Functor olvidadizo

En matemáticas, en el área de la teoría de categorías, un funtor olvidadizo (también conocido como funtor de eliminación) "olvida"; o elimina parte o toda la estructura o propiedades de la entrada "antes" de la entrada. mapeo a la salida. Para una estructura algebraica de una firma determinada, esto se puede expresar recortando la firma: la nueva firma es una forma editada de la antigua. Si la firma se deja como una lista vacía, el functor simplemente tomará el conjunto subyacente de una estructura. Debido a que muchas estructuras en matemáticas constan de un conjunto con una estructura adicional agregada, el caso más común es un funtor olvidadizo que se asigna al conjunto subyacente.

Descripción general

Como ejemplo, hay varios functores olvidadizos de la categoría de anillos conmutativos. A (unital) anillo, descrito en el lenguaje del álgebra universal, es un tuple ordenado ${\displaystyle (R,+,\timesa,0,1)}$ satisfacción de ciertos axiomas, donde ${\displaystyle +}$ y ${\displaystyle \times }$ son funciones binarias en el conjunto ${\displaystyle R.$, ${\displaystyle a}$ es una operación invariable correspondiente a la inversa aditiva, y 0 y 1 son operaciones nularias que dan la identidad de las dos operaciones binarias. Eliminar el 1 da un functor olvidadizo a la categoría de anillos sin unidad; simplemente "olvida" la unidad. Eliminación ${\displaystyle \times }$ y 1 produce un functor a la categoría de grupos abelianos, que asigna a cada anillo ${\displaystyle R.$ el grupo abeliano aditivo subyacente ${\displaystyle R.$. A cada morfismo de anillos se le asigna la misma función considerada meramente como un morfismo de adición entre los grupos subyacentes. Eliminar todas las operaciones da al functor al conjunto subyacente ${\displaystyle R.$.

Es beneficioso distinguir entre funtores olvidadizos que "olvidan la estructura" versus aquellos que "olvidan las propiedades". Por ejemplo, en el ejemplo anterior de anillos conmutativos, además de los functores que eliminan algunas de las operaciones, hay funtores que olvidan algunos de los axiomas. Hay un funtor de la categoría CRing a Ring que olvida el axioma de conmutatividad, pero mantiene todas las operaciones. Ocasionalmente, el objeto puede incluir conjuntos adicionales no definidos estrictamente en términos del conjunto subyacente (en este caso, qué parte considerar del conjunto subyacente es una cuestión de gustos, aunque esto rara vez es ambiguo en la práctica). Para estos objetos, existen funtores olvidadizos que olvidan los conjuntos extra que son más generales.

Los objetos más comunes estudiados en matemáticas se construyen como conjuntos subyacentes junto con conjuntos extra de estructura en esos conjuntos (operaciones en el conjunto subyacente, subconjuntos privilegiados del conjunto subyacente, etc.) que pueden satisfacer algunos axiomas. Para estos objetos, un functor comúnmente considerado olvidadizo es como sigue. Vamos. ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ ser cualquier categoría basada en conjuntos, por ejemplo grupos — conjuntos de elementos— o espacios topológicos— conjuntos de 'puntos'. Como siempre, escriba ${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C})}$ para los objetos de ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ y escribir ${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C})}$ para los morfismos del mismo. Considere la regla:

Para todos ${\displaystyle A}$ dentro ${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}),A\mapsto Нальных=}$ el conjunto subyacente ${\displaystyle A,}$

Para todos ${\displaystyle u}$ dentro ${\displaystyle \operatorname {Fl} ({\mathcal {C}),u\mapsto Silencioso=}$ el morfismo, ${\displaystyle u}$, como mapa de conjuntos.

El functor ${\displaystyle Silencioso$ es entonces el funerario olvidadizo de ${\displaystyle {\fnMithcal}}$ a Set, la categoría de conjuntos.

Los functores olvidadizos casi siempre son fieles. Las categorías concretas tienen funtores olvidadizos para la categoría de conjuntos; de hecho, pueden definirse como aquellas categorías que admiten un funtor fiel a esa categoría.

Los funtores olvidadizos que sólo olvidan los axiomas son siempre totalmente fieles, ya que todo morfismo que respeta la estructura entre objetos que satisfacen los axiomas automáticamente también respeta los axiomas. Los functores olvidadizos que olvidan estructuras no necesitan estar llenos; algunos morfismos no respetan la estructura. Sin embargo, estos funtores siguen siendo fieles porque los distintos morfismos que respetan la estructura siguen siendo distintos cuando se olvida la estructura. Los functores que olvidan los conjuntos adicionales no tienen por qué ser fieles, ya que distintos morfismos que respetan la estructura de esos conjuntos adicionales pueden ser indistinguibles en el conjunto subyacente.

En el lenguaje de la lógica formal, un functor del primer tipo elimina axiomas, un functor del segundo tipo elimina predicados y un funtor del tercer tipo elimina tipos. Un ejemplo del primer tipo es el funtor olvidadizo Ab → Grp. Uno del segundo tipo es el funtor olvidadizo Ab → Set. Un funtor del tercer tipo es el funtor Mod → Ab, donde Mod es la categoría de fibra de todos los módulos sobre anillos arbitrarios. Para ver esto, simplemente elija un homomorfismo de anillo entre los anillos subyacentes que no cambie la acción del anillo. Bajo el functor olvidadizo, este morfismo produce la identidad. Tenga en cuenta que un objeto en Mod es una tupla, que incluye un anillo y un grupo abeliano, por lo que olvidarlo es una cuestión de gustos.

Izquierda adjoints de funtors olvidadas

Los functores olvidadizos tienden a tener adjuntos izquierdos, que son "libres"; construcciones. Por ejemplo:

• módulo gratis: el functor olvidadizo de ${\displaystyle \mathbf {Mod} (R)}$ (la categoría de ${\displaystyle R.$-módulos) ${\displaystyle \mathbf {Set}$ ha dejado el adjoint ${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}$Con ${\displaystyle X\mapsto \ nombre de operador [Libertad]$, el libre ${\displaystyle R.$- módulo con base ${\displaystyle X}$.
• grupo libre
• libre lattice
• álgebra tensor
• categoría gratuita, junto al funerario olvidadizo de categorías a concursos
• álgebra universal envolviendo

Para obtener una lista más extensa, véase (Mac Lane 1997).

Como este es un ejemplo fundamental de las uniones, lo deletreamos: unión significa que dado un conjunto X y un objeto (por ejemplo, R-módulo) M, mapas de conjuntos ${\displaystyle X\to Silencioso$ corresponden a mapas de módulos ${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}(X)\to M}$: cada mapa de conjuntos produce un mapa de módulos, y cada mapa de módulos viene de un mapa de conjuntos.

En el caso de espacios vectoriales, esto se resume como: "Un mapa entre espacios vectoriales está determinado por dónde envía una base, y una base se puede asignar a cualquier cosa".

Simbólicamente:

${\displaystyle \operatorname [Hom] _{\mathbf {Mod} _{R} {Free} _{R}(X),M)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set}(X,\operatorname {Forget} (M)). }$

La unidad de la adjunción libre-olvidada es la "inclusión de una base": ${\displaystyle X\to \operatorname {Free} _{R}(X)}$.

Fld, la categoría de campos, proporciona un ejemplo de un functor olvidadizo sin adjunto. No existe ningún campo que satisfaga una propiedad universal libre para un conjunto dado.