Función Weierstrass

En matemáticas, la función de Weierstrass es un ejemplo de una función de valor real que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. Es un ejemplo de curva fractal. Lleva el nombre de su descubridor Karl Weierstrass.

La función de Weierstrass históricamente ha desempeñado el papel de una función patológica, siendo el primer ejemplo publicado (1872) elaborado específicamente para desafiar la noción de que toda función continua es diferenciable excepto en un conjunto de puntos aislados. La demostración de Weierstrass de que la continuidad no implicaba diferenciabilidad en casi todas partes trastocó las matemáticas, derribando varias pruebas que se basaban en la intuición geométrica y en vagas definiciones de suavidad. Este tipo de funciones fueron denunciadas por sus contemporáneos: Henri Poincaré las describió como "monstruos" y llamó a Weierstrass' trabajan "un ultraje contra el sentido común", mientras que Charles Hermite escribió que eran un "flagelo lamentable". Las funciones fueron difíciles de visualizar hasta la llegada de las computadoras en el siglo siguiente, y los resultados no obtuvieron amplia aceptación hasta que aplicaciones prácticas como los modelos de movimiento browniano requirieron funciones infinitamente irregulares (hoy conocidas como curvas fractales).

Construcción

In Weierstrass 's original paper, the function was defined as a Fourier series:

f()x)=.. n=0JUEGO JUEGO an#⁡ ⁡ ()bnπ π x),{displaystyle f(x)=sum _{n=0}{infty }a^{n}cos(b^{n}pi x),}

Donde <math alttext="{displaystyle 0<a0.a.1{displaystyle 0 realizadasa<img alt="0<a, b{displaystyle b} es un entero extraño positivo, y

1+{frac {3}{2}}pi.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ab■1+32π π .{displaystyle ab confía1+{frac {3} {2}pi.}1+{frac {3}{2}}pi." aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e0ec83fa7532956f1e3373ee94a21c54870164" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.306ex; height:5.176ex;"/>

El valor mínimo b{displaystyle b} para el cual existe <math alttext="{displaystyle 0<a0.a.1{displaystyle 0 realizadasa<img alt="0<a tal que estas limitaciones estén satisfechas b=7{displaystyle b=7}. Esta construcción, junto con la prueba de que la función no es diferente a cualquier intervalo, fue entregada por Weierstrass en un papel presentado al Königliche Akademie der Wissenschaften el 18 de julio de 1872.

A pesar de nunca ser diferenciable, la función es continua: Dado que los términos de la serie infinita que la define están acotados por ±aⁿ y esta tiene suma finita para 0 < a < 1, la convergencia de la suma de los términos es uniforme según la prueba M de Weierstrass con M_n = aⁿ. Dado que cada suma parcial es continua, según el teorema del límite uniforme, se deduce que f es continua. Además, dado que cada suma parcial es uniformemente continua, se deduce que f también es uniformemente continua.

Se podría esperar que una función continua deba tener una derivada, o que el conjunto de puntos donde no es diferenciable debería ser numerablemente infinito o finito. Según Weierstrass en su artículo, los matemáticos anteriores, incluido Gauss, habían asumido a menudo que esto era cierto. Esto podría deberse a que es difícil dibujar o visualizar una función continua cuyo conjunto de puntos no diferenciables sea algo más que un conjunto de puntos contables. Existen resultados análogos para clases de funciones continuas que se comportan mejor, por ejemplo, las funciones de Lipschitz, cuyo conjunto de puntos de no diferenciabilidad debe ser un conjunto nulo de Lebesgue (teorema de Rademacher). Cuando intentamos dibujar una función continua general, generalmente dibujamos la gráfica de una función que es de Lipschitz o de otro modo se comporta bien.

La función de Weierstrass fue uno de los primeros fractales estudiados, aunque este término no se utilizó hasta mucho más tarde. La función tiene detalles en todos los niveles, por lo que hacer zoom en una parte de la curva no muestra que se acerque progresivamente a una línea recta. Más bien, entre dos puntos cualesquiera, no importa cuán cercanos estén, la función no será monótona.

La computación de la dimensión Hausdorff D del gráfico de la función clásica Weierstrass fue un problema abierto hasta 2018, mientras que se creía generalmente que D = <math alttext="{displaystyle 2+log _{b}(a)2+logb⁡ ⁡ ()a).2{displaystyle 2+log _{b}(a)<img alt="{displaystyle 2+log _{b}(a). Que D es estrictamente inferior a 2 sigue de las condiciones a{displaystyle a} y b{displaystyle b} de arriba. Sólo después de más de 30 años fue esto probado rigurosamente.

El término función de Weierstrass se utiliza a menudo en análisis reales para referirse a cualquier función con propiedades y construcción similares al ejemplo original de Weierstrass. Por ejemplo, la función coseno se puede reemplazar en la serie infinita por una función lineal en "zigzag" por partes. función. G. H. Hardy demostró que la función de la construcción anterior no es diferenciable en ninguna parte con los supuestos 0 < a < 1, ab ≥ 1.

Función de Riemann

La función de Weierstrass se basa en la función de Riemann anterior, de la que se afirma que no es diferenciable en ninguna parte. En ocasiones, esta función también se ha denominado función de Weierstrass.

f()x)=.. n=1JUEGO JUEGO pecado⁡ ⁡ ()n2x)n2{displaystyle f(x)=sum _{n=1}{infty }{frac {sin(n^{2}x)}{n^{2}}}}}}

Si bien Bernhard Riemann afirmó firmemente que la función no es diferenciable en ninguna parte, Riemann no publicó evidencia de esto, y Weierstrass señaló que no encontró ninguna evidencia de que sobreviviera ni en los artículos de Riemann ni en forma oral de sus estudiantes..

En 1916, G. H. Hardy confirmó que la función no tiene un derivado finito en ningún valor π π x{displaystyle pi x} Donde x es irracional o es racional con la forma de cualquiera 2A4B+1{displaystyle {frac {2A}{4B+1}} o 2A+12B{displaystyle {frac {2A+1}{2B}}, donde A y B son enteros. En 1969, Joseph Gerver encontró que la función Riemann tiene un diferencial definido en cada valor de x que puede expresarse en forma 2A+12B+1π π {displaystyle {frac {2A+1}{2B+1}pi} con entero A y B, o multiplicadores racionales de pi con un numerador extraño y denominador. En estos puntos, la función tiene un derivado de − − 12{displaystyle -{frac {1}{2}}}. En 1971, J. Gerver mostró que la función no tiene diferencial finita en los valores de x que puede expresarse en forma 2A2B+1π π {displaystyle {frac {2A}{2B+1}pi}, completar el problema de la diferenciabilidad de la función Riemann.

Como la función de Riemann es diferenciable sólo en un conjunto nulo de puntos, no es diferenciable casi en ninguna parte.

Continuidad del titular

Es conveniente escribir la función de Weierstrass de manera equivalente como

Wα α ()x)=.. n=0JUEGO JUEGO b− − nα α #⁡ ⁡ ()bnπ π x){displaystyle W_{alpha }(x)=sum _{n=0} {infty }b^{-nalpha }cos(b^{n}pi x)}

para α α =− − In⁡ ⁡ ()a)In⁡ ⁡ ()b){displaystyle alpha =-{ln(a)}{ln(b)}}. Entonces... W_α()x) es Hölder continuo de exponente α, que es decir que hay una constante C tales que

SilencioWα α ()x)− − Wα α ()Sí.)Silencio≤ ≤ CSilenciox− − Sí.Silencioα α {displaystyle TENW_{alpha }(x)-W_{alpha }(y)

para todos x y y. Además, W₁ es el soporte continuo de todos los órdenes α < 1 pero no Lipschitz continuo.

Densidad de funciones no diferenciables en ninguna parte

It turns out that the Weierstrass function is far from being an isolated example: although it is "pathological#34;, it is also "typical#34; of continuous functions:

• En un sentido topológico: el conjunto de funciones de valor real indefinible en [0, 1] es comeager en el espacio vectorial C([0, 1];R) de todas las funciones de valor real continuo en [0, 1] con la topología de convergencia uniforme.
• En un sentido teórico-medido: cuando el espacio C([0, 1];R) está equipado con la medida clásica Wiener γ, la colección de funciones que son diferentes en un solo punto de [0, 1] tiene γ- Medida cero. Lo mismo es cierto incluso si uno toma "slices" de dimensión finita C([0, 1];R), en el sentido de que las funciones no diferenciables forman un subconjunto prevaleciente de C([0, 1];R).