Función implícita

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Relación matemática consistente en una función multivariable igual a cero

En matemáticas, un ecuación implícita es una relación de la forma ${displaystyle R(x_{1},dotsx_{n})=0,}$ Donde $R$ es una función de varias variables (a menudo un polinomio). Por ejemplo, la ecuación implícita del círculo de unidad es ${displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.}$

An función implícita es una función que se define por una ecuación implícita, que relaciona una de las variables, considerada como el valor de la función, con las otras consideradas como los argumentos. Por ejemplo, la ecuación ${displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ de la unidad círculo define $Sí.$ como una función implícita $x$ si $-1 - \leq x \leq 1$ , y $Sí.$ está restringido a valores no negativos.

El teorema de la función implícita proporciona condiciones bajo las cuales algunos tipos de ecuaciones implícitas definen funciones implícitas, es decir, aquellas que se obtienen igualando a cero funciones multivariables que son continuamente diferenciables.

Ejemplos

Funciones inversas

Un tipo común de función implícita es una función inversa. No todas las funciones tienen una única función inversa. Si $g$ es una función de $x$ que tiene un inverso único, entonces la función inversa de $g$ , llamada $g -1$ , es la única función que da solución a la ecuación

y=g(x)

para $x$ en términos de $y$ . Esta solución puede escribirse entonces como

{displaystyle x=g^{-1}(y),.}

Definiendo $g -1$ como el inverso de $g$ es una definición implícita. Para algunas funciones $g$ , $g -1 (y)$ se puede escribir explícitamente como una expresión de forma cerrada, por ejemplo, si $g (x) = 2 x - 1$ , luego $g -1 (y) = 1 //span> 2 (y + 1) . Sin embargo, esto a menudo no es posible, o solo mediante la introducción de una nueva notación (como en el ejemplo de registro de producto a continuación).$

Intuitivamente, se obtiene una función inversa de $g$ al intercambiar los roles de las variables dependientes e independientes.

Ejemplo: El registro del producto es una función implícita que proporciona la solución para $x$ de la ecuación $y - xe x = 0$ .

Funciones algebraicas

Una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes son a su vez polinomios. Por ejemplo, una función algebraica en una variable $x$ da una solución para $y$ de una ecuación

{displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+cdots +a_{0}(x)=0,,}

donde los coeficientes $a i (x)$ son funciones polinómicas de $x$ . Esta función algebraica se puede escribir como el lado derecho de la ecuación de solución $y = f (x). Escrito así, f es una función implícita de varios valores.$

Las funciones algebraicas juegan un papel importante en el análisis matemático y la geometría algebraica. El lado izquierdo de la ecuación del círculo unitario da un ejemplo simple de una función algebraica:

{displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,.}

Resolver para $y$ da una solución explícita:

{displaystyle y=pm {sqrt {1-x^{2}}},.}

Pero incluso sin especificar esta solución explícita, es posible referirse a la solución implícita de la ecuación del círculo unitario como $y = f (x)$ , donde $f$ es la función implícita multivaluada.

Si bien se pueden encontrar soluciones explícitas para ecuaciones que son cuadráticas, cúbicas y cuárticas en $y$ , no ocurre lo mismo en cierto general para ecuaciones de grado quíntico y superior, como

{displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0,.}

Sin embargo, todavía se puede hacer referencia a la solución implícita $y = f (x)$ que implica la función implícita de varios valores $f$ .

Advertencias

No todas las ecuaciones $R (x, y) = 0$ implican un gráfico de una función de un solo valor, siendo la ecuación circular un ejemplo destacado. Otro ejemplo es una función implícita dada por $x - C (y) = 0$ donde $C$ es un polinomio cúbico que tiene una "joroba" en su gráfico. Por lo tanto, para que una función implícita sea una función verdadera (de un solo valor), podría ser necesario usar solo una parte del gráfico. A veces, una función implícita se puede definir correctamente como una función verdadera solo después de "acercar" en alguna parte del eje $x$ y "cortando" algunas ramas de funciones no deseadas. Luego se puede escribir una ecuación que exprese $y$ como una función implícita de las otras variables.

La ecuación definitoria $R (x, y) = 0$ también puede tener otras patologías. Por ejemplo, la ecuación $x = 0$ no implica una función $f (x)$ dando soluciones para $y$ en absoluto; es una linea vertical. Para evitar un problema como este, con frecuencia se imponen varias restricciones en los tipos de ecuaciones permitidos o en el dominio. El teorema de la función implícita proporciona una forma uniforme de manejar este tipo de patologías.

Diferenciación implícita

En cálculo, un método llamado diferenciación implícita hace uso de la regla de la cadena para diferenciar funciones implícitamente definidas.

Para derivar una función implícita $y (x)$ , definida por una ecuación <span class="texhtml" R(x, y) = 0, generalmente no es posible resolverlo explícitamente para $y$ y luego diferencie. En cambio, uno puede diferenciar totalmente $R (x, y) = 0$ con respecto a $x$ y $y$ y luego resuelve la ecuación lineal resultante para $dy / dx$ para obtener explícitamente la derivada en términos de $x$ y $y$ . Incluso cuando es posible resolver explícitamente la ecuación original, la fórmula resultante de la diferenciación total es, en general, mucho más simple y fácil de usar.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerar

{displaystyle y+x+5=0,.}

Esta ecuación es fácil de resolver para $y$ , dando

{displaystyle y=-x-5,,}

donde el lado derecho es la forma explícita de la función $y (x)$ . Luego, la diferenciación da $dy / dx = -1$ .

Alternativamente, uno puede derivar totalmente la ecuación original:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {dy}{dx}}+{frac {dx}{dx}}+{frac {d}{dx}}(5)&=0,;\[6px]{frac {dy}{dx}}+1+0&=0,.end{aligned}}}

Resolviendo para $dy / dx$ da

{displaystyle {frac {dy}{dx}}=-1,,}

la misma respuesta que se obtuvo anteriormente.

Ejemplo 2

Un ejemplo de una función implícita para la cual la diferenciación implícita es más fácil que usar la diferenciación explícita es la función $y (x)$ definido por la ecuación

{displaystyle x^{4}+2y^{2}=8,.}

Para diferenciar esto explícitamente con respecto a $x$ , primero hay que obtener

{displaystyle y(x)=pm {sqrt {frac {8-x^{4}}{2}}},,}

y luego diferencie esta función. Esto crea dos derivadas: una para $y \geq 0$ y otra para $y < 0$ .

Es sustancialmente más fácil derivar implícitamente la ecuación original:

{displaystyle 4x^{3}+4y{frac {dy}{dx}}=0,,}

dar

{displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {-4x^{3}}{4y}}=-{frac {x^{3}}{y}},.}

Ejemplo 3

A menudo, es difícil o imposible resolver explícitamente $y$ , y la diferenciación implícita es el único método factible de diferenciación. Un ejemplo es la ecuación

{displaystyle y^{5}-y=x,.}

Es imposible expresar algebraicamente $y$ explícitamente como una función de $x$ , y por lo tanto no se puede encontrar $dy / dx$ por diferenciación explícita. Usando el método implícito, $dy / dx$ se puede obtener diferenciando la ecuación para obtener

{displaystyle 5y^{4}{frac {dy}{dx}}-{frac {dy}{dx}}={frac {dx}{dx}},,}

donde $dx / dx = 1$ . Factorizar $dy / dx$ muestra que

{displaystyle left(5y^{4}-1right){frac {dy}{dx}}=1,,}

que arroja el resultado

{displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {1}{5y^{4}-1}},,}

que se define para

{displaystyle yneq pm {frac {1}{sqrt[{4}]{5}}}quad {text{and}}quad yneq pm {frac {i}{sqrt[{4}]{5}}},.}

Fórmula general para derivada de función implícita

Si $R (x, y) = 0$ , la derivada de la la función implícita $y (x)$ viene dada por

{displaystyle {frac {dy}{dx}}=-{frac {,{frac {partial R}{partial x}},}{frac {partial R}{partial y}}}=-{frac {R_{x}}{R_{y}}},,}

donde $R x$ y $R y$ indican las derivadas parciales de $R$ con respecto a $x$ y $y$ .

La fórmula anterior proviene del uso de la regla de la cadena generalizada para obtener la derivada total, con respecto a $x$ , de ambos lados de $R (x, y) = 0$ :

{displaystyle {frac {partial R}{partial x}}{frac {dx}{dx}}+{frac {partial R}{partial y}}{frac {dy}{dx}}=0,,}

por lo tanto

{displaystyle {frac {partial R}{partial x}}+{frac {partial R}{partial y}}{frac {dy}{dx}}=0,,}

que, cuando se resuelve para $dy / dx$ , da la expresión anterior.

Teorema de la función implícita

El círculo de unidad se puede definir implícitamente como el conjunto de puntos

() x, Sí.)

satisfacción

x 2 + Sí. 2 = 1

. Punto alrededor

A

Sí.

puede expresarse como una función implícita

Sí. () x)

. (A diferencia de en muchos casos, esta función puede ser explícita como

g 1 () x) \sqrt 1 - x 2

.) No existe tal función alrededor del punto

B

, donde el espacio tangente es vertical.

Sea $R (x, y)$ una función diferenciable de dos variables, y $(a, b)$ sean un par de números reales tales que $R (a, b) = 0$ . Si $\partial R / \partial y \neq 0$ , luego $R (x, y) = 0$ define una función implícita que es diferenciable en una vecindad lo suficientemente pequeña de $(a, b)$ ; en otras palabras, hay una función diferenciable $f$ que está definida y es diferenciable en alguna vecindad de $a$ , tal que $R (x, f (x)) = 0$ para $x$ en este vecindario.

La condición $\partial R / \partial y \neq 0$ significa que $(a, b)$ es un punto regular de la curva implícita de la ecuación implícita $R (x, y) = 0$ donde la tangente no es vertical.

En un lenguaje menos técnico, existen funciones implícitas y se pueden diferenciar, si la curva tiene una tangente no vertical.

En geometría algebraica

Considere una relación de la forma $R (x 1, \dots, x n) = 0$ , donde $R$ es un polinomio multivariable. El conjunto de los valores de las variables que satisfacen esta relación se denomina curva implícita si $n = 2$ y una superficie implícita si $n = 3$ . Las ecuaciones implícitas son la base de la geometría algebraica, cuyos temas básicos de estudio son las soluciones simultáneas de varias ecuaciones implícitas cuyos lados izquierdos son polinomios. Estos conjuntos de soluciones simultáneas se denominan conjuntos algebraicos afines.

En ecuaciones diferenciales

Las soluciones de ecuaciones diferenciales generalmente aparecen expresadas por una función implícita.

Aplicaciones en economía

Tasa marginal de sustitución

En economía, cuando el nivel establecido $R (x, y) = 0$ es una curva de indiferencia para las cantidades $x$ y $y$ consumido de dos bienes, el valor absoluto de la derivada implícita $dy / dx$ se interpreta como la tasa marginal de sustitución de los dos bienes: cuánto más de $y$ se debe recibir para ser indiferente a la pérdida de una unidad de $x$ .

Tasa marginal de sustitución técnica

Del mismo modo, a veces el conjunto de niveles $R (L, K)$ es un isocuanta que muestra varias combinaciones de cantidades utilizadas $L$ de mano de obra y $K$ de capital físico, cada uno de los cuales resultaría en la producción de la misma cantidad dada de producción de algún bien. En este caso, el valor absoluto de la derivada implícita $dK / dL$ se interpreta como el margen tasa de sustitución técnica entre los dos factores de producción: cuánto más capital debe usar la empresa para producir la misma cantidad de producto con una unidad menos de trabajo.

Optimización

A menudo, en la teoría económica, alguna función, como una función de utilidad o una función de beneficio, debe maximizarse con respecto a un vector de elección $x$ a pesar de que la función objetivo no se ha restringido a ninguna forma funcional específica. El teorema de la función implícita garantiza que las condiciones de primer orden de la optimización definen una función implícita para cada elemento del vector óptimo $x *$ del vector de elección $x$ . Cuando se maximiza el beneficio, normalmente las funciones implícitas resultantes son la función de demanda de trabajo y las funciones de oferta de diversos bienes. Cuando se maximiza la utilidad, normalmente las funciones implícitas resultantes son la función de oferta de mano de obra y las funciones de demanda de diversos bienes.

Además, la influencia de los parámetros del problema en $x *$ (las derivadas parciales de la función implícita) se puede expresar como derivadas totales del sistema de condiciones de primer orden encontradas usando diferenciación total.

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