Función gaussiana

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Función matemática

En matemáticas, una función gaussiana, a menudo denominada simplemente gaussiana, es una función de la forma base

{displaystyle f(x)=exp(-x^{2})}

{displaystyle f(x)=aexp left(-{frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}right)}

a

b

c

a

b

c

Las funciones gaussianas a menudo se usan para representar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normalmente distribuida con valor esperado $μ = b$ y la varianza $σ 2 = c 2$ . En este caso, la Gaussiana es de la forma

{displaystyle g(x)={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}exp left(-{frac {1}{2}}{frac {(x-mu)^{2}}{sigma ^{2}}}right).}

Las funciones gaussianas se usan ampliamente en estadística para describir las distribuciones normales, en el procesamiento de señales para definir filtros gaussianos, en el procesamiento de imágenes donde se usan gaussianas bidimensionales para desenfoques gaussianos, y en matemáticas para resolver ecuaciones de calor y ecuaciones de difusión y para definir la transformada de Weierstrass.

Propiedades

Las funciones gaussianas surgen al componer la función exponencial con una función cuadrática cóncava:

{displaystyle f(x)=exp(alpha x^{2}+beta x+gamma),}

${displaystyle alpha =-1/2c^{2},}$
${displaystyle beta =b/c^{2},}$
${displaystyle gamma =ln a-(b^{2}/2c^{2}).}$

(Nota: en ${displaystyle ln a,a=1/(sigma {sqrt {2pi }})}$ , no estar confundido con ${displaystyle alpha =-1/2c^{2},}$ )

Las funciones gaussianas son, pues, aquellas funciones cuyo logaritmo es una función cuadrática cóncava.

El parámetro $c$ está relacionado con el ancho total a la mitad del máximo (FWHM) del pico según

{displaystyle {text{FWHM}}=2{sqrt {2ln 2}},capprox 2.35482,c.}

La función se puede expresar en términos de FWHM, representada por $w$ :

{displaystyle f(x)=ae^{-4(ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}.}

Alternativamente, el parámetro $c$ puede interpretarse diciendo que los dos puntos de inflexión de la función ocurren en $x = b \pm c$ .

El ancho total a la décima parte del máximo (FWTM) para un gaussiano podría ser de interés y es

{displaystyle {text{FWTM}}=2{sqrt {2ln 10}},capprox 4.29193,c.}

Las funciones gaussianas son analíticas y su límite como $x \to \infty$ es 0 (para el caso anterior de $b = 0$ ).

Las funciones gaussianas se encuentran entre aquellas funciones que son elementales pero carecen de antiderivadas elementales; la integral de la función gaussiana es la función de error:

{displaystyle int e^{-x^{2}},dx={frac {sqrt {pi }}{2}}operatorname {erf} x+C.}

Sin embargo, sus integrales impropias sobre toda la línea real se pueden evaluar exactamente, utilizando la integral de Gauss

{displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-x^{2}},dx={sqrt {pi }},}

{displaystyle int _{-infty }^{infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})},dx=accdot {sqrt {2pi }}.}

Curvas Gaussianas normalizadas con valor esperado

μ

y diferencia

σ 2

. Los parámetros correspondientes son

{textstyle a={tfrac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}}

b = μ

c = σ

Esta integral es 1 si y sólo si ${textstyle a={tfrac {1}{c{sqrt {2pi }}}}}$ (la constante normalizadora), y en este caso el Gaussian es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normalmente distribuida con valor esperado $μ = b$ y diferencia $σ 2 = c 2$ :

{displaystyle g(x)={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}exp left({frac {-(x-mu)^{2}}{2sigma ^{2}}}right).}

Estas gaussianas se trazan en la figura adjunta.

Las funciones gaussianas centradas en cero minimizan el principio de incertidumbre de Fourier.

El producto de dos funciones gaussianas es un Gausiano, y la convolución de dos funciones gaussianas es también un Gausiano, con varianza siendo la suma de las diferencias originales: ${displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$ . El producto de dos funciones de densidad de probabilidad gaussiana (PDF), sin embargo, no es en general un PDF Gausiano.

Tomando la transformación de Fourier (convención universal de frecuencia angular) de una función Gausiana con parámetros $a = 1$ , $b = 0$ y $c$ produce otra función Gaussiana, con parámetros $c$ , $b = 0$ y $1/c$ . Así que en particular las funciones gaisianas con $b = 0$ y $c=1$ se mantienen fijos por la transformación Fourier (son eigenfunctions de la transformación Fourier con eigenvalue 1). Una realización física es la del patrón de difracción: por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmisión tiene una variación gausiana es también una función gausiana.

El hecho de que la función gaussiana sea una función propia de la transformada continua de Fourier nos permite derivar la siguiente identidad interesante de la fórmula de suma de Poisson:

{displaystyle sum _{kin mathbb {Z} }exp left(-pi cdot left({frac {k}{c}}right)^{2}right)=ccdot sum _{kin mathbb {Z} }exp left(-pi cdot (kc)^{2}right).}

Integral de una función gaussiana

La integral de una función gaussiana arbitraria es

{displaystyle int _{-infty }^{infty }a,e^{-(x-b)^{2}/2c^{2}},dx={sqrt {2}}a,|c|,{sqrt {pi }}.}

Una forma alternativa es

{displaystyle int _{-infty }^{infty }k,e^{-fx^{2}+gx+h},dx=int _{-infty }^{infty }k,e^{-f{big (}x-g/(2f){big)}^{2}+g^{2}/(4f)+h},dx=k,{sqrt {frac {pi }{f}}},exp left({frac {g^{2}}{4f}}+hright),}

Relación con la integral gaussiana estándar

La integral

{displaystyle int _{-infty }^{infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}},dx}

abcax

Sí. = x - b

{displaystyle aint _{-infty }^{infty }e^{-y^{2}/2c^{2}},dy,}

{displaystyle z=y/{sqrt {2c^{2}}}}

{displaystyle a{sqrt {2c^{2}}}int _{-infty }^{infty }e^{-z^{2}},dz.}

Entonces, usando la identidad integral de Gauss

{displaystyle int _{-infty }^{infty }e^{-z^{2}},dz={sqrt {pi }},}

tenemos

{displaystyle int _{-infty }^{infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}},dx=a{sqrt {2pi c^{2}}}.}

Función gaussiana bidimensional

Parcela 3d de una función Gausiana con un dominio bidimensional

Forma básica:

{displaystyle f(x,y)=exp(-x^{2}-y^{2})}

En dos dimensiones, la potencia a la que se eleva e en la función gaussiana es cualquier forma cuadrática definida negativa. En consecuencia, los conjuntos de niveles de la Gaussiana siempre serán elipses.

Un ejemplo particular de una función gaussiana bidimensional es

{displaystyle f(x,y)=Aexp left(-left({frac {(x-x_{0})^{2}}{2sigma _{X}^{2}}}+{frac {(y-y_{0})^{2}}{2sigma _{Y}^{2}}}right)right).}

Aquí el coeficiente A es la amplitud, x₀, y₀ es el centro, y σ_x, σ_y son los diferenciales x e y del blob. La figura de la derecha se creó usando A = 1, x₀ = 0, y₀ = 0, σ_x = σ_y = 1.

El volumen bajo la función gaussiana viene dado por

{displaystyle V=int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }f(x,y),dx,dy=2pi Asigma _{X}sigma _{Y}.}

En general, una función gaussiana elíptica bidimensional se expresa como

{displaystyle f(x,y)=Aexp {Big (}-{big (}a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}{big)}{Big)},}

{displaystyle {begin{bmatrix}a&b\b&cend{bmatrix}}}

Usando esta formulación, la figura de la derecha se puede crear usando $A = 1$ , $(x 0, y 0) = (0, 0)$ , $a = c = 1/2$ , $b = 0$ .

Significado de parámetros para la ecuación general

Para la forma general de la ecuación, el coeficiente A es la altura del pico y $(x 0, y 0)$ es el centro de la mancha.

Si configuramos

{displaystyle {begin{aligned}a&={frac {cos ^{2}theta }{2sigma _{X}^{2}}}+{frac {sin ^{2}theta }{2sigma _{Y}^{2}}},\b&=-{frac {sin 2theta }{4sigma _{X}^{2}}}+{frac {sin 2theta }{4sigma _{Y}^{2}}},\c&={frac {sin ^{2}theta }{2sigma _{X}^{2}}}+{frac {cos ^{2}theta }{2sigma _{Y}^{2}}},end{aligned}}}

theta

Para recuperar los coeficientes $theta$ , $sigma _{X}$ y $sigma_Y$ desde $a$ , $b$ y $c$ uso

${displaystyle {begin{aligned}theta &={frac {1}{2}}arctan left({frac {2b}{a-c}}right),quad theta in [-45,45],\sigma _{X}^{2}&={frac {1}{2(acdot cos ^{2}theta +2bcdot cos theta sin theta +ccdot sin ^{2}theta)}},\sigma _{Y}^{2}&={frac {1}{2(acdot sin ^{2}theta -2bcdot cos theta sin theta +ccdot cos ^{2}theta)}}.end{aligned}}}$

Ejemplos de rotaciones de blobs gaussianos se pueden ver en los siguientes ejemplos:

theta =0

{displaystyle theta =-pi /6}

{displaystyle theta =-pi /3}

Usando el siguiente código de Octave, uno puede ver fácilmente el efecto de cambiar los parámetros:

A = 1;x0 = 0; Y0 = 0;sigma_X = 1;sigma_ Y = 2;[X, Y] = meshgrid()-5:.1:5, -5:.1:5);para theta = 0:pi/100:pi a = #()theta)^2 / ()2 * sigma_X^2) + pecado()theta)^2 / ()2 * sigma_ Y^2); b = pecado()2 * theta) / ()4 * sigma_X^2) - pecado()2 * theta) / ()4 * sigma_ Y^2); c = pecado()theta)^2 / ()2 * sigma_X^2) + #()theta)^2 / ()2 * sigma_ Y^2); Z = A * exp()-()a * ()X - x0).^2 + 2 * b * ()X - x0) . * ()Y - Y0) + c * ()Y - Y0).^2)); surf()X, Y, Z); desintegración interp; vista()-36, 36) Espera a Buttonpressfinal

Estas funciones se usan a menudo en el procesamiento de imágenes y en modelos computacionales de la función del sistema visual; consulte los artículos sobre el espacio de escala y la adaptación de formas afines.

Véase también distribución normal multivariante.

Función gaussiana o supergaussiana de orden superior

Se puede tomar una formulación más general de una función gausiana con una caída plana y gaisiana al elevar el contenido del exponente a una potencia $P$ :

{displaystyle f(x)=Aexp left(-left({frac {(x-x_{0})^{2}}{2sigma _{X}^{2}}}right)^{P}right).}

Esta función se conoce como función supergaussiana y se usa a menudo para la formulación de haces gaussianos. Esta función también se puede expresar en términos del ancho total a la mitad del máximo (FWHM), representado por $w$ :

{displaystyle f(x)=Aexp left(-ln 2left(4{frac {(x-x_{0})^{2}}{w^{2}}}right)^{P}right).}

En una formulación bidimensional, una función gaissa a lo largo $x$ y $y$ se puede combinar con potencialmente diferente $P_X$ y ${displaystyle P_{Y}}$ para formar una distribución triangular rectangular:

{displaystyle f(x,y)=Aexp left(-left({frac {(x-x_{0})^{2}}{2sigma _{X}^{2}}}right)^{P_{X}}-left({frac {(y-y_{0})^{2}}{2sigma _{Y}^{2}}}right)^{P_{Y}}right).}

{displaystyle f(x,y)=Aexp left(-left({frac {(x-x_{0})^{2}}{2sigma _{X}^{2}}}+{frac {(y-y_{0})^{2}}{2sigma _{Y}^{2}}}right)^{P}right)}

Función gaussiana multidimensional

En un $n$ - espacio dimensional una función gaissa se puede definir como

{displaystyle f(x)=exp(-x^{mathsf {T}}Cx),}

{displaystyle x={begin{bmatrix}x_{1}&cdots &x_{n}end{bmatrix}}}

n

C

ntimes n

{}^mathsf{T}

La parte integral de esta función gaisiana sobre todo $n$ - espacio dimensional se da como

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}exp(-x^{mathsf {T}}Cx),dx={sqrt {frac {pi ^{n}}{det C}}}.}

Se puede calcular fácilmente diagonalizando la matriz $C$ y cambiar las variables de integración a los eigenvectores $C$ .

Más generalmente, una función gaussiana desplazada se define como

{displaystyle f(x)=exp(-x^{mathsf {T}}Cx+s^{mathsf {T}}x),}

{displaystyle s={begin{bmatrix}s_{1}&cdots &s_{n}end{bmatrix}}}

C

{displaystyle C^{mathsf {T}}=C}

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{mathsf {T}}Cx+v^{mathsf {T}}x},dx={sqrt {frac {pi ^{n}}{det {C}}}}exp left({frac {1}{4}}v^{mathsf {T}}C^{-1}vright)equiv {mathcal {M}}.}

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{mathsf {T}}Cx+v^{mathsf {T}}x}(a^{mathsf {T}}x),dx=(a^{T}u)cdot {mathcal {M}},{text{ where }}u={frac {1}{2}}C^{-1}v.}

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{mathsf {T}}Cx+v^{mathsf {T}}x}(x^{mathsf {T}}Dx),dx=left(u^{mathsf {T}}Du+{frac {1}{2}}operatorname {tr} (DC^{-1})right)cdot {mathcal {M}}.}

{displaystyle {begin{aligned}&int _{mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{mathsf {T}}C'x+s'^{mathsf {T}}x}left(-{frac {partial }{partial x}}Lambda {frac {partial }{partial x}}right)e^{-x^{mathsf {T}}Cx+s^{mathsf {T}}x},dx\&qquad =left(2operatorname {tr} (C'Lambda CB^{-1})+4u^{mathsf {T}}C'Lambda Cu-2u^{mathsf {T}}(C'Lambda s+CLambda s')+s'^{mathsf {T}}Lambda sright)cdot {mathcal {M}},end{aligned}}}

{textstyle u={frac {1}{2}}B^{-1}v, v=s+s', B=C+C'.}

Estimación de parámetros

Varios campos como la fotometría estelar, la caracterización de haz Gaussian y el trabajo de espectroscopia de línea de emisión/absorción con funciones Gaussianas demostradas y necesitan calcular con precisión los parámetros de altura, posición y anchura de la función. Hay tres parámetros desconocidos para una función gaisiana 1D (a, b, c) y cinco para una función de Gaussian 2D ${displaystyle (A;x_{0},y_{0};sigma _{X},sigma _{Y})}$ .

El método más común para estimar los parámetros gaussianos es tomar el logaritmo de los datos y ajustar una parábola al conjunto de datos resultante. Si bien esto proporciona un procedimiento de ajuste de curva simple, el algoritmo resultante puede estar sesgado al ponderar excesivamente los valores de datos pequeños, lo que puede producir grandes errores en la estimación del perfil. Uno puede compensar parcialmente este problema a través de la estimación de mínimos cuadrados ponderados, reduciendo el peso de los valores de datos pequeños, pero esto también puede estar sesgado al permitir que la cola de la Gaussiana domine el ajuste. Para eliminar el sesgo, se puede usar un procedimiento de mínimos cuadrados iterativamente reponderados, en el que los pesos se actualizan en cada iteración. También es posible realizar una regresión no lineal directamente sobre los datos, sin involucrar la transformación logarítmica de datos; para más opciones, vea ajuste de distribución de probabilidad.

Precisión de parámetros

Una vez que se tiene un algoritmo para estimar los parámetros de la función gaussiana, también es importante saber cuán precisas son esas estimaciones. Cualquier algoritmo de estimación de mínimos cuadrados puede proporcionar estimaciones numéricas para la varianza de cada parámetro (es decir, la varianza de la altura, la posición y el ancho estimados de la función). También se puede utilizar la teoría del límite de Cramér-Rao para obtener una expresión analítica para el límite inferior de las varianzas de los parámetros, dadas ciertas suposiciones sobre los datos.

El ruido del perfil medido es i.i.d. Gaussian, o el ruido es distribuido por Poisson.
El espaciado entre cada muestreo (es decir, la distancia entre píxeles que miden los datos) es uniforme.
El pico es "bien muestreado", por lo que menos del 10% de la zona o volumen bajo el pico (rea si un Gaussian 1D, volumen si un Gaussian 2D) se encuentra fuera de la región de medición.
El ancho del pico es mucho más grande que la distancia entre las ubicaciones de muestra (es decir, los píxeles detectores deben ser al menos 5 veces más pequeños que el Gaussian FWHM).

Cuando estas suposiciones estén satisfechas, la siguiente matriz de covariancia K aplica para los parámetros de perfil 1D $a$ , $b$ , y $c$ bajo i.i.d. Ruido gausiano y bajo ruido Poisson:

{displaystyle mathbf {K} _{text{Gauss}}={frac {sigma ^{2}}{{sqrt {pi }}delta _{X}Q^{2}}}{begin{pmatrix}{frac {3}{2c}}&0&{frac {-1}{a}}\0&{frac {2c}{a^{2}}}&0\{frac {-1}{a}}&0&{frac {2c}{a^{2}}}end{pmatrix}}\qquad mathbf {K} _{text{Poiss}}={frac {1}{sqrt {2pi }}}{begin{pmatrix}{frac {3a}{2c}}&0&-{frac {1}{2}}\0&{frac {c}{a}}&0\-{frac {1}{2}}&0&{frac {c}{2a}}end{pmatrix}}}

delta _{X}

Q

sigma

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {var} (a)&={frac {3sigma ^{2}}{2{sqrt {pi }},delta _{X}Q^{2}c}}\operatorname {var} (b)&={frac {2sigma ^{2}c}{delta _{X}{sqrt {pi }},Q^{2}a^{2}}}\operatorname {var} (c)&={frac {2sigma ^{2}c}{delta _{X}{sqrt {pi }},Q^{2}a^{2}}}end{aligned}}}

y en el caso del ruido de Poisson,

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {var} (a)&={frac {3a}{2{sqrt {2pi }},c}}\operatorname {var} (b)&={frac {c}{{sqrt {2pi }},a}}\operatorname {var} (c)&={frac {c}{2{sqrt {2pi }},a}}.end{aligned}}}

Para los parámetros de perfil 2D que dan la amplitud $A$ , posición $(x_{0},y_{0})$ , y ancho ${displaystyle (sigma _{X},sigma _{Y})}$ del perfil, se aplican las siguientes matrices de covariancia:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {K} _{text{Gauss}}={frac {sigma ^{2}}{pi delta _{X}delta _{Y}Q^{2}}}&{begin{pmatrix}{frac {2}{sigma _{X}sigma _{Y}}}&0&0&{frac {-1}{Asigma _{Y}}}&{frac {-1}{Asigma _{X}}}\0&{frac {2sigma _{X}}{A^{2}sigma _{Y}}}&0&0&0\0&0&{frac {2sigma _{Y}}{A^{2}sigma _{X}}}&0&0\{frac {-1}{Asigma _{y}}}&0&0&{frac {2sigma _{X}}{A^{2}sigma _{y}}}&0\{frac {-1}{Asigma _{X}}}&0&0&0&{frac {2sigma _{Y}}{A^{2}sigma _{X}}}end{pmatrix}}\[6pt]mathbf {K} _{operatorname {Poisson} }={frac {1}{2pi }}&{begin{pmatrix}{frac {3A}{sigma _{X}sigma _{Y}}}&0&0&{frac {-1}{sigma _{Y}}}&{frac {-1}{sigma _{X}}}\0&{frac {sigma _{X}}{Asigma _{Y}}}&0&0&0\0&0&{frac {sigma _{Y}}{Asigma _{X}}}&0&0\{frac {-1}{sigma _{Y}}}&0&0&{frac {2sigma _{X}}{3Asigma _{Y}}}&{frac {1}{3A}}\{frac {-1}{sigma _{X}}}&0&0&{frac {1}{3A}}&{frac {2sigma _{Y}}{3Asigma _{X}}}end{pmatrix}}.end{aligned}}}

Gaussiana discreta

El núcleo discreto Gaussiano (sólido), en comparación con el núcleo Gaussiano muestrado (revisado) para escalas

{displaystyle t=0.5,1,2,4.}

Se puede pedir un análogo discreto al Gaussiano; esto es necesario en aplicaciones discretas, particularmente en el procesamiento de señales digitales. Una respuesta simple es muestrear la Gaussiana continua, produciendo el kernel gaussiano muestreado. Sin embargo, esta función discreta no tiene los análogos discretos de las propiedades de la función continua y puede provocar efectos no deseados, como se describe en el artículo Implementación del espacio de escala.

Un enfoque alternativo es utilizar el núcleo gaussiano discreto:

{displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}

I_{n}(t)

Este es el análogo discreto de la Gaussiana continua en que es la solución a la ecuación de difusión discreta (espacio discreto, tiempo continuo), así como la Gaussiana continua es la solución a la ecuación de difusión continua.

Aplicaciones

Las funciones gaussianas aparecen en muchos contextos en las ciencias naturales, las ciencias sociales, las matemáticas y la ingeniería. Algunos ejemplos incluyen:

En las estadísticas y la teoría de probabilidad, las funciones gausianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal, que es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema límite central.
Las funciones gausianas son la función de Green para la ecuación de difusión (homogénea e isotrópica) (y para la ecuación de calor, que es lo mismo), una ecuación diferencial parcial que describe la evolución del tiempo de una densidad de masa bajo la difusión. Específicamente, si la densidad de masa a tiempo t=0 es dado por un delta Dirac, lo que significa esencialmente que la masa se concentra inicialmente en un solo punto, luego la distribución masiva a la vez t será dada por una función Gaussiana, con el parámetro a estar relacionado linealmente con 1/√t y c estar relacionado linealmente con √t; este Gaussian que varia tiempo es descrito por el núcleo de calor. Más generalmente, si la densidad de masa inicial es φ(x), entonces la densidad de masa en tiempos posteriores se obtiene tomando la convolución de φ con una función Gausian. La convolución de una función con un Gaussian también se conoce como una transformación Weierstrass.
Una función Gaussiana es la función de onda del estado del suelo del oscilador armónico cuántico.
Los orbitales moleculares utilizados en la química computacional pueden ser combinaciones lineales de funciones gausianas llamadas orbitales gaussianas (ver también el conjunto de bases (química)).
Matemáticamente, los derivados de la función Gaussiana pueden ser representados usando funciones Hermite. Para la varianza unitaria, n- el derivado del Gaussian es la función gaussiana en sí multiplicada por el n- polinomio Hermite, hasta escala.
En consecuencia, las funciones gauchas también están asociadas con el estado de vacío en la teoría del campo cuántico.
Las vigas gausianas se utilizan en sistemas ópticos, sistemas de microondas y láser.
En la representación espacial de escala, las funciones gaussianas se utilizan como núcleos de suavizado para generar representaciones multiescala en la visión informática y el procesamiento de imágenes. Específicamente, los derivados de Gaussianos (funciones hermitas) se utilizan como base para definir un gran número de tipos de operaciones visuales.
Las funciones gausianas se utilizan para definir algunos tipos de redes neuronales artificiales.
En la microscopía de fluorescencia se utiliza una función Gaussiana 2D para aproximar el disco Airy, describiendo la distribución de intensidad producida por una fuente de puntos.
En el procesamiento de señales sirven para definir filtros gaussianos, como en el procesamiento de imágenes donde se utilizan Gaussians 2D para bordas gausianas. En el procesamiento digital de señales, se utiliza un núcleo Gaussiano discreto, que puede definirse mediante muestreo de un Gausian o de otra manera.
En geoestadística se han utilizado para comprender la variabilidad entre los patrones de una imagen compleja de entrenamiento. Se utilizan con métodos del núcleo para agrupar los patrones en el espacio de características.

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