Función (matemáticas)

también se llaman mapas Maps o , aunque algunos autores hacen algo de distinción entre " Maps " y " funciones " (Ver § Otros términos).

Dos funciones f y g son iguales si sus conjuntos de dominio y codominio son los mismos y sus valores de salida están de acuerdo en todo el dominio. Más formalmente, dado f : x → y y g : x → y , tenemos f = g if y solo si f ( x ) = g ( x ) para todos x ∈ x .

El dominio y el codominio no siempre se dan explícitamente cuando se define una función y, sin algún cálculo (posiblemente difícil), uno solo podría saber que el dominio está contenido en un conjunto más grande. Por lo general, esto ocurre en el análisis matemático, donde "una función de X a Y " a menudo se refiere a una función que puede tener un subconjunto adecuado de X como dominio. Por ejemplo, una "función de reales a reales" puede referirse a una función de valor real de una variable real. Sin embargo, una "función de reales a reales" no significa que el dominio de la función sea todo el conjunto de los números reales, sino que el dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo abierto no vacío. Tal función se llama entonces función parcial. Por ejemplo, si f es una función que tiene los números reales como dominio y codominio, entonces una función mapea el valor x al valor g(x) = 1/f(x) es una función g de los reales a los reales, cuyo dominio es el conjunto de los reales x, tal que f(x) ≠ 0.

El rango o imagen de una función es el conjunto de las imágenes de todos los elementos del dominio.

Relación total, univalente

Cualquier subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos X y Y define una relación binaria R ⊆ X × Y entre estos dos conjuntos. Es inmediato que una relación arbitraria puede contener pares que violan las condiciones necesarias para una función dada arriba.

Una relación binaria es univalente (también llamada única por la derecha) si

О О x▪ ▪ X,О О Sí.▪ ▪ Y,О О z▪ ▪ Y,()()x,Sí.)▪ ▪ R∧ ∧ ()x,z)▪ ▪ R)⟹ ⟹ Sí.=z.{displaystyle forall xin X,forall yin Y,forall zin Y,quad ((x,y)in Rland (x,z)in R)implies y=z.}

Una relación binaria es total si

О О x▪ ▪ X,∃ ∃ Sí.▪ ▪ Y,()x,Sí.)▪ ▪ R.{displaystyle forall xin X,exists yin Y,quad (x,y)in R.}

Una función parcial es una relación binaria que es univalente, y una función es una relación binaria que es univalente y total.

Varias propiedades de las funciones y la composición de funciones pueden reformularse en el lenguaje de las relaciones. Por ejemplo, una función es inyectiva si la relación inversa R^T ⊆ Y × X es univalente, donde la relación inversa se define como R^T = {(y, x) | (x, y) ∈ R}.

Establecer exponenciación

El conjunto de todas las funciones de un conjunto X{displaystyle X} a un conjunto Y{displaystyle Sí. es comúnmente denotado

YX,{displaystyle Y^{X}

que se lee como Y{displaystyle Sí. al poder X{displaystyle X}.

Esta notación es la misma que la notación para el producto cartesiano de una familia de copias de Y{displaystyle Sí. indexado por X{displaystyle X}:

YX=∏ ∏ x▪ ▪ XY.{displaystyle Sí.

La identidad de estas dos notaciones está motivada por el hecho de que una función f{displaystyle f} se puede identificar con el elemento del producto cartesiano tal que el componente del índice x{displaystyle x} es f()x){displaystyle f(x)}.

Cuando Y{displaystyle Sí. tiene dos elementos, YX{displaystyle Y^{X} es comúnmente denotado 2X{displaystyle 2^{X} y llamó la potencia de X. Se puede identificar con el conjunto de todos los subconjuntos de X{displaystyle X}, a través de la correspondencia única que se asocia a cada subconjunto S⊆ ⊆ X{displaystyle Ssubseteq X} la función f{displaystyle f} tales que f()x)=1{displaystyle f(x)=1} si x▪ ▪ S{displaystyle xin S} y f()x)=0{displaystyle f(x)=0} De lo contrario.

notación

Hay varias formas estándar de denotar funciones. La notación más utilizada es la notación funcional, que es la primera notación que se describe a continuación.

Notación funcional

En notación funcional, la función recibe inmediatamente un nombre, como f, y su definición viene dada por what f hace al argumento explícito x, usando una fórmula en términos de x. Por ejemplo, la función que toma un número real como entrada y da salida a ese número más 1 se denota por

f()x)=x+1{displaystyle f(x)=x+1}.

Si una función se define en esta notación, su dominio y el codominio se toman implícitamente para ambos R{displaystyle mathbb {R}, el conjunto de números reales. Si la fórmula no se puede evaluar en todos los números reales, entonces el dominio se toma implícitamente para ser el subconjunto máximo de R{displaystyle mathbb {R} sobre el cual se puede evaluar la fórmula; vea Dominio de una función.

Un ejemplo más complicado es la función

f()x)=pecado⁡ ⁡ ()x2+1){displaystyle f(x)=sin(x^{2}+1)}.

En este ejemplo, la función f toma un número real como entrada, lo eleva al cuadrado y luego suma 1 al resultado, luego toma el seno del resultado y devuelve el resultado final como salida.

Cuando el símbolo que denota la función consta de varios caracteres y no puede surgir ambigüedad, se pueden omitir los paréntesis de la notación funcional. Por ejemplo, es común escribir sin x en lugar de sin(x) .

La notación funcional fue utilizada por primera vez por Leonhard Euler en 1734. Algunas funciones ampliamente utilizadas están representadas por un símbolo que consta de varias letras (generalmente dos o tres, generalmente una abreviatura de su nombre). En este caso, se suele utilizar un tipo romano, como "sin" para la función seno, en contraste con la fuente en cursiva para símbolos de una sola letra.

Al usar esta notación, a menudo se encuentra con el abuso de la notación en la que la notación f(x) puede referirse al valor de f en x, o a la función misma. Si la variable x se declaró previamente, entonces la notación f (x) sin ambigüedades significa el valor de f en x. De lo contrario, es útil entender la notación como ambas simultáneamente; esto permite denotar la composición de dos funciones f y g de manera sucinta mediante la notación f(g(x)).

Sin embargo, distinguir f y f(x) puede volverse importante en los casos en que las propias funciones sirven como entradas para otras funciones. (Una función que toma otra función como entrada se denomina funcional). Otros enfoques de funciones de notación, que se detallan a continuación, evitan este problema pero se usan con menos frecuencia.

Notación de flecha

La notación de flecha define la regla de una función inline, sin requerir que se dé un nombre a la función. Por ejemplo, x↦ ↦ x+1{displaystyle xmapsto x+1} es la función que toma un número real como entrada y salidas que número más 1. Una vez más un dominio y codominio de R{displaystyle mathbb {R} es implícito.

El dominio y el codominio también se pueden indicar explícitamente, por ejemplo:

sqr:: Z→ → Zx↦ ↦ x2.{displaystyle {begin{aligned}operatorname { sqr} colon mathbb {Z} &to mathbb {Z}xmapsto x^{2}end{aligned}}

Esto define una función sqr de enteros a enteros que devuelve el cuadrado de su entrada.

Como aplicación común de la notación de flecha, suponga f:: X× × X→ → Y;()x,t)↦ ↦ f()x,t){displaystyle fcolon Xtimes Xto Y;;(x,t)mapsto f(x,t)} es una función en dos variables, y queremos referirnos a una función parcialmente aplicada X→ → Y{displaystyle Xto Y} producido por fijar el segundo argumento al valor t₀ sin introducir un nuevo nombre de función. El mapa en cuestión podría denotarse x↦ ↦ f()x,t0){displaystyle xmapsto f(x,t_{0}} usando la notación de flecha. La expresión x↦ ↦ f()x,t0){displaystyle xmapsto f(x,t_{0}} (read: "el mapa tomando x a f()x, t₀)") representa esta nueva función con un solo argumento, mientras que la expresión f()x₀, t₀) se refiere al valor de la función f en el punto ()x₀, t₀).

Notación del índice

La notación de índice se utiliza a menudo en lugar de la notación funcional. Eso es, en lugar de escribir f()x), uno escribe fx.{displaystyle f_{x}

Este es típicamente el caso de las funciones cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Tal función se llama secuencia, y en este caso el elemento fn{displaystyle f_{n} se llama nelemento de la secuencia.

La notación de índice también se utiliza a menudo para distinguir algunas variables llamadas parámetros de las " variables reales". De hecho, los parámetros son variables específicas que se consideran fijas durante el estudio de un problema. Por ejemplo, el mapa x↦ ↦ f()x,t){displaystyle xmapsto f(x,t)} (véase supra) se denotaría ft{displaystyle f_{t} usando notación de índice, si definimos la colección de mapas ft{displaystyle f_{t} por la fórmula ft()x)=f()x,t){displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)} para todos x,t▪ ▪ X{displaystyle x,tin X}.

Notación de puntos

En la notación x↦ ↦ f()x),{displaystyle xmapsto f(x),}el símbolo x no representa ningún valor, es simplemente un marcador de posición que significa que, si x es reemplazado por cualquier valor en la izquierda de la flecha, debe ser reemplazado por el mismo valor en la derecha de la flecha. Por lo tanto, x puede ser reemplazado por cualquier símbolo, a menudo un interpunto " ⋅ ". Esto puede ser útil para distinguir la función f(⋅) de su valor f()x) a x.

Por ejemplo, a()⋅ ⋅ )2{displaystyle a(cdot)} puede soportar la función x↦ ↦ ax2{displaystyle xmapsto ax^{2}, y ∫ ∫ a()⋅ ⋅ )f()u)du{textstyle int _{a}{,(cdot)}f(u),du} puede soportar una función definida por una integral con el límite superior variable: x↦ ↦ ∫ ∫ axf()u)du{textstyle xmapsto int _{a}{x}f(u),du}.

Anotaciones especializadas

Existen otras notaciones especializadas para funciones en subdisciplinas de las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra lineal y análisis funcional, las formas lineales y los vectores sobre los que actúan se denotan mediante un par dual para mostrar la dualidad subyacente. Esto es similar al uso de la notación bra-ket en la mecánica cuántica. En lógica y teoría de la computación, la notación de funciones del cálculo lambda se utiliza para expresar explícitamente las nociones básicas de abstracción y aplicación de funciones. En la teoría de categorías y el álgebra homológica, las redes de funciones se describen en términos de cómo ellas y sus composiciones conmutan entre sí mediante diagramas conmutativos que amplían y generalizan la notación de flechas para las funciones descritas anteriormente.

Otros términos

A menudo, una función también se denomina mapa o mapeo, pero algunos autores hacen una distinción entre el término "mapa" y "función". Por ejemplo, el término "mapa" a menudo se reserva para una "función" con algún tipo de estructura especial (por ejemplo, mapas de variedades). En particular, mapa se usa a menudo en lugar de homomorfismo en aras de la brevedad (por ejemplo, mapa lineal o mapa de G a H en lugar de grupo de homomorfismo de G a H ). Algunos autores reservan la palabra mapeo para el caso en que la estructura del codominio pertenezca explícitamente a la definición de la función.

Algunos autores, como Serge Lang, usan "función" solo para referirse a mapas para los cuales el codominio es un subconjunto de los números reales o complejos, y use el término mapeo para funciones más generales.

En la teoría de los sistemas dinámicos, un mapa denota una función de evolución utilizada para crear sistemas dinámicos discretos. Véase también el mapa de Poincaré.

Cualquiera que sea la definición de mapa que se utilice, términos relacionados como dominio, codominio, inyectivo, continuo tienen el mismo significado que para una función.

Especificar una función

Dada la función f{displaystyle f}, por definición, a cada elemento x{displaystyle x} del dominio de la función f{displaystyle f}, hay un elemento único asociado a él, el valor f()x){displaystyle f(x)} de f{displaystyle f} a x{displaystyle x}. Hay varias maneras de especificar o describir cómo x{displaystyle x} está relacionado con f()x){displaystyle f(x)}, tanto explícitamente como implícitamente. A veces, un teorema o un axioma afirma la existencia de una función que tiene algunas propiedades, sin describirlo más precisamente. A menudo, la especificación o descripción se denomina la definición de la función f{displaystyle f}.

Enumerando los valores de las funciones

En un conjunto finito, una función puede definirse mediante la inclusión de los elementos del codomain que están asociados a los elementos del dominio. Por ejemplo, si A={}1,2,3}{displaystyle A={1,2,3}, entonces uno puede definir una función f:: A→ → R{displaystyle fcolon Ato mathbb {R} por f()1)=2,f()2)=3,f()3)=4.{displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}

Por una fórmula

Las funciones son a menudo definidas por una fórmula que describe una combinación de operaciones aritméticas y funciones previamente definidas; tal fórmula permite calcular el valor de la función desde el valor de cualquier elemento del dominio. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, f{displaystyle f} puede ser definido por la fórmula f()n)=n+1{displaystyle f(n)=n+1}, para n▪ ▪ {}1,2,3}{displaystyle nin {1,2,3}.

Cuando una función se define de esta manera, la determinación de su dominio es a veces difícil. Si la fórmula que define la función contiene divisiones, los valores de la variable para la cual un denominador es cero deben ser excluidos del dominio; por lo tanto, para una función complicada, la determinación del dominio pasa a través de la computación de los ceros de funciones auxiliares. Del mismo modo, si las raíces cuadradas ocurren en la definición de una función de R{displaystyle mathbb {R} a R,{displaystyle mathbb {R} el dominio está incluido en el conjunto de los valores de la variable para la cual los argumentos de las raíces cuadradas son no negativos.

Por ejemplo, f()x)=1+x2{displaystyle f(x)={sqrt {1+x^{2}}} define una función f:: R→ → R{displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R} cuyo dominio es R,{displaystyle mathbb {R} porque 1+x2{displaystyle 1+x^{2} es siempre positivo si x es un número real. Por otro lado, f()x)=1− − x2{displaystyle f(x)={sqrt {1-x^{2}}} define una función de los reales a los reales cuyo dominio se reduce al intervalo [1, a 1]. (En textos antiguos, tal dominio se llamaba el dominio de la definición de la función.)

Las funciones a menudo se clasifican por la naturaleza de las fórmulas que las definen:

• Una función cuadrática es una función que puede ser escrita f()x)=ax2+bx+c,{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,} Donde a, b, c son constantes.
• Más generalmente, una función polinomio es una función que puede definirse por una fórmula que implica solamente adiciones, restas, multiplicaciones y exponenciación a enteros no negativos. Por ejemplo, f()x)=x3− − 3x− − 1,{displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1,} y f()x)=()x− − 1)()x3+1)+2x2− − 1.{displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1.}
• Una función racional es la misma, con divisiones también permitidas, como f()x)=x− − 1x+1,{displaystyle f(x)={frac {x-1}{x+1}} y f()x)=1x+1+3x− − 2x− − 1.{displaystyle f(x)={frac {1}{x+1}+{frac} {3}{x}-{frac} {2}{x-1}}
• Una función algebraica es la misma, con raíces nth y raíces de polinomios también permitido.
• Una función elemental es la misma, con logaritmos y funciones exponenciales permitidas.

Funciones inversas e implícitas

Una función f:: X→ → Y,{displaystyle fcolon Xto Y,} con dominio X y codomain Y, es bijetivo, si por cada Sí. dentro Y, hay uno y sólo un elemento x dentro X tales que Sí. = f()x). En este caso, la función inversa de f es la función f− − 1:: Y→ → X{displaystyle f^{-1} Yto X} que mapas Sí.▪ ▪ Y{displaystyle yin Y} al elemento x▪ ▪ X{displaystyle xin X} tales que Sí. = f()x). Por ejemplo, el logaritmo natural es una función bijeactiva de los números reales positivos a los números reales. Así tiene un inverso, llamado la función exponencial, que mapea los números reales sobre los números positivos.

Si una función f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} no es bijetivo, puede ocurrir que uno puede seleccionar subconjuntos E⊆ ⊆ X{displaystyle Esubseteq X} y F⊆ ⊆ Y{displaystyle Fsubseteq Y} tales que la restricción de f a E es una bijeción de E a F, y tiene así un inverso. Las funciones trigonométricas inversas se definen de esta manera. Por ejemplo, la función cosina induce, por restricción, una bijeción del intervalo [0, π] sobre el intervalo [1, a 1], y su función inversa, llamada arccosine, mapas [1, a 1] sobre [0, π]. Las otras funciones trigonométricas inversas se definen de forma similar.

Más generalmente, dada una relación binaria R entre dos sets X y Y, vamos E ser un subconjunto de X así, por cada x▪ ▪ E,{displaystyle xin E,} hay algunos Sí.▪ ▪ Y{displaystyle yin Y} tales que x RY. Si uno tiene un criterio que permite seleccionar tal Sí. para todos x▪ ▪ E,{displaystyle xin E,} esto define una función f:: E→ → Y,{displaystyle fcolon Eto Y,} llamada una función implícita, porque se define implícitamente por la relación R.

Por ejemplo, la ecuación del círculo de unidad x2+Sí.2=1{displaystyle x^{2}+y^{2}=1} define una relación en números reales. Si −1 - x 1 hay dos posibles valores Sí., uno positivo y otro negativo. Para x = ± 1, estos dos valores se vuelven iguales a 0. De lo contrario, no hay valor posible Sí.. Esto significa que la ecuación define dos funciones implícitas con dominio [1, a 1] y sus respectivos codominios [0, +∞) y (Libertad, 0).

En este ejemplo, la ecuación se puede resolver en Sí., dar Sí.=± ± 1− − x2,{displaystyle y=pm {1-x^{2}}} pero, en ejemplos más complicados, esto es imposible. Por ejemplo, la relación Sí.5+Sí.+x=0{displaystyle y^{5}+y+x=0} defines Sí. como una función implícita x, llamado el Trae radical, que ha R{displaystyle mathbb {R} como dominio y rango. El Traer radical no se puede expresar en términos de las cuatro operaciones aritméticas y no raíces.

El teorema de la función implícita proporciona condiciones leves de diferenciabilidad para la existencia y unicidad de una función implícita en la vecindad de un punto.

Uso del cálculo diferencial

Muchas funciones se pueden definir como la antiderivada de otra función. Este es el caso del logaritmo natural, que es la antiderivada de 1/x que es 0 para x = 1. Otro ejemplo común es la función de error.

De manera más general, muchas funciones, incluidas la mayoría de las funciones especiales, se pueden definir como soluciones de ecuaciones diferenciales. El ejemplo más simple es probablemente la función exponencial, que se puede definir como la única función que es igual a su derivada y toma el valor 1 para x = 0.

La serie de potencia se puede utilizar para definir funciones en el dominio en el que convergen. Por ejemplo, la función exponencial es dada por ex=.. n=0JUEGO JUEGO xnn!{displaystyle e^{x}=sum ¡No!. Sin embargo, como los coeficientes de una serie son bastante arbitrarios, una función que es la suma de una serie convergente se define generalmente de otra manera, y la secuencia de los coeficientes es el resultado de algún cálculo basado en otra definición. Luego, la serie de potencia se puede utilizar para ampliar el dominio de la función. Típicamente, si una función para una variable real es la suma de su serie Taylor en algún intervalo, esta serie de potencia permite agrandar inmediatamente el dominio a un subconjunto de los números complejos, el disco de convergencia de la serie. Luego la continuación analítica permite ampliar aún más el dominio para incluir casi todo el plano complejo. Este proceso es el método que se utiliza generalmente para definir el logaritmo, las funciones exponenciales y trigonométricas de un número complejo.

Por recurrencia

Las funciones cuyo dominio son los números enteros no negativos, conocidas como secuencias, a menudo se definen mediante relaciones de recurrencia.

La función factorial en los enteros no negativos (n↦ ↦ n!{displaystyle nmapsto n!}) es un ejemplo básico, ya que puede ser definido por la relación de recurrencia

0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n!=n()n− − 1)!paran■0,{displaystyle n!=n(n-1)!quad {text{for}quad n título0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bc6067e14b24bf50711c08808b7b2b3b7387d0" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.122ex; height:2.843ex;"/>

y la condición inicial

0!=1.{displaystyle 0!=1.}

Representar una función

Un gráfico se usa comúnmente para dar una imagen intuitiva de una función. Como ejemplo de cómo un gráfico ayuda a comprender una función, es fácil ver en su gráfico si una función es creciente o decreciente. Algunas funciones también pueden representarse mediante gráficos de barras.

Gráficos y diagramas

La asignación de funciones cada año a su recuento de muerte del vehículo motor estadounidense, mostrado como un gráfico de línea

La misma función, mostrada como un gráfico de barras

Dada la función f:: X→ → Y,{displaystyle fcolon Xto Y,} su Gráfico es, formalmente, el conjunto

G={}()x,f()x))▪ ▪ x▪ ▪ X}.{displaystyle G={(x,f(x))mid xin X}

En el caso frecuente X y Y son subconjuntos de los números reales (o pueden ser identificados con tales subconjuntos, por ejemplo intervalos), un elemento ()x,Sí.)▪ ▪ G{displaystyle (x,y)in G} puede ser identificado con un punto que tiene coordenadas x, Sí. en un sistema de coordenadas bidimensional, por ejemplo el plano cartesiano. Parte de esto puede crear una parcela que representa (partes de) la función. El uso de las parcelas es tan omnipresente que también se llaman los gráfico de la función. Las representaciones gráficas de funciones también son posibles en otros sistemas de coordinación. Por ejemplo, el gráfico de la función cuadrada

x↦ ↦ x2,{displaystyle xmapsto x^{2},}

que consiste en todos los puntos con coordenadas ()x,x2){displaystyle (x,x^{2}} para x▪ ▪ R,{displaystyle xin mathbb {R} cede, cuando se describe en coordenadas cartesianas, la parabola bien conocida. Si la misma función cuadrática x↦ ↦ x2,{displaystyle xmapsto x^{2},} con el mismo gráfico formal, que consta de pares de números, se trama en lugar de coordenadas polares ()r,Silencio Silencio )=()x,x2),{displaystyle (r,theta)=(x,x^{2})} la parcela obtenida es la espiral de Fermat.

Mesas

Una función puede ser representada como una tabla de valores. Si el dominio de una función es finito, entonces la función se puede especificar completamente de esta manera. Por ejemplo, la función de multiplicación f:: {}1,...... ,5}2→ → R{displaystyle fcolon {1,ldots5}{2}to mathbb {R} definidas f()x,Sí.)=xSí.{displaystyle f(x,y)=xy} puede ser representado por la tabla de multiplicación familiar

Por otro lado, si el dominio de una función es continuo, una tabla puede dar los valores de la función en valores específicos del dominio. Si se necesita un valor intermedio, se puede utilizar la interpolación para estimar el valor de la función. Por ejemplo, una parte de una tabla para la función seno se puede dar de la siguiente manera, con valores redondeados a 6 decimales:

Antes de la llegada de las calculadoras portátiles y las computadoras personales, estas tablas a menudo se compilaban y publicaban para funciones como logaritmos y funciones trigonométricas.

Gráfico de barras

Los gráficos de barras se utilizan a menudo para representar funciones cuyo dominio es un conjunto finito, los números naturales o los enteros. En este caso, un elemento x del dominio está representado por un intervalo del x-axis, y el valor correspondiente de la función, f(x), se representa mediante un rectángulo cuya base es el intervalo correspondiente a x y cuya altura es f(x) (posiblemente negativa, en cuyo caso la barra se extiende debajo de la x-eje).

Propiedades generales

Esta sección describe las propiedades generales de las funciones, que son independientes de las propiedades específicas del dominio y el codominio.

Funciones estándar

Hay una serie de funciones estándar que ocurren con frecuencia:

• Para cada juego X, hay una función única, llamada la función vacía, o mapa vacío, desde el set vacío X. El gráfico de una función vacía es el conjunto vacío. La existencia de funciones vacías es necesaria tanto para la coherencia de la teoría como para evitar excepciones relativas al conjunto vacío en muchas declaraciones. Bajo la definición line-teorética habitual de una función como triplet ordenado (o equivalentes), hay exactamente una función vacía para cada conjunto, por lo tanto la función vacía ∅ ∅ ↦ ↦ X{displaystyle varnothing mapsto X. no es igual a ∅ ∅ ↦ ↦ Y{displaystyle varnothing mapsto Sí. si Xل ل Y{displaystyle Xneq Sí., aunque su gráfico son ambos el conjunto vacío.
• Para cada juego X y cada set de un soloton {}s}, hay una función única desde X a {}s}, que mapea cada elemento de X a s. Esta es una subjeción (véase más adelante) X es el set vacío.
• Dada la función f:: X→ → Y,{displaystyle fcolon Xto Y,} el subjeción canónica de f sobre su imagen f()X)={}f()x)▪ ▪ x▪ ▪ X}{displaystyle f(X)={f(x)mid xin X}} es la función de X a f()X) que mapas x a f()x).
• Para cada subconjunto A de un conjunto X, el mapa de inclusión A en X es la función inyectable (ver abajo) que mapea cada elemento de A a sí mismo.
• Función de identidad en un conjunto X, a menudo denotado por id_X, es la inclusión de X en sí mismo.

Composición de funciones

Dados dos funciones f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} y g:: Y→ → Z{displaystyle gcolon Yto Z} tal que el dominio de g es el codominio de f, sus composición es la función g∘ ∘ f:: X→ → Z{displaystyle gcirc fcolon Xrightarrow Z} definidas por

()g∘ ∘ f)()x)=g()f()x)).{displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x)). }

Es decir, el valor g∘ ∘ f{displaystyle gcirc f} se obtiene por primera aplicación f a x para obtener Sí. = f()x) y luego aplicar g al resultado Sí. para obtener g()Sí.) g()f()x). En la notación la función que se aplica primero está siempre escrita en la derecha.

La composición g∘ ∘ f{displaystyle gcirc f} es una operación en funciones que se define solamente si el codomain de la primera función es el dominio del segundo. Incluso cuando ambos g∘ ∘ f{displaystyle gcirc f} y f∘ ∘ g{displaystyle fcirc g} satisfacer estas condiciones, la composición no es necesariamente conmutativa, es decir, las funciones g∘ ∘ f{displaystyle gcirc f} y f∘ ∘ g{displaystyle fcirc g} no debe ser igual, pero puede ofrecer diferentes valores para el mismo argumento. Por ejemplo, vamos f()x) x² y g()x) x + 1, entonces g()f()x))=x2+1{displaystyle g(f(x)=x^{2}+1} y f()g()x))=()x+1)2{displaystyle f(g(x)=(x+1)^{2} Estoy de acuerdo. x=0.{displaystyle x=0.}

La composición de la función es asociativa en el sentido de que, si ()h∘ ∘ g)∘ ∘ f{displaystyle (hcirc g)circ f} y h∘ ∘ ()g∘ ∘ f){displaystyle hcirc (gcirc f)} se define, entonces el otro también se define, y son iguales. Así, uno escribe

h∘ ∘ g∘ ∘ f=()h∘ ∘ g)∘ ∘ f=h∘ ∘ ()g∘ ∘ f).{displaystyle hcirc gcirc f=(hcirc g)circ f=hcirco (gcirc f).}

Funciones de identidad idX{displaystyle operatorname {id} ¿Qué? y idY{displaystyle operatorname {id} _{Y} son respectivamente una identidad correcta y una identidad izquierda para las funciones de X a Y. Eso es, si f es una función con dominio X, y codomain Y, uno tiene f∘ ∘ idX=idY∘ ∘ f=f.{displaystyle fcirc operatorname {id} ¿Qué?

• 

  Una función compuesta g()f()x)) se puede visualizar como la combinación de dos "maquinas".

• 

  Un ejemplo simple de una composición de función

• 

  Otra composición. En este ejemplo, ()g∘f)(c) = #.

Imagen y preimagen

Vamos f:: X→ → Y.{displaystyle fcolon Xto Y.} El imagen menores f de un elemento x del dominio X es f()x). Si A es cualquier subconjunto de X, entonces el imagen de A menores f, denotado f()A), es el subconjunto del codomain Y que consiste en todas las imágenes de elementos A, es decir,

f()A)={}f()x)▪ ▪ x▪ ▪ A}.{displaystyle f(A)={f(x)mid xin A}

La imagen de f es la imagen de todo el dominio, es decir, f(X). También se denomina rango de f, aunque el término rango también puede referirse al codominio.

Por otro lado, el imagen inversa o preimage menores f de un elemento Sí. del codomain Y es el conjunto de todos los elementos del dominio X cuyas imágenes f iguales Sí.. En símbolos, la preimage de Sí. es denotado por f− − 1()Sí.){displaystyle f^{-1}(y)} y es dado por la ecuación

f− − 1()Sí.)={}x▪ ▪ X▪ ▪ f()x)=Sí.}.{displaystyle f^{-1}(y)={xin Xmid f(x)=y}

Asimismo, la preimage de un subset B del codomain Y es el conjunto de las preimágenes de los elementos B, es decir, es el subconjunto del dominio X que consiste en todos los elementos X cuyas imágenes pertenecen a B. Es denotado por f− − 1()B){displaystyle f^{-1}(B)} y es dado por la ecuación

f− − 1()B)={}x▪ ▪ X▪ ▪ f()x)▪ ▪ B}.{displaystyle f^{-1}(B)={xin Xmid f(x)in B}

Por ejemplo, el preimage de {}4,9}{displaystyle{4,9}} bajo la función cuadrada es el conjunto {}− − 3,− − 2,2,3}{displaystyle {-3,-2,2,3}}.

Por definición de una función, la imagen de un elemento x del dominio es siempre un único elemento del codomain. Sin embargo, el preimage f− − 1()Sí.){displaystyle f^{-1}(y)} de un elemento Sí. del codominio puede estar vacío o contener cualquier número de elementos. Por ejemplo, si f es la función de los enteros a sí mismos que mapa cada entero a 0, entonces f− − 1()0)=Z{displaystyle f^{-1}(0)=mathbb {Z}.

Si f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} es una función, A y B son subconjuntos de X, y C y D son subconjuntos de Y, entonces uno tiene las siguientes propiedades:

• A⊆ ⊆ B⟹ ⟹ f()A)⊆ ⊆ f()B){displaystyle Asubseteq BLongrightarrow f(A)subseteq f(B)}
• C⊆ ⊆ D⟹ ⟹ f− − 1()C)⊆ ⊆ f− − 1()D){displaystyle Csubseteq DLongrightarrow f^{-1}(C)subseteq f^{-1}(D)}
• A⊆ ⊆ f− − 1()f()A)){displaystyle Asubseteq f^{-1}(f(A)}
• C⊇ ⊇ f()f− − 1()C)){displaystyle Csupseteq f(f^{-1}(C)}
• f()f− − 1()f()A)))=f()A){displaystyle f(f^{-1}(f(A))=f(A)}
• f− − 1()f()f− − 1()C)))=f− − 1()C){displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C))=f^{-1}(C)}

La preimagen por f de un elemento y del codominio a veces se denomina, en algunos contextos, la fibra de y bajo f.

Si una función f tiene un inverso (ver abajo), este inverso se denota f− − 1.{displaystyle f^{-1} En este caso f− − 1()C){displaystyle f^{-1}(C)} puede denotar la imagen por f− − 1{displaystyle f^{-1} o el preimage por f de C. Esto no es un problema, ya que estos conjuntos son iguales. La notación f()A){displaystyle f(A)} y f− − 1()C){displaystyle f^{-1}(C)} puede ser ambiguo en el caso de conjuntos que contienen algunos subconjuntos como elementos, como {}x,{}x}}.{displaystyle {x,{x}}} En este caso, es posible que se necesite algún cuidado, por ejemplo, utilizando corchetes cuadrados f[A],f− − 1[C]{displaystyle f[A],f^{-1}[C] para imágenes y preimágenes de subconjuntos y paréntesis comunes para imágenes y preimages de elementos.

Funciones inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Vamos f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} ser una función.

La función f es inyección (o uno a uno, o es un inyecciónSi f()a) f()b) para cualquier dos elementos diferentes a y b de X. Equivalentemente, f es inyectable si y sólo si, para cualquier Sí.▪ ▪ Y,{displaystyle yin Y,} el preimage f− − 1()Sí.){displaystyle f^{-1}(y)} contiene a la mayoría de un elemento. Una función vacía siempre es inyectable. Si X no es el conjunto vacío, entonces f es inyectable si existe una función g:: Y→ → X{displaystyle gcolon Yto X} tales que g∘ ∘ f=idX,{displaystyle gcirc f=operatorname {id} _{X} si f tiene un inverso izquierdo. PruebaSi f es inyectable, para definir g, uno elige un elemento x0{displaystyle x_{0} dentro X (que existe como X se supone que no es vacía), y uno define g por g()Sí.)=x{displaystyle g(y)=x} si Sí.=f()x){displaystyle y=f(x)} y g()Sí.)=x0{displaystyle g(y)=x_{0} si Sí.∉f()X).{displaystyle ynot in f(X).} Por el contrario, si g∘ ∘ f=idX,{displaystyle gcirc f=operatorname {id} _{X} y Sí.=f()x),{displaystyle y=f(x),} entonces x=g()Sí.),{displaystyle x=g(y),} y así f− − 1()Sí.)={}x}.{displaystyle f^{-1}(y)={x}

La función f es surjetivo (o sobre, o es un surjection) si su rango f()X){displaystyle f(X)} iguala su codomain Y{displaystyle Sí., es decir, si, para cada elemento Sí.{displaystyle y} del codominio, existe algún elemento x{displaystyle x} del dominio tal que f()x)=Sí.{displaystyle f(x)=y} (en otras palabras, el preimage f− − 1()Sí.){displaystyle f^{-1}(y)} de todos Sí.▪ ▪ Y{displaystyle yin Y} no está vacía). Si, como de costumbre en las matemáticas modernas, el axioma de la elección es asumido, entonces f es subjetivo si existe una función g:: Y→ → X{displaystyle gcolon Yto X} tales que f∘ ∘ g=idY,{displaystyle fcirc g=operatorname {id} _{Y} si f tiene un inverso derecho. El axioma de elección es necesario, porque, si f es subjetivo, uno define g por g()Sí.)=x,{displaystyle g(y)=x,} Donde x{displaystyle x} es un elegido arbitrariamente elemento f− − 1()Sí.).{displaystyle f^{-1}(y). }

La función f es bijeti (o es un bijeción o a correspondencia de uno a unoSi es inyectable y subjetivo. Eso es, f es bijetivo si, para cualquier Sí.▪ ▪ Y,{displaystyle yin Y,} el preimage f− − 1()Sí.){displaystyle f^{-1}(y)} contiene exactamente un elemento. La función f es bijetivo si y sólo si admite una función inversa, es decir, una función g:: Y→ → X{displaystyle gcolon Yto X} tales que g∘ ∘ f=idX{displaystyle gcirc f=operatorname {id} ¿Qué? y f∘ ∘ g=idY.{displaystyle fcirc g=operatorname {id} _{Y} (Contrariamente al caso de las subjeciones, esto no requiere el axioma de elección; la prueba es directa).

Cada función f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} se puede considerar como la composición i∘ ∘ s{displaystyle icirc s} de un surjeto seguido de una inyección, donde s es la subjeción canónica de X sobre f()X) y i es la inyección canónica de f()X) en Y. Este es el factorización canónica de f.

"Uno a uno" y "sobre" son términos que eran más comunes en la literatura inglesa más antigua; "inyectiva", "sobreyectiva" y "biyectiva" fueron acuñadas originalmente como palabras francesas en el segundo cuarto del siglo XX por el grupo Bourbaki e importadas al inglés. Como advertencia, "una función uno a uno" es uno que es inyectivo, mientras que una "correspondencia uno a uno" se refiere a una función biyectiva. Además, la declaración "f mapea X en Y" difiere de los mapas "f X en B", en el sentido de que el primero implica que f es sobreyectivo, mientras que este último no hace ninguna afirmación sobre la naturaleza de f. En un razonamiento complicado, la diferencia de una letra puede pasarse por alto fácilmente. Debido a la naturaleza confusa de esta terminología más antigua, estos términos han perdido popularidad en relación con los términos bourbakianos, que también tienen la ventaja de ser más simétricos.

Restricción y extensión

Si f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} es una función y S es un subconjunto de X, entonces el restricción de f{displaystyle f} a S, denotado fSilencioS{displaystyle F., es la función de S a Y definidas por

fSilencioS()x)=f()x){displaystyle f preserve_{S}(x)=f(x)}

para todos x dentro S. Las restricciones se pueden utilizar para definir funciones inversas parciales: si hay un subconjunto S del dominio de una función f{displaystyle f} tales que fSilencioS{displaystyle F. es inyectable, luego la subjeción canónica fSilencioS{displaystyle F. sobre su imagen fSilencioS()S)=f()S){displaystyle f preserve_{S}(S)=f(S)} es una bijeción, y por lo tanto tiene una función inversa de f()S){displaystyle f(S)} a S. Una aplicación es la definición de funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo, la función cosina es inyectable cuando se restringe al intervalo [0, π]. La imagen de esta restricción es el intervalo [1, a 1], y por lo tanto la restricción tiene una función inversa de [1, a 1] a [0, π], que se llama arccosine y es denotado arccos.

La restricción de funciones también se puede utilizar para "glutir" funciones juntas. Vamos X=⋃ ⋃ i▪ ▪ IUi{textstyle X=bigcup _{iin Yo... ser la descomposición de X como unión de subconjuntos, y suponer que una función fi:: Ui→ → Y{displaystyle F_{i}colon U_{i}to Sí. se define en cada uno Ui{displaystyle U_{i} tal que para cada par i,j{displaystyle i,j} de los índices, las restricciones fi{displaystyle F_{i} y fj{displaystyle f_{j} a Ui∩ ∩ Uj{displaystyle U_{i}cap U_{j} son iguales. Entonces esto define una función única f:: X→ → Y{displaystyle fcolon Xto Y} tales que fSilencioUi=fi{displaystyle ¿Por qué? para todos i. Esta es la forma en que se definen las funciones en los múltiples ejes.

Una extensión de una función f es una función g tal que f es una restricción de g. Un uso típico de este concepto es el proceso de continuación analítica, que permite extender funciones cuyo dominio es una pequeña parte del plano complejo a funciones cuyo dominio es casi todo el plano complejo.

Aquí está otro ejemplo clásico de una extensión de función que se encuentra al estudiar homografías de la línea real. A homografía es una función h()x)=ax+bcx+d{displaystyle h(x)={frac {ax+b}{cx+d}} tales que ad − bc ل 0. Su dominio es el conjunto de todos los números reales diferentes de − − d/c,{displaystyle -d/c,} y su imagen es el conjunto de todos los números reales diferentes de a/c.{displaystyle a/c.} Si uno extiende la línea real a la línea real proyectada, incluyendo JUEGO, uno puede extender h a una bijeción de la línea real extendida a sí misma mediante el ajuste h()JUEGO JUEGO )=a/c{displaystyle h(infty)=a/c} y h()− − d/c)=JUEGO JUEGO {displaystyle h(-d/c)=infty }.

Función multivariada

Una operación binaria es un ejemplo típico de una función bivariada que asigna a cada par ()x,Sí.){displaystyle (x,y)} el resultado x∘ ∘ Sí.{displaystyle xcirc y}.

Una función multivariante, o función de varias variables es una función que depende de varios argumentos. Tales funciones se encuentran comúnmente. Por ejemplo, la posición de un automóvil en una carretera es una función del tiempo recorrido y su velocidad promedio.

Más formalmente, una función de variables n es una función cuyo dominio es un conjunto de n-tuplas. Por ejemplo, la multiplicación de enteros es una función de dos variables, o función bivariada, cuyo dominio es el conjunto de todos los pares (2-tuplas) de enteros, y cuyo codominio es el conjunto de enteros. Lo mismo es cierto para cada operación binaria. De manera más general, cada operación matemática se define como una función multivariante.

El producto cartesiano X1× × ⋯ ⋯ × × Xn{displaystyle X_{1}times cdots times X_{n} de n sets X1,...... ,Xn{displaystyle X_{1},ldots X_{n} es el conjunto de todos n-tuples ()x1,...... ,xn){displaystyle (x_{1},ldotsx_{n}} tales que xi▪ ▪ Xi{displaystyle x_{i}in X_{i} para todos i con 1≤ ≤ i≤ ≤ n{displaystyle 1leq ileq n}. Por lo tanto, una función de n variables es una función

f:: U→ → Y,{displaystyle fcolon Uto Y,}

donde el dominio U tiene la forma

U⊆ ⊆ X1× × ⋯ ⋯ × × Xn.{displaystyle Usubseteq X_{1}times cdots times X_{n}.

Al utilizar la notación de la función, uno generalmente omite los paréntesis que rodean los tuples, escribiendo f()x1,x2){displaystyle f(x_{1},x_{2}} en lugar de f()()x1,x2)).{displaystyle f(x_{1},x_{2})). }

En el caso de todos los Xi{displaystyle X_{i} son iguales al conjunto R{displaystyle mathbb {R} de números reales, uno tiene una función de varias variables reales. Si Xi{displaystyle X_{i} son iguales al conjunto C{displaystyle mathbb {C} de números complejos, uno tiene una función de varias variables complejas.

Es común considerar también funciones cuyo codominio es un producto de conjuntos. Por ejemplo, la división euclidiana asigna cada par (a, b) de enteros con b ≠ 0 a un par de enteros llamados cociente y resto:

División Euclidea:: Z× × ()Z∖ ∖ {}0})→ → Z× × Z()a,b)↦ ↦ ()quotient⁡ ⁡ ()a,b),resto⁡ ⁡ ()a,b)).{displaystyle {begin{aligned}{text{Euclidean division}}colon quad mathbb {Z} times (mathbb {Z} setminus {0}) {Z} times mathbb {Z} \(a,b) duplicamapsto (operatorname {quotient} (a,b),operatorname {remainder} (a,b)).end{aligned}}}}

El codominio también puede ser un espacio vectorial. En este caso, se habla de una función vectorial. Si el dominio está contenido en un espacio euclidiano, o más generalmente en una variedad, una función con valores vectoriales a menudo se denomina campo vectorial.

En cálculo

La idea de función, a partir del siglo XVII, fue fundamental para el nuevo cálculo infinitesimal. En ese momento, solo se consideraban funciones de valor real de una variable real y se suponía que todas las funciones eran suaves. Pero la definición pronto se extendió a funciones de varias variables ya funciones de una variable compleja. En la segunda mitad del siglo XIX, se introdujo la definición matemáticamente rigurosa de una función y se definieron funciones con dominios y codominios arbitrarios.

Las funciones ahora se utilizan en todas las áreas de las matemáticas. En cálculo introductorio, cuando la palabra función se usa sin calificación, significa una función de valor real de una sola variable real. La definición más general de una función generalmente se presenta a estudiantes universitarios de segundo o tercer año con especializaciones en STEM, y en su último año se les presenta el cálculo en un entorno más amplio y riguroso en cursos como análisis real y análisis complejo.

Función real

Gráfico de una función lineal

Gráfico de una función polinomio, aquí una función cuadrática.

Gráfico de dos funciones trigonométricas: sine y cosina.

Una función real es una función de valor real de una variable real, es decir, una función cuyo codominio es el campo de los números reales y cuyo dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo. En esta sección, estas funciones se denominan simplemente funciones.

Las funciones que se consideran más comúnmente en matemáticas y sus aplicaciones tienen cierta regularidad, es decir, son continuas, derivables e incluso analíticas. Esta regularidad asegura que estas funciones puedan ser visualizadas por sus gráficos. En esta sección, todas las funciones son diferenciables en algún intervalo.

Las funciones disfrutan de operaciones puntuales, es decir, si f y g son funciones, su suma, diferencia y producto son funciones definidas por

()f+g)()x)=f()x)+g()x)()f− − g)()x)=f()x)− − g()x)()f⋅ ⋅ g)()x)=f()x)⋅ ⋅ g()x).{displaystyle {begin{aligned}(f+g)(x) sensible=f(x)+g(x)(f-g)(x) limit=f(x)-g(x)(fcdot g)(x) {cdot=f(x)cdot g(x)\\\end{aligned}}}

Los dominios de las funciones resultantes son la intersección de los dominios de f y g. El cociente de dos funciones se define de manera similar por

fg()x)=f()x)g()x),{displaystyle {frac {f} {f}={frac {f(x)}{g(x)}}} }

pero el dominio de la función resultante se obtiene quitando los ceros de g de la intersección de los dominios de f y g.

Las funciones polinomiales son definidas por polinomios, y su dominio es todo el conjunto de números reales. Incluye funciones constantes, funciones lineales y funciones cuadráticas. Las funciones racionales son cocientes de dos funciones polinómicas, y su dominio es el número real con un número finito de ellas eliminadas para evitar la división por cero. La función racional más simple es la función x↦ ↦ 1x,{displaystyle xmapsto {frac {1}{x},} cuyo gráfico es una hiperbola, y cuyo dominio es toda la línea real excepto para 0.

El derivado de una función diferenciable real es una función real. Un antiderivativo de una función real continua es una función real que tiene la función original como un derivado. Por ejemplo, la función x↦ ↦ 1x{displaystyle xmapsto {frac {1}{x}} es continuo, e incluso diferente, en los números reales positivos. Así un antiderivativo, que toma el valor cero para x = 1, es una función diferenciable llamada el logaritmo natural.

Una función real f es monotónico en un intervalo si el signo de f()x)− − f()Sí.)x− − Sí.{displaystyle {frac {f(x)-f(y)}{x-y}} no depende de la elección de x y Sí. en el intervalo. Si la función es diferente en el intervalo, es monotónica si el signo del derivado es constante en el intervalo. Si una función real f es monotónico en un intervalo I, tiene una función inversa, que es una función real con dominio f()I) y imagen I. Así se definen las funciones trigonométricas inversas en términos de funciones trigonométricas, donde las funciones trigonométricas son monotónicas. Otro ejemplo: el logaritmo natural es monotónico en los números reales positivos, y su imagen es toda la línea real; por lo tanto tiene una función inversa que es una bijeción entre los números reales y los números reales positivos. Este inverso es la función exponencial.

Muchas otras funciones reales se definen mediante el teorema de la función implícita (la función inversa es un caso particular) o como soluciones de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, las funciones seno y coseno son las soluciones de la ecuación diferencial lineal

Sí..+Sí.=0{displaystyle Y...

tal que

pecado⁡ ⁡ 0=0,#⁡ ⁡ 0=1,∂ ∂ pecado⁡ ⁡ x∂ ∂ x()0)=1,∂ ∂ #⁡ ⁡ x∂ ∂ x()0)=0.{displaystyle sin 0=0,quad cos 0=1,quad {frac {partial sin x}{partial x}}(0)=1,quad {frac {partial cos x}{partial x}(0)=0.}

Función con valores vectoriales

Cuando los elementos del codominio de una función son vectores, se dice que la función es una función vectorial. Estas funciones son particularmente útiles en aplicaciones, por ejemplo, modelado de propiedades físicas. Por ejemplo, la función que asocia a cada punto de un fluido su vector velocidad es una función vectorial.

Algunas funciones de valor vectorial se definen en un subconjunto de Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} u otros espacios que comparten propiedades geométricas o topológicas Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, como manifolds. Estas funciones de valor vectorial se dan el nombre vectores.

Espacio de funciones

En el análisis matemático, y más específicamente en el análisis funcional, un espacio de funciones es un conjunto de funciones con valores escalares o vectoriales, que comparten una propiedad específica y forman un espacio vectorial topológico. Por ejemplo, las funciones suaves reales con un soporte compacto (es decir, son cero fuera de algún conjunto compacto) forman un espacio funcional que está en la base de la teoría de las distribuciones.

Los espacios de funciones juegan un papel fundamental en el análisis matemático avanzado, al permitir el uso de sus propiedades algebraicas y topológicas para estudiar las propiedades de las funciones. Por ejemplo, todos los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales resultan del estudio de espacios de funciones.

Funciones multivalor

Juntos, las dos raíces cuadradas de todos los números reales no negativos forman una sola curva suave.

Varios métodos para especificar funciones de variables reales o complejas comienzan desde una definición local de la función en un punto o en un barrio de un punto, y luego se extienden por continuidad la función a un dominio mucho mayor. Con frecuencia, para un punto de partida x0,{displaystyle x_{0},} hay varios posibles valores de inicio para la función.

Por ejemplo, al definir la raíz cuadrada como la función inversa de la función cuadrada, para cualquier número real positivo x0,{displaystyle x_{0},} hay dos opciones para el valor de la raíz cuadrada, una de las cuales es positiva y denotada x0,{displaystyle {sqrt {x_{0}}}} y otro que es negativo y denotado − − x0.{displaystyle - ¿Qué? Estas opciones definen dos funciones continuas, tanto teniendo los números reales no negativos como un dominio, como tener los números reales no negativos o no positivos como imágenes. Al mirar los gráficos de estas funciones, se puede ver que, juntos, forman una sola curva suave. Por lo tanto, a menudo es útil considerar estas dos funciones de raíz cuadrada como una sola función que tiene dos valores positivos x, un valor para 0 y ningún valor para negativo x.

En el ejemplo anterior, una opción, la raíz cuadrada positiva, es más natural que la otra. Este no es el caso en general. Por ejemplo, vamos a considerar la función implícita que mapas Sí. a una raíz x de x3− − 3x− − Sí.=0{displaystyle x^{3}-3x-y=0} (ver la figura a la derecha). Para Sí. = 0 uno puede elegir 0,3,o− − 3{displaystyle 0,{sqrt {3},{text{ or }-{sqrt {3}} para x. Por el teorema de función implícita, cada elección define una función; para el primero, el dominio (maximal) es el intervalo [2, 2, 2] y la imagen es [1, a 1]; para el segundo, el dominio es [2 - 2 años] y la imagen es [1, ∞]; para el último, el dominio es (Libertad, 2) y la imagen es (Libertad, −1]. A medida que los tres gráficos juntos forman una curva suave, y no hay razón para preferir una opción, estas tres funciones se consideran a menudo como una sola función multivalorada de Sí. que tiene tres valores −2 - 2 Sí. 2, y sólo un valor para Sí. ≤ 2 y Sí. ≥ −2.

La utilidad del concepto de funciones multivaluadas es más clara cuando se consideran funciones complejas, típicamente funciones analíticas. El dominio al que puede extenderse una función compleja por continuación analítica consiste generalmente en casi todo el plano complejo. Sin embargo, cuando se extiende el dominio a través de dos rutas diferentes, a menudo se obtienen valores diferentes. Por ejemplo, al extender el dominio de la función raíz cuadrada, a lo largo de un camino de números complejos con partes imaginarias positivas, se obtiene i para la raíz cuadrada de −1; mientras que, al extenderse a través de números complejos con partes imaginarias negativas, se obtiene −i. En general, hay dos formas de resolver el problema. Se puede definir una función que no sea continua a lo largo de alguna curva, llamada corte de rama. Tal función se llama el valor principal de la función. La otra forma es considerar que uno tiene una función multivaluada, que es analítica en todas partes excepto en singularidades aisladas, pero cuyo valor puede "saltar" si uno sigue un circuito cerrado alrededor de una singularidad. Este salto se llama monodromía.

En los fundamentos de las matemáticas y la teoría de conjuntos

La definición de función que se da en este artículo requiere el concepto de conjunto, ya que el dominio y el codominio de una función deben ser un conjunto. Esto no es un problema en las matemáticas habituales, ya que generalmente no es difícil considerar solo funciones cuyo dominio y codominio son conjuntos, que están bien definidos, incluso si el dominio no está definido explícitamente. Sin embargo, a veces es útil considerar funciones más generales.

Por ejemplo, el conjunto de un soloton puede considerarse como una función x↦ ↦ {}x}.{displaystyle xmapsto {x}.} Su dominio incluiría todos los conjuntos, y por lo tanto no sería un conjunto. En las matemáticas habituales, se evita este tipo de problema especificando un dominio, lo que significa que uno tiene muchas funciones de singleton. Sin embargo, al establecer las bases de las matemáticas, uno puede tener que utilizar funciones cuyo dominio, codomain o ambos no se especifican, y algunos autores, a menudo lógicas, dan definición precisa para estas funciones débilmente especificadas.

Estas funciones generalizadas pueden ser críticas en el desarrollo de una formalización de los fundamentos de las matemáticas. Por ejemplo, la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel es una extensión de la teoría de conjuntos en la que el conjunto de todos los conjuntos es una clase. Esta teoría incluye el axioma de reemplazo, que puede expresarse como: Si X es un conjunto y F es una función, entonces F[X] es un conjunto.

En informática

En programación informática, una función es, en general, una parte de un programa informático que implementa el concepto abstracto de función. Es decir, es una unidad de programa que produce una salida para cada entrada. Sin embargo, en muchos lenguajes de programación se llama función a cada subrutina, incluso cuando no hay salida, y cuando la funcionalidad consiste simplemente en modificar algunos datos en la memoria de la computadora.

La programación funcional es el paradigma de programación que consiste en construir programas usando solo subrutinas que se comportan como funciones matemáticas. Por ejemplo, if_then_else es una función que toma tres funciones como argumentos y, dependiendo del resultado de la primera función (true o false), devuelve el resultado de la segunda o la tercera función. Una ventaja importante de la programación funcional es que facilita las pruebas de programas, ya que se basa en una teoría bien fundamentada, el cálculo lambda (ver más abajo).

Excepto por la terminología del lenguaje informático, "función" tiene el significado matemático habitual en informática. En esta área, una propiedad de gran interés es la computabilidad de una función. Para dar un significado preciso a este concepto, y al concepto relacionado de algoritmo, se han introducido varios modelos de computación, siendo los antiguos las funciones recursivas generales, el cálculo lambda y la máquina de Turing. El teorema fundamental de la teoría de la computabilidad es que estos tres modelos de computación definen el mismo conjunto de funciones computables, y que todos los demás modelos de computación que se han propuesto alguna vez definen el mismo conjunto de funciones computables o uno más pequeño. La tesis de Church-Turing es la afirmación de que cada definición filosóficamente aceptable de una función computable define también las mismas funciones.

Las funciones recursivas generales son funciones parciales de enteros a enteros que se pueden definir a partir de

• funciones constantes,
• sucesor, y
• Funciones de proyección

a través de los operadores

• composición,
• recursión primitiva, y
• minimización.

Aunque se definen solo para funciones de entero a entero, pueden modelar cualquier función computable como consecuencia de las siguientes propiedades:

• un cálculo es la manipulación de secuencias finitas de símbolos (digitos de números, fórmulas,...),
• cada secuencia de símbolos puede ser codificada como una secuencia de bits,
• un poco de secuencia se puede interpretar como la representación binaria de un entero.

El cálculo lambda es una teoría que define funciones computables sin utilizar la teoría de conjuntos y es la base teórica de la programación funcional. Consiste en términos que son variables, definiciones de función (𝜆-términos) o aplicaciones de funciones a términos. Los términos se manipulan a través de algunas reglas (la α-equivalencia, la β-reducción, y la η-conversión), que son los axiomas de la teoría y pueden ser interpretadas como reglas de cálculo.

En su forma original, el cálculo lambda no incluye los conceptos de dominio y codominio de una función. En términos generales, se han introducido en la teoría bajo el nombre de tipo en cálculo lambda tipado. La mayoría de los tipos de cálculos lambda tipificados pueden definir menos funciones que los cálculos lambda no tipificados.