Función generadora de probabilidad

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En la teoría de la probabilidad, la función generadora de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una representación en serie de potencias (la función generadora) de la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria. Las funciones generadoras de probabilidad se emplean a menudo por su descripción sucinta de la secuencia de probabilidades Pr(X = i) en la función de masa de probabilidad para una variable aleatoria X, y poner a disposición la teoría bien desarrollada de series de potencias con coeficientes no negativos.

Definición

Caso univariante

Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores en los enteros no negativos {0,1,...}, entonces la función generadora de probabilidad de X se define como

G(z)=operatorname {E} (z^{X})=sum _{x=0}^{infty }p(x)z^{x},

donde p es la función de masa de probabilidad de X. Tenga en cuenta que las notaciones con subíndices G_X y p_X se utilizan a menudo para enfatizar que estos pertenecen a una variable aleatoria particular X, y a su distribución. La serie de potencias converge absolutamente al menos para todos los números complejos z con |z| ≤ 1; en muchos ejemplos el radio de convergencia es mayor.

Caso multivariante

Si X = (X₁,...,X_d ) es una variable aleatoria discreta que toma valores en la red de enteros no negativos d-dimensional {0,1,...}^d, entonces la función generadora de probabilidad de X se define como

G(z)=G(z_{1},ldotsz_{d})=operatorname {E} {bigl (}z_{1}^{X_{1}}cdots z_{d}^{X_{d}}{bigr)}=sum _{x_{1},ldotsx_{d}=0}^{infty }p(x_{1},ldotsx_{d})z_{1}^{x_{1}}cdots z_{d}^{x_{d}},

donde p es la función de masa de probabilidad de X. La serie de potencias converge absolutamente al menos para todos los vectores complejos z = (z₁,..., z_d ) ∈ ℂ^d con max{| z₁|,...,|z_d |} ≤ 1.

Propiedades

Serie de potencia

Las funciones generadoras de probabilidad obedecen todas las reglas de las series de potencias con coeficientes no negativos. En particular, G(1⁻) = 1, donde G(1⁻) = lim_z→1G(z) desde abajo, ya que las probabilidades deben sumar uno. Entonces, el radio de convergencia de cualquier función generadora de probabilidad debe ser al menos 1, según el teorema de Abel para series de potencias con coeficientes no negativos.

Probabilidades y expectativas

Las siguientes propiedades permiten la derivación de varias cantidades básicas relacionadas con X:

La función de masa de probabilidad X se recupera tomando derivados de G,
${displaystyle p(k)=operatorname {Pr} (X=k)={frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}$
Se deriva de la propiedad 1 que si variables aleatorias X y Y tienen funciones generadoras de probabilidad iguales, ${displaystyle G_{X}=G_{Y}}$ , entonces ${displaystyle p_{X}=p_{Y}}$ . Eso es, si X y Y tienen funciones de generación de probabilidad idénticas, luego tienen distribuciones idénticas.
La normalización de la función de densidad de probabilidad se puede expresar en términos de la función generadora por
${displaystyle operatorname {E} [1]=G(1^{-})=sum _{i=0}^{infty }p(i)=1.}$
La expectativa de $X$ es dado por
${displaystyle operatorname {E} [X]=G'(1^{-}).}$
Más generalmente, el k^T momento factorial, ${displaystyle operatorname {E} (X(X-1)cdots (X-k+1))}$ de X es dado por
${displaystyle operatorname {E} left[{frac {X!}{(X-k)!}}right]=G^{(k)}(1^{-}),quad kgeq 0.}$
Así que la diferencia X es dado por
$operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-left[G'(1^{-})right]^{2}.$
Finalmente, el k^T momento crudo de X es dado por
${displaystyle operatorname {E} [X^{k}]=left(z{frac {partial }{partial z}}right)^{k}G(z){Big |}_{z=1^{-}}}$
${displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$ Donde X es una variable aleatoria, $G_{X}(t)$ es la función generadora de probabilidad (de X) y $M_{X}(t)$ es la función generadora de momento (de X).

Funciones de variables aleatorias independientes

Las funciones generadoras de probabilidad son especialmente útiles para trabajar con funciones de variables aleatorias independientes. Por ejemplo:

Si X₁, X₂,... X_N es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente distribuidas idénticamente) que toman valores de número natural, y

{displaystyle S_{N}=sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}

Donde a_i son números naturales constantes, entonces la función generador de probabilidad es dada por

{displaystyle G_{S_{N}}(z)=operatorname {E} (z^{S_{N}})=operatorname {E} left(z^{sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i},}right)=G_{X_{1}}(z^{a_{1}})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})cdots G_{X_{N}}(z^{a_{N}}).}

Por ejemplo, si

{displaystyle S_{N}=sum _{i=1}^{N}X_{i},}

entonces la función generadora de probabilidad, G_{S_N}()z), se da por

{displaystyle G_{S_{N}}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(z)cdots G_{X_{N}}(z).}

También sigue que la función generadora de probabilidad de la diferencia de dos variables aleatorias independientes S = X₁ − X₂ es

{displaystyle G_{S}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(1/z).}

Supongamos que N, el número de variables aleatorias independientes en la suma anterior, no es un número natural fijo, pero también es una variable independiente y discreta que toma valores en los enteros no negativos, con función generadora de probabilidad G_N. Si X₁, X₂,... X_N son independientes y Distribución idéntica con función generadora de probabilidad común G_X, entonces

G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z)).

Esto se puede ver, utilizando la ley de la expectativa total, como sigue:

{displaystyle {begin{aligned}G_{S_{N}}(z)&=operatorname {E} (z^{S_{N}})=operatorname {E} (z^{sum _{i=1}^{N}X_{i}})\[4pt]&=operatorname {E} {big (}operatorname {E} (z^{sum _{i=1}^{N}X_{i}}mid N){big)}=operatorname {E} {big (}(G_{X}(z))^{N}{big)}=G_{N}(G_{X}(z)).end{aligned}}}

Este último hecho es útil en el estudio de los procesos Galton-Watson y los procesos compuestos Poisson.

Supongamos de nuevo que N es también una variable aleatoria independiente, discreta tomando valores en los enteros no negativos, con función generadora de probabilidad G_N y función de masa de probabilidad $f_{i}=Pr{N=i}$ . Si X₁, X₂,... X_N son independientes, pero no variables aleatorias distribuidas idénticamente, donde $G_{X_{i}}$ denota la función generadora de probabilidad de $X_{i}$ , entonces

G_{S_{N}}(z)=sum _{igeq 1}f_{i}prod _{k=1}^{i}G_{X_{i}}(z).

Para distribución idéntica X_i esto simplifica la identidad indicada antes. El caso general a veces es útil para obtener una descomposición S_N mediante la generación de funciones.

Ejemplos

La función de generación de probabilidad de una variable aleatoria casi seguro constante, es decir, una con Pr(X = c) = 1, es

{displaystyle G(z)=z^{c}.}

La función de generación de probabilidad de una variable binomial aleatoria, el número de éxitos en n ensayos, con probabilidad p de éxito en cada juicio, es

{displaystyle G(z)=left[(1-p)+pzright]^{n}.}

Note que este es el n- producto múltiple de la función generadora de probabilidad de una variable aleatoria Bernoulli con parámetro p.

Así que la probabilidad generando función de una moneda justa, es

{displaystyle G(z)=1/2+z/2.}

La función de generación de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa en {0,1,2...}, el número de fallas hasta el rt éxito con probabilidad de éxito en cada prueba p, es

G(z)=left({frac {p}{1-(1-p)z}}right)^{r}.

(Convergencia para

<math alttext="{displaystyle |z|SilenciozSilencio.11− − p{displaystyle Нованиваниваный {frac {1}{1-p}}<img alt="|z|

Note que este es el r- producto múltiple de la función de generación de probabilidad de una variable aleatoria geométrica con parámetro 1 −p en {0,1,2,...}.

La función de generación de probabilidad de una variable aleatoria Poisson con parámetro de velocidad λ es

{displaystyle G(z)=e^{lambda (z-1)}.}

Conceptos relacionados

La función generadora de probabilidad es un ejemplo de función generadora de una secuencia: véase también serie de potencia formal. Es equivalente a la transformada z de la función de masa de probabilidad, ya veces se la denomina.

Otras funciones generadoras de variables aleatorias incluyen la función generadora de momento, la función característica y la función generadora acumulada. La función generadora de probabilidad es también equivalente a la función generadora de momento factorial, que como ${displaystyle operatorname {E} left[z^{X}right]}$ también se puede considerar para variables continuas y otras aleatorias.

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