Función trascendental

En matemáticas, una función trascendental es una función analítica que no satisface una ecuación polinomial, a diferencia de una función algebraica. En otras palabras, una función trascendental "trasciende" álgebra en que no se puede expresar algebraicamente.

Los ejemplos de funciones trascendentales incluyen la función exponencial, el logaritmo y las funciones trigonométricas.

Definición

Formalmente, una función analítica f (z) de una variable real o compleja z es trascendental si es algebraicamente independiente de esa variable. Esto se puede extender a funciones de varias variables.

Historia

Las funciones trascendentales seno y coseno se tabularon a partir de medidas físicas en la antigüedad, como se evidencia en Grecia (Hiparco) y la India (jya y koti-jya). Al describir la tabla de cuerdas de Ptolomeo, equivalente a una tabla de senos, Olaf Pedersen escribió:

La noción matemática de continuidad como concepto explícito es desconocida para Ptolomeo. Que él, de hecho, trata estas funciones como continua aparece de su presunción no expresa de que es posible determinar un valor de la variable dependiente correspondiente a cualquier valor de la variable independiente por el simple proceso de interpolación lineal.

Una comprensión revolucionaria de estas funciones circulares ocurrió en el siglo XVII y fue explicada por Leonhard Euler en 1748 en su Introducción al análisis del infinito. Estas antiguas funciones trascendentales se conocieron como funciones continuas a través de la cuadratura de la hipérbola rectangular xy = 1 por Grégoire de Saint-Vincent en 1647, dos milenios después de Arquímedes. había producido La cuadratura de la parábola.

Se demostró que el área bajo la hipérbola tiene la propiedad de escala de área constante para una proporción de límites constante. La función de logaritmo hiperbólico así descrita tuvo un servicio limitado hasta 1748 cuando Leonhard Euler la relacionó con funciones en las que una constante se eleva a un exponente variable, como la función exponencial en la que la base constante es e. Al introducir estas funciones trascendentales y notar la propiedad de biyección que implica una función inversa, se proporcionó cierta facilidad para las manipulaciones algebraicas del logaritmo natural, incluso si no es una función algebraica.

La función exponencial está escrita exp⁡ ⁡ ()x)=ex{displaystyle exp(x)=e^{x}. Euler lo identificó con la serie infinita .. k=0JUEGO JUEGO xk/k!{textstyle sum _{k=0}{infty }x^{k}/k!}, Donde k! denota el factorial de k.

Los términos uniformes y extraños de esta serie proporcionan sumas denotando cosh(x) y sinhx)Así que ex=cosh⁡ ⁡ x+pecado⁡ ⁡ x.{displaystyle e^{x}=cosh x+sinh x.} Estas funciones hiperbólicas trascendentales se pueden convertir en funciones circulares sine y cosine introduciendo (1)−^k en la serie, dando lugar a series alternadas. Después de Euler, los matemáticos ven el seno y el cosino de esta manera para relacionar la trascendencia a las funciones de logaritmo y exponente, a menudo a través de la fórmula de Euler en el complejo número aritmético.

Ejemplos

Las siguientes funciones son trascendentales:

f1()x)=xπ π f2()x)=cxf3()x)=xxf4()x)=x1x=xxf5()x)=logc⁡ ⁡ xf6()x)=pecado⁡ ⁡ x{displaystyle {begin{aligned}f_{1}(x) sentimiento=x^{pi }[2pt]f_{2}(x) limit=c^{x}[2pt]f_{3}(x)} {x}f_{4}(x}=x}{=x}{frac} {1}{x}={sqrt[{x}}[2pt]f_{5}(x) sentimiento=log _{c}x\[2pt]f_{6}(x) â=sin {x}end{aligned}}}}}}}}}}}} {}}}}} {0}{x}{x}{x}}} {= {========================== {c}=== {c}= {c}}= {c}}}}}= {c}}= {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}

Para la segunda función f2()x){displaystyle f_{2}(x)}, si nos fijamos c{displaystyle c} iguales e{displaystyle e}, la base del logaritmo natural, entonces tenemos que ex{displaystyle e^{x} es una función trascendental. Del mismo modo, si nos fijamos c{displaystyle c} iguales e{displaystyle e} dentro f5()x){displaystyle f_{5}(x)}, entonces lo entendemos f5()x)=loge⁡ ⁡ x=In⁡ ⁡ x{displaystyle f_{5}(x)=log _{e}x=ln x} (es decir, el logaritmo natural) es una función trascendental.

Funciones algebraicas y trascendentes

Las funciones trascendentales más conocidas son el logaritmo, la exponencial (con cualquier base no trivial), la trigonométrica, las funciones hiperbólicas y las inversas de todas ellas. Menos familiares son las funciones especiales de análisis, como las funciones gamma, elíptica y zeta, todas las cuales son trascendentales. Las funciones hipergeométricas y de Bessel generalizadas son trascendentales en general, pero algebraicas para algunos valores de parámetros especiales.

Una función que no es trascendental es algebraica. Ejemplos simples de funciones algebraicas son las funciones racionales y la función de raíz cuadrada, pero en general, las funciones algebraicas no pueden definirse como fórmulas finitas de las funciones elementales.

La integral indefinida de muchas funciones algebraicas es trascendental. Por ejemplo, la función logarítmica surgió de la función recíproca en un esfuerzo por encontrar el área de un sector hiperbólico.

El álgebra diferencial examina cómo la integración crea con frecuencia funciones que son algebraicamente independientes de alguna clase, como cuando se toman polinomios con funciones trigonométricas como variables.

Transcendent transcendental functions

La mayoría de las funciones trascendentales familiares, incluidas las funciones especiales de la física matemática, son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas. Las que no lo son, como las funciones gamma y zeta, se denominan funciones trascendentalmente trascendentales o hipertrascendentales.

Conjunto excepcional

Si f es una función algebraica y α α {displaystyle alpha } es un número algebraico entonces f ()α) es también un número algebraico. El contrario no es cierto: hay funciones trascendentales completas f tales que f ()α) es un número algebraico para cualquier algebraico α. Para una función trascendental dada el conjunto de números algebraicos dando resultados algebraicos se llama el excepcional de esa función. Formalmente se define por:

E()f)={}α α ▪ ▪ Q̄ ̄ :f()α α )▪ ▪ Q̄ ̄ }.{displaystyle {mathcal {}(f)=left{alpha in {overline {mathbb {Q}}}:,f(alpha)in {nMithbb {Q}} 'derecha '}

En muchos casos el conjunto excepcional es bastante pequeño. Por ejemplo, E()exp)={}0},{fnMicrosoft Sans Serif} esto fue probado por Lindemann en 1882. En particular exp(1) = e es trascendental. También, desde exp(iπ) = −1 es algebraico que sabemos que iπ no puede ser algebraico. Desde i es algebraico esto implica que π es un número trascendental.

En general, encontrar el conjunto excepcional de una función es un problema difícil, pero si se puede calcular, a menudo puede conducir a resultados en la teoría de números trascendentales. Aquí hay algunos otros conjuntos excepcionales conocidos:

• Klein J-invariante
  E()j)={}α α ▪ ▪ H:[Q()α α ):Q]=2},{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif},fnMicrosoft Sans Serif}:,[mhbb {} (alpha):mthbb {fnMicrosoft Sans Serif}

  
  Donde H{displaystyle {fnMithcal}} es el medio plano superior, y [Q()α α ):Q]{fnMicrosoft Sans Serif} es el grado del campo número Q()α α ).{displaystyle mathbb {Q} (alpha).} Este resultado se debe a Theodor Schneider.
• Función exponencial en la base 2:
  E()2x)=Q,{fnMicrosoft Sans Serif}

  
  Este resultado es un corolario del teorema Gelfond-Schneider, que dice que si α α ل ل 0,1{displaystyle alpha neq 0,1} es algebraico, y β β {displaystyle beta } es algebraico e irracional entonces α α β β {displaystyle alpha ^{beta } es trascendental. Así la función 2^x podría sustituirse por c^x para cualquier algebraico c no igual a 0 o 1. De hecho, tenemos:
  E()xx)=E()x1x)=Q∖ ∖ {}0}.{displaystyle {mathcal {E}(x^{x})={mathcal {E}left(x^{frac {1}{x}}right)=mathbb {Q}setminus {0}}} {cccH0}

  
• Una consecuencia de la conjetura de Schanuel en la teoría del número trascendental sería que E()eex)=∅ ∅ .{displaystyle {mathcal {}left(e^{e^{x}right)=emptyset.}
• Una función con un conjunto excepcional vacío que no requiere asumir que la conjetura de Schanuel es f()x)=exp⁡ ⁡ ()1+π π x).{displaystyle f(x)=exp(1+pi x).}

Si bien no es fácil calcular el conjunto excepcional para una función dada, se sabe que dado cualquier subconjunto de los números algebraicos, digamos A, existe una función trascendental cuyo conjunto excepcional es A. No es necesario que el subconjunto sea adecuado, lo que significa que A puede ser el conjunto de números algebraicos. Esto implica directamente que existen funciones trascendentales que producen números trascendentales solo cuando se les dan números trascendentales. Alex Wilkie también demostró que existen funciones trascendentales para las cuales no existen pruebas lógicas de primer orden sobre su trascendencia al proporcionar una función analítica ejemplar.

Análisis dimensional

En el análisis dimensional, las funciones trascendentales son notables porque solo tienen sentido cuando su argumento es adimensional (posiblemente después de la reducción algebraica). Debido a esto, las funciones trascendentales pueden ser una fuente fácil de detectar de errores dimensionales. Por ejemplo, log(5 metros) es una expresión sin sentido, a diferencia de log(5 metros / 3 metros) o log(3) metros. Se podría intentar aplicar una identidad logarítmica para obtener log(5) + log(metres), lo que resalta el problema: aplicar una operación no algebraica a una dimensión crea resultados sin sentido.