Gavilla ideal

En geometría algebraica y otras áreas de las matemáticas, un haz ideal (o haz de ideales) es el análogo global de un ideal en un anillo. Los haces ideales de un objeto geométrico están estrechamente conectados con sus subespacios.

Sea X un espacio topológico y A un haz de anillos en X. (En otras palabras, (X, A) es un espacio anillado.) Un haz ideal J en A es un subobjeto de A en la categoría de haces de A-módulos, es decir, un subhaz de A visto como un haz de grupos abelianos tales que

.U, A)U, J⊆U, J)

para todos los subconjuntos abiertos U de X. En otras palabras, J es un haz de A-submódulos de A.

• Si f: A → B es un homomorfismo entre dos cuchillas de anillos en el mismo espacio X, el núcleo de f es una hoja ideal en A.
• Por el contrario, para cualquier hoja ideal J en una hoja de anillos A, hay una estructura natural de una hoja de anillos en la hoja cociente A/J. Tenga en cuenta que el mapa canónico

.U, A)/U, J) →U, A/J)

para subconjuntos abiertos U es inyectable, pero no subjetivo en general. (Ver cohomología de hoja.)

En el contexto de los esquemas, la importancia de los haces ideales radica principalmente en la correspondencia entre subesquemas cerrados y haces ideales cuasi-coherentes. Considérese un esquema X y un haz ideal cuasi-coherente J en O_X. Entonces, el soporte Z de O_X/J es un subespacio cerrado de X, y (Z, O_X/J) es un esquema (ambas afirmaciones pueden comprobarse localmente). Se denomina subesquema cerrado de X definido por J. Por el contrario, sea i: Z → X una inmersión cerrada, es decir, un morfismo que es un homeomorfismo sobre un subespacio cerrado tal que la función asociada

i^#O_X → i_⋆O_Z

es sobreyectiva sobre los tallos. Entonces, el núcleo J de i^# es un haz ideal cuasi-coherente, e i induce un isomorfismo de Z sobre el subesquema cerrado definido por J.

Un caso particular de esta correspondencia es el único subesquema reducido X_red de X que tiene el mismo espacio subyacente, que está definido por el radical nil de O_X (definido en forma de tallo o en gráficos afines abiertos).

Para un morfismo f: X → Y y un subesquema cerrado Y′ ⊆ Y definido por un haz ideal J, la preimagen Y′ ×_Y X está definida por el haz ideal

f^⋆()J)O_X = imf^⋆J → O_X).

El retroceso de un haz ideal J al subesquema Z definido por J contiene información importante; se denomina fibrado conormal de Z. Por ejemplo, el haz de diferenciales de Kähler puede definirse como el retroceso del haz ideal que define la diagonal X → X × X a X. (Supongamos, para simplificar, que X está separado de modo que la diagonal es una inmersión cerrada).

En la teoría de espacios analíticos complejos, el teorema de Oka-Cartan establece que un subconjunto cerrado A de un espacio complejo es analítico si y sólo si el haz ideal de funciones que se anulan en A es coherente. Este haz ideal también le da a A la estructura de un subespacio complejo cerrado reducido.

• Éléments de géométrie algébrique
• H. Grauert, R. Remmert: Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlín 1984