Función generadora de momentos factoriales

En teoría de probabilidad y estadística, la función generadora de momento factorial (FMGF) de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de valor real X se define como

${\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} {\bigl [}t^{X}{\bigr]}$

para todos los números complejos t para el cual existe este valor esperado. Este es el caso por lo menos para todos t en el círculo de la unidad ${\displaystyle Silencio.$, ver función característica. Si X es una variable aleatoria discreta tomando valores sólo en el conjunto {0,1,...} de enteros no negativos, entonces ${\displaystyle M_{X}$ también se llama función generadora de probabilidad (PGF) de X y ${\displaystyle M_{X}(t)}$ está bien definido por lo menos para todos t en el disco de unidad cerrada ${\displaystyle Silencioso para siempre\leq 1}$.

La función generadora de momento factorial genera los momentos factoriales de la distribución de probabilidad. Suministrado ${\displaystyle M_{X}$ existe en un barrio t = 1, el nel momento factorial es dado por

${\displaystyle \operatorname {E} [X)_{n}=M_{X}{(n)}(1)=\left.{\frac {\mathrm {d} {}{n}{\mathrm {d} ¿Qué?$

donde el símbolo de Pochhammer (x)_n es el factorial descendente

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\,}$

(Muchos matemáticos, especialmente en el campo de las funciones especiales, utilizan la misma notación para representar el factorial ascendente.)

Supongamos que X tiene una distribución de Poisson con valor esperado λ, entonces su función generadora de momento factorial es

${\displaystyle M_{X}(t)=\sum ¿Qué? }t^{k}\underbrace {\fnMicrosoft Sans Serif} _{=\,\lambda ^{k}e^{-\lambda {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}}=e^{\c\c\c\cHFF}}=e^{\lambda (t-1)},\qquad t\in \mathbbda {C}$

(use la definición de la función exponencial) y por lo tanto tenemos

${\displaystyle \operatorname {E} [X)_{n}=\lambda ^{n}$

• Momento (matemática)
• Función generadora de momento
• Función acumulativa