Funciones ortogonales

En matemáticas, las funciones ortogonales pertenecen a un espacio funcional que es un espacio vectorial equipado con una forma bilineal. Cuando el espacio funcional tiene un intervalo como dominio, la forma bilineal puede ser la integral del producto de funciones en el intervalo:

.. f,g.. =∫ ∫ f()x)̄ ̄ g()x)dx.{displaystyle langle f,grangle =int {overline {f(x)}g(x),dx.}

Funciones f{displaystyle f} y g{displaystyle g} son ortogonales cuando esta integral es cero, es decir. .. f,g.. =0{displaystyle langle f,,grangle =0} siempre fل ل g{displaystyle fneq g}. Como con una base de vectores en un espacio finito-dimensional, las funciones ortogonales pueden formar una base infinita para un espacio de función. Conceptualmente, lo anterior integral es el equivalente de un producto de punto vectorial; dos vectores son mutuamente independientes (ortogonal) si su producto de punto es cero.

Suppose {}f0,f1,...... }{displaystyle {f_{0},f_{1},ldots }} es una secuencia de funciones ortogonales de nozero L2-normas .fn.2=.. fn,fn.. =()∫ ∫ fn2dx)12{textstyle leftf_{n}rightf_{2}={sqrt {langle f_{n},f_{n}rangle }=left(int f_{n}{2} dxright)^{frac {1}{2}}}. Sigue que la secuencia {}fn/.fn.2}{displaystyle left{n}/leftf_{n}rightf_{2}rightright}} es de funciones L²-norma uno, formando una secuencia ortonormal. Tener una definición L²-norm, la integral debe ser atada, lo que restringe las funciones a ser cuadrada-integrable.

Funciones trigonométricas

Varios conjuntos de funciones ortogonales se han convertido en bases estándar para funciones aproximadas. Por ejemplo, las funciones sine pecado nx y pecado mx son ortogonales en el intervalo x▪ ▪ ()− − π π ,π π ){displaystyle xin (-pipi)} cuando mل ل n{displaystyle mneq n} y n y m son números enteros positivos. Para entonces

2pecado⁡ ⁡ ()mx)pecado⁡ ⁡ ()nx)=#⁡ ⁡ ()()m− − n)x)− − #⁡ ⁡ ()()m+n)x),{displaystyle 2sin left(mxright)sin left(nxright)=cos left(left(m-nright)xright)-cos left(left(m+nright)xright),}

y la integral del producto de las dos funciones seno desaparece. Junto con las funciones cosenos, estas funciones ortogonales se pueden ensamblar en un polinomio trigonométrico para aproximar una función dada en el intervalo con su serie de Fourier.

Polinomios

Si uno comienza con la secuencia monomial {}1,x,x2,...... }{displaystyle left{1,x,x^{2},dots right} en el intervalo [− − 1,1]{displaystyle [-1,1]} y aplica el proceso Gram-Schmidt, entonces uno obtiene los polinomios Legendre. Otra colección de polinomios ortogonales son los polinomios Legendre asociados.

El estudio de polinomios ortogonales implica funciones de peso w()x){displaystyle w(x)} que se insertan en la forma bilineal:

.. f,g.. =∫ ∫ w()x)f()x)g()x)dx.{displaystyle langle f,grangle =int w(x)f(x)g(x),dx.}

Para polinomios de Laguerre en ()0,JUEGO JUEGO ){displaystyle (0,infty)} la función de peso w()x)=e− − x{displaystyle w(x)=e^{-x}.

Tanto los físicos como los teóricos de probabilidad usan polinomios hermitas en ()− − JUEGO JUEGO ,JUEGO JUEGO ){displaystyle (-inftyinfty)}, donde la función de peso es w()x)=e− − x2{displaystyle w(x)=e^{-x^{2}} o w()x)=e− − x2/2{displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2}.

Los polinomios Chebyshev se definen en [− − 1,1]{displaystyle [-1,1]} y utilizar pesos w()x)=11− − x2{textstyle w(x)={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}} o w()x)=1− − x2{textstyle w(x)={sqrt {1-x^{2}}}.

Los polinomios de Zernike se definen en el disco unitario y tienen ortogonalidad tanto en la parte radial como en la angular.

Funciones con valores binarios

Las funciones de Walsh y las wavelets de Haar son ejemplos de funciones ortogonales con rangos discretos.

Funciones racionales

Los polinomios de Legendre y Chebyshev proporcionan familias ortogonales para el intervalo [−1, 1] mientras que ocasionalmente se requieren familias ortogonales en [0, ∞). En este caso es conveniente aplicar primero la transformada de Cayley, para llevar el argumento a [−1, 1]. Este procedimiento da como resultado familias de funciones ortogonales racionales llamadas funciones racionales de Legendre y funciones racionales de Chebyshev.

En ecuaciones diferenciales

Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de contorno a menudo se pueden escribir como una suma ponderada de funciones de solución ortogonales (también conocidas como funciones propias), lo que lleva a series de Fourier generalizadas.