Ganancia compleja

En electrónica, la ganancia compleja es el efecto que tiene un circuito sobre la amplitud y la fase de una señal de onda sinusoidal. Se utiliza el término complejo porque matemáticamente este efecto se puede expresar como un número complejo.

Considerando el sistema LTI general

${\displaystyle P(D)x=Q(D)f(t)}$

Donde ${\displaystyle f(t)}$ es la entrada y ${\displaystyle P(D),Q(D)}$ se dan operadores polinomios, asumiendo que ${\displaystyle P(s)\neq 0}$. En caso de que ${\displaystyle f(r)=F_{0}\cos(\omega t)}$, una solución particular a la ecuación dada es

${\displaystyle x_{p}(t)=\operatorname {Re} {\Big (}F_{0}{\frac {Q(i\omega)} {P(i\omega)}}e^{i\omega t}{\Big)}}} {\Big}} {\Big}} {\Big}}}} {\Big}}}}}} {\Big}}} {\Big}}}}}}} {\Big}}}}}}}}}} {\$

Considere los siguientes conceptos utilizados principalmente en física y procesamiento de señales.

${\displaystyle \bullet }$ La amplitud de la entrada es ${\displaystyle F_{0}$. Esto tiene las mismas unidades que la cantidad de entrada.

${\displaystyle \bullet }$ La frecuencia angular de la entrada es ${\displaystyle \omega }$. Tiene unidades de radio/tiempo. A menudo seremos casuales y lo referiremos como frecuencia, aunque técnicamente la frecuencia debe tener unidades de ciclos/tiempo.

${\displaystyle \bullet }$ La amplitud de la respuesta es ${\displaystyle A=F_{0} privacyQ(i\omega)/P(i\omega)$. Esto tiene las mismas unidades que la cantidad de respuesta.

${\displaystyle \bullet }$ La ganancia es ${\displaystyle g(\omega)=fortQ(i\omega)/P(i\omega)$. La ganancia es el factor que la amplitud de entrada se multiplica por conseguir la amplitud de la respuesta. Tiene las unidades necesarias para convertir

unidades de entrada a unidades de salida.

${\displaystyle \bullet }$ El retraso de fase es ${\displaystyle \phi = 'operatorname {Arg} (Q(i\omega)/P(i\omega)}$. El lag de fase tiene unidades de radians, es decir, es indimensional.

${\displaystyle \bullet }$ El tiempo es ${\displaystyle \phi /\omega }$. Esto tiene unidades de tiempo. Es el momento en que el pico de la salida se retrasa detrás de la entrada.

${\displaystyle \bullet }$ La ganancia compleja es ${\displaystyle Q(i\omega)/P(i\omega)}$. Este es el factor que la entrada compleja se multiplica por conseguir la salida compleja.

Supongamos que un circuito tiene un voltaje de entrada descrito por la ecuación

${\displaystyle V_{i}(t)=1\cdot \sin(\omega \cdot t)}$

donde ω es igual a 2π×100 Hz, es decir, la señal de entrada es una onda sinusoidal de 100 Hz con una amplitud de 1 voltio.

Si el circuito es tal que para esta frecuencia duplica la amplitud de la señal y provoca un desplazamiento de fase hacia adelante de 90 grados, entonces su señal de salida puede describirse por

${\displaystyle V_{o}(t)=2\cdot \cos(\omega \cdot t)}$

En notación compleja, estas señales se pueden describir como, para esta frecuencia, j·1 V y 2 V, respectivamente.

La ganancia compleja G de este circuito se calcula dividiendo la salida por la entrada:

${\displaystyle G={\frac [2\ V}{j\cdot 1\ V}=-2j.}$

Este número complejo (sin unidades) incorpora tanto la magnitud del cambio de amplitud (como valor absoluto) como el cambio de fase (como argumento).

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