Función generalizada

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Objetos que amplían la noción de funciones

En matemáticas, las funciones generalizadas son objetos que amplían la noción de funciones. Existe más de una teoría reconocida, por ejemplo la teoría de las distribuciones. Las funciones generalizadas son especialmente útiles para hacer que las funciones discontinuas se parezcan más a funciones suaves y para describir fenómenos físicos discretos como las cargas puntuales. Se aplican ampliamente, especialmente en física e ingeniería.

Una característica común de algunos de los enfoques es que se basan en aspectos de operador de funciones numéricas cotidianas. La historia temprana está relacionada con algunas ideas sobre el cálculo operacional, y los desarrollos más contemporáneos en ciertas direcciones están estrechamente relacionados con las ideas de Mikio Sato, sobre lo que él llama análisis algebraico. Influencias importantes sobre el tema han sido los requisitos técnicos de las teorías de ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de representación de grupos.

Alguna historia temprana

En las matemáticas del siglo XIX, aparecieron aspectos de la teoría de funciones generalizadas, por ejemplo en la definición de la función de Green, en la transformada de Laplace y en la teoría de las series trigonométricas de Riemann, que no eran necesariamente la serie de Fourier de una función integrable. Estos eran aspectos desconectados del análisis matemático en ese momento.

El uso intensivo de la transformada de Laplace en ingeniería condujo al uso heurístico de métodos simbólicos, llamados cálculo operacional. Dado que se dieron justificaciones que utilizaban series divergentes, estos métodos tenían mala reputación desde el punto de vista de las matemáticas puras. Son típicos de la aplicación posterior de métodos de funciones generalizadas. Un libro influyente sobre cálculo operacional fue la Teoría electromagnética de Oliver Heaviside de 1899.

Cuando se introdujo la integral de Lebesgue, existía por primera vez una noción de función generalizada central para las matemáticas. Una función integrable, en la teoría de Lebesgue, es equivalente a cualquier otra que sea igual en casi todas partes. Eso significa que su valor en un punto dado no es (en cierto sentido) su característica más importante. En el análisis funcional se da una formulación clara de la característica esencial de una función integrable, es decir, la forma en que define una funcional lineal en otras funciones. Esto permite una definición de derivada débil.

A finales de los años 1920 y 1930 se tomaron nuevas medidas, básicas para el trabajo futuro. La función delta de Dirac fue definida audazmente por Paul Dirac (un aspecto de su formalismo científico); se trataba de tratar las medidas, consideradas como densidades (como la densidad de carga), como funciones genuinas. Sergei Sobolev, trabajando en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, definió la primera teoría adecuada de funciones generalizadas, desde el punto de vista matemático, para trabajar con soluciones débiles de ecuaciones diferenciales parciales. Otros que propusieron teorías relacionadas en ese momento fueron Salomon Bochner y Kurt Friedrichs. El trabajo de Sobolev fue desarrollado de forma ampliada por Laurent Schwartz.

Distribución de Schwartz

La realización de tal concepto que iba a ser aceptado como definitivo, para muchos propósitos, era la teoría de las distribuciones, desarrollada por Laurent Schwartz. Se puede llamar una teoría de principios, basada en la teoría de la dualidad para los espacios vectoriales topológicos. Su principal rival, en matemáticas aplicadas, es utilizar secuencias de aproximaciones suaves (la explicación 'James Lighthill'), que es más ad hoc. Esto ahora entra en la teoría como la teoría de mollifiers.

Esta teoría fue muy exitosa y todavía es ampliamente utilizada, pero sufre del principal inconveniente que sólo permite operaciones lineales. En otras palabras, las distribuciones no se pueden multiplicar (excepto casos muy especiales): a diferencia de la mayoría de los espacios de función clásica, no son un álgebra. Por ejemplo, no es significativo cuadrado la función Dirac delta. El trabajo de Schwartz de alrededor de 1954 mostró que era una dificultad intrínseca.

Se han propuesto algunas soluciones al problema de la multiplicación. Uno se basa en una definición muy simple e intuitiva una función generalizada dada por Yu. V. Egorov (ver también su artículo en el libro de Demidov en la lista de libros a continuación) que permite operaciones arbitrarias en, y entre, funciones generalizadas.

Otra solución al problema de la multiplicación viene dictada por la formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica. Dado que se requiere que esto sea equivalente a la teoría de la mecánica cuántica de Schrödinger, que es invariante bajo transformaciones de coordenadas, esta propiedad debe ser compartida por las integrales de trayectoria. Esto corrige todos los productos de funciones generalizadas. como lo muestran H. Kleinert y A. Chervyakov. El resultado es equivalente a lo que se puede derivar de Regularización dimensional.

Álgebras de funciones generalizadas

Se han propuesto varias construcciones de álgebras de funciones generalizadas, entre otras las de Yu. M. Shirokov y los de E. Rosinger, Y. Egorov y R. Robinson. En el primer caso, la multiplicación se determina con alguna regularización de función generalizada. En el segundo caso, el álgebra se construye como multiplicación de distribuciones. Ambos casos se analizan a continuación.

Álgebra no conmutativa de funciones generalizadas

El álgebra de funciones generalizadas se puede construir con un procedimiento apropiado de proyección de una función ${displaystyle F=F(x)}$ suavidad ${displaystyle F_{rm {smooth}}}$ y su singular ${displaystyle F_{rm {singular}}}$ partes. El producto de las funciones generalizadas ${displaystyle F}$ y ${displaystyle G}$ aparece como

{displaystyle FG~=~F_{rm {smooth}}~G_{rm {smooth}}~+~F_{rm {smooth}}~G_{rm {singular}}~+F_{rm {singular}}~G_{rm {smooth}}.}

()1)

Esta norma se aplica tanto al espacio de funciones principales como al espacio de operadores que actúan en el espacio de las funciones principales. La asociación de la multiplicación se logra; y la función signum se define de tal manera, que su cuadrado es unidad en todas partes (incluyendo el origen de las coordenadas). Tenga en cuenta que el producto de piezas singulares no aparece en el lado derecho de (1); en particular, ${displaystyle delta (x)^{2}=0}$ . Tal formalismo incluye la teoría convencional de las funciones generalizadas (sin su producto) como un caso especial. Sin embargo, el álgebra resultante es no-commutante: funciones generalizadas signum y delta anticommute. Pocos aplicaciones del álgebra fueron sugeridos.

Multiplicación de distribuciones

El problema de la multiplicación de distribuciones, una limitación de la teoría de la distribución de Schwartz, se vuelve grave para los problemas no lineales.

Hoy en día se utilizan varios enfoques. La más simple se basa en la definición de función generalizada dada por Yu. V. Egórov. Otro enfoque para construir álgebras diferenciales asociativas se basa en J.-F. Construcción de Colombeau: ver álgebra de Colombeau. Estos son espacios factoriales

{displaystyle G=M/N}

de "moderado" módulo "insignificante" redes de funciones, donde la "moderación" y "negligibilidad" Se refiere al crecimiento con respecto al índice de la familia.

Ejemplo: álgebra de Colombeau

Un ejemplo simple se obtiene utilizando la escala polinomio N, ${displaystyle s={a_{m}:mathbb {N} to mathbb {R}nmapsto n^{m};~min mathbb {Z} }}$ . Entonces para cualquier álgebra semi-reglada (E,P), el espacio factor será

{displaystyle G_{s}(E,P)={frac {{fin E^{mathbb {N} }mid forall pin P,exists min mathbb {Z}:p(f_{n})=o(n^{m})}}{{fin E^{mathbb {N} }mid forall pin P,forall min mathbb {Z}:p(f_{n})=o(n^{m})}}}.}

En particular, para (E, P)=(C,|.|) se obtiene (Colombeau's) números complejos generalizados (que pueden ser "infinitamente grandes" y "infinitesimalmente pequeños" y aun así permiten una aritmética rigurosa, muy similar a los números no estándar). Para (E, P) = (C^∞(R),{ p_k}) (donde p_k es el supremo de todas las derivadas de orden menor o igual a k en la bola de radio k) se obtiene el álgebra simplificada de Colombeau.

Inyección de distribuciones de Schwartz

Esta álgebra "contiene" todas las distribuciones T de D' a través de la inyección

j()T) =_n Alternativa T)_n + N,

donde ∗ es la operación de convolución, y

φ_n()x) n φ(nx).

Esta inyección es no canónica en el sentido de que depende de la elección del suavizante φ, que debe ser C^∞, de integral uno y todas sus derivadas en 0 desaparecen. Para obtener una inyección canónica, el conjunto de indexación se puede modificar para que sea N × D(R), con una base de filtro conveniente en D(R) (funciones de momentos de fuga hasta el orden q).

Estructura de la gavilla

Si (E,P) es un (pre)conjunto de álgebras semi-normadas en algún espacio topológico X, entonces G_s(E, P) también tendrá esta propiedad. Esto significa que se definirá la noción de restricción, que permite definir el soporte de una función generalizada w.r.t. una subgavilla, en particular:

Para el subsheaf {0}, se obtiene el soporte habitual (complemento del subconjunto abierto más grande donde la función es cero).
Para el subsheaf E (embedded using the canonical (constant) injection), se obtiene lo que se llama el soporte singular, es decir, aproximadamente, el cierre del conjunto donde la función generalizada no es una función suave (para E = C^JUEGO).

Análisis microlocal

Al estar (bien) definida la transformación de Fourier para funciones generalizadas con soporte compacto (en cuanto a componentes), se puede aplicar la misma construcción que para las distribuciones y definir el conjunto de frentes de onda también para funciones generalizadas.

Esto tiene una aplicación especialmente importante en el análisis de la propagación de singularidades.

Otras teorías

Estos incluyen: la teoría del cociente de convolución de Jan Mikusinski, basada en el campo de fracciones de álgebras de convolución que son dominios integrales; y las teorías de las hiperfunciones, basadas (en su concepción inicial) en valores límite de funciones analíticas, y que ahora hacen uso de la teoría de la gavilla.

Grupos topológicos

Bruhat introdujo una clase de funciones de prueba, el Schwartz-Bruhat funciona como se conocen ahora, en una clase de grupos locales compactos que va más allá de los múltiples ámbitos que son los dominios de funciones típicos. Las aplicaciones están principalmente en la teoría de números, particularmente a los grupos algebraicos adélicos. André Weil rewrote Tate's thesis in this language, characterizing the zeta distribution on the idele group; and has also applied it to the explicit formula of an L-function.

Sección generalizada

Otra forma en la que se ha ampliado la teoría es como secciones generalizadas de un paquete de vectores suave. Esto sigue el patrón de Schwartz, construyendo objetos duales a los objetos de prueba, secciones lisas de un paquete que tienen un soporte compacto. La teoría más desarrollada es la de las corrientes de De Rham, de formas duales a diferenciales. Son de naturaleza homológica, del mismo modo que las formas diferenciales dan lugar a la cohomología de De Rham. Se pueden utilizar para formular una descripción general de Stokes. teorema.

Libros

Schwartz, L. (1950). Théorie des distributions. Vol. 1. París: Hermann. OCLC 889264730. Vol. 2. OCLC 889391733
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Pilipovi, S.; Stankovic, B.; Vindas, J. (2012). Comportamiento asintotico de funciones generalizadas. World Scientific. ISBN 9789814366847.

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