Función singular

El gráfico del número de viento del mapa del círculo es un ejemplo de una función singular.

En matemáticas, una función de valor real f en el intervalo [a, b] se dice que es singular si tiene las siguientes propiedades:

• f es continuo en [a, b].
• existe un conjunto N de la medida 0 tal que para todos x fuera de N el derivado f.x) existe y es cero, es decir, el derivado de f desaparece casi por todas partes.
• f no es consistente en [a, b].

Un ejemplo estándar de una función singular es la función de Cantor, que a veces se llama la escalera del diablo (un término que también se usa para las funciones singulares en general). Hay, sin embargo, otras funciones a las que se les ha dado ese nombre. Uno se define en términos del mapa circular.

Si f(x) = 0 para todo x ≤ a y f(x) = 1 para todo x ≥ b, entonces la función puede tomarse para representar una función de distribución acumulativa para una variable aleatoria que no es ni una variable aleatoria discreta (ya que la probabilidad es cero para cada punto) ni una variable aleatoria absolutamente continua (ya que la densidad de probabilidad es cero en todos los lugares donde existe).

Las funciones singulares ocurren, por ejemplo, como secuencias de fases o estructuras espacialmente moduladas en sólidos e imanes, descritas de manera prototípica por el modelo Frenkel-Kontorova y por el modelo ANNNI, así como en algunos sistemas dinámicos. Lo más famoso, quizás, es que se encuentran en el centro del efecto Hall cuántico fraccional.

Al referirse a funciones con singularidad

Cuando se analiza el análisis matemático en general, o más específicamente el análisis real o el análisis complejo o las ecuaciones diferenciales, es común que una función que contiene una singularidad matemática se denomine 'función singular'. Esto es especialmente cierto cuando se refiere a funciones que divergen hasta el infinito en un punto o en un límite. Por ejemplo, se podría decir que "1/x se convierte en singular en el origen, por lo que 1/x es una función singular."

Técnicas avanzadas para trabajar con funciones que contienen singularidades se han desarrollado en la materia denominada análisis distribucional o generalizado de funciones. Se define una derivada débil que permite utilizar funciones singulares en ecuaciones diferenciales parciales, etc.