_{2}}$ ${displaystyle {mathcal {F}}_{3}}$
Hay varias maneras diferentes de construir la cohomología de hoja. Grothendieck (1957) los introdujo definiendo la cohomología de hoja como el funerario derivado de $Gamma$ . Este método es teóricamente satisfactorio, pero, basándose en resoluciones inyectables, de poco uso en cálculos concretos. Las resoluciones de Dios son otro enfoque general, pero prácticamente inaccesible.
Computación de cohomología de haces
Especialmente en el contexto de las cuchillas, la cohomología de hoja puede ser computada a menudo usando resoluciones por cuchillas suaves, cuchillas finas y cuchillas de filo (también conocidas como olas de los franceses flasque significa flabby). Por ejemplo, una partición de argumento de unidad muestra que la hoja de funciones suaves en un múltiple es suave. Los grupos de cohomología superiores ${displaystyle H^{i}(U,{mathcal {F}})}$ para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">i■0{displaystyle i confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f49f2878fd68a89c3da37eb537198e887cf0293" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.063ex; height:2.176ex;"/>$ desvanecerse por las olas suaves, lo que da una forma de computar la cohomología de otras olas. Por ejemplo, el complejo de Rham es una resolución de la hoja constante ${underline {mathbf {R} }}$ en cualquier manifold suave, así que la cohomología de hoja ${underline {mathbf {R} }}$ es igual a su cohomología de Rham.
Un enfoque diferente es por Čech cohomology. La cohomología de Čech fue la primera teoría de la cohomología desarrollada para las cuchillas y está bien adaptada a cálculos concretos, como la computación de la cohomología coherente de la hoja de espacio complejo proyector $mathbb {P} ^{n}$ . Se relaciona con secciones en subconjuntos abiertos del espacio a clases de cohomología en el espacio. En la mayoría de los casos, la cohomología Čech compute los mismos grupos de cohomología que la cohomología funeraria derivada. Sin embargo, para algunos espacios patológicos, la cohomología Čech dará lo correcto $H^{1}$ pero grupos de cohomología más altos incorrectos. Para superar esto, Jean-Louis Verdier desarrolló hipercubrimientos. Los hipercubrimientos no sólo dan a los grupos de cohomología superior correctos, sino también permiten que los subconjuntos abiertos mencionados anteriormente sean reemplazados por ciertos morfismos de otro espacio. Esta flexibilidad es necesaria en algunas aplicaciones, como la construcción de estructuras mixtas Hodge de Pierre Deligne.
Muchos otros grupos coherentes de cohomología de hoja se encuentran usando una embedición ${displaystyle i:Xhookrightarrow Y}$ de un espacio $X$ en un espacio con cohomología conocida, como $mathbb {P} ^{n}$ , o algún espacio de proyecto ponderado. De esta manera, los grupos de cohomología de hoja conocida en estos espacios ambientes pueden estar relacionados con las olas ${displaystyle i_{*}{mathcal {F}}}$ , dar ${displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{mathcal {F}})cong H^{i}(X,{mathcal {F}})}$ . Por ejemplo, se encuentra fácilmente la computación de la cohomología coherente de las curvas planas proyectivas. Un gran teorema en este espacio es la descomposición Hodge encontrada usando una secuencia espectral asociada a grupos de cohomología de hoja, probada por Deligne. Esencialmente, $E_{1}$ -page with terms
${displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,Omega _{X}^{q})}$
la cohomología de hoja de una variedad proyectiva suave $X$ , degenerados, significado ${displaystyle E_{1}=E_{infty }}$ . Esto da la estructura canónica Hodge en los grupos de cohomología ${displaystyle H^{k}(X,mathbb {C})}$ . Más tarde se encontró que estos grupos de cohomología pueden ser fácilmente computados explícitamente usando residuos de Griffiths. Ver Jacobian ideal. Estos tipos de teoremas conducen a uno de los teoremas más profundos sobre la cohomología de las variedades algebraicas, el teorema de descomposición, pavimentando el camino para los módulos de Hodge mixto.
Otro enfoque limpio para el cálculo de algunos grupos de cohomología es el teorema Borel -Bott -Weil, que identifica los grupos de cohomología de algunos paquetes de línea en los colectores de bandera con representaciones irreducibles de grupos de mentiras. Este teorema se puede usar, por ejemplo, para calcular fácilmente los grupos de cohomología de todos los paquetes de línea en el espacio proyectivo y los colectores de Grassmann.
En muchos casos existe una teoría de la dualidad para las espinillas que generaliza la dualidad de Poincaré. Ver Grothendieck Duality y Verdier Duality.
Categorías derivadas de gancillas
La categoría derivada de la categoría de jerseys de, por ejemplo, grupos abelianos en algún espacio X, denotado aquí como $D(X)$ , es el refugio conceptual para la cohomología de hoja, en virtud de la siguiente relación:
${displaystyle H^{n}(X,{mathcal {F}})=operatorname {Hom} _{D(X)}(mathbf {Z}{mathcal {F}}[n]).}$
La adjunción entre $f^{-1}$ , que es la unión izquierda de $f_{*}$ (ya en el nivel de las cuchillas de los grupos abelianos) da lugar a una adjunción
${displaystyle f^{-1}:D(Y)rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$ (por $f:Xto Y$ ),
Donde ${displaystyle Rf_{*}}$ es el functor derivado. Este último functor abarca la noción de la cohomología de la hoja desde ${displaystyle H^{n}(X,{mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{mathcal {F}}}$ para ${displaystyle f:Xto {*}}$ .
Como $f_{*}$ , la imagen directa con soporte compacto $f_{!}$ también se puede derivar. En virtud del isomorfismo siguiente ${displaystyle Rf_{!}F}$ parametriza la cohomología con soporte compacto de las fibras de $f$ :
${displaystyle (R^{i}f_{!}F)_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),F).}$
Este isomorfismo es un ejemplo de un teorema de cambio de base. Hay otro complemento
${displaystyle Rf_{!}:D(X)rightleftarrows D(Y):f^{!}.}$
A diferencia de todos los functores considerados anteriormente, el functor de imagen inversa retorcido (o excepcional) $f^{!}$ es en general sólo definido en el nivel de categorías derivadas, es decir, el functor no se obtiene como el functor derivado de algún functor entre categorías abelianas. Si ${displaystyle f:Xto {*}}$ y X es un manifold suave y orientable de la dimensión n, entonces
${displaystyle f^{!}{underline {mathbf {R} }}cong {underline {mathbf {R} }}[n].}$
Este cálculo y la compatibilidad de los funtores con la dualidad (ver dualidad de Verdier) se pueden utilizar para obtener una explicación sofisticada de la dualidad de Poincaré. En el contexto de haces cuasi-coherentes en esquemas, existe una dualidad similar conocida como dualidad coherente.
Las olas perversas son ciertos objetos en $D(X)$ , es decir, complejos de cuchillas (pero no en general cuelgan correctamente). Son una herramienta importante para estudiar la geometría de las singularidades.
Categorías derivadas de haces coherentes y el grupo de Grothendieck
Otra aplicación importante de las categorías derivadas de las cuchillas es con la categoría derivada de cuchillas coherentes en un esquema $X$ denotado ${displaystyle D_{Coh}(X)}$ . Esto fue utilizado por Grothendieck en su desarrollo de la teoría de intersección utilizando categorías derivadas y teoría K, que el producto de intersección de subschemes $Y_{1},Y_{2}$ está representado en la teoría K como
${displaystyle [Y_{1}]cdot [Y_{2}]=[{mathcal {O}}_{Y_{1}}otimes _{{mathcal {O}}_{X}}^{mathbf {L} }{mathcal {O}}_{Y_{2}}]in K({text{Coh(X)}})}$
Donde ${displaystyle {mathcal {O}}_{Y_{i}}}$ son hojas coherentes definidas por ${mathcal {O}}_{X}$ -módulos dados por su estructura.
Sitios y topoi
Las conjeturas Weil de André Weil declararon que había una teoría de cohomología para variedades algebraicas sobre campos finitos que darían un análogo de la hipótesis Riemann. La cohomología de un conjunto complejo se puede definir como la cohomología de la hoja constante local ${underline {mathbf {C} }}$ en la topología Euclideana, que sugiere definir una teoría de la cohomología Weil en características positivas como la cohomología de hoja de hoja constante. Pero la única topología clásica en tal variedad es la topología de Zariski, y la topología de Zariski tiene muy pocos conjuntos abiertos, por lo que pocos que la cohomología de cualquier hoja contigua de Zariski en una variedad irreducible desaparece (excepto en grado cero). Alexandre Grothendieck resolvió este problema introduciendo topologías de Grothendieck, que axiomatizan la noción de la cobertura. La visión de Grothendieck era que la definición de una hoja depende sólo de los conjuntos abiertos de un espacio topológico, no de los puntos individuales. Una vez que había axiomatizado la noción de cobertura, los conjuntos abiertos podrían ser reemplazados por otros objetos. Una antena lleva a cada uno de estos objetos a los datos, como antes, y una hoja es una antena que satisface el axioma de cola con respecto a nuestra nueva noción de cobertura. Esto permitió a Grothendieck definir la cohomología étale y la cohomología l-adic, que eventualmente se utilizaron para probar las conjeturas de Weil.
Una categoría con una topología de Grothendieck se denomina sitio. Una categoría de poleas en un sitio se denomina topos o topos de Grothendieck. Más tarde, William Lawvere y Miles Tierney resumieron la noción de topos para definir un topos elemental, que tiene conexiones con la lógica matemática.
Historia
Los primeros orígenes de la teoría de la gavilla son difíciles de precisar; pueden ser coextensivos con la idea de continuación analítica. Se necesitaron alrededor de 15 años para que una teoría reconocible e independiente de las poleas surgiera del trabajo fundamental sobre la cohomología.
1936 Eduard Čech presenta el nervio construcción, para asociar un complejo simplicial a una cubierta abierta.
1938 Hassler Whitney da una definición 'moderna' de la cohomología, resumiendo el trabajo desde J. W. Alexander y Kolmogorov definen primero cochaínas.
1943 Norman Steenrod publica sobre homología con coeficientes locales.
1945 Jean Leray publica trabajo realizado como prisionero de guerra, motivado por probar teoremas de punto fijo para su aplicación a la teoría de PDE; es el comienzo de la teoría de hojarasca y secuencias espectrales.
1947 Henri Cartan reproba el teorema de Rham por métodos de hoja, en correspondencia con André Weil (ver De Rham-Weil teorem). Leray da una definición de hoja en sus cursos a través de conjuntos cerrados (el más tarde carapaces).
1948 El seminario de Cartan escribe por primera vez la teoría de hojarasca.
1950 La teoría de hoja "segunda edición" del seminario Cartan: el espacio de hoja (segunda edición)espace étal é) definición se utiliza, con estructura acechada. Se introducen apoyos y la cohomología con soportes. Las cartografías continuas dan lugar a secuencias espectrales. Al mismo tiempo, Kiyoshi Oka presenta una idea (adyacente a la) de una hoja de ideales, en varias variables complejas.
1951 El seminario de Cartan prueba los teoremas A y B, basados en el trabajo de Oka.
1953 El teorema de finitos para jerseys coherentes en la teoría analítica es probado por Cartan y Jean-Pierre Serre, como es la dualidad Serre.
1954 El papel de Serre Faisceaux algébriques cohérents (publicado en 1955) introduce cuñas en geometría algebraica. Estas ideas son inmediatamente explotadas por Friedrich Hirzebruch, quien escribe un importante libro de 1956 sobre métodos topológicos.
1955 Alexander Grothendieck en conferencias en Kansas define la categoría abeliana y presheaf, y utilizando resoluciones inyectables permite el uso directo de la cohomología de hoja en todos los espacios topológicos, como functores derivados.
1956 El informe de Oscar Zariski Teoría de hoja algebraica
1957 El papel Tohoku de Grothendieck reescribe el álgebra homológica; prueba la dualidad Grothendieck (es decir, la dualidad Serre para variedades algebraicas posiblemente singulares).
1957 adelante: Grothendieck extiende la teoría de hoja en línea con las necesidades de la geometría algebraica, introduciendo: esquemas y cuñas generales sobre ellos, cohomología local, categorías derivadas (con Verdier), y Grothendieck topologies. También emerge su influyente idea esquemática de 'seis operaciones' en álgebra homológica.
1958 El libro de Roger Godement sobre la teoría de las hojas se publica. En torno a este momento Mikio Sato propone sus hiperfunciones, que resultarán tener naturaleza helada-teórica.
En este punto, las poleas se habían convertido en una parte fundamental de las matemáticas, y su uso no estaba restringido a la topología algebraica. Más tarde se descubrió que la lógica en categorías de haces es una lógica intuicionista (esta observación ahora se conoce como semántica de Kripke-Joyal, pero probablemente debería atribuirse a varios autores).

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