Funciones hiperbólicas

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Nombre colectivo de 6 funciones matemáticas

En matemáticas, las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias, pero definidas usando la hipérbola en lugar del círculo. Así como los puntos $(cos t, sin t)$ forman un círculo con un radio unitario, los puntos $(cosh t, sinh t)$ forman la mitad derecha de la hipérbola unitaria. Además, de manera similar a cómo los derivados de $sin(t)$ y $cos(t)$ son $cos(t)$ y $-sin(t)$ respectivamente, los derivados de $sinh(t)$ y $cosh(t)$ son $cosh(t)$ y $+sinh(t)$ respectivamente.

Las funciones hiperbólicas ocurren en los cálculos de ángulos y distancias en geometría hiperbólica. También ocurren en las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas. Las ecuaciones de Laplace son importantes en muchas áreas de la física, incluida la teoría electromagnética, la transferencia de calor, la dinámica de fluidos y la relatividad especial.

Las funciones hiperbólicas básicas son:

senos hiperbólicos " $pecado$ "
hiperbólico cosina " $cosh$ "

de donde se derivan:

hiperbólico tangente " $Tanh$ "
cosecante hiperbólico " $csch$ "o" $Cosech$ "
secant hiperbólico " $Sech$ "
hyperbolic cotangent " $Coth$ "

correspondientes a las funciones trigonométricas derivadas.

Las funciones hiperbólicas inversas son:

área hiperbólica sine " $arsinh$ " (también denotado " $pecado -1$ ", " $Asinh$ "o a veces" $arcsinh$ ")
área hiperbólica cosina " $arcosh$ " (también denotado " $cosh -1$ ", " $acosh$ "o a veces" $arccosh$ ")
y así sucesivamente.

Un rayo a través de la unidad hiperbola

x 2 - Sí. 2 = 1

en el punto

(cosh a, sinh a)

, donde

a

es el doble de la zona entre el rayo, la hiperbola, y la

x

-Eje. Para puntos en la hiperbola debajo del

x

-eje, el área se considera negativa (ver versión animada con comparación con las funciones trigonométricas (circulares).

Las funciones hiperbólicas toman un argumento real llamado ángulo hiperbólico. El tamaño de un ángulo hiperbólico es el doble del área de su sector hiperbólico. Las funciones hiperbólicas pueden definirse en términos de los catetos de un triángulo rectángulo que cubre este sector.

En el análisis complejo, las funciones hiperbólicas surgen al aplicar las funciones ordinarias de seno y coseno a un ángulo imaginario. El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico son funciones enteras. Como resultado, las otras funciones hiperbólicas son meromórficas en todo el plano complejo.

Según el teorema de Lindemann-Weierstrass, las funciones hiperbólicas tienen un valor trascendental para cada valor algebraico distinto de cero del argumento.

Las funciones hiperbólicas fueron introducidas en la década de 1760 de forma independiente por Vincenzo Riccati y Johann Heinrich Lambert. Riccati usó $Sc.$ y $Cc.$ (sinus /cosinus circulare) para referirse a funciones circulares y $Sh.$ y $Ch.$ (sinus/cosinus hyperbolico) para referirse a funciones hiperbólicas. Lambert adoptó los nombres, pero modificó las abreviaturas a las que se usan hoy. Las abreviaturas $sh$ , $ch$ , $th$ , $cth$ también se utilizan actualmente, según las preferencias personales.

Notación

Definiciones

pecado, cosh y Tanh

csch, Sech y Coth

Hay varias formas equivalentes de definir las funciones hiperbólicas.

Definiciones exponenciales

pecado x

es la mitad de la diferencia

e x

e - x

cosh x

es el promedio de

e x

e - x

En términos de la función exponencial:

Pecado hiperbólico: la parte extraña de la función exponencial, es decir, ${displaystyle sinh x={frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$
Cosina hiperbólica: la parte incluso de la función exponencial, es decir, ${displaystyle cosh x={frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$
Tangente hiperbólico: ${displaystyle tanh x={frac {sinh x}{cosh x}}={frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$
Cotangente hiperbólico: para $x ل 0$ , ${displaystyle coth x={frac {cosh x}{sinh x}}={frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$
Secant hiperbólico: ${displaystyle operatorname {sech} x={frac {1}{cosh x}}={frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$
Cosecante hiperbólico: para $x ل 0$ , ${displaystyle operatorname {csch} x={frac {1}{sinh x}}={frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$

Definiciones de ecuaciones diferenciales

Las funciones hiperbólicas pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales: El seno y el coseno hiperbólicos son la solución $(s, c)$ del sistema

{displaystyle {begin{aligned}c'(x)&=s(x),\s'(x)&=c(x),\end{aligned}}}

{displaystyle s(0)=0,c(0)=1.}

{displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}

$sinh(x)$ y $cosh(x)$ son también la solución única de la ecuación $f ″(x) = f (x)$ , tal que $f (0) = 1$ , $f'(0) = 0$ para el coseno hiperbólico, y $f (0) = 0$ , $f'(0) = 1$ para el seno hiperbólico.

Definiciones trigonométricas complejas

Las funciones hiperbólicas también pueden deducirse de funciones trigonométricas con argumentos complejos:

Pecado hiperbólico: ${displaystyle sinh x=-isin(ix).}$
Cosina hiperbólica: ${displaystyle cosh x=cos(ix).}$
Tangente hiperbólico: ${displaystyle tanh x=-itan(ix).}$
Cotangente hiperbólico: ${displaystyle coth x=icot(ix).}$
Secant hiperbólico: ${displaystyle operatorname {sech} x=sec(ix).}$
Cosecante hiperbólico: ${displaystyle operatorname {csch} x=icsc(ix).}$

donde $i$ es la unidad imaginaria con $i 2 = -1$ .

Las definiciones anteriores están relacionadas con las definiciones exponenciales a través de la fórmula de Euler (ver § Funciones hiperbólicas para números complejos a continuación).

Caracterización de propiedades

Coseno hiperbólico

Se puede demostrar que el área bajo la curva del coseno hiperbólico (en un intervalo finito) siempre es igual a la longitud del arco correspondiente a ese intervalo:

{displaystyle {text{area}}=int _{a}^{b}cosh x,dx=int _{a}^{b}{sqrt {1+left({frac {d}{dx}}cosh xright)^{2}}},dx={text{arc length.}}}

Tangente hiperbólica

La tangente hiperbólica es la solución (única) de la ecuación diferencial $f' = 1 - f 2$ , con $f (0) = 0$ .

Relaciones útiles

Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas similares en forma a las identidades trigonométricas. De hecho, Regla de Osborn declara que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica $theta$ , $2theta$ , $3theta$ o $theta$ y $varphi$ en una identidad hiperbólica, expandiéndola completamente en términos de poderes integrales de los pecados y los cosines, cambiando el seno al seno y el cosino a la ceniza, y cambiando el signo de cada término que contiene un producto de dos senos.

Funciones pares e impares:

{displaystyle {begin{aligned}sinh(-x)&=-sinh x\cosh(-x)&=cosh xend{aligned}}}

Por lo tanto:

{displaystyle {begin{aligned}tanh(-x)&=-tanh x\coth(-x)&=-coth x\operatorname {sech} (-x)&=operatorname {sech} x\operatorname {csch} (-x)&=-operatorname {csch} xend{aligned}}}

Por lo tanto, $cosh x$ y $sech x$ son pares funciones; las otras son funciones impares.

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {arsech} x&=operatorname {arcosh} left({frac {1}{x}}right)\operatorname {arcsch} x&=operatorname {arsinh} left({frac {1}{x}}right)\operatorname {arcoth} x&=operatorname {artanh} left({frac {1}{x}}right)end{aligned}}}

El seno y el coseno hiperbólico satisfacen:

{displaystyle {begin{aligned}cosh x+sinh x&=e^{x}\cosh x-sinh x&=e^{-x}\cosh ^{2}x-sinh ^{2}x&=1end{aligned}}}

el último de los cuales es similar a la identidad trigonométrica de Pitágoras.

Uno también tiene

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {sech} ^{2}x&=1-tanh ^{2}x\operatorname {csch} ^{2}x&=coth ^{2}x-1end{aligned}}}

para las otras funciones.

Sumas de argumentos

{displaystyle {begin{aligned}sinh(x+y)&=sinh xcosh y+cosh xsinh y\cosh(x+y)&=cosh xcosh y+sinh xsinh y\[6px]tanh(x+y)&={frac {tanh x+tanh y}{1+tanh xtanh y}}\end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}cosh(2x)&=sinh ^{2}{x}+cosh ^{2}{x}=2sinh ^{2}x+1=2cosh ^{2}x-1\sinh(2x)&=2sinh xcosh x\tanh(2x)&={frac {2tanh x}{1+tanh ^{2}x}}\end{aligned}}}

También:

{displaystyle {begin{aligned}sinh x+sinh y&=2sinh left({frac {x+y}{2}}right)cosh left({frac {x-y}{2}}right)\cosh x+cosh y&=2cosh left({frac {x+y}{2}}right)cosh left({frac {x-y}{2}}right)\end{aligned}}}

Fórmulas de resta

{displaystyle {begin{aligned}sinh(x-y)&=sinh xcosh y-cosh xsinh y\cosh(x-y)&=cosh xcosh y-sinh xsinh y\tanh(x-y)&={frac {tanh x-tanh y}{1-tanh xtanh y}}\end{aligned}}}

También:

{displaystyle {begin{aligned}sinh x-sinh y&=2cosh left({frac {x+y}{2}}right)sinh left({frac {x-y}{2}}right)\cosh x-cosh y&=2sinh left({frac {x+y}{2}}right)sinh left({frac {x-y}{2}}right)\end{aligned}}}

Fórmulas de medio argumento

{displaystyle {begin{aligned}sinh left({frac {x}{2}}right)&={frac {sinh x}{sqrt {2(cosh x+1)}}}&&=operatorname {sgn} x,{sqrt {frac {cosh x-1}{2}}}\[6px]cosh left({frac {x}{2}}right)&={sqrt {frac {cosh x+1}{2}}}\[6px]tanh left({frac {x}{2}}right)&={frac {sinh x}{cosh x+1}}&&=operatorname {sgn} x,{sqrt {frac {cosh x-1}{cosh x+1}}}={frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}end{aligned}}}

donde $sgn$ es la función de signo.

Si $x \neq 0$ , entonces

{displaystyle tanh left({frac {x}{2}}right)={frac {cosh x-1}{sinh x}}=coth x-operatorname {csch} x}

Fórmulas cuadradas

{displaystyle {begin{aligned}sinh ^{2}x&={tfrac {1}{2}}(cosh 2x-1)\cosh ^{2}x&={tfrac {1}{2}}(cosh 2x+1)end{aligned}}}

Desigualdades

La siguiente desigualdad es útil en las estadísticas: ${displaystyle operatorname {cosh} (t)leq e^{t^{2}/2}}$

Se puede probar comparando término por término la serie de Taylor de las dos funciones.

Funciones inversas como logaritmos

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}operatorname {arsinh} (x)&=ln left(x+{sqrt {x^{2}+1}}right)\operatorname {arcosh} (x)&=ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)&&xgeq 1\operatorname {artanh} (x)&={frac {1}{2}}ln left({frac {1+x}{1-x}}right)&&|x|1\operatorname {arsech} (x)&=ln left({frac {1}{x}}+{sqrt {{frac {1}{x^{2}}}-1}}right)=ln left({frac {1+{sqrt {1-x^{2}}}}{x}}right)&&0arsinh⁡ ⁡ ()x)=In⁡ ⁡ ()x+x2+1)arcosh⁡ ⁡ ()x)=In⁡ ⁡ ()x+x2− − 1)x≥ ≥ 1Artanh⁡ ⁡ ()x)=12In⁡ ⁡ ()1+x1− − x)SilencioxSilencio.1arco⁡ ⁡ ()x)=12In⁡ ⁡ ()x+1x− − 1)SilencioxSilencio■1arsech⁡ ⁡ ()x)=In⁡ ⁡ ()1x+1x2− − 1)=In⁡ ⁡ ()1+1− − x2x)0.x≤ ≤ 1arcsch⁡ ⁡ ()x)=In⁡ ⁡ ()1x+1x2+1)xل ل 0{displaystyle {begin{aligned}operatorname {arsinh} (x) limit=ln left(x+{sqrt {x^{2}+1}}right)\\\operatorname {arcosh} (x) {x} {2}fnK} {fnK} {fnK}fnK} {fn0}}}nnfnfn} {fn0} {fnK} {fnK} {cH0}}fnK} {c}cH00}cH00}cH0}cH00} {cH00}}cH00}cH00}cH00}}}cH00}}}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00} {2} {x}}} {c} {c} {c}}} {cc}}}} {c}}c}}c}c} {c}}} {c} {c} {c}} {c}c}}c}c} {c} {c}c}c} {c}}}c}}}}c}}}}c}c}}c}c}}c}c}c}c}c}c}}c}c}c}c}cccc}c}c}c}c}}cc}c}cc}c}c}c}cccc}c}c}}c}c}}c}c}c}c}c}c}c}}c}c}c}c<img alt="{displaystyle {begin{aligned}operatorname {arsinh} (x)&=ln left(x+{sqrt {x^{2}+1}}right)\operatorname {arcosh} (x)&=ln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right)&&xgeq 1\operatorname {artanh} (x)&={frac {1}{2}}ln left({frac {1+x}{1-x}}right)&&|x|1\operatorname {arsech} (x)&=ln left({frac {1}{x}}+{sqrt {{frac {1}{x^{2}}}-1}}right)=ln left({frac {1+{sqrt {1-x^{2}}}}{x}}right)&&0

Derivados

{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}sinh x&=cosh x\{frac {d}{dx}}cosh x&=sinh x\{frac {d}{dx}}tanh x&=1-tanh ^{2}x=operatorname {sech} ^{2}x={frac {1}{cosh ^{2}x}}\{frac {d}{dx}}coth x&=1-coth ^{2}x=-operatorname {csch} ^{2}x=-{frac {1}{sinh ^{2}x}}&&xneq 0\{frac {d}{dx}}operatorname {sech} x&=-tanh xoperatorname {sech} x\{frac {d}{dx}}operatorname {csch} x&=-coth xoperatorname {csch} x&&xneq 0end{aligned}}}

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}operatorname {arsinh} x&={frac {1}{sqrt {x^{2}+1}}}\{frac {d}{dx}}operatorname {arcosh} x&={frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\{frac {d}{dx}}operatorname {artanh} x&={frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\{frac {d}{dx}}operatorname {arcoth} x&={frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\{frac {d}{dx}}operatorname {arsech} x&=-{frac {1}{x{sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<xddxarsinh⁡ ⁡ x=1x2+1ddxarcosh⁡ ⁡ x=1x2− − 11.xddxArtanh⁡ ⁡ x=11− − x2SilencioxSilencio.1ddxarco⁡ ⁡ x=11− − x21.SilencioxSilencioddxarsech⁡ ⁡ x=− − 1x1− − x20.x.1ddxarcsch⁡ ⁡ x=− − 1SilencioxSilencio1+x2xل ل 0{displaystyle {begin{aligned}{frac} - ¿Qué? {x^{2}+1}\fnMic {fn}fn}fn}fnh}fnh}fnfnh}fn}}} {fn}}} {fn}}\\\c\c\\\cHFF}}}fnfn\\\cH\\cH\\\cH\fn}}}}}}}}}}}}}}\\\fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fn}\\\\\\\\fn}}\\\\\fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\fn}\\fn}}}\\ {dx}fnuncio {artanh} x círculo={1}{1-x^{2}}} {frac {1fn}\fnK}f}fnMicroc {c}fnMicroc {1} {fnMicroc {1}{1}}} {c} {c} {c}}c} {c} {c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}cccccc}c}c}cccccc}ccc}cc}cccccc}c}c}c}c}c}c}c}ccc}cc}c}c}c {1-x^{2}}}}} {fnMicroc {1\fn}fnh}f}f}}}}} {fnuncio {fn0} {fn0} {fnfnfnf}}} ¿Qué?<img alt="{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}operatorname {arsinh} x&={frac {1}{sqrt {x^{2}+1}}}\{frac {d}{dx}}operatorname {arcosh} x&={frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\{frac {d}{dx}}operatorname {artanh} x&={frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\{frac {d}{dx}}operatorname {arcoth} x&={frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\{frac {d}{dx}}operatorname {arsech} x&=-{frac {1}{x{sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x

Segundas derivadas

(feminine)

Cada una de las funciones $sinh$ y $cosh$ es igual a su segunda derivada, es decir:

{displaystyle {frac {d^{2}}{dx^{2}}}sinh x=sinh x}

{displaystyle {frac {d^{2}}{dx^{2}}}cosh x=cosh x,.}

Todas las funciones con esta propiedad son combinaciones lineales de $pecado$ y $cosh$ , en particular las funciones exponenciales $e^{x}$ y $e^{-x}$ .

Integrales estándar

{displaystyle {begin{aligned}int sinh(ax),dx&=a^{-1}cosh(ax)+C\int cosh(ax),dx&=a^{-1}sinh(ax)+C\int tanh(ax),dx&=a^{-1}ln(cosh(ax))+C\int coth(ax),dx&=a^{-1}ln left|sinh(ax)right|+C\int operatorname {sech} (ax),dx&=a^{-1}arctan(sinh(ax))+C\int operatorname {csch} (ax),dx&=a^{-1}ln left|tanh left({frac {ax}{2}}right)right|+C=a^{-1}ln left|coth left(axright)-operatorname {csch} left(axright)right|+C=-a^{-1}operatorname {arcoth} left(cosh left(axright)right)+Cend{aligned}}}

Las siguientes integrales se pueden probar mediante sustitución hiperbólica:

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}int {{frac {1}{sqrt {a^{2}+u^{2}}}},du}&=operatorname {arsinh} left({frac {u}{a}}right)+C\int {{frac {1}{sqrt {u^{2}-a^{2}}}},du}&=operatorname {sgn} {u}operatorname {arcosh} left|{frac {u}{a}}right|+C\int {frac {1}{a^{2}-u^{2}}},du&=a^{-1}operatorname {artanh} left({frac {u}{a}}right)+C&&u^{2}a^{2}\int {{frac {1}{u{sqrt {a^{2}-u^{2}}}}},du}&=-a^{-1}operatorname {arsech} left|{frac {u}{a}}right|+C\int {{frac {1}{u{sqrt {a^{2}+u^{2}}}}},du}&=-a^{-1}operatorname {arcsch} left|{frac {u}{a}}right|+Cend{aligned}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">∫ ∫ 1a2+u2du=arsinh⁡ ⁡ ()ua)+C∫ ∫ 1u2− − a2du=Sgn⁡ ⁡ uarcosh⁡ ⁡ SilenciouaSilencio+C∫ ∫ 1a2− − u2du=a− − 1Artanh⁡ ⁡ ()ua)+Cu2.a2∫ ∫ 1a2− − u2du=a− − 1arco⁡ ⁡ ()ua)+Cu2■a2∫ ∫ 1ua2− − u2du=− − a− − 1arsech⁡ ⁡ SilenciouaSilencio+C∫ ∫ 1ua2+u2du=− − a− − 1arcsch⁡ ⁡ SilenciouaSilencio+C{fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnK} {f}fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f} {f} {f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnKfnKf}f}f}f}f}fnKf}fnKf}f}f}fnKf}fnKfnKf}f}f}fnKfnKfnKf}fnKf}fnKf}f}fn ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicroc {1},du} {f}},du}=-a^{-1}f}operatorname {arcsch}left perpetua{frac {f}{a}}justa}justa âTMa{aligned}}}}}}}} {f}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}} {f} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}int {{frac {1}{sqrt {a^{2}+u^{2}}}},du}&=operatorname {arsinh} left({frac {u}{a}}right)+C\int {{frac {1}{sqrt {u^{2}-a^{2}}}},du}&=operatorname {sgn} {u}operatorname {arcosh} left|{frac {u}{a}}right|+C\int {frac {1}{a^{2}-u^{2}}},du&=a^{-1}operatorname {artanh} left({frac {u}{a}}right)+C&&u^{2}a^{2}\int {{frac {1}{u{sqrt {a^{2}-u^{2}}}}},du}&=-a^{-1}operatorname {arsech} left|{frac {u}{a}}right|+C\int {{frac {1}{u{sqrt {a^{2}+u^{2}}}}},du}&=-a^{-1}operatorname {arcsch} left|{frac {u}{a}}right|+Cend{aligned}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12686478723c428c7bb0a0d7d6885f1456f36bc4" style="vertical-align: -18.611ex; margin-bottom: -0.227ex; width:53.997ex; height:38.843ex;"/>

donde C es la constante de integración.

Expresiones de la serie de Taylor

Es posible expresar explícitamente la serie de Taylor en cero (o la serie de Laurent, si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.

{displaystyle sinh x=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+{frac {x^{7}}{7!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}

x

pecado x

x

{displaystyle cosh x=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {x^{6}}{6!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}}

x

cosh x

x

La suma de las series sinh y cosh es la expresión en serie infinita de la función exponencial.

Las siguientes series van seguidas de una descripción de un subconjunto de su dominio de convergencia, donde la serie es convergente y su suma es igual a la función.

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}tanh x&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},qquad left|xright|<{frac {pi }{2}}\coth x&=x^{-1}+{frac {x}{3}}-{frac {x^{3}}{45}}+{frac {2x^{5}}{945}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},qquad 0<left|xright|<pi \operatorname {sech} x&=1-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}-{frac {61x^{6}}{720}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},qquad left|xright|<{frac {pi }{2}}\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{frac {x}{6}}+{frac {7x^{3}}{360}}-{frac {31x^{5}}{15120}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},qquad 0<left|xright|Tanh⁡ ⁡ x=x− − x33+2x515− − 17x7315+⋯ ⋯ =.. n=1JUEGO JUEGO 22n()22n− − 1)B2nx2n− − 1()2n)!,SilencioxSilencio.π π 2Coth⁡ ⁡ x=x− − 1+x3− − x345+2x5945+⋯ ⋯ =.. n=0JUEGO JUEGO 22nB2nx2n− − 1()2n)!,0.SilencioxSilencio.π π Sech⁡ ⁡ x=1− − x22+5x424− − 61x6720+⋯ ⋯ =.. n=0JUEGO JUEGO E2nx2n()2n)!,SilencioxSilencio.π π 2csch⁡ ⁡ x=x− − 1− − x6+7x3360− − 31x515120+⋯ ⋯ =.. n=0JUEGO JUEGO 2()1− − 22n− − 1)B2nx2n− − 1()2n)!,0.SilencioxSilencio.π π {displaystyle {begin{aligned}tanh x simultáneamente=x-{frac {x^{3}{3}}+{2x^{5}{15}-{frac {17x^{7}{315}+cdots =sum _{n=1}{infty }{2}{2n}{2n}{2n}{2n}{2n}{2n}x}{2n}{2n} {3} {3} {} {}} {}}}}}{2}}}}}{2}}}}{2}{2}{2} {} {} {} {}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{2}{2}}} {3} {c} {c}}} {c}}} {c} {c} {c} {3} {c}}}}}}}} {c} {c} {c} {c} {c} {c}}}}}}}}}} ¿Qué? x=x^{-1}+{frac {x}{3}-{frac} {x^{3}{45}}+{frac {2x^{5}{945}+cdots =sum _{n=0}{infty }{frac {2n}B_{2n}x^{2n-1}{(2n)}}}}}}qquad 0{2n}leftright ##operatorname {sech} xiéndose=1-{frac {x^{2}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}-{frac {61x^{6}{720}}+cdots =sum _{n=0}{infty }{frac {E_{2n}x^{2n}{(2n)}}},qquad left sometidaxright sometida{frac {pic} - ¿Qué? {x}{6}+{frac} {7x^{3}}{360}}-{frac {31x^{5}{15120}+cdots =sum _{n=0}{infty }{frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x}{2n-1}}}{2n)}}}}}} {qquad 0endqqquaddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddcccccccccccccn<img alt="{displaystyle {begin{aligned}tanh x&=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},qquad left|xright|<{frac {pi }{2}}\coth x&=x^{-1}+{frac {x}{3}}-{frac {x^{3}}{45}}+{frac {2x^{5}}{945}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},qquad 0<left|xright|<pi \operatorname {sech} x&=1-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}-{frac {61x^{6}}{720}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},qquad left|xright|<{frac {pi }{2}}\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{frac {x}{6}}+{frac {7x^{3}}{360}}-{frac {31x^{5}}{15120}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},qquad 0<left|xright|

donde:

${displaystyle B_{n}}$ es nnúmero Bernoulli
${displaystyle E_{n}}$ es nth Euler number

Productos infinitos y fracciones continuas

Las siguientes ampliaciones son válidas en todo el plano complejo:

{displaystyle sinh x=xprod _{n=1}^{infty }left(1+{frac {x^{2}}{n^{2}pi ^{2}}}right)={cfrac {x}{1-{cfrac {x^{2}}{2cdot 3+x^{2}-{cfrac {2cdot 3x^{2}}{4cdot 5+x^{2}-{cfrac {4cdot 5x^{2}}{6cdot 7+x^{2}-ddots }}}}}}}}}

{displaystyle cosh x=prod _{n=1}^{infty }left(1+{frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}pi ^{2}}}right)={cfrac {1}{1-{cfrac {x^{2}}{1cdot 2+x^{2}-{cfrac {1cdot 2x^{2}}{3cdot 4+x^{2}-{cfrac {3cdot 4x^{2}}{5cdot 6+x^{2}-ddots }}}}}}}}}

{displaystyle tanh x={cfrac {1}{{cfrac {1}{x}}+{cfrac {1}{{cfrac {3}{x}}+{cfrac {1}{{cfrac {5}{x}}+{cfrac {1}{{cfrac {7}{x}}+ddots }}}}}}}}}

Comparación con funciones circulares

Circle and hyperbola tangent at (1,1) display geometry of circular functions in terms of circular sector area

u

y funciones hiperbólicas dependiendo del área del sector hiperbólico

u

Las funciones hiperbólicas representan una expansión de la trigonometría más allá de las funciones circulares. Ambos tipos dependen de un argumento, ya sea ángulo circular o ángulo hiperbólico.

Puesto que el área de un sector circular de radio $r$ y ángulo $u$ (en radianes) es $r 2 u / 2$ , será igual a $u$ cuando $r = \sqrt 2$ . En el diagrama, tal círculo es tangente a la hipérbola xy = 1 en (1,1). El sector amarillo representa un área y una magnitud de ángulo. De manera similar, los sectores amarillo y rojo juntos representan un área y una magnitud de ángulo hiperbólico.

Los catetos de los dos triángulos rectángulos con hipotenusa en el rayo que define los ángulos tienen una longitud √ 2 veces las funciones circular e hiperbólica.

El ángulo hiperbólico es una medida invariable con respecto al mapeo de compresión, al igual que el ángulo circular es invariable bajo rotación.

La función de Gudermann da una relación directa entre las funciones circulares y las funciones hiperbólicas que no involucran números complejos.

La gráfica de la función $a cosh(x / a)$ es la catenaria, la curva formada por una cadena flexible uniforme, colgando libremente entre dos puntos fijos bajo gravedad uniforme.

Relación con la función exponencial

La descomposición de la función exponencial en sus partes pares e impares da las identidades

{displaystyle e^{x}=cosh x+sinh x,}

{displaystyle e^{-x}=cosh x-sinh x.}

{displaystyle e^{ix}=cos x+isin x,}

{displaystyle e^{x+iy}=(cosh x+sinh x)(cos y+isin y)}

Además,

{displaystyle e^{x}={sqrt {frac {1+tanh x}{1-tanh x}}}={frac {1+tanh {frac {x}{2}}}{1-tanh {frac {x}{2}}}}}

Funciones hiperbólicas para números complejos

Dado que la función exponencial se puede definir para cualquier argumento complejo, también podemos extender las definiciones de las funciones hiperbólicas a argumentos complejos. Las funciones $sinh z$ y $cosh z$ son entonces holomorfas.

Las relaciones con las funciones trigonométricas ordinarias vienen dadas por la fórmula de Euler para números complejos:

{displaystyle {begin{aligned}e^{ix}&=cos x+isin x\e^{-ix}&=cos x-isin xend{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}cosh(ix)&={frac {1}{2}}left(e^{ix}+e^{-ix}right)=cos x\sinh(ix)&={frac {1}{2}}left(e^{ix}-e^{-ix}right)=isin x\cosh(x+iy)&=cosh(x)cos(y)+isinh(x)sin(y)\sinh(x+iy)&=sinh(x)cos(y)+icosh(x)sin(y)\tanh(ix)&=itan x\cosh x&=cos(ix)\sinh x&=-isin(ix)\tanh x&=-itan(ix)end{aligned}}}

Así, las funciones hiperbólicas son periódicas con respecto al componente imaginario, con el período $2pi i$ () $pi i$ para el tangente hiperbólico y el cotangente).

Funciones hiperbólicas en el plano complejo

${displaystyle sinh(z)}$	${displaystyle cosh(z)}$	${displaystyle tanh(z)}$	${displaystyle coth(z)}$	$operatorname {sech} (z)$	$operatorname {csch} (z)$

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