Función propia

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Función matemática de un operador lineal

Esta solución del problema del tambor vibratorio es, en cualquier momento, una función eigena del operador Laplace en un disco.

En matemáticas, un eigenfunction de un operador lineal D definido en algún espacio de función es cualquier función no cero $f$ en ese espacio que, cuando actuó D, sólo se multiplica por un factor de escalado llamado un eigenvalue. Como ecuación, esta condición puede ser escrita como

{displaystyle Df=lambda f}

lambda.

Una función propia es un tipo de vector propio.

Funciones propias

En general, un vector propio de un operador lineal D definido en algún espacio vectorial es un vector distinto de cero en el dominio de D que, cuando D actúa sobre él, simplemente se escala por algún valor escalar llamado valor propio. En el caso especial en el que D se define en un espacio de funciones, los vectores propios se denominan funciones propias. Es decir, una función f es una función propia de D si satisface la ecuación

{displaystyle Df=lambda f,}

()1)

donde λ es un escalar. Las soluciones a la Ecuación (1) también pueden estar sujetas a condiciones de contorno. Debido a las condiciones de contorno, los valores posibles de λ generalmente están limitados, por ejemplo, a un conjunto discreto λ₁, λ₂, … o a un conjunto continuo en algún rango. El conjunto de todos los valores propios posibles de D a veces se denomina su espectro, que puede ser discreto, continuo o una combinación de ambos.

Cada valor de λ corresponde a una o más funciones propias. Si varias funciones propias linealmente independientes tienen el mismo valor propio, se dice que el valor propio es degenerado y el número máximo de funciones propias linealmente independientes asociadas con el mismo valor propio es el grado de degeneración del valor propio o la multiplicidad geométrica.

Ejemplo de derivada

Una clase de operadores lineales que actúan en espacios dimensionales infinitos son operadores diferenciales en el espacio C^JUEGO de funciones reales o complejas infinitamente diferenciables de un argumento real o complejo t. Por ejemplo, considere el operador derivado ${textstyle {frac {d}{dt}}}$ con ecuación eigenvalue

{displaystyle {frac {d}{dt}}f(t)=lambda f(t).}

Esta ecuación diferencial se puede resolver multiplicando ambos lados por ${textstyle {frac {dt}{f(t)}}}$ e integración. Su solución, la función exponencial

{displaystyle f(t)=f_{0}e^{lambda t},}

f₀ft

Supongamos en el ejemplo que f()t) está sujeto a las condiciones límite f(0) = 1 y ${textstyle left.{frac {df}{dt}}right|_{t=0}=2}$ . Entonces encontramos que

{displaystyle f(t)=e^{2t},}

Enlace a valores propios y vectores propios de matrices

Las funciones propias se pueden expresar como vectores de columna y los operadores lineales se pueden expresar como matrices, aunque pueden tener dimensiones infinitas. Como resultado, muchos de los conceptos relacionados con los vectores propios de matrices se trasladan al estudio de las funciones propias.

Defina el producto interno en el espacio funcional en el que D se define como

{displaystyle langle f,grangle =int _{Omega } f^{*}(t)g(t)dt,}

Supongamos que el espacio de funciones tiene una base ortonormal dada por el conjunto de funciones {u₁(t), u₂(t), …, u_n(t)}, donde n puede ser infinito. Para la base ortonormal,

{displaystyle langle u_{i},u_{j}rangle =int _{Omega } u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=delta _{ij}={begin{cases}1&i=j\0&ineq jend{cases}},}

δ_ij

Las funciones se pueden escribir como una combinación lineal de las funciones base,

{displaystyle f(t)=sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),}

ftb_jnb =b₁ b₂... b_n]^T

Además, defina una representación matricial del operador lineal D con elementos

{displaystyle A_{ij}=langle u_{i},Du_{j}rangle =int _{Omega } u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.}

Podemos escribir la función Df(t) ya sea como una combinación lineal de las funciones base o como D actuando sobre la expansión de f(t),

{displaystyle Df(t)=sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).}

Tomando el producto interno de cada lado de esta ecuación con una función de base arbitraria u_i(t),

{displaystyle {begin{aligned}sum _{j=1}^{n}c_{j}int _{Omega } u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=sum _{j=1}^{n}b_{j}int _{Omega } u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\c_{i}&=sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.end{aligned}}}

Esta es la multiplicación de matrices Ab = c escrita en notación de sumatoria y es una matriz equivalente al operador D que actúa sobre la función f(t) expresado en base ortonormal. Si f(t) es una función propia de D con valor propio λ, entonces Ab = λb.

Valores propios y funciones propias de los operadores hermitianos

Muchos de los operadores que se encuentran en la física son hermitianos. Supongamos que el operador lineal D actúa sobre un espacio de funciones que es un espacio de Hilbert con una base ortonormal dada por el conjunto de funciones {u₁(t), u₂(t), …, u_n(t)}, donde n puede ser infinito. En esta base, el operador D tiene una representación matricial A con elementos

{displaystyle A_{ij}=langle u_{i},Du_{j}rangle =int _{Omega }dt u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).}

Por analogía con las matrices hermitianas, D es un operador hermitiano si A_ij = A _ji*, o:

{displaystyle {begin{aligned}langle u_{i},Du_{j}rangle &=langle Du_{i},u_{j}rangle\[-1pt]int _{Omega }dt u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=int _{Omega }dt u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.end{aligned}}}

Considere el operador hermitiano D con valores propios λ₁, λ₂, … y las funciones propias correspondientes f₁(t), f₂(t), …. Este operador hermitiano tiene las siguientes propiedades:

Sus eigenvalues son reales, λ_i = λ_i*
Sus eigenfunctions obedecen a una condición de ortogonalidad, ${displaystyle langle f_{i},f_{j}rangle =0}$ si i ل j

La segunda condición siempre se cumple para λ_i ≠ λ_j. Para funciones propias degeneradas con el mismo valor propio λ_i, siempre se pueden elegir funciones propias ortogonales que abarquen el espacio propio asociado con λ_i, por ejemplo, utilizando el proceso de Gram-Schmidt. Dependiendo de si el espectro es discreto o continuo, las funciones propias se pueden normalizar igualando el producto interno de las funciones propias a una función delta de Kronecker o delta de Dirac, respectivamente.

Para muchos operadores de Hermitian, en particular los operadores de Sturm-Liouville, una tercera propiedad es

Sus eigenfunctions forman una base del espacio de función en el que se define el operador

Como consecuencia, en muchos casos importantes, las funciones propias del operador hermitiano forman una base ortonormal. En estos casos, una función arbitraria se puede expresar como una combinación lineal de las funciones propias del operador hermitiano.

Aplicaciones

Cuerdas vibrantes

La forma de una onda de pie en una cadena fija en sus límites es un ejemplo de una función eigena de un operador diferencial. Los eigenvalues admisibles se rigen por la longitud de la cadena y determinan la frecuencia de la oscilación.

Sea $h (x, t)$ el desplazamiento transversal de un estresado cuerda elástica, como las cuerdas vibrantes de un instrumento de cuerda, en función de la posición $x$ a lo largo de la cuerda y del tiempo $t$ . Aplicando las leyes de la mecánica a porciones infinitesimales de la cadena, la función $h$ satisface la ecuación diferencial parcial

{displaystyle {frac {partial ^{2}h}{partial t^{2}}}=c^{2}{frac {partial ^{2}h}{partial x^{2}}},}

c

Este problema es susceptible al método de separación de variables. Si asumimos que $h (x, t)$ se puede escribir como el producto de la forma $X (x) T (t)$ , podemos formar un par de ecuaciones diferenciales ordinarias:

{displaystyle {frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}X,qquad {frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-omega ^{2}T.}

Cada una de ellas es una ecuación de valor eigenvalues ${textstyle -{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}}$ y $- \cdot 2$ , respectivamente. Para cualquier valor $\cdot$ y $c$ , las ecuaciones están satisfechas por las funciones

{displaystyle X(x)=sin left({frac {omega x}{c}}+varphi right),qquad T(t)=sin(omega t+psi),}

φ

↑

Si imponemos condiciones de contorno, por ejemplo, que los extremos de la cadena se fijen en $x = 0$ y $x = L$ , a saber, $X (0) = X (L) = 0$ , y que $T (0) = 0$ , restringimos el valores propios. Para estas condiciones de contorno, $sin(φ) = 0$ y $sin(ψ) = 0$ , por lo que los ángulos de fase $φ = ψ = 0$ , y

{displaystyle sin left({frac {omega L}{c}}right)=0.}

Esta última condición límite restringe $ω$ a tomar un valor $ω n = ncπ / L$ , donde $n$ es cualquier número entero. Por tanto, la cuerda sujeta soporta una familia de ondas estacionarias de la forma

{displaystyle h(x,t)=sin left({frac {npi x}{L}}right)sin(omega _{n}t).}

En el ejemplo de un instrumento de cuerda, la frecuencia $ω n$ es la frecuencia de la $n$ -ésimo armónico, que se denomina $(n - 1)$ -ésimo sobretono.

Ecuación de Schrödinger

En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger

{displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}Psi (mathbf {r}t)=HPsi (mathbf {r}t)}

{displaystyle H=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}+V(mathbf {r}t)}

Ψ r, t) φ () r) T () t)

{displaystyle Hvarphi (mathbf {r})=Evarphi (mathbf {r}),}

()2)

{displaystyle ihbar {frac {partial T(t)}{partial t}}=ET(t).}

()3)

Estas dos ecuaciones diferenciales son ecuaciones de valor propio con valor propio $E$ . Como se muestra en un ejemplo anterior, la solución de la Ecuación (3) es la exponencial

{displaystyle T(t)=e^{{-iEt}/{hbar }}.}

La ecuación (2) es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Las funciones propias $φ k$ del operador hamiltoniano son estados estacionarios del sistema mecánico cuántico, cada uno con un energía correspondiente $E k$ . Representan estados de energía permisibles del sistema y pueden estar restringidos por condiciones de contorno.

El operador Hamiltoniano $H$ es un ejemplo de un operador hermitiano cuyas funciones eigen forman una base ortonormal. Cuando el Hamiltonian no depende explícitamente del tiempo, las soluciones generales de la ecuación Schrödinger son combinaciones lineales de los estados estacionarios multiplicadas por los osciladores $T () t)$ , ${textstyle Psi (mathbf {r}t)=sum _{k}c_{k}varphi _{k}(mathbf {r})e^{{-iE_{k}t}/{hbar }}}$ o, para un sistema con un espectro continuo,

{displaystyle Psi (mathbf {r}t)=int dE,c_{E}varphi _{E}(mathbf {r})e^{{-iEt}/{hbar }}.}

El éxito de la ecuación de Schrödinger al explicar las características espectrales del hidrógeno se considera uno de los mayores triunfos de la física del siglo XX.

Señales y sistemas

En el estudio de señales y sistemas, una función propia de un sistema es una señal $f (t)$ que, cuando se ingresa al sistema, produce una respuesta $y (t) = λf (t)$ , donde $λ$ es un valor propio escalar complejo.

Obras citadas

Courant, Richard; Hilbert, David. Métodos de Física Matemática. Vol. 1. Wiley. ISBN 047150447-5. (Volumen 2: ISBN 047150439-4)
Davydov, A. S. (1976). Mecánica Cuántica. Traducido, editado y con adiciones por D. ter Haar (2a ed.). Oxford: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
Girod, Bernd; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alexander (2001). Firmas y sistemas (2a edición). Wiley. ISBN 047198800-6.
Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). Física Matemática. Nueva York: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
Wasserman, Eric W. (2016). "Eigenfunction". MathWorld. Wolfram Research. Retrieved 12 de abril, 2016.

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