Función multiplicativa

ImprimirCitar

Función igual al producto de sus valores en los factores coprime

En teoría de números, una función multiplicativa es una función aritmética f(n) de un entero positivo n con la propiedad de que f(1) = 1 y

{displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}

Se dice que una función aritmética f(n) es completamente multiplicativa (o totalmente multiplicativa) si f(1) = 1 y f(ab) = f(a)f(b) tiene para todos enteros positivos a y b, incluso cuando no son coprimos.

Ejemplos

Algunas funciones multiplicativas se definen para que las fórmulas sean más fáciles de escribir:

1(n): la función constante, definida por 1(n) = 1 (completamente multiplicativo)
Idn): función de identidad, definida por Id(n) n (completamente multiplicativo)
Id_k()n): las funciones de poder definidas por Id_k()n) n^k para cualquier número complejo k (completamente multiplicativo). Como casos especiales tenemos
- Id₀()n) = 1(n) y
- Id₁()n.n).
ε()n): la función definida ε()n) = 1 si n = 1 y 0 de otro modo, a veces llamado unidad de multiplicación para Dirichlet convolution o simplemente el función de unidad (completamente multiplicativo). A veces escrito como u()n), pero no ser confundido con μ()n).
1_C()n), la función indicadora del conjunto C ⊂ Z, para ciertos sets C. Función del indicador 1_C()n) es multiplicativo precisamente cuando el conjunto C tiene la siguiente propiedad para cualquier número de coprime a y b: el producto ab está dentro C si y sólo si los números a y b son ambos ellos mismos C. Este es el caso si C es el conjunto de cuadrados, cubos, o k- los poderes, o si C es el conjunto de números libres de cuadrados.

Otros ejemplos de funciones multiplicativas incluyen muchas funciones de importancia en la teoría de números, como:

gcd(n,k): el mayor divisor común n y k, como función de n, donde k es un entero fijo.
$varphi (n)$ : Función totiente de Euler $varphi$ , contando los enteros positivos coprime a (pero no más grande que) n
μ()n): la función Möbius, la paridad (−1 para impar, +1 para incluso) del número de principales factores de números libres de cuadrado; 0 si n no es libre de cuadrado
σ_k()n): la función divisor, que es la suma de la k- los poderes de todos los divisores positivos n (donde) k puede ser cualquier número complejo). Casos especiales que tenemos
- σ₀()n) d()n) el número de divisores positivos de n,
- σ₁()n) σ()n), la suma de todos los divisores positivos de n.
a()n): el número de grupos no isómorfos de orden n.
λ()n): la función Liouville, λ()n) = (−1)^Ω(n) Donde Ωn) es el número total de primos (contadas con multiplicidad) división n. (completamente multiplicativo).
γ()n), definido por γ()n) = (−1)^⋅n), donde la función aditiva ⋅()n) es el número de primas diferenciadas dividir n.
τ()n): la función Ramanujan tau.
Todos los caracteres Dirichlet son funciones completamente multiplicativas. Por ejemplo
- ()n/p), el símbolo Legendre, considerado como una función de n Donde p es un número primo fijo.

Un ejemplo de una función no multiplicativa es la función aritmética r₂(n) - el número de representaciones de n como una suma de cuadrados de dos números enteros, positivo, negativo o cero, donde al contar el número de formas, se permite la inversión del orden. Por ejemplo:

1 = 1² + 0² = (1)−² + 0² = 0² + 1² = 0² + (1)²

y por lo tanto r₂(1) = 4 ≠ 1. Esto muestra que la función no es multiplicativa. Sin embargo, r₂(n)/4 es multiplicativo.

En la Enciclopedia en línea de secuencias enteras, las secuencias de valores de una función multiplicativa tienen la palabra clave "mult".

Consulte función aritmética para ver otros ejemplos de funciones no multiplicativas.

Propiedades

Una función multiplicativa está completamente determinada por sus valores en las potencias de los números primos, una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética. Así, si n es un producto de potencias de primos distintos, digamos n = p^a q^b..., entonces f(n) = f(p^a) f(q^b)...

Esta propiedad de las funciones multiplicativas reduce significativamente la necesidad de cálculo, como en los siguientes ejemplos para n = 144 = 2⁴ · 3²:

d(144) = σ₀(144) = σ₀(22)⁴)σ₀(3)²) = (1⁰ + 2⁰ + 4⁰ + 8⁰ + 16⁰)(1⁰ + 3⁰ + 9⁰) = 5 · 3 = 15,

σ(144) = σ₁(144) = σ₁(22)⁴)σ₁(3)²) = (1¹ + 2¹ + 4¹ + 8¹ + 16¹)(1¹ + 3¹ + 9¹) = 31 · 13 = 403,

σ^*(144) = σ^*(22)⁴)σ^*(3)²) = (1¹ + 16¹)(1¹ + 9¹) = 17 · 10 = 170.

Del mismo modo, tenemos:

{displaystyle varphi (144)=varphi (2^{4}),varphi (3^{2})=8cdot 6=48}

En general, si f(n) es una función multiplicativa y a, b son dos enteros positivos, entonces

f()a) f()b) f(gcd(a,b) · f(lcm(a,b)).

Toda función completamente multiplicativa es un homomorfismo de monoides y está completamente determinada por su restricción a los números primos.

Convolución

Si f y g son dos funciones multiplicativas, una define una nueva función multiplicativa $f*g$ , el Dirichlet convolution de f y g, por

{displaystyle (f,*,g)(n)=sum _{d|n}f(d),gleft({frac {n}{d}}right)}

dnε

Las relaciones entre las funciones multiplicativas discutidas anteriormente incluyen:

${displaystyle mu *1=varepsilon }$ (la fórmula de inversión de Möbius)
${displaystyle (mu operatorname {Id} _{k})*operatorname {Id} _{k}=varepsilon }$ (inversión generalizada de Möbius)
${displaystyle varphi *1=operatorname {Id} }$
${displaystyle d=1*1}$
${displaystyle sigma =operatorname {Id} *1=varphi *d}$
${displaystyle sigma _{k}=operatorname {Id} _{k}*1}$
${displaystyle operatorname {Id} =varphi *1=sigma *mu }$
${displaystyle operatorname {Id} _{k}=sigma _{k}*mu }$

La convolución de Dirichlet se puede definir para funciones aritméticas generales y produce una estructura de anillo, el anillo de Dirichlet.

La convolución Dirichlet de dos funciones multiplicativas es otra vez multiplicativa. Una prueba de este hecho es dada por la siguiente expansión para relativamente primo ${displaystyle a,bin mathbb {Z} ^{+}}$ :

{displaystyle {begin{aligned}(fast g)(ab)&=sum _{d|ab}f(d)gleft({frac {ab}{d}}right)\&=sum _{d_{1}|a}sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})gleft({frac {ab}{d_{1}d_{2}}}right)\&=sum _{d_{1}|a}f(d_{1})gleft({frac {a}{d_{1}}}right)times sum _{d_{2}|b}f(d_{2})gleft({frac {b}{d_{2}}}right)\&=(fast g)(a)cdot (fast g)(b).end{aligned}}}

Series de Dirichlet para algunas funciones multiplicativas

$sum _{{ngeq 1}}{frac {mu (n)}{n^{s}}}={frac {1}{zeta (s)}}$
$sum _{{ngeq 1}}{frac {varphi (n)}{n^{s}}}={frac {zeta (s-1)}{zeta (s)}}$
$sum _{{ngeq 1}}{frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={frac {zeta (s)^{4}}{zeta (2s)}}$
$sum _{{ngeq 1}}{frac {2^{{omega (n)}}}{n^{s}}}={frac {zeta (s)^{2}}{zeta (2s)}}$

Más ejemplos se muestran en el artículo sobre la serie de Dirichlet.

Función multiplicativa sobre Fq[X]

Sea $A = F q [X]$ , el anillo polinomial sobre el campo finito con elementos q. A es un dominio ideal principal y por lo tanto A es un dominio de factorización única.

Una función de valor complejo $lambda$ on A se llama multiplicador si $lambda (fg)=lambda (f)lambda (g)$ siempre f y g son relativamente primos.

Función Zeta y series de Dirichlet en Fq[X]

Sea h una función aritmética polinómica (es decir, una función sobre un conjunto de polinomios mónicos sobre A). Su correspondiente serie de Dirichlet se define como

{displaystyle D_{h}(s)=sum _{f{text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}

Donde ${displaystyle gin A,}$ set ${displaystyle |g|=q^{deg(g)}}$ si ${displaystyle gneq 0,}$ y $|g|=0$ De lo contrario.

La función polinomial zeta es entonces

{displaystyle zeta _{A}(s)=sum _{f{text{ monic}}}|f|^{-s}.}

De manera similar a la situación en $N$ , cada serie de Dirichlet de una función multiplicativa h tiene una representación de producto (Euler producto):

{displaystyle D_{h}(s)=prod _{P}left(sum _{nmathop {=} 0}^{infty }h(P^{n})|P|^{-sn}right),}

donde el producto pasa por todos los polinomios irreducibles mónicos P. Por ejemplo, la representación del producto de la función zeta es como para los números enteros:

{displaystyle zeta _{A}(s)=prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}

A diferencia de la función clásica zeta, ${displaystyle zeta _{A}(s)}$ es una simple función racional:

{displaystyle zeta _{A}(s)=sum _{f}|f|^{-s}=sum _{n}sum _{deg(f)=n}q^{-sn}=sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}

De manera similar, si f y g son dos funciones aritméticas polinómicas, se define f * g, la convolución de Dirichlet de f y g, por

{displaystyle {begin{aligned}(f*g)(m)&=sum _{dmid m}f(d)gleft({frac {m}{d}}right)\&=sum _{ab=m}f(a)g(b),end{aligned}}}

donde la suma está sobre todos los divisores monicos d dem, o equivalentemente sobre todos los pares (a, b) de polinomios monicos cuyo producto es m. La identidad ${displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$ Todavía aguanta.

Contenido relacionado

Más resultados...