Función meromórfica

En el campo matemático del análisis complejo, una función meromórfica en un subconjunto abierto D del plano complejo es una función que es holomorfa en todo D excepto para un conjunto de puntos aislados, que son polos de la función. El término proviene del griego meros (μέρος), que significa "parte".

Toda función meromorfa sobre D se puede expresar como el cociente entre dos funciones holomorfas (con denominador no constante 0) definidas sobre D: cualquier polo debe coincidir con un cero del denominador.

La función gamma es meromorfa en todo el plano complejo.

Descripción heurística

Intuitivamente, una función meromórfica es una proporción de dos funciones de buen comportamiento (holomórficas). Tal función aún se comportará bien, excepto posiblemente en los puntos donde el denominador de la fracción es cero. Si el denominador tiene un cero en z y el numerador no, entonces el valor de la función se aproximará al infinito; si ambas partes tienen un cero en z, entonces se debe comparar la multiplicidad de estos ceros.

Desde un punto de vista algebraico, si el dominio de la función es conexo, entonces el conjunto de funciones meromórficas es el campo de fracciones del dominio integral del conjunto de funciones holomorfas. Esto es análogo a la relación entre los números racionales y los enteros.

Uso anterior, alternativo

Tanto el campo de estudio en el que se usa el término como el significado preciso del término cambiaron en el siglo XX. En la década de 1930, en la teoría de grupos, una función meromórfica (o meromorfo) era una función de un grupo G en sí mismo que conservaba el producto en el grupo. La imagen de esta función se denominó automorfismo de G. De manera similar, una función homomórfica (u homomorfa) era una función entre grupos que conservaba el producto, mientras que un homomorfismo era la imagen de un homomorfo. Esta forma del término ahora está obsoleta y el término relacionado meromorfo ya no se usa en la teoría de grupos. El término endomorfismo ahora se usa para la función en sí, sin dar un nombre especial a la imagen de la función.

Una función meromórfica no es necesariamente un endomorfismo, ya que los puntos complejos en sus polos no están en su dominio, pero pueden estar en su rango.

Propiedades

Dado que los polos de una función meromórfica están aislados, hay como mucho numerables. El conjunto de polos puede ser infinito, como lo ejemplifica la función

f()z)=csc⁡ ⁡ z=1pecado⁡ ⁡ z.{displaystyle f(z)=cscsc z={frac {1}{sin z}}}

Mediante el uso de la continuación analítica para eliminar las singularidades extraíbles, las funciones meromorfológicas pueden ser agregadas, restringidas, multiplicadas y el cociente f/g{displaystyle f/g} se puede formar a menos que g()z)=0{displaystyle g(z)=0} sobre un componente conectado D. Así, si D está conectado, las funciones meromorfológicas forman un campo, de hecho una extensión de campo de los números complejos.

Dimensiones más altas

En varias variables complejas, se define una función meromórfica para ser localmente un cociente de dos funciones holomorfas. Por ejemplo, f()z1,z2)=z1/z2{displaystyle f(z_{1},z_{2}=z_{1}/z_{2} es una función meromórfica en el espacio complejo de afin de dos dimensiones. Aquí ya no es cierto que cada función meromorférica puede ser considerada como una función holomorfa con valores en la esfera Riemann: Hay un conjunto de "indeterminación" de la codimensión dos (en el ejemplo dado este conjunto consiste en el origen ()0,0){displaystyle (0,0)}).

A diferencia de la dimensión uno, en dimensiones superiores existen variedades complejas compactas en las que no hay funciones meromórficas no constantes, por ejemplo, los toros más complejos.

Ejemplos

• Todas las funciones racionales, por ejemplo
  f()z)=z3− − 2z+10z5+3z− − 1,{displaystyle f(z)={3}-2z+10}{5}+3z-1}}}

  
  son meromorfos en todo el plano complejo.
• Funciones
  f()z)=ezzyf()z)=pecado⁡ ⁡ z()z− − 1)2{displaystyle f(z)={z}quad {text{y}quad {f}quad f(z)={fracsin {z}{(z-1)}}}}}} {fnK}}} {f}}} {f}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}

  
  así como la función gamma y la función Riemann zeta son meromorfos en todo el plano complejo.
• La función
  f()z)=e1z{displaystyle f(z)=e^{frac {1}{z}}

  
  se define en todo el plano complejo excepto el origen, 0. Sin embargo, 0 no es un polo de esta función, sino una singularidad esencial. Así, esta función no es meromorfica en todo el plano complejo. Sin embargo, es meromorfica (incluso holomorfa) en C∖ ∖ {}0}{displaystyle mathbb {C} setminus {0}.
• La compleja función de logaritmo
  f()z)=In⁡ ⁡ ()z){displaystyle f(z)=ln(z)}

  
  no es meromorfa en todo el plano complejo, ya que no se puede definir en todo el plano complejo mientras que sólo excluye un conjunto de puntos aislados.
• La función
  f()z)=csc⁡ ⁡ 1z=1pecado⁡ ⁡ ()1z){displaystyle f(z)=csc {1}{frac {1}}}}} {fnfnfnfnfnh}}}} {fn}}} {fn} {fn}}} {fn9}}}}}} {fn}}}}} {f} {f}}}} {fnf}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

  
  no es meromorfo en todo el plano, desde el punto z=0{displaystyle z=0} es un punto de acumulación de polos y por lo tanto no es una singularidad aislada.
• La función
  f()z)=pecado⁡ ⁡ 1z{displaystyle f(z)=sin {frac {1}{z}}

  
  no es meromorfa tampoco, ya que tiene una singularidad esencial en 0.

Sobre superficies de Riemann

En una superficie de Riemann, todo punto admite una vecindad abierta que es biholomórfico a un subconjunto abierto del plano complejo. Por lo tanto, la noción de una función meromórfica se puede definir para cada superficie de Riemann.

Cuando D es toda la esfera de Riemann, el campo de funciones meromórficas es simplemente el campo de funciones racionales en una variable sobre el campo complejo, ya que se puede probar que cualquier función meromórfica en la esfera es racional. (Este es un caso especial del llamado principio GAGA).

Para cada superficie de Riemann, una función meromórfica es lo mismo que una función holomórfica que corresponde a la esfera de Riemann y que no es la función constante igual a ∞. Los polos corresponden a esos números complejos que se asignan a ∞.

En una superficie de Riemann no compacta, cada función meromórfica se puede realizar como un cociente de dos funciones holomorfas (definidas globalmente). Por el contrario, en una superficie compacta de Riemann, toda función holomorfa es constante, mientras que siempre existen funciones meromórficas no constantes.