Función sincrónica

En matemáticas, física e ingeniería, la función sinc, denotada por sinc(x), tiene dos formas, normalizado y no normalizado.

En matemáticas, la función sinc no normalizada histórica se define para x ≠ 0 por

$${displaystyle operatorname {sinc} x={frac {sin.$$

Como alternativa, la función sinc no normalizada suele denominarse función de muestreo, indicada como Sa(x).

En el procesamiento de señales digitales y la teoría de la información, la función sinc normalizada se define comúnmente para x ≠ 0 por

$${displaystyle operatorname {sinc} x={frac {sin(pi x)}{pi x}}}$$

En cualquier caso, el valor en x = 0 se define como el valor límite

$${displaystyle operatorname {sinc} 0:=lim _{xto 0}{frac {sin(ax)}{ax}=1}}$$

La normalización hace que la integral definida de la función sobre los números reales sea igual a 1 (mientras que la misma integral de la función sinc no normalizada tiene un valor de π). Como propiedad útil adicional, los ceros de la función sinc normalizada son los valores enteros distintos de cero de x.

La función sinc normalizada es la transformada de Fourier de la función rectangular sin escala. Se utiliza en el concepto de reconstruir una señal continua de banda limitada a partir de muestras uniformemente espaciadas de esa señal.

La única diferencia entre las dos definiciones está en la escala de la variable independiente (el eje x) por un factor de π. En ambos casos, el valor de la función en la singularidad eliminable en cero se entiende como el valor límite 1. La función sinc es entonces analítica en todas partes y, por tanto, una función completa.

La función también se ha llamado función seno cardinal o seno cardinal. El término sinc fue introducido por Philip M. Woodward en su artículo de 1952 "Teoría de la información y probabilidad inversa en telecomunicaciones", en el que decía que la función "ocurre con tanta frecuencia en el análisis de Fourier y sus aplicaciones parece merecer alguna notación propia", y en su libro de 1953 Probability and Information Theory, with Applications to Radar. La función en sí fue derivada matemáticamente por primera vez de esta forma por Lord Rayleigh en su expresión (fórmula de Rayleigh) para la función esférica de Bessel de orden cero del primer tipo.

Propiedades

Los cruces por cero de la sinc no normalizada son múltiplos enteros distintos de cero de π, mientras que los cruces por cero de la sinc normalizada ocurren en números enteros distintos de cero.

Los máximos y mínimos locales del sinc no normalizado corresponden a sus intersecciones con la función coseno. Es decir, sin(ξ)/ξ = cos(ξ)< /span> para todos los puntos ξ donde la derivada de sin(x)/x es cero y, por tanto, se alcanza un extremo local. Esto se deduce de la derivada de la función sinc:

$${displaystyle {frac {dx}operatorname {sinc} (x)={frac {cos(x)-operatorname {sinc} (x)}{x}}}$$

Los primeros términos de la serie infinita para la coordenada x del n-ésimo extremo con coordenadas x son

$${displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{frac {2}{-3}-{f} {13}{-5}-{f} {146}{-7}-cdots}$$

$${displaystyle q=left(n+{frac {1}right)pi}$$

La función sinc normalizada tiene una representación simple como el producto infinito:

$${displaystyle {frac {sin(pi x)}{pi x}=prod _{n=1}{infty }left(1-{frac {x^{2}{n^{2}}derecha)}$$

y está relacionado con la función gamma Γ(x) mediante la fórmula de reflexión de Euler:

$${displaystyle {frac {sin(pi x)}{pi #={frac {1}{Gamma (1+x)Gamma (1-x)}}}$$

Euler descubrió que

$${displaystyle {frac {sin(x)}{x}=prod ¿Por qué?$$

$${displaystyle prod _{n=1}{k}cos left({frac {x}{2^{n}}}right)={frac {1}{2^{k-1}}sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {n-1/2}{2^{k-1}}}xright),quad forall kgeq 1,}$$

$${displaystyle {frac {sin(x)}{x}=lim ¿Qué? {1}{N}sum} ¿Por qué? {n-1/2}{N}xright).}$$

La transformada continua de Fourier del sinc normalizado (a frecuencia ordinaria) es rect(f):

$${displaystyle int _{-infty }{infty }operatorname {sinc} (t),e^{-i2pi ft},dt=operatorname {rect} (f),}$$

Esta integral de Fourier, incluido el caso especial

$${displaystyle int _{-infty }{infty }{frac {sin(pi x)}{pi x}},dx=operatorname {rect} (0)=1}$$

$${displaystyle int _{-infty }infty }left resist{frac {sin(pi x)}{pi x}}right perpetua,dx=+infty.}$$

La función sinc normalizada tiene propiedades que la hacen ideal en relación con la interpolación de funciones de banda limitada muestreadas:

• Es una función interpoladora, es decir, sinc(0) = 1, y sinc(k) = 0 para no cero entero k.
• Funciones x_k()t) = sinc(t − k) ()k integer) forman una base ortonormal para funciones de banda limitada en el espacio de función L²()R), con frecuencia angular más alta ⋅_H = π (es decir, frecuencia de ciclo más alta f_H = 1/2).

Otras propiedades de las dos funciones sinc incluyen:

• El seno no normalizado es la función de Bessel esférica de cero de la primera clase, j₀()x). El seno normalizado es j₀(πx).
• Donde Six) es el sine integral,
  $${displaystyle int _{0}{x}{frac {sin(theta)}{theta }},dtheta =operatorname {Si} (x). }$$

  
• λ sinc(λx) (no normalizado) es una de dos soluciones linealmente independientes a la ecuación diferencial lineal
  $${displaystyle x{2}}+lambda }xy=0.}$$

  
  El otro es Porque...λx)/x, que no está atado x = 0, a diferencia de su contraparte de función sinc.
• Usando seno normalizado,
  $${displaystyle int _{-infty }{infty }{frac {sin ^{2} {theta)}{theta ^{2}},dtheta =piquad quadightarrow quadint _{-infty }{infty }operatorname2 {$$

  
• ${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {theta }},dtheta =int _{-infty }left({fc {theta)}{theta}theta}theta}theta}theta} {f}f}}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMicrom}f}f}f}f}f}f}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}f}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}f}fnun}}fnun}$
• ${displaystyle int _{-infty }{infty }{frac {sin ^{3} {theta)}{theta ^{3}}},dtheta ={frac} {fnMicroc} {3fncH00} } {4}}$
• ${displaystyle int _{-infty }{infty }{frac {sin ^{4} {theta)}{theta ^{4}}},dtheta ={frac {2pi} } {3}}$
• La siguiente integral inadecuada implica la función sinc (no normalizada):
  $${displaystyle int _{0}{infty}{frac {dx}{n}+1}=1+2sum ¿Por qué? {1}{fncipiente {fnK}}}}$$

  

Relación con la distribución del delta de Dirac

La función sinc normalizada se puede utilizar como una función delta naciente, lo que significa que se cumple el siguiente límite débil:

$${displaystyle lim _{ato 0}{frac {sin left({frac {pi x}{a}}right)}{pi x}}=lim _{ato 0}{frac {1}{a}operatorname {sinc}left({frac {x}{a}}right)=delta)}$$

Este no es un límite ordinario, ya que el lado izquierdo no converge. Más bien, significa que

$${displaystyle lim _{ato 0}in _{-infty. {1}{a}fnuncio [sinc] left({frac {x}right)varphi (x),dx=varphi (0)}$$

para cada función de Schwartz, como se puede ver en el teorema de inversión de Fourier. En la expresión anterior, como a → 0, el número de oscilaciones por unidad de longitud de la función sinc se acerca al infinito. Sin embargo, la expresión siempre oscila dentro de una envolvente de ±1/πx, independientemente del valor de a.

Esto complica la imagen informal de que δ(x) es cero para todos los x excepto en el punto x = 0, e ilustra el problema de pensar en la función delta como una función más que como una distribución. Una situación similar se encuentra en el fenómeno de Gibbs.

Resumen

Todas las sumas en esta sección se refieren a la función sinc no normalizada.

La suma de sinc(n) sobre entero n de 1 a 1 JUEGO iguales π − 1/2:

$${displaystyle sum _{n=1}^{infty }operatorname {sinc} (n)=operatorname {sinc} (1)+operatorname {sinc} (2)+operatorname {sinc} (3)+operatorname {sinc} (4)+cdots ={frac {pic} - 1} {2}}.$$

La suma de los cuadrados también es igual a π − 1/2:

$${displaystyle sum _{n=1}{infty }operatorname [sinc] ^{2}(n)=operatorname {sinc} ^{2}(1)+operatorname {sinc} ^{2}(2)+operatorname {sinc} ^{2}(3)+operatorname {sinc} ^{2}(4)+cdots ={frac {pic} - 1} {2}}.$$

Cuando los signos de los sumandos se alternan y comienzan con +, la suma es igual a 1/2:

$${displaystyle sum _{n=1}{infty }(-1)^{n+1},operatorname {sinc} (n)=operatorname {sinc} (1)-operatorname {sinc} (2)+operatorname {sinc} (3)-operatorname {sinc} (4)+cdots ={frac {1}{2}}$$

Las sumas alternas de los cuadrados y cubos también son iguales a 1 /2:

$${displaystyle sum _{n=1}{infty }(-1)^{n+1},operatorname [sinc] ^{2}(n)=operatorname {sinc} ^{2}(1)-operatorname {sinc} ^{2}(2)+operatorname {sinc} ^{2}(3)-operatorname {sinc} ^{2}(4)+cdots ={1}{2}}}}}}}}}}$$

$${displaystyle sum _{n=1}{infty }(-1)^{n+1},operatorname {sinc} ^{3}(n)=operatorname {sinc} ^{3}(1)-operatorname {sinc} ^{3}(2)+operatorname {sinc} ^{3}(3)-operatorname {sinc} ^{3}(4)+cdots ={frac} {1}{2}}$$

Expansión de la serie

La serie de Taylor de la función sinc no normalizada se puede obtener a partir de la del seno (que también produce su valor de 1 en x = 0):

$${displaystyle {frac {fnMicroc}sin ##{x}=sum _{n=0}{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n}{(2n+1)}}=1-{frac {x^{2}{3}}}+{frac {x^{4} {5}} {frac {x^{6}{7}}}+cdots }$$

La serie converge para todos los x. La versión normalizada se sigue fácilmente:

$${displaystyle {frac {sin pi x}{pi} {\fnMicroc {fnfnfnfnfnf}fnf}} {fnfnfnfnfncfnf}fnfnfnKfnf}fnf}f}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnccfnKfnKcccfncfncccfnKfnKfnKcccH00}ccH00}ccccccccfnKfnKcccH00}ccH00}ccccccc #=1-{frac {cHFF} ¡Oh! {cHFF} ¿Qué? {cHFF} ¡No!$$

Euler comparó esta serie con la expansión de la forma del producto infinito para resolver el problema de Basilea.

Dimensiones superiores

El producto de funciones sinc 1-D proporciona fácilmente una función sinc multivariada para la cuadrícula cartesiana cuadrada (celosía): sinc_C(x, y) = sinc(x) sinc(y), cuya transformada de Fourier es la función indicadora de un cuadrado en el espacio de frecuencia (es decir, la pared de ladrillos definida en el espacio 2-D). La función sinc para una red no cartesiana (por ejemplo, una red hexagonal) es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora de la zona de Brillouin de esa red. Por ejemplo, la función sinc para la red hexagonal es una función cuya transformada de Fourier es la función indicadora del hexágono unitario en el espacio de frecuencia. Para una red no cartesiana, esta función no se puede obtener mediante un producto tensorial simple. Sin embargo, la fórmula explícita para la función sinc para las redes hexagonales, cúbicas centradas en el cuerpo, cúbicas centradas en las caras y otras redes de dimensiones superiores se puede derivar explícitamente utilizando las propiedades geométricas de las zonas de Brillouin y su conexión con los zotopos.

Por ejemplo, se puede generar una red hexagonal mediante el intervalo lineal (entero) de los vectores

$${displaystyle mathbf {u} ¿Qué? {1}{2}\\\\fnMicroc {fnMicroc} {fnh} {fnh} {fnh} {fn}fn}fn}\\\\\\\\\\\\\\fn\\fnH0}\\\\fnhnh\\\\\\\\\\\\fn}\\\fn}\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\fn}\fn}fn}fn}\\\\\\\\\\\\fn {3}{2}end{bmatrix}quad {text{and}quad mathbf {u} {2}={begin{bmatrix}{frac {1}{2}\\fnfnMicroc {fnMicroc} {fnh} {fn} {fn}fn} {fn}fn} {fn}fnfn}\\fn\\\\fnfn\\fnfn\\\fnfn\fn\\\fn\\fnfnfnfnfn\fnfnfnfn}\fnfn}\\\\fn}\\\\fnfn\fn\\fn\\fnfnfnfn}fn}fn}fn}fn\\\\\\fn\\\fn {3} {2}end{bmatrix}}}$$

Denotando

$${displaystyle {boldsymbol {xi }_{1}={tfrac {2}{3}mathbf {u} ¿Por qué? }_{2}={tfrac {2}{3}mathbf {u} {2},quad {boldsymbol {xi} }_{3}=-{tfrac {2}{3}(mathbf {u} _{1}+mathbf {u} _{2}),quad mathbf {x} ={begin{bmatrix}x\yend{bmatrix}}}}$$

$${displaystyle {begin{aligned}operatorname {fnK} {f} {fnK}} {fnK} {f}} {big} {big} {big} {fn} {fnK}} {fnK} {cH}} {f}} {cH}}} {fnMitbf {cH}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {mmmmm}}}}} {f}}}}}} {mmmmmmmmf}}}} {m}}}} {mmmmmmmmfnMitbfnMitbf} {fnMitbfnMitbf}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {mm }_{1}cdot mathbf {x} right)operatorname {sinc} left({boldsymbol {xi) }_{2}cdot mathbf {x} right)operatorname {sinc} left({boldsymbol {xi) }_{3}cdot mathbf {x}right)\cH00}+cos left(pi {boldsymbol {xi) }_{2}cdot mathbf {x} right)operatorname {sinc} left({boldsymbol {xi) }_{3}cdot mathbf {x} right)operatorname {sinc} left({boldsymbol {xi) }_{1}cdot mathbf {x}right)\cH00}+cos left(pi {boldsymbol {xi) }_{3}cdot mathbf {x} right)operatorname {sinc} left({boldsymbol {xi) }_{1}cdot mathbf {x} right)operatorname {sinc} left({boldsymbol {xi) }_{2}cdot mathbf {x}{big)}.end{aligned}}}$$

Esta construcción se puede utilizar para diseñar ventanas Lanczos para celosías multidimensionales generales.