Función inyectiva

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En matemáticas, una función inyectiva (también conocida como inyección o función uno a uno) es una función f que asigna distintos elementos de su dominio a distintos elementos; es decir, f(x1) = f( x2) implica x1 = x2. (Equivalentemente, x1x2 implica < abarcan clase="texhtml">f(x1) ≠ f(x2) en la declaración contrapositiva equivalente). En otras palabras, cada elemento del codominio de la función es la imagen de como máximo un elemento de su dominio. El término función uno a uno no debe confundirse con correspondencia uno a uno que se refiere a funciones biyectivas, que son funciones tales que cada elemento en el codominio es una imagen de exactamente un elemento en el dominio.

Un homomorfismo entre estructuras algebraicas es una función que es compatible con las operaciones de las estructuras. Para todas las estructuras algebraicas comunes y, en particular, para los espacios vectoriales, un homomorfismo inyectivo también se denomina monomorfismo. Sin embargo, en el contexto más general de la teoría de categorías, la definición de monomorfismo difiere de la de homomorfismo inyectivo. Por lo tanto, este es un teorema de que son equivalentes para estructuras algebraicas; consulte Homomorfismo § Monomorfismo para obtener más detalles.

Una función que no es inyectable a veces se llama muchos a uno.

Definición

Una función inyectable

Vamos ser una función cuyo dominio es un conjunto La función se dice que inyección siempre que para todos y dentro si entonces ; es decir, implicación Equivalentemente, si entonces en la declaración contrapositiva.


Simbólicamente,

Ejemplos

Para ver ejemplos visuales, se dirige a los lectores a la sección de galería.

  • Para cualquier conjunto y cualquier subconjunto el mapa de inclusión (que envía cualquier elemento a sí mismo) es inyectable. En particular, la función de identidad es siempre inyectable (y de hecho bijetivo).
  • Si el dominio de una función es el conjunto vacío, entonces la función es la función vacía, que es inyectable.
  • Si el dominio de una función tiene un elemento (es decir, es un conjunto de un soloton), entonces la función siempre es inyectable.
  • La función definidas por es inyectable.
  • La función definidas por es no inyección, porque (por ejemplo) Sin embargo, si es redefinido para que su dominio sea el número real no negativo [0,+∞), entonces es inyectable.
  • La función exponencial definidas por es inyectable (pero no subjetivo, como ningún mapa de valor real a un número negativo).
  • La función de logaritmo natural definidas por es inyectable.
  • La función definidas por no es inyectable, ya que, por ejemplo,

Más generalmente, cuando y son ambos la línea real entonces una función inyectable es uno cuyo gráfico nunca se intersectó por ninguna línea horizontal más de una vez. This principle is referred to as the prueba de línea horizontal.

Las inyecciones se pueden deshacer

Las funciones con inversos izquierdos siempre son inyecciones. Eso es, dado si hay una función por cada uno , , entonces es inyectable. En este caso, se llama una retracción de Por el contrario, se llama una sección de

Por el contrario, cada inyección con un dominio no vacío tiene un inverso izquierdo . Puede definirse eligiendo un elemento en el dominio de y configuración al elemento único del pre-image (si no está vacío) o (otros).

El inverso izquierdo no es necesariamente un inverso de porque la composición en el otro orden, puede diferir de la identidad En otras palabras, una función inyectable puede ser "reversada" por un inverso izquierdo, pero no es necesariamente invertible, lo que requiere que la función sea bijetivista.

Las inyecciones pueden hacerse reversibles

De hecho, para convertir una función inyectable en una función bijeactiva (de ahí invertible), basta reemplazar su codomain por su alcance real Eso es, vamos tales que para todos ; entonces es bijetivo. De hecho, se puede considerar como Donde es la función de inclusión desde en

Más generalmente, las funciones parciales inyectivas se denominan biyecciones parciales.

Otras propiedades

La composición de dos funciones inyectables es inyectable.
  • Si y ambos son inyectables entonces es inyectable.
  • Si es inyectable, entonces es inyectable (pero no es necesario).
  • es inyectable si y sólo si, dada cualquier función siempre entonces En otras palabras, las funciones inyectables son precisamente los monomorfismos de la categoría Set de conjuntos.
  • Si es inyectable y es un subconjunto de entonces Así, se puede recuperar de su imagen
  • Si es inyectable y y son ambos subconjuntos de entonces
  • Cada función puede ser descompuesto para una inyección adecuada and surjection Esta descomposición es única hasta el isomorfismo, y puede ser pensado como la función de inclusión del rango de como subconjunto del codomain de
  • Si es una función inyectable, entonces tiene al menos tantos elementos como en el sentido de los números cardinales. En particular, si, además, hay una inyección de a entonces y tienen el mismo número cardenal. (Esto se conoce como el teorema Cantor–Bernstein–Schroeder.)
  • Si ambos y son finitos con el mismo número de elementos, entonces es inyectable si y sólo si es subjetivo (en cuyo caso es bijetivo).
  • Una función inyectable que es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas es una incrustación.
  • A diferencia de la subjetividad, que es una relación entre el gráfico de una función y su codominio, la inyección es una propiedad del gráfico de la función sola; es decir, si una función es inyectable se puede decidir sólo considerando el gráfico (y no el codomain)

Demostrar que las funciones son inyectivas

Una prueba de que una función es inyectable depende de cómo se presenta la función y de qué propiedades tiene la función. Para funciones que son dadas por alguna fórmula hay una idea básica. Utilizamos la definición de inyección, es decir, si entonces

Este es un ejemplo:

Prueba: Suppose Así que... implicación que implica Por consiguiente, se deriva de la definición de que es inyectable.

Hay varios otros métodos de probar que una función es inyectable. Por ejemplo, en cálculo si es una función diferenciable definida en algún intervalo, entonces es suficiente para demostrar que el derivado es siempre positivo o siempre negativo en ese intervalo. En álgebra lineal, si es una transformación lineal que es suficiente para demostrar que el núcleo de contiene sólo el vector cero. Si es una función con dominio finito es suficiente mirar a través de la lista de imágenes de cada elemento de dominio y comprobar que ninguna imagen ocurre dos veces en la lista.

Un enfoque gráfico para una función de valor real de una variable real es la prueba de línea horizontal. Si cada línea horizontal interseca la curva en la mayoría de un punto, entonces es inyectable o uno a uno.

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