Funciones hiperbólicas inversas

En matemáticas, las funciones hiperbólicas inversas son inversas de las funciones hiperbólicas, análogas a las funciones circulares inversas. Hay seis de uso común: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólica inversa, cosecante hiperbólica inversa, secante hiperbólica inversa y cotangente hiperbólica inversa. Comúnmente se indican con los símbolos de las funciones hiperbólicas, con el prefijo arc- o ar-.

Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa proporciona la medida del ángulo hiperbólico correspondiente, por ejemplo ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a}$ y ${\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.}$ Medición de ángulo hiperbólico es la longitud de un arco de una unidad hiperbola ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ medida en el plano Lorentziano (no la longitud de un arco hiperbólico en el plano euclidiano), y el doble del área del sector hiperbólico correspondiente. Esto es análogo al modo en que la medida del ángulo circular es la longitud del arco de un arco del círculo de la unidad en el plano Euclidean o dos veces el área del sector circular correspondiente. Alternately hyperbolic angle is the area of a sector of the hyperbola ${\displaystyle xy=1.}$ Algunos autores llaman a las funciones hiperbólicas inversas funciones de área hiperbólica.

Las funciones hiperbólicas ocurren en los cálculos de ángulos y distancias en geometría hiperbólica. También ocurre en las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas. Las ecuaciones de Laplace son importantes en muchas áreas de la física, incluida la teoría electromagnética, la transferencia de calor, la dinámica de fluidos y la relatividad especial.

Notación

Los símbolos más antiguos y más ampliamente adoptados utilizan el prefijo arc- (es decir: arcsinh, arccosh< /span>, arctanh, arcsech, arccsch, arccoth), por analogía con las funciones circulares inversas (arcsin, etc.). Para una hipérbola unitaria ("círculo de Lorentz") en el plano de Lorentz (plano pseudoeuclidiano de firma (1, 1)) o en el plano numérico hiperbólico , la medida del ángulo hiperbólico (argumento de las funciones hiperbólicas) es de hecho la longitud de arco de un arco hiperbólico.

También es común la notación ${\displaystyle \sinh ^{-1}$ ${\displaystyle \cosh ^{-1}$ etc., aunque se debe tener cuidado para evitar malinterpretaciones del superscript −1 como exponente. La convención estándar es que ${\displaystyle \sinh ^{-1}x}$ o ${\displaystyle \sinh ^{-1}(x)}$ significa la función inversa mientras ${\displaystyle (\sinh x)}{-1}$ o ${\displaystyle \sinh(x)}{-1}$ significa el recíproco ${\displaystyle 1/\sinh x.}$ Especialmente inconsistente es el uso convencional de superscriptos enteros positivos para indicar un exponente en lugar de la composición de la función, por ejemplo. ${\displaystyle \sinh ^{2}x}$ convencionalmente significa ${\displaystyle (\sinh x)}{2}$ y no ${\displaystyle \sinh(\sinh x).}$

Debido a que el argumento de las funciones hiperbólicas no es la longitud de arco de un arco hiperbólico en el plano euclidiano, algunos autores han condenado el prefijo arco-, argumentando que el prefijo < Se debe preferir i>ar- (para área) o arg- (para argumento). Siguiendo esta recomendación, las abreviaturas del estándar ISO 80000-2 utilizan el prefijo ar- (es decir: arsinh, arcosh , artanh, arsech, arcsch, arcoth).

En los lenguajes de programación informática, las funciones circulares inversas e hiperbólicas suelen denominarse con el prefijo más corto a- (asinh, etc.).

Este artículo adoptará consistentemente el prefijo ar- por conveniencia.

Definiciones en términos de logaritmos

Puesto que las funciones hiperbólicas son funciones racionales cuadráticas de la función exponencial ${\displaystyle \exp x,}$ pueden ser resueltos utilizando la fórmula cuadrática y luego escritos en términos del logaritmo natural.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x limit=\ln\left(x+{\sqrt {x^{2}+1}\right) limit-\infty > se hizo eco\infty\\[10mu]\operatorname {arcosh} x simultáneamente=\ln\left(x+{\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq}\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq}\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq}\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sq\sc}\sq\sc}\c\c\c}\c\c\c\c}\c\c\c\c\c\c}\c\c\c {x^{2}-1}}\right) Sentir 1 contacto\leq x 10\infty\\[10mu]\operatorname {artanh} x limit={\frac {1}{2}\n {\frac {1+x}{1-x}} {1-x} {1-x}}}} {\[10mu]\fnMicroc}\f} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}+1}}\right) limitada-\infty > se hizo eco\infty\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x Due=\ln \left({\frac\frac\frac] {1}{x}}+{\sqrt {\frac {1}{x^{2}}-1}}\right) limitada0 limitadax\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}\ln {x} {x+1}{x-1}}}} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c}}\c} {\c}\c}\c} {\c} {\c} {\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c} {\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c} # 1 se hizo valer #$

Para argumentos complejos, las funciones circulares inversas e hiperbólicas, la raíz cuadrada y el logaritmo natural son todas funciones multivaluadas.

Fórmulas de suma

${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}\right)}}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} viéndose=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\=\correcto)\=\operatorname {arcosh}\left {\h} {\h} {\cHh}\cHh}\cHh}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\cH00}\cH00}\c\cH00}\c\cH00}\c\cH00}\c\c\cH {1+u^{2}}+u{\sqrt {v^{2}\right)\end{aligned}}}$

Otras identidades

${\fnK} {\f}\fnK}\f}\fnK} {\f}\f}\f}\f}\fn}\fn}\fn}\fnK}\cH} {\cH}\cH} {\cH} {\f}\f}\f}\cH}\fnK}\cH0}\f} {\f}\f}}}}}}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn$

${\fnMicrosoft {\fnK} {\fnMicroc {\fnMicroc {2}+1}{2x}}}\right)=\operatorname {arsinh}\left(\frac {x^{2}{2x}}\right)=\fnunció {artanh}{2\frax}{2}{2} {} {} {}}}{2}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}{2}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Composición de funciones hiperbólicas e inversas

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {1+x^{2}}}\\\\fnh\tanh(\fnMiembro {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x} {\fn}\fnK}\fnK}\fnK}\fnK}\fnK}\f}\fn}$

Composición de funciones hiperbólicas y circulares inversas

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm\operatorname {arcosh} {\2} {} {\2} {\f} {\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f} {\f}\f}\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\$

${\displaystyle \ln \left(\left WordPress\tan \alpha \right WordPress\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)}$

Conversiones

${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}}\right)=\pm\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}\right)}}}}\right)}}}}}}}}}}}}}\right)}}}}}\right)}}}}}}}}}}}}\right)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\$

${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}\derecha)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}\derecha)}$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}}\right)}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left durable\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}\right)\right permanente=\left sometida\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {\sqrt {x^{2}}} {x}}\right)\right sometida}$

Derivados

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} . - ¿Qué? {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x limit {}={\frac {-1}{\f}{\sqrt {1+x^{2}}}} {\text{ for all real }x{\text{, except }0\\end{aligned}}}$

Estas fórmulas pueden derivarse en términos de los derivados de funciones hiperbólicas. Por ejemplo, si ${\displaystyle x=\sinh \theta }$Entonces ${\textstyle dx/d\theta = 'cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}}}$ Así que...

${\displaystyle {\frac {dx}\operatorname {arsinh}(x)={\frac {d\theta } {dx}={\frac {1}{dx/d\theta }={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Expansiones de series

Se pueden obtener series de expansión para las funciones anteriores:

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {x^{2n+1}{2n+1}},\qquad \left torturax\right sometida1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x limit=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}\right){\frac {x^{-2}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}{6}+\cdots \right)\\\fn(2x)-\sum _{n=1}\infty }\left({\frac {(2n)}{2n} {2n}{2n} {}}}}}\derecha){\frac}{\frac] {x^{-2n}{2n}},\qquad \left WordPressx\derecha confianza1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x Due=x+{\frac} {x^{3}{3}}+{\frac} {x^{5}{5}+{\frac} {x^{7}{7}+\cdots \\fn=\sum _{n=0}{\infty }{\frac {x^{2n+1}{2n+1}},\qquad \left torturax\right sometida1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}} {=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}\right){\frac}\frac {0} {\cH00} {\cH00} {\cH00} {\cH00}\cdot}\cdot} {\c\c\cH00} {\cH00} {\cH00} {\cH00}\cH00}\cdot} {\cdot}\cdot} {\cdot}{2} {\c} {\c} {\cdot}} {\c}} {\cdot} {\c\c\c} {\c} {\cdot} {\c} {\c\cdot} {\c} {\c} {\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c} {\c} {\c} {\c\c} {\c\c\c\c\c\c\c\c\c} {\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c$

${\c} {\c} {\c}\c\c}\c}\c\c} {\c\c}\c\c}\c} {\c} {\c}\c\c}\c}\c\c}\c\c\c}\c\c}\c\c\c}\c\c\c}\c\c}\c\c\c\c\c\c}\c}\c\c\c\c\c\c\c}\c\c\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c}\c\c\c\c\c\c\c\c}\c}\c\c}\c}\c}\c\c\c\c\c\c}\c\c\c}\c\c}\c {x^{6}{6}}+\cdots \right)\\\fn {\frac {2}{x}-\sum _{n=1} {\infty}\left({\frac {\cn]}{2n} {2n} {\c} {\c} {\c}} {\cH00} {\c}}}} {\c}} {\c} {\c}}}\c\c}}}}\c\c\c\c\c}\c}\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\cH00}\c\cH00}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c\c$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x} {=x}{-1}+{\frac} {x^{-3}{3}+{\frac} {x^{-5}{5}+{\frac} {x^{-7}{7}+\cdots \\fn=\sum _{n=0}{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}}}\qquad \left durablex\right confidencial1\end{aligned}}}$

Una expansión asintótica para arsinh viene dada por

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)}{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)}{2n\right)}{2n}{2n} {}}} {} {} {} {}} {}}} {}}} {} {}} {} {}}}}}}}} {} {}} {} {}}} {} {}}} {}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {} {}}}}} {} {} {}} {}} {} {}}} {} {}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}$

Valores principales en el plano complejo

Como funciones de una variable compleja, las funciones hiperbólicas inversas son funciones multivaluadas que son analíticas, excepto en un número finito de puntos. Para tal función, es común definir un valor principal, que es una función analítica de valor único que coincide con una rama específica de la función multivalor, sobre un dominio que consiste en el plano complejo en el que un número finito de arcos (generalmente la mitad líneas o segmentos de línea) han sido eliminados. Estos arcos se llaman cortes de ramas. Para especificar la rama, es decir, definir qué valor de la función multivaluada se considera en cada punto, generalmente se define en un punto particular y se deduce el valor en todas partes del dominio de definición del valor principal mediante continuación analítica. Cuando sea posible, es mejor definir el valor principal directamente, sin hacer referencia a la continuación analítica.

Por ejemplo, para la raíz cuadrada, el valor principal se define como la raíz cuadrada que tiene una parte real positiva. Esto define una función analítica de valor único, que se define en todas partes, excepto los valores reales no positivos de las variables (donde las dos raíces cuadradas tienen una parte real cero). Este valor principal de la función raíz cuadrada se denota ${\displaystyle {\sqrt {x}}$ en lo que sigue. Del mismo modo, el valor principal del logaritmo, denotado ${\displaystyle \operatorname {Log}$ en lo que sigue, se define como el valor para el cual la parte imaginaria tiene el valor absoluto más pequeño. Se define en todas partes excepto por valores reales no positivos de la variable, para los cuales dos valores diferentes del logaritmo alcanzan el mínimo.

Para todas las funciones hiperbólicas inversas, el valor principal se puede definir en términos de los valores principales de la raíz cuadrada y la función logaritmo. Sin embargo, en algunos casos, las fórmulas del § Definiciones en términos de logaritmos no dan un valor principal correcto, ya que dan un dominio de definición que es demasiado pequeño y, en un caso, no conexo.

Valor principal del seno hiperbólico inverso

El valor principal del seno hiperbólico inverso está dado por

${\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}\,)\,}$

El argumento de la raíz cuadrada es un número real no positivo, si y sólo si z pertenece a uno de los intervalos [i, +i∞) y (−i∞ , −i] del eje imaginario Si el argumento del logaritmo es real, entonces es positivo. Por lo tanto, esta fórmula define un valor principal para arsinh, con cortes de rama [i, +i∞) y (−i∞ , −i] Esto es óptimo, ya que los cortes de ramas deben conectar los puntos singulares i y. −i al infinito.

Valor principal del coseno hiperbólico inverso

La fórmula para el coseno hiperbólico inverso dada en § Coseno hiperbólico inverso no es conveniente, ya que al igual que los valores principales del logaritmo y la raíz cuadrada, el valor principal de arcosh no estaría definido para z. Por lo tanto, es necesario factorizar la raíz cuadrada, lo que lleva a

${\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}{\sqrt {z-1}\,)\,.}$

Los valores principales de las raíces cuadradas están definidos, excepto si z pertenece al intervalo real ( −∞, 1] Si el argumento del logaritmo es real, entonces z es real y tiene el mismo signo. la fórmula anterior define un valor principal de arcosh fuera del intervalo real (−∞, 1], que es, por tanto, el único corte de rama.

Valores principales de la tangente y cotangente hiperbólica inversa

Las fórmulas dadas en § Definiciones en términos de logaritmos sugieren

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z={\frac} {1}{2} {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}\right)\\\\\fnMiembro {arcoth} z={\frac} {1}{2} {Log} \left({\frac {z+1}\right)\end{aligned}}}$

para la definición de los valores principales de la tangente y cotangente hiperbólica inversa. En estas fórmulas, el argumento del logaritmo es real si y sólo si z es real. Para artanh, este argumento está en el intervalo real (−∞, 0], si z pertenece a (−∞, −1] o a [1, ∞) Para arcoth, el argumento del logaritmo. está en (−∞, 0], si y sólo si z pertenece al intervalo real [−1, 1].

Por lo tanto, estas fórmulas definen valores principales convenientes, para los cuales los cortes de rama son (−∞, −1] y [1, ∞ ) para la tangente hiperbólica inversa y [−1, 1] para la cotangente hiperbólica inversa.

En vista de una mejor evaluación numérica cerca de los cortes de rama, algunos autores utilizan las siguientes definiciones de los valores principales, aunque el segundo introduce una singularidad extraíble en z = 0. Las dos definiciones de ${\displaystyle \operatorname {artanh}$ diferente para los valores reales de ${\displaystyle z}$ con ${\displaystyle z]$. Los de ${\displaystyle \operatorname {arcoth}$ diferente para los valores reales de ${\displaystyle z}$ con ${\displaystyle z\in [0,1)}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z={\tfrac} {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\\\\\\operatorname {arcoth} z Due={\tfrac {1}{2}\operatorname {Log} \left({1+{1}{z}}\right)-{\tfrac {1}{2}\fnuncio {Log} \left({1-{1\frac {1}\right)\end{aligned}}}}$

Valor principal de la cosecante hiperbólica inversa

Para la cosecante hiperbólica inversa, el valor principal se define como

${\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}}+1}\,\derecha)}$.

Se define excepto cuando los argumentos del logaritmo y la raíz cuadrada son números reales no positivos. El valor principal de la raíz cuadrada se define así fuera del intervalo [−i, i] de la línea imaginaria. Si el argumento del logaritmo es real, entonces z es un número real distinto de cero, y esto implica que el argumento del logaritmo es positivo.

Por lo tanto, el valor principal se define mediante la fórmula anterior fuera del corte de rama, que consta del intervalo [−i, i ] de la línea imaginaria.

(At z = 0, hay un punto singular que se incluye en la rama cortada.)

Valor principal de la secante hiperbólica inversa

Aquí, como en el caso del coseno hiperbólico inverso, tenemos que factorizar la raíz cuadrada. Esto da el valor principal.

${\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1} {\fn}+ {\fnMicroc} {1} {\fn}\fnMicroc {}}}}\derecho).}$

Si el argumento de una raíz cuadrada es real, entonces z es real, y sigue que ambos valores principales de raíces cuadradas se definen, excepto si z es real y pertenece a uno de los intervalos (Libertad, 0) y [1, +∞). Si el argumento del logaritmo es real y negativo, entonces z es también real y negativo. Se sigue que el valor principal del arsech está bien definido, por la fórmula anterior fuera de dos cortes de rama, los intervalos reales (Libertad, 0) y [1, +∞).

Para z = 0, hay un punto singular que se incluye en uno de los cortes de rama.

Representación gráfica

En la siguiente representación gráfica de los principales valores de las funciones hiperbólicas inversas, los cortes de ramas aparecen como discontinuidades del color. El hecho de que todos los cortes de ramas aparezcan como discontinuidades muestra que estos valores principales no pueden extenderse a funciones analíticas definidas en dominios más grandes. En otras palabras, los cortes de ramas definidos anteriormente son mínimos.

${\displaystyle \operatorname {arsinh} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {arsech} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsch} (z)}$

Funciones hiperbólicas inversas en el complejo plano z: el color en cada punto del plano representa el valor complejo de la función respectiva en ese punto