Función inyectiva

En matemáticas, una función inyectiva (también conocida como inyección o función uno a uno) es una función f que asigna distintos elementos de su dominio a distintos elementos; es decir, f(x₁) = f( x₂) implica x₁ = x₂. (Equivalentemente, x₁ ≠ x₂ implica < abarcan clase="texhtml">f(x₁) ≠ f(x₂) en la declaración contrapositiva equivalente). En otras palabras, cada elemento del codominio de la función es la imagen de como máximo un elemento de su dominio. El término función uno a uno no debe confundirse con correspondencia uno a uno que se refiere a funciones biyectivas, que son funciones tales que cada elemento en el codominio es una imagen de exactamente un elemento en el dominio.

Un homomorfismo entre estructuras algebraicas es una función que es compatible con las operaciones de las estructuras. Para todas las estructuras algebraicas comunes y, en particular, para los espacios vectoriales, un homomorfismo inyectivo también se denomina monomorfismo. Sin embargo, en el contexto más general de la teoría de categorías, la definición de monomorfismo difiere de la de homomorfismo inyectivo. Por lo tanto, este es un teorema de que son equivalentes para estructuras algebraicas; consulte Homomorfismo § Monomorfismo para obtener más detalles.

Una función ${displaystyle f}$ que no es inyectable a veces se llama muchos a uno.

Definición

Una función inyectable

Vamos ${displaystyle f}$ ser una función cuyo dominio es un conjunto ${displaystyle X.}$ La función ${displaystyle f}$ se dice que inyección siempre que para todos ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ dentro ${displaystyle X.$ si ${displaystyle f(a)=f(b),}$ entonces ${displaystyle a=b}$; es decir, ${displaystyle f(a)=f(b)}$ implicación ${displaystyle a=b.}$ Equivalentemente, si ${displaystyle aneq b,}$ entonces ${displaystyle f(a)neq f(b)}$ en la declaración contrapositiva.

Simbólicamente,

$${displaystyle forall a,bin X,;;f(a)=f(b) Rightarrow a=b,}$$

$${displaystyle forall a,bin X,;;aneq bRightarrow f(a)neq f(b). }$$

Ejemplos

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• Para cualquier conjunto ${displaystyle X}$ y cualquier subconjunto ${displaystyle Ssubseteq X,}$ el mapa de inclusión ${displaystyle Sto X}$ (que envía cualquier elemento ${displaystyle sin S}$ a sí mismo) es inyectable. En particular, la función de identidad ${displaystyle Xto X}$ es siempre inyectable (y de hecho bijetivo).
• Si el dominio de una función es el conjunto vacío, entonces la función es la función vacía, que es inyectable.
• Si el dominio de una función tiene un elemento (es decir, es un conjunto de un soloton), entonces la función siempre es inyectable.
• La función ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R}$ definidas por ${displaystyle f(x)=2x+1}$ es inyectable.
• La función ${displaystyle g:mathbb {R} to mathbb {R}$ definidas por ${displaystyle g(x)=x^{2}$ es no inyección, porque (por ejemplo) ${displaystyle g(1)=1=g(-1). }$ Sin embargo, si ${displaystyle g}$ es redefinido para que su dominio sea el número real no negativo [0,+∞), entonces ${displaystyle g}$ es inyectable.
• La función exponencial ${displaystyle exp:mathbb {R} to mathbb {R}$ definidas por ${displaystyle exp(x)=e^{x}$ es inyectable (pero no subjetivo, como ningún mapa de valor real a un número negativo).
• La función de logaritmo natural ${displaystyle ln:(0,infty)to mathbb {R}$ definidas por ${displaystyle xmapsto ln x}$ es inyectable.
• La función ${displaystyle g:mathbb {R} to mathbb {R}$ definidas por ${displaystyle g(x)=x^{n}-x}$ no es inyectable, ya que, por ejemplo, ${displaystyle g(0)=g(1)=0.}$

Más generalmente, cuando ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$ son ambos la línea real ${displaystyle mathbb {R}$ entonces una función inyectable ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {R}$ es uno cuyo gráfico nunca se intersectó por ninguna línea horizontal más de una vez. This principle is referred to as the prueba de línea horizontal.

Las inyecciones se pueden deshacer

Las funciones con inversos izquierdos siempre son inyecciones. Eso es, dado ${displaystyle f:Xto Sí.$ si hay una función ${displaystyle g:Yto X}$ por cada uno ${displaystyle xin X}$, ${displaystyle g(f(x)=x}$, entonces ${displaystyle f}$ es inyectable. En este caso, ${displaystyle g}$ se llama una retracción de ${displaystyle f.}$ Por el contrario, ${displaystyle f}$ se llama una sección de ${displaystyle g.}$

Por el contrario, cada inyección ${displaystyle f}$ con un dominio no vacío tiene un inverso izquierdo ${displaystyle g}$. Puede definirse eligiendo un elemento ${displaystyle a}$ en el dominio de ${displaystyle f}$ y configuración ${displaystyle g(y)}$ al elemento único del pre-image ${displaystyle f^{-1}[y]$ (si no está vacío) o ${displaystyle a}$ (otros).

El inverso izquierdo ${displaystyle g}$ no es necesariamente un inverso de ${displaystyle f,}$ porque la composición en el otro orden, ${displaystyle fcirc g,}$ puede diferir de la identidad ${displaystyle Sí.$ En otras palabras, una función inyectable puede ser "reversada" por un inverso izquierdo, pero no es necesariamente invertible, lo que requiere que la función sea bijetivista.

Las inyecciones pueden hacerse reversibles

De hecho, para convertir una función inyectable ${displaystyle f:Xto Sí.$ en una función bijeactiva (de ahí invertible), basta reemplazar su codomain ${displaystyle Sí.$ por su alcance real ${displaystyle J=f(X). }$ Eso es, vamos ${displaystyle g:Xto J}$ tales que ${displaystyle g(x)=f(x)}$ para todos ${displaystyle xin X}$; entonces ${displaystyle g}$ es bijetivo. De hecho, ${displaystyle f}$ se puede considerar como ${displaystyle operatorname {fnMicrosoft Sans Serif}$ Donde ${displaystyle operatorname {fnK}$ es la función de inclusión desde ${displaystyle J}$ en ${displaystyle Sí.$

Más generalmente, las funciones parciales inyectivas se denominan biyecciones parciales.

Otras propiedades

La composición de dos funciones inyectables es inyectable.

• Si ${displaystyle f}$ y ${displaystyle g}$ ambos son inyectables entonces ${displaystyle fcirc g}$ es inyectable.
• Si ${displaystyle gcirc f}$ es inyectable, entonces ${displaystyle f}$ es inyectable (pero ${displaystyle g}$ no es necesario).
• ${displaystyle f:Xto Sí.$ es inyectable si y sólo si, dada cualquier función ${displaystyle g,}$ ${displaystyle h:Wto X}$ siempre ${displaystyle fcirc g=fcirc h,}$ entonces ${displaystyle g=h.}$ En otras palabras, las funciones inyectables son precisamente los monomorfismos de la categoría Set de conjuntos.
• Si ${displaystyle f:Xto Sí.$ es inyectable y ${displaystyle A}$ es un subconjunto de ${displaystyle X.$ entonces ${displaystyle f^{-1}(f(A))=A.}$ Así, ${displaystyle A}$ se puede recuperar de su imagen ${displaystyle f(A).}$
• Si ${displaystyle f:Xto Sí.$ es inyectable y ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ son ambos subconjuntos de ${displaystyle X.$ entonces ${displaystyle f(Acap B)=f(A)cap f(B). }$
• Cada función ${displaystyle h:Wto Y}$ puede ser descompuesto ${displaystyle h=fcirc g}$ para una inyección adecuada ${displaystyle f}$ and surjection ${displaystyle g.}$ Esta descomposición es única hasta el isomorfismo, y ${displaystyle f}$ puede ser pensado como la función de inclusión del rango ${displaystyle h(W)}$ de ${displaystyle h}$ como subconjunto del codomain ${displaystyle Sí.$ de ${displaystyle h.}$
• Si ${displaystyle f:Xto Sí.$ es una función inyectable, entonces ${displaystyle Sí.$ tiene al menos tantos elementos como ${displaystyle X.$ en el sentido de los números cardinales. En particular, si, además, hay una inyección de ${displaystyle Sí.$ a ${displaystyle X.$ entonces ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$ tienen el mismo número cardenal. (Esto se conoce como el teorema Cantor–Bernstein–Schroeder.)
• Si ambos ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$ son finitos con el mismo número de elementos, entonces ${displaystyle f:Xto Sí.$ es inyectable si y sólo si ${displaystyle f}$ es subjetivo (en cuyo caso ${displaystyle f}$ es bijetivo).
• Una función inyectable que es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas es una incrustación.
• A diferencia de la subjetividad, que es una relación entre el gráfico de una función y su codominio, la inyección es una propiedad del gráfico de la función sola; es decir, si una función ${displaystyle f}$ es inyectable se puede decidir sólo considerando el gráfico (y no el codomain) ${displaystyle f.}$

Demostrar que las funciones son inyectivas

Una prueba de que una función ${displaystyle f}$ es inyectable depende de cómo se presenta la función y de qué propiedades tiene la función. Para funciones que son dadas por alguna fórmula hay una idea básica. Utilizamos la definición de inyección, es decir, si ${displaystyle f(x)=f(y),}$ entonces ${displaystyle x=y.}$

Este es un ejemplo:

$${displaystyle f(x)=2x+3}$$

Prueba: ${displaystyle f:Xto Y.}$ Suppose ${displaystyle f(x)=f(y). }$ Así que... ${displaystyle 2x+3=2y+3}$ implicación ${displaystyle 2x=2y,}$ que implica ${displaystyle x=y.}$ Por consiguiente, se deriva de la definición de que ${displaystyle f}$ es inyectable.

Hay varios otros métodos de probar que una función es inyectable. Por ejemplo, en cálculo si ${displaystyle f}$ es una función diferenciable definida en algún intervalo, entonces es suficiente para demostrar que el derivado es siempre positivo o siempre negativo en ese intervalo. En álgebra lineal, si ${displaystyle f}$ es una transformación lineal que es suficiente para demostrar que el núcleo de ${displaystyle f}$ contiene sólo el vector cero. Si ${displaystyle f}$ es una función con dominio finito es suficiente mirar a través de la lista de imágenes de cada elemento de dominio y comprobar que ninguna imagen ocurre dos veces en la lista.

Un enfoque gráfico para una función de valor real ${displaystyle f}$ de una variable real ${displaystyle x}$ es la prueba de línea horizontal. Si cada línea horizontal interseca la curva ${displaystyle f(x)}$ en la mayoría de un punto, entonces ${displaystyle f}$ es inyectable o uno a uno.

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