Función localmente constante

En matemáticas, una función localmente constante es una función de un espacio topológico en un conjunto con la propiedad de que alrededor de cada punto de su dominio existe alguna vecindad de ese punto en la que se restringe a una función constante.

Definición

Vamos f:X→ → S{displaystyle f:Xto S} ser una función desde un espacio topológico X{displaystyle X} en un conjunto S.{displaystyle S.} Si x▪ ▪ X{displaystyle xin X} entonces f{displaystyle f} se dice que localmente constante en x{displaystyle x} si existe un vecindario U⊆ ⊆ X{displaystyle Usubseteq X} de x{displaystyle x} tales que f{displaystyle f} es constante U,{displaystyle U,} por definición f()u)=f()v){displaystyle f(u)=f(v)} para todos u,v▪ ▪ U.{displaystyle u,vin U.} La función f:X→ → S{displaystyle f:Xto S} se llama localmente constante si es localmente constante en cada punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} en su dominio.

Ejemplos

Toda función constante es localmente constante. Lo contrario se mantendrá si su dominio es un espacio conexo.

Cada función localmente constante de los números reales R{displaystyle mathbb {R} a R{displaystyle mathbb {R} es constante, por la conexión de R.{displaystyle mathbb {R} Pero la función f:Q→ → R{displaystyle f:mathbb {Q} to mathbb {R} de los fundamentos Q{displaystyle mathbb {Q} a R,{displaystyle mathbb {R} definidas por <math alttext="{displaystyle f(x)=0{text{ for }}xf()x)=0parax.π π ,{displaystyle f(x)=0{text{ for }xificandopi}<img alt="{displaystyle f(x)=0{text{ for }}x y pi}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f()x)=1parax■π π ,{displaystyle f(x)=1{ for }x {pi}pi}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3fb75ab1fe58c00977db32c5b89020ee6ede5d" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.033ex; height:2.843ex;"/> es localmente constante (esto utiliza el hecho de que π π {displaystyle pi} es irracional y por lo tanto los dos conjuntos <math alttext="{displaystyle {xin mathbb {Q}:x{}x▪ ▪ Q:x.π π }{displaystyle {xin mathbb {Q}:x {pi}}<img alt="{displaystyle {xin mathbb {Q}:x y pi }}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}x▪ ▪ Q:x■π π }{displaystyle {xin mathbb {Q}:x {pi}}pi }}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56798a09aa97c2449a639e6eddb2cf283861865" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.001ex; height:2.843ex;"/> ambos están abiertos Q{displaystyle mathbb {Q}).

Si f:A→ → B{displaystyle f:Ato B} es localmente constante, entonces es constante en cualquier componente conectado de A.{displaystyle A.} El converso es verdadero para espacios conectados localmente, que son espacios cuyos componentes conectados son subconjuntos abiertos.

Otros ejemplos incluyen los siguientes:

• Dado un mapa de cobertura p:C→ → X,{displaystyle p:Cto X,} entonces a cada punto x▪ ▪ X{displaystyle xin X} podemos asignar la cardinalidad de la fibra p− − 1()x){displaystyle p^{-1}(x)} sobre x{displaystyle x}; esta asignación es localmente constante.
• Un mapa desde un espacio topológico A{displaystyle A} a un espacio discreto B{displaystyle B} es continuo si y sólo si es localmente constante.

Conexión con la teoría de la gavilla

Hay Sheaves de las funciones locales constantes X.{displaystyle X.} Para ser más definidos, las funciones de valor entero constante localmente en X{displaystyle X} forma una hoja en el sentido que para cada conjunto abierto U{displaystyle U} de X{displaystyle X} podemos formar las funciones de este tipo; y luego verificar que la hoja axiomas espera para esta construcción, dándonos una hoja de grupos abelianos (incluso anillos comunicativos). Esta hoja podría ser escrita ZX{displaystyle Z_{X}; descrito por medio de tallos Tenemos tallos Zx,{displaystyle Z_{x},} una copia Z{displaystyle Z} a x,{displaystyle x,} para cada uno x▪ ▪ X.{displaystyle xin X.} Esto se puede referir a constante, que significa exactamente hoja de funciones localmente constantes tomar sus valores en el grupo (samo). La hoja típica, por supuesto, no es constante de esta manera; pero la construcción es útil para vincular la cohomología de hoja con la teoría de la homología, y en aplicaciones lógicas de cuchillas. La idea del sistema de coeficiente local es que podemos tener una teoría de cuchillas que localmente se ven como una cuna tan 'sin dolor' x{displaystyle x}), pero desde un punto de vista global exhiben alguna 'twisting'.