Función univalente

En matemáticas, en la rama de análisis complejo, una función holomorfa en un subconjunto abierto del plano complejo se llama univalent si es inyectable.

Ejemplos

La función ${\displaystyle f\colon z\mapsto 2z+z^{2}$ es univalent en el disco de unidad abierta, como ${\displaystyle f(z)=f(w)}$ implica que ${\displaystyle f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0}$. Como segundo factor no es cero en el disco de unidad abierta, ${\displaystyle z=w}$ Así que... ${\displaystyle f}$ es inyectable.

Propiedades básicas

Uno puede probarlo si ${\displaystyle G.$ y ${\displaystyle \Omega }$ son dos conjuntos abiertos conectados en el plano complejo, y

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

es una función univalenta tal que ${\displaystyle f(G)=\Omega }$ (es decir, ${\displaystyle f}$ es subjetivo), entonces el derivado de ${\displaystyle f}$ nunca es cero, ${\displaystyle f}$ es invertible, y su inverso ${\displaystyle f^{-1}$ es también holomorfa. Más, uno tiene por la regla de la cadena

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z)={\frac {1}{f'(z)}}$

para todos ${\displaystyle z}$ dentro ${\displaystyle G.}$

Comparación con funciones reales

Para funciones analíticas reales, a diferencia de funciones analíticas complejas (es decir, holomorfas), estas afirmaciones no se cumplen. Por ejemplo, considere la función

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$

dado por .()x) x³. Esta función es claramente inyectable, pero su derivado es 0 a x = 0, y su inverso no es analítico, o incluso diferente, en todo el intervalo (−1, 1). En consecuencia, si agrandamos el dominio a un subconjunto abierto G del plano complejo, debe no ser inyectable; y este es el caso, ya que (por ejemplo) f(εω) = f(ε) (donde ω es una raíz de cubo primitiva de la unidad y ε es un número real positivo menor que el radio de G como un barrio de 0).

Nota