Función medible

En matemáticas y en teoría de la medida en particular, una función medible es una función entre los conjuntos subyacentes de dos espacios medibles que conserva la estructura de los espacios: la preimagen de cualquier conjunto medible es medible. Esto está en analogía directa con la definición de que una función continua entre espacios topológicos preserva la estructura topológica: la preimagen de cualquier conjunto abierto está abierta. En el análisis real, las funciones medibles se utilizan en la definición de la integral de Lebesgue. En la teoría de la probabilidad, una función medible en un espacio de probabilidad se conoce como variable aleatoria.

Definición formal

Vamos ${displaystyle (X,Sigma)}$ y ${displaystyle (Y,mathrm {T})}$ ser espacios mensurables, lo que significa que ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$ están equipados con los respectivos ${displaystyle sigma }$- álgebras ${displaystyle Sigma }$ y ${displaystyle mathrm {T}$ Una función ${displaystyle f:Xto Sí.$ se dice que es mensurable si por cada ${displaystyle Ein mathrm {T}$ la imagen previa de ${displaystyle E}$ menores ${displaystyle f}$ está dentro ${displaystyle Sigma }$; es decir, para todos ${displaystyle Ein mathrm {T}$

$${displaystyle f^{-1}(E):={xin Xmid f(x)in E}in Sigma.}$$

Eso es, ${displaystyle sigma (f)subseteq Sigma}$ Donde ${displaystyle sigma (f)}$ es el álgebra σ generado por f. Si ${displaystyle f:Xto Sí.$ es una función mensurable, escribiremos

$${displaystyle fcolon (X,Sigma)rightarrow (Y,mathrm {T}). }$$

${displaystyle sigma }$

${displaystyle Sigma }$

${displaystyle mathrm {T}$

Variaciones de uso de términos

La elección de ${displaystyle sigma }$- álgebras en la definición anterior es a veces implícita y deja al contexto. Por ejemplo, ${displaystyle mathbb {R}$ ${displaystyle mathbb {C}$ u otros espacios topológicos, el álgebra Borel (generado por todos los conjuntos abiertos) es una opción común. Algunos autores definen Funciones mensurables como exclusivamente reales de valor con respecto al álgebra Borel.

Si los valores de la función se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita, existen otras definiciones no equivalentes de mensurabilidad, como mensurabilidad débil y mensurabilidad de Bochner.

Clases notables de funciones medibles

• Las variables aleatorias son por definición funciones mensurables definidas en espacios de probabilidad.
• Si ${displaystyle (X,Sigma)}$ y ${displaystyle (Y,T)}$ son los espacios Borel, una función mensurable ${displaystyle f:(X,Sigma)to (Y,T)}$ también se llama Función Borel. Las funciones continuas son funciones Borel pero no todas las funciones Borel son continuas. Sin embargo, una función mensurable es casi una función continua; vea el teorema de Luzin. Si una función Borel resulta ser una sección de un mapa ${displaystyle Yxrightarrow {~pi} X.$ se llama Sección de Borel.
• Una función mensurable de Lebesgue es una función mensurable ${displaystyle f:(mathbb {R}{mathcal {L})to (mathbb {C}{mathcal {B}}_{mathbb {C}}}}} {cH}} {cH}}}$ Donde ${displaystyle {fnMithcal}}$ es ${displaystyle sigma }$- álgebra de conjuntos mensurables de Lebesgue, y ${displaystyle {fnMithcal {fnMithbb} {C}$ es el álgebra Borel en los números complejos ${displaystyle mathbb {C}$ Las funciones mensurables de Lebesgue son de interés en el análisis matemático porque pueden ser integradas. En el caso ${displaystyle f:Xto mathbb {R}$ ${displaystyle f}$ es Lebesgue mensurable si y sólo si ${displaystyle {f}={xin X:f(x)}alpha {}}$ es mensurable para todos ${displaystyle alpha in mathbb {R}.}$ Esto también equivale a cualquiera de ${displaystyle {fgeq alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ },{fleq alpha {}}$ ser medible para todos ${displaystyle alpha}$ o la preimage de cualquier juego abierto siendo medible. Funciones continuas, funciones monotonas, funciones escalonadas, funciones semicontinuas, funciones integradas Riemann y funciones de variación atada son todas medibles Lebesgue. Una función ${displaystyle f:Xto mathbb {C}$ es medible si y sólo si las partes reales e imaginarias son medibles.

Propiedades de las funciones medibles

• La suma y el producto de dos funciones medibles de valor complejo son mensurables. Así es el cociente, siempre y cuando no haya división por cero.
• Si ${displaystyle f:(X,Sigma _{1})to (Y,Sigma _{2})}$ y ${displaystyle g:(Y,Sigma _{2})to (Z,Sigma _{3})}$ son funciones mensurables, entonces también su composición ${displaystyle gcirc f:(X,Sigma _{1})to (Z,Sigma _{3}). }$
• Si ${displaystyle f:(X,Sigma _{1})to (Y,Sigma _{2})}$ y ${displaystyle g:(Y,Sigma _{3})to (Z,Sigma _{4})}$ son funciones mensurables, su composición ${displaystyle gcirc f:Xto Z}$ no es necesario ${displaystyle (Sigma _{1},Sigma _{4})}$- Medible a menos que ${displaystyle Sigma _{3}subseteq Sigma _{2}.}$ De hecho, dos funciones mensurables de Lebesgue pueden construirse de manera que su composición no sea mensurable.
• El (puntualmente) supremum, infimum, limite superior y limite inferior a una secuencia (viz., contablemente muchos) de funciones medibles de valor real son todos medibles también.
• El límite de sentido de una secuencia de funciones mensurables ${displaystyle - Sí. Sí.$ es mensurable, donde ${displaystyle Sí.$ es un espacio métrico (dotado con el álgebra Borel). Esto no es cierto en general si ${displaystyle Sí.$ no es sensible. Tenga en cuenta que la declaración correspondiente para funciones continuas requiere condiciones más fuertes que la convergencia puntual, como la convergencia uniforme.

Funciones no medibles

Las funciones de valor real que se encuentran en las aplicaciones tienden a ser medibles; sin embargo, no es difícil probar la existencia de funciones no medibles. Tales pruebas se basan en el axioma de elección de manera esencial, en el sentido de que la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección no prueba la existencia de tales funciones.

En cualquier medida espacio ${displaystyle (X,Sigma)}$ con un conjunto no mensurable ${displaystyle Asubset X,}$ ${displaystyle Anotin Sigma}$ uno puede construir una función indicadora no mensurable:

$${displaystyle mathbf {1} _{A}:(X,Sigma)to mathbb {R}quad mathbf {1} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

${displaystyle mathbb {R}$

${displaystyle {1}}$

${displaystyle A.}$

Como otro ejemplo, cualquier función no constante ${displaystyle f:Xto mathbb {R}$ no es mensurable con respecto a lo trivial ${displaystyle sigma }$- álgebra ${displaystyle Sigma ={varnothingX},}$ ya que el preimage de cualquier punto en el rango es un subconjunto adecuado, no vacío ${displaystyle X.$ que no es un elemento de lo trivial ${displaystyle Sigma.}$