Función gamma

En matemáticas, la función gamma (representada por Γ, la letra mayúscula gamma del alfabeto griego) es una extensión comúnmente utilizada del factorial Función a números complejos. La función gamma se define para todos los números complejos excepto los enteros no positivos. Para cada entero positivo n,

$${displaystyle Gamma (n)=(n-1)!,}$$

Derivada por Daniel Bernoulli, para números complejos con una parte real positiva, la función gamma se define a través de una integral impropia convergente:

$${displaystyle Gamma (z)=int ¿Por qué?$$

La función gamma entonces se define como la continuación analítica de esta función integral a una función meromórfica que es holomorfa en todo el plano complejo excepto el cero y los enteros negativos, donde la función tiene polos simples.

La función gamma no tiene ceros, por lo que la función gamma recíproca 1 /Γ(z) es una función completa. De hecho, la función gamma corresponde a la transformada de Mellin de la función exponencial negativa:

$${displaystyle Gamma (z)={mathcal {M}{e^{-x}}(z),}$$

Existen otras extensiones de la función factorial, pero la función gamma es la más popular y útil. Es un componente de varias funciones de distribución de probabilidad y, como tal, es aplicable en los campos de probabilidad y estadística, así como en combinatoria.

Motivación

La función gamma interpola la función factorial a valores no enteros.

La función gamma puede verse como una solución al siguiente problema de interpolación:

"Encontrar una curva suave que conecta los puntos()x, Sí.) dado por Sí. =x - 1). en los valores enteros positivos parax."

Un gráfico de los primeros factoriales deja claro que se puede dibujar una curva de este tipo, pero sería preferible tener una fórmula que describa con precisión la curva, en la que el número de operaciones no dependa del tamaño de x. ¡La fórmula simple para el factorial, x! = 1 × 2 × ⋯ × x, no se puede usar directamente para valores no enteros de x ya que solo es válido cuando x es un número natural (o entero positivo). En términos relativos, no existen soluciones tan simples para los factoriales; ninguna combinación finita de sumas, productos, potencias, funciones exponenciales o logaritmos será suficiente para expresar x!; pero es posible encontrar una fórmula general para factoriales utilizando herramientas como integrales y límites del cálculo. Una buena solución a esto es la función gamma.

Hay infinitas extensiones continuas del factorial a números no enteros: se pueden dibujar infinitas curvas a través de cualquier conjunto de puntos aislados. La función gamma es la solución más útil en la práctica, siendo analítica (excepto en los números enteros no positivos), y se puede definir de varias formas equivalentes. Sin embargo, no es la única función analítica que extiende el factorial, ya que le agrega cualquier función analítica que sea cero en los enteros positivos, como k sin mπx para un entero m, dará otra función con esa propiedad. Tal función se conoce como función pseudogamma, siendo la más famosa la función de Hadamard.

La función gamma, .z) en azul, trazado junto con .z) + pecado(π)z) en verde. Observe la intersección en números enteros positivos. Ambos son continuaciones analíticas válidas de los factoriales a los no-integers.

Una propiedad más restrictiva que satisfacer la interpolación anterior es satisfacer la relación de recurrencia que define una versión traducida de la función factorial,

${displaystyle f(1)=1,}$

${displaystyle f(x+1)=xf(x),}$

para cualquier número real positivo x. Pero esto permitiría la multiplicación por cualquier función g()x) satisfaciendo ambos g()x) g()x+1) para todos los números reales x y g(0) = 1, como la función g()x) e ^{k pecado 2mπx}. Una de varias maneras de resolver la ambigüedad viene del teorema Bohr-Mollerup. Dice que cuando la condición f ser logaritmically convex (o "super-convex", significa que ${displaystyle ln circ f}$ es convex) se añade, determina únicamente f para entradas positivas y reales. Desde allí, la función gamma se puede extender a todos los valores reales y complejos (excepto los enteros negativos y cero) utilizando la continuación analítica única de f.

Definición

Definición principal

La notación ${displaystyle Gamma (z)}$ es debido a Legendre. Si la parte real del número complejoz es estrictamente positivo (${displaystyle Re (z)}$), entonces el integral

${displaystyle Gamma (z)=int ¿Qué?$

converge absolutamente, y se conoce como la integral de Euler de segunda especie. (La integral de Euler del primer tipo es la función beta). Usando la integración por partes, se ve que:

Parcela de función gamma en plano complejo en 3D con color y leyenda y 1000 puntos de trama creados con Mathematica

${displaystyle {begin{aligned}Gamma (z+1) ¿Qué? Bigl. ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$

Reconociendo que ${displaystyle -t^{z}e^{-t}to 0}$ como ${displaystyle tto infty}$

${displaystyle {begin{aligned}Gamma (z+1) ¿Por qué?$

Podemos calcular ${displaystyle Gamma (1)}$:

${displaystyle {begin{aligned}Gamma (1) ¿Por qué? ¿Por qué? [}-e^{-t}{ Grande ####### {infty }\fncipl_toinfty }left(-e^{-t}right)-left(-e^{-0}right)\=0-(-1)\fnunció=1.end{aligned}}}}}}}$

Dado que ${displaystyle Gamma (1)=1}$ y ${displaystyle Gamma (n+1)=nGamma (n),}$

${displaystyle Gamma (n)=1cdot 2cdot 3cdots (n-1)=(n-1)}$

para todos los enteros positivos n. Esto puede verse como un ejemplo de demostración por inducción.

La identidad ${textstyle Gamma (z)={frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fn}}}}} {fnK}}}}}}} {\fnK}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}$ se puede utilizar (o, dando el mismo resultado, la continuación analítica se puede utilizar) para ampliar únicamente la formulación integral para ${displaystyle Gamma (z)}$ a una función meromorfa definida para todos los números complejos z, excepto números inferiores o iguales a cero. Es esta versión extendida que se conoce comúnmente como la función gamma.

Definiciones alternativas

La definición de Euler como producto infinito

Cuando busca aproximarse ${displaystyle z!}$ para un número complejo ${displaystyle z}$, es eficaz para el primer cálculo ${displaystyle n!}$ para un entero grande ${displaystyle n}$. Use eso para aproximar un valor para ${displaystyle (n+z)}$, y luego utilizar la relación de recursión ${displaystyle m!=m(m-1)}$ al revés ${displaystyle n}$ tiempos, para desenrollarlo a una aproximación para ${displaystyle z!}$. Además, esta aproximación es exacta en el límite como ${displaystyle n}$ va al infinito.

Específicamente, para un entero fijo ${displaystyle m}$, es el caso de que

${displaystyle lim _{nto infty }{frac {n!,left(n+1right)^{m}{(n+m)}}}=1,}} {cHFF}$

Si ${displaystyle m}$ no es un entero entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque todavía no hemos definido (en esta sección) la función factorial para los no-integers. Sin embargo, tenemos una extensión única de la función factorial a los no-integers insistiendo en que esta ecuación continúe manteniendo cuando el entero arbitrario ${displaystyle m}$ es reemplazado por un número complejo arbitrario ${displaystyle z}$.

${displaystyle lim _{nto infty }{frac {n!,left(n+1right)^{z}{(n+z)}}}=1,}}$

Multiplicar ambos lados por ${displaystyle z!}$ da

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? {1}{1+{frac} {Z} {n}}}left(1+{frac {1}{n}right)^{z}right].end{aligned}}}$

Este producto infinito converge para todos los números complejos${displaystyle z}$ excepto los enteros negativos, que fallan porque intentan usar la relación de recursión ${displaystyle m!=m(m-1)}$ a través del valor ${displaystyle m=0}$ implica una división por cero.

Del mismo modo para la función gamma, la definición como un producto infinito debido a Euler es válida para todos los números complejos ${displaystyle z}$ excepto los enteros no positivos:

${displaystyle "Gamma (z)={frac {1}{z}prod ¿Por qué? {Z}}},}$

Por esta construcción, la función gamma es la función única que se satisface simultáneamente ${displaystyle Gamma (1)=1}$, ${displaystyle Gamma (z+1)=zGamma (z)}$ para todos los números complejos ${displaystyle z}$ excepto los enteros no positivos, y ${textstyle lim _{nto infty}{frac {Gamma (n+z)}{Gamma (n);n^{z}}}=1}$ para todos los números complejos ${displaystyle z}$.

Definición de Weierstrass

La definición de la función gamma debida a Weierstrass también es válida para todos los números complejos z excepto los números enteros no positivos:

${displaystyle Gamma (z)={frac {e^{-gamma } {z}prod ¿Por qué?$

Donde ${displaystyle gamma approx 0.577216}$ es la constante Euler-Mascheroni. Este es el producto de Hadamard ${displaystyle 1/Gamma (z)}$ en una forma reescrita. Ciertamente, desde ${displaystyle 1/Gamma (z)}$ está completo del género 1 con un simple cero ${displaystyle z=0}$, tenemos la representación del producto

${fnMicroc} {1}{rho }}=ze^{Az+B}prod _{rho }left(1-{frac {z} {rho }}right)e^{z/rho }}} {fnK}$

Parcela de argumento absoluto de la función gamma de z=-4 a 7 creada en Mathematica 13.1

donde el producto está sobre los ceros ${displaystyle rho neq 0}$ de ${displaystyle 1/Gamma (z)}$. Desde ${displaystyle Gamma (z)}$ tiene postes simples en los enteros no positivos, sigue ${displaystyle 1/Gamma (z)}$ tiene ceros simples en los enteros no positivos, y por lo tanto la ecuación anterior se convierte en fórmula de Weierstrass con ${displaystyle -Az-B.$ en lugar de ${displaystyle - 'gamma z'$. La derivación de las constantes ${displaystyle A=gamma }$ y ${displaystyle B=0}$ es algo técnico, pero se puede lograr utilizando algunas identidades que implican la función Riemann zeta (véase esta identidad, por ejemplo). Vea también el teorema de factorización Weierstrass.

Propiedades

Generales

Otras ecuaciones funcionales importantes para la función gamma son la fórmula de reflexión de Euler

${displaystyle Gamma (1-z)Gamma (z)={frac {pi }{sin pi z}}},qquad znot in mathbb {Z}$

lo que implica

${displaystyle Gamma (z-n)=(-1)^{n-1};{frac {Gamma (-z)Gamma (1+z)}{Gamma (n+1-z)}}},qquad nin mathbb {Z}$

y la fórmula de duplicación de Legendre

${displaystyle Gamma (z)Gamma left(z+{tfrac {1}{2}right)=2^{1-2z};{sqrt {pi} };Gamma (2z). }$

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de la multiplicación (Ver, Ec. 5.5.6)

${displaystyle prod _{k=0}^{m-1}Gamma left(z+{frac {k}{m}}right)=(2pi)^{frac {m-1}{2};m^{frac} {1}{2}-mz};Gamma (mz).}$

Una propiedad simple pero útil, que se puede ver en la definición de límite, es:

${fnMicrosoft Sans Serif}= Gamma ({overline {z}});Rightarrow ;Gamma (z)Gamma ({overline {z}})in mathbb {R}.}$

En particular, con z = a + bi, este producto es

${displaystyle SilencioGamma (a+bi) Gamma (a) forever^{2}prod _{k=0}{infty }{frac {1}{1+{frac {b^{2}}{(a+k)}}}}}}}}}$

Si la parte real es un número entero o un medio entero, esto se puede expresar finitamente en forma cerrada:

${displaystyle {begin{aligned} Gamma (bi) sometida^{2}={frac {pi }{bsinhpi b}[6pt]left WordPressGamma left({tfrac {1}{2}}+biright)derechaurdo {fnMicrosoft Sans Serif}\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} b}{sinhpi b}\\left uponGammaleft(1+n+biright)right WordPress^{2} limit={frac {pi b}{pehpi b}prod _{k=1}n}left(k^{2}+b^{2}right),quad nin mathbb {N}\\left WordPressGammaleft(-n+biright)right sometida^{2} severo={frac {pi }{bsinh pi B. ¿Por qué? {N}\\fnMicroc {1}pm n+biright)right sobre la vida actual{2} limit={frac {pic} }{cosh pi B. ¿Por qué? {1}{2}right)^{2}+b^{2}right)^{pm 1},quad nin mathbb {N} end{aligned}}$

Quizás el valor más conocido de la función gamma en un argumento no entero es

${displaystyle "Gamma left" ({tfrac {1}{2}right)={sqrt {pi }}$

que se puede encontrar por ${textstyle z={frac {1}{2}}}$ en las fórmulas de reflexión o duplicación, utilizando la relación con la función beta que se da a continuación ${textstyle z_{1}=z_{2}={frac {1}{2}}}$, o simplemente haciendo la sustitución ${displaystyle u={sqrt {z}}$ en la definición integral de la función gamma, dando como resultado una integral gasiana. En general, para valores enteros no negativos ${displaystyle n}$ tenemos:

${displaystyle {begin{aligned}Gamma left({tfrac {1}{2}}+nright) {={(2n)! {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}f} {fnMicrosoft Sans} {f}f}fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft SanscH0}¡No! ¡No! # }={binom {n-{frac {1}{2}} {n}n} {sqrt {pi}}[8pt]Gamma left({tfrac {1} {2}-nright)} {={(-4)^{n}n} {n]}{sqrt {pirt {i} {i}ni} {i} {i}}} {n}}} {n}}}} {n}}} {n}}}} {n}}}} {n}n} {n}}} {n}} {n}}}} {n}}}}} {n}} {n}}}}} {n} {n}}}} {n}} {n}n}}}}}}}}}}}}}}} {n} {n} {n} {n}}}}} {n}}}}}}} {n}}}}} {n} {fn} {fn} {fn1}}} {sqrt {pi}}} {sqrt {pi)} {sqrt {pi}} {fn1}}} {sqrt {sqrt {pi! }={frac {sqrt {pi} }{binom {-1/2} {n}n} {-end{aligned}}}$

donde el doble factorial ${displaystyle (2n-1)!=(2n-1)(2n-3)cdots (3)(1)}$. Ver Valores particulares de la función gamma para valores calculados.

Podría ser tentador generalizar el resultado de que ${textstyle Gamma left {frac {2}right)={sqrt {pi} }$ buscando una fórmula para otros valores individuales ${displaystyle Gamma (r)}$ Donde ${displaystyle r}$ es racional, especialmente porque según el teorema digamma de Gauss, es posible hacerlo por la función digamma estrechamente relacionada a cada valor racional. Sin embargo, estos números ${displaystyle Gamma (r)}$ no se sabe que son expresibles por sí mismos en términos de funciones elementales. Se ha demostrado que ${displaystyle Gamma (n+r)}$ es un número trascendental y algebraicamente independiente de ${displaystyle pi}$ para cualquier entero ${displaystyle n}$ y cada una de las fracciones ${textstyle r={frac {1}{6}},{frac {4}} {frac {1}{3}},{frac {2}{3}}}} {frac {3}{4}},{frac {frac}} {frac} {f}}} {f}}} {f}}}} {f} {f}f}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f} {f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}fnf}f}f}f}fnf}f}f}fnfnfnfnfnfnfnfnf}fnh00}f}fn {5}{6}}$. En general, al calcular los valores de la función gamma, debemos establecernos para aproximaciones numéricas.

Las derivadas de la función gamma se describen en términos de la función poligamma, ψ⁽⁰⁾(z):

${displaystyle Gamma '(z)=Gamma (z)psi ^{(0)}(z). }$

Para un entero positivo m, la derivada de la función gamma se puede calcular de la siguiente manera:

Parcela de la función gamma en el plano complejo desde -2-2i a 6+2i con colores creados en Mathematica

${displaystyle Gamma '(m+1)=m!left(-gamma +sum _{k=1}^{m}{frac {1}{k}right)=m!left(-gamma +H(m)right),}$

donde H(m) es el m-ésimo número armónico y γ es la constante de Euler-Mascheroni.

Para ${displaystyle Re (z)}$ el ${displaystyle n}$th derivative of the gamma function is:

${displaystyle {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}} {f}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}} Gamma (z)=int _{0} {infty }t^{z-1}e^{-t}(ln t)^{n},dt.}$

(Esto puede derivarse diferenciando la forma integral de la función gamma con respecto a ${displaystyle z}$, y utilizando la técnica de diferenciación bajo el signo integral.)

Uso de la identidad

${displaystyle Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!sum limits _{pi ,vdash ,n}prod _{i=1}{r}{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cdot} a_{i}}qquad zeta ^{*}(x):={begin{cases}zeta (x) limitadaxneq 1\\gamma &x=1end{cases}}$

Donde ${displaystyle zeta (z)}$ es la función Riemann zeta, y ${displaystyle pi}$ es una partición de ${displaystyle n}$ dado por

${displaystyle pi =underbrace {a_{1}+cdots +a_{1} _{k_{1} {text{ terms}}}+cdots +underbrace {a_{r}+cdots - ¿Qué?$

tenemos en particular la expansión en serie de Laurent de la función gamma

${displaystyle Gamma (z)={1}{z}-gamma +{tfrac {1}{2}left(gamma ^{2}+{frac {pic {pic}}left ¿Qué? ^{2}{2}}+2zeta (3)right)z^{2}+O(z^{3}). }$

Desigualdades

Cuando se restringe a los números reales positivos, la función gamma es una función estrictamente logarítmicamente convexa. Esta propiedad puede expresarse de cualquiera de las siguientes tres formas equivalentes:

• Para cualquier dos números reales positivos ${displaystyle x_{1}}$ y ${displaystyle x_{2}$, y para cualquier ${displaystyle tin [0,1]}$,
  $${displaystyle Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})leq Gamma (x_{1} {t}Gamma (x_{2})^{1-t}$$

  
• Para cualquier dos números reales positivos ${displaystyle x_{1}}$ y ${displaystyle x_{2}$, y ${displaystyle x_{2}$ ■ ${displaystyle x_{1}}$
  $${displaystyle left({frac Vale. {1}{x_{2}-x_{1}}} {frac {Gamma '(x_{1}}{Gamma (x_{1}}}}}derecha). }$$

  
• Para cualquier número real positivo ${displaystyle x}$,
  $${displaystyle Gamma ''(x)Gamma (x)Gamma '(x)^{2}.}$$

  

La última de estas declaraciones es, esencialmente por definición, la misma que la declaración de que ${displaystyle psi ^{(1)}(x) título0}$, donde ${displaystyle psi ^{(1)}$ es la función poligamma del orden 1. Para probar la convexidad logarítmica de la función gamma, basta observar que ${displaystyle psi ^{(1)}$ tiene una representación de serie que, para positivo real x, consta de sólo términos positivos.

La convexidad logarítmica y la desigualdad de Jensen juntos implican, para cualquier número real positivo ${displaystyle x_{1},ldotsx_{n}$ y ${displaystyle a_{1},ldotsa_{n}$,

$${displaystyle Gamma left({frac {a_{1}x_{1}+cdots ##a_{n}x_{n}{a_{1}+cdots ¿Qué? "Gamma" (x_{n} {n}{bigr)}{frac {1}{a_{1}+cdots - Sí.$$

También hay límites en las proporciones de las funciones gamma. La más conocida es la desigualdad de Gautschi, que dice que para cualquier número real positivo x y cualquier s ∈ (0, 1),

$${displaystyle x^{1-s} frac {Gamma (x+1)}{Gamma (x+s)} {left(x+1right)^{1-s}.}$$

Fórmula de Stirling

Representación de la función gamma en el plano complejo. Cada punto ${displaystyle z}$ es coloreado según el argumento de ${displaystyle Gamma (z)}$. El contorno del módulo ${displaystyle SilencioGamma (z)$ también se muestra.

Parcela tridimensional del valor absoluto de la compleja función gamma

El comportamiento de ${displaystyle Gamma (x)}$ para una variable real positiva creciente es dada por la fórmula de Stirling

${displaystyle Gamma (x+1)sim {2pi x}left({frac {x}{e}}right)}{x}}}}$

donde el símbolo ${displaystyle sim }$ significa convergencia asintotica; la proporción de los dos lados converge a 1 en el límite ${textstyle xto +infty }$. Este crecimiento es más rápido que exponencial, ${displaystyle exp(beta x)}$, por cualquier valor fijo ${displaystyle beta }$.

Otro límite útil para aproximaciones asintoticas ${displaystyle xto +infty }$ es:

${displaystyle {Gamma (x+alpha)}sim {Gamma (x)x^{alpha }},qquad alpha in mathbb {C}$

Residuos

El comportamiento para no positivo ${displaystyle z}$ es más intrincado. La integral de Euler no converge para ${displaystyle Re (z)leq 0}$, pero la función que define en el complejo positivo medio plano tiene una continuación analítica única al medio plano negativo. Una manera de encontrar que la continuación analítica es utilizar la integral de Euler para argumentos positivos y extender el dominio a números negativos mediante la aplicación repetida de la fórmula de recurrencia,

${displaystyle Gamma (z)={frac {Gamma (z+n+1)}{z(z+1)cdots (z+n)}}}}$

elegir ${displaystyle n}$ tales que ${displaystyle z+n}$ es positivo. El producto en el denominador es cero cuando ${displaystyle z}$ equivale a cualquiera de los enteros ${displaystyle 0,-1,-2,ldots}$. Así, la función gamma debe ser indefinida en esos puntos para evitar la división por cero; es una función meromorfa con postes simples en los enteros no positivos.

Para una función ${displaystyle f}$ de una variable compleja ${displaystyle z}$, en un poste simple ${displaystyle c}$, el residuo de ${displaystyle f}$ es dado por:

${displaystyle operatorname {Res} (f,c)=lim _{zto c}(z-c)f(z). }$

Para el poste simple ${displaystyle z=-n,}$ reescribimos la fórmula de recurrencia como:

${displaystyle (z+n)Gamma (z)={frac {Gamma (z+n+1)}{z(z+1)cdots (z+n-1)}}}$

El numerador a ${displaystyle z=-n,}$ es

${displaystyle Gamma (z+n+1)=Gamma (1)=1}$

y el denominador

${displaystyle z(z+1)cdots (z+n-1)=-n(1-n)cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$

Entonces, los residuos de la función gamma en esos puntos son:

${displaystyle operatorname {Res} (Gamma-n)={frac {(-1)} {n}}}}}} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {fnfnfnf}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnfnfnfnf}}}}}}}}} {f}} {\fnfnKfnfnKf}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}} {fn\\fn}}}}}}}}} {fnKfnKfnfnKfnKfnKf}}}}}}}$

La función gamma no es cero en todas partes a lo largo de la línea real, aunque viene arbitrariamente cerca de cero como z →. De hecho, no hay número complejo ${displaystyle z}$ para la cual ${displaystyle Gamma (z)=0}$, y por lo tanto la función gamma recíproca ${textstyle {frac {1}{Gamma (z)}}}$ es una función completa, con ceros a ${displaystyle z=0,-1,-2,ldots$.

Mínimas y máximas

En la línea real, la función gamma tiene un mínimo local en z_min ≈ +1.46163214496836234126 donde alcanza el valor Γ(z_min) ≈ +0.885603194410888 70027. La función gamma se eleva a ambos lados de este mínimo. La solución a Γ(z − 0.5) = Γ(z + 0.5) es z = +1.5 y el valor común es Γ(1) = Γ(2) = +1. La solución positiva de Γ(z − 1) = Γ(z + 1) es z = φ ≈ +1,618, la proporción áurea y el valor común es Γ(φ − 1) = Γ(φ + 1) = φ! ≈ +1.44922960226989660037.

La función gamma debe alternar el signo entre sus polos en los enteros no positivos porque el producto en la recurrencia delantera contiene un número impar de factores negativos si el número de polos entre ${displaystyle z}$ y ${displaystyle z+n}$ es extraño, y un número incluso si el número de polos es incluso. Los valores extremos de la función Gamma entre los enteros no positivos son .-0.50408300826454938526...) -3.54464361115500508912..., .-1.57349847316239045877...) 2.30240725833968013582..., .-2.61072086844414465000...) -0.88813635840124192009..., .-3.63529336643690109783...) 0.24512753983436625043..., .-4.65323776174314244171...) -0.05277963958731940076..., etc.

Representaciones integrales

Hay muchas fórmulas, además de la integral de Euler de segundo tipo, que expresan la función gamma como una integral. Por ejemplo, cuando la parte real de z es positiva,

${displaystyle Gamma (z)=int _{-infty } {infty }e^{zt-e^{t},dt}$

y

${displaystyle Gamma (z)=int ¿Qué?$

Donde ${displaystyle log }$ denota el logaritmo complejo.

La primera fórmula integral de Binet para la función gamma establece que, cuando la parte real de z es positiva, después:

${displaystyle log Gamma (z)=left(z-{frac {1}{2}right)log z-z+{frac {1}{2}ln(2pi)+int _{0}^{infty }left({frac {1}{2}-{frac} {1}{}+{frac} {1}{e^{t}}right){frac - ¿Qué?$

La integral del lado derecho puede interpretarse como una transformada de Laplace. Es decir,

${displaystyle log left(Gamma (z)left({frac {e}{z}right)^{z}{sqrt {2pi z}right)={mathcal {L}left({fracfrac] {1}{2t}-{frac {1}{2}}}+{frac {1}{t(e^{t}}right)(z). }$

La segunda fórmula integral de Binet establece que, de nuevo, cuando la parte real de z es positiva, entonces:

${displaystyle log Gamma (z)=left(z-{frac {1}{2}right)log z-z+{frac {1}{2}ln(2pi)+2int _{0}^{infty }{frac {arctan(t/z)}{e^{2pi) - Sí.$

Vamos C ser un contorno de Hankel, que significa un camino que comienza y termina en el punto JUEGO en la esfera Riemann, cuyo vector tangente unidad converge a −1 al inicio del camino y a 1 al final, que tiene viento número 1 alrededor 0, y que no cruza [0, ∞]. Arreglar una rama de ${displaystyle log(-t)}$ tomando una rama cortada [0, ∞] y tomando ${displaystyle log(-t)}$ ser real cuando t está en el eje real negativo. Assume z no es un entero. Entonces la fórmula de Hankel para la función gamma es:

${displaystyle Gamma (z)=-{2isin pi z}int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t},dt,}$

Donde ${displaystyle (-t)^{z-1}$ se interpreta como ${displaystyle exp(z-1)log(-t)}$. La fórmula de reflexión conduce a la expresión estrechamente relacionada

${fnMicroc} {1} {fnMicroc {fnK}int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}$

de nuevo válido siempre que z no sea un número entero.

Representación de fracciones continuas

La función gamma también se puede representar mediante la suma de dos fracciones continuas:

${displaystyle Gamma (z)={cfrac {0}{2+0-z+1{cfrac {z-1}{2+2-z+2{cfrac {z-2}{2+4-z+3{cfrac {z-3}{2+6-z+4{cfrac {z-4}{2+8-z+5{cfrac {z-5}{2+10-z+ddots {}}}}}}}} {frac {cHFF}{z+0-{cfrac {z+0}{z+1+{cfrac {1}{z+2-{cfrac {z+1}{z+3+{cfrac {2}{z+4-{cfrac {z+2}{z+5+{cfrac {3}{z+6-ddots - Sí.$

Donde ${displaystyle zin mathbb {C}$.

Expansión de la serie Fourier

El logaritmo de la función gamma tiene la siguiente expansión de serie Fourier para ${displaystyle 0 segnunció1:}$

${fn} {fn}fnfn}fn}fnfn}nnnnnnnnc}nnnc} {fnfn} {fnfn}nccccH0}ccH0} {cH0} {ccH0}ccH0}c}cccccccccccccccccccccccccccH0}cH0}ccccccccccccc}cccccH0}ccccH0}cH0}cccH0}ccH0}ccccccc$

que durante mucho tiempo se atribuyó a Ernst Kummer, quien la derivó en 1847. Sin embargo, Iaroslav Blagouchine descubrió que Carl Johan Malmsten derivó esta serie por primera vez en 1842.

Fórmula de Raabe

En 1840, Joseph Ludwig Raabe demostró que

${displaystyle int _{a+1}ln Gamma (z),dz={2}ln 2pi +aln a-a,quad a título0.}$

En particular, si ${displaystyle a=0}$ entonces

${displaystyle int _{0}{1}ln Gamma (z),dz={tfrac {1}ln 2pi}$

Este último se puede derivar tomando el logaritmo en la fórmula de multiplicación anterior, que da una expresión para la suma Riemann del integrado. Tomando el límite ${displaystyle ato infty}$ da la fórmula.

Función Pi

Una notación alternativa que fue introducida originalmente por Gauss es la ${displaystyle Pi }$- Función, que, en términos de la función gamma, es

${displaystyle Pi (z)= Gamma (z+1)=z Gamma (z)=int ¿Qué?$

así ${displaystyle Pi (n)=n!}$ para cada entero no negativo ${displaystyle n}$.

Usando la función pi, la fórmula de reflexión toma la forma

${displaystyle Pi (z)Pi (-z)={frac {pi z}{sin(pi z)}}={frac {1}{operatorname {Sinc} (z)}}}$

donde sinc es la función sinc normalizada, mientras que el teorema de la multiplicación adopta la forma

${displaystyle Pi left({frac {z}{m}right),Pi left({frac {z-1}{m}right)cdots Pi left({frac {z-m+1}right)=(2pi)^{frac {m-1}{-z-{frac} {1} {2}}Pi (z)}$

A veces también encontramos

${displaystyle pi (z)={frac {1}{Pi (z)}}}$

que es una función completa, definida para cada número complejo, al igual que la función gamma recíproca. Que ${displaystyle pi (z)}$ es entera implica que no tiene polos, así que ${displaystyle Pi left(zright)}$, como ${displaystyle Gamma left(zright)}$No tiene ceros.

El volumen de un n-elipsoide con radios r₁, …, r _n se puede expresar como

${displaystyle V_{n}(r_{1},dotscr_{n}={frac {pi ^{frac {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {\fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {f}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Pi left ({frac {n}right)}prod ¿Qué?$

Relación con otras funciones

• En la primera parte superior, que define la función gamma, se fijan los límites de la integración. Las funciones de gamma incompleta superior e inferior son las funciones obtenidas permitiendo que el límite inferior o superior (respectivamente) de la integración varíe.
• La función gamma está relacionada con la función beta por la fórmula
  $${displaystyle mathrm {B} (z_{1},z_{2}=int ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} Gamma (z_{1}+z_{2}}}}}$$

  
• El derivado logarítmico de la función gamma se llama función digamma; los derivados superiores son las funciones de poligamma.
• El análogo de la función gamma sobre un campo finito o un anillo finito son las sumas gaisianas, un tipo de suma exponencial.
• La función gamma recíproca es toda una función y se ha estudiado como un tema específico.
• La función gamma también aparece en una relación importante con la función Riemann zeta, ${displaystyle zeta (z)}$.
  $${displaystyle pi ^{-{frac {Z}{2};; Gamma left({frac {z}{2}right)zeta (z)=pi ^{-{frac {1-z}{2}; Gamma left({frac {1-z}{2}right);zeta (1-z). }$$

  
  También aparece en la siguiente fórmula:
  $${displaystyle zeta (z)Gamma (z)=int ¿Qué?$$

  
  que es válido sólo para ${displaystyle Re (z)}$.
  El logaritmo de la función gamma satisface la siguiente fórmula debido a Lerch:
  $${displaystyle log Gamma (z)=zeta _{H}'(0,z)-zeta '(0),}$$

  
  Donde ${displaystyle zeta ¿Qué?$ es la función Hurwitz zeta, ${displaystyle zeta }$ es la función Riemann zeta y la primera (.) denota diferenciación en la primera variable.
• La función gamma está relacionada con la función exponencial estirada. Por ejemplo, los momentos de esa función son
  $${displaystyle langle tau ^{n}rangle equiv int _{0}^{infty }dt,t^{n-1},e^{-left({frac {t}{tau }right)^{beta {fn} {fn} {fnK}} {fn}} {fn}}} {fn}} {beta }Gamma left({n over beta }right). }$$

  

Valores particulares

Incluyendo hasta los primeros 20 dígitos después del punto decimal, algunos valores particulares de la función gamma son:

${displaystyle {begin{rcccl}Gamma left(-{tfrac {3}{2}}right) Sentido = 'tfrac {4{sqrt {pi) }}{3} {3} {approx &+2.36327,18012,07354,70306\\\\Gamma left(-{tfrac {1}{2}derecha) diezm = 2{sqrt {pi } {pi } {approx '-3.54490,77018,11032,05459\\\\\\Gammaleft({tfrac {1}{2}}}derecho) {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}} {fnMicrosoft Sans)}}}}}}} {fnMicros}}fnunció= {fnMicroc {\sqrt {\pH0}}fnMicrox > {2}{2} {0.88622,69254,52758\,01364\\\\\\\\\\\\\\Gamma}derecho)} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {3}}}}}}}}dere) {4}} {4} {fnMicrox > 0,32934,03881,79137,02047\\\\\\\\\\\\\cH003nMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {fnMicrosoft}}}}}}}}}}} {fnun}}}}}}}}}}} {m] {8}} {8} {3.32335,09704,47842,55118\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH001}}}}}}$

(Consulte las secuencias A245886, A019707, A002161, A019704, A245884 y A245885 en el OEIS). La función gamma de valor complejo no está definida para enteros no positivos, pero en estos casos el valor se puede definir en la esfera de Riemann como ∞. La función gamma recíproca está bien definida y es analítica en estos valores (y en todo el plano complejo):

${fnMicroc} {1} {fn}= {fnMicroc} {1}{Gamma (-2)}={frac {1}{Gamma (-1)}={frac {1}{Gamma (0)}}=0}$

La función log-gamma

La función analítica log z)

Debido a que las funciones gamma y factorial crecen tan rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos entornos informáticos incluyen una función que devuelve el logaritmo natural de la función gamma (a menudo denominada lgamma o lngamma en entornos de programación o gammaln en hojas de cálculo); esto crece mucho más lentamente, y para cálculos combinatorios permite sumar y restar logaritmos en lugar de multiplicar y dividir valores muy grandes. A menudo se define como

${displaystyle ln Gamma (z)=-gamma z-ln z+sum _{k=1}{infty. {Z}{k}-ln left(1+{frac {z}right)right].}$

La función digamma, que es la derivada de esta función, también se ve comúnmente. En el contexto de aplicaciones técnicas y físicas, p. con la propagación de la onda, la ecuación funcional

${displaystyle ln Gamma (z)=ln Gamma (z+1)-ln z}$

Parcela de función gamma logarítmica en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con función Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

se utiliza a menudo ya que permite determinar los valores de función en una tira de ancho 1 en z de la franja vecina. En particular, comenzando con una buena aproximación para unz con gran parte real uno puede ir paso a paso hacia abajo al deseadoz. Siguiendo una indicación de Carl Friedrich Gauss, Rocktaeschel (1922) propuesto para ${displaystyle ln(Gamma (z)}$ una aproximación para grande Re(z):

${displaystyle ln Gamma (z)approx (z-{tfrac {1}{2}})ln z-z+{tfrac {1}{2}ln(2pi).}$

Esto se puede usar para aproximar con precisión ln(Γ(z)) para z con una Re(z) vía más pequeña (P.E.Böhmer, 1939)

${displaystyle ln Gamma (z-m)=ln Gamma (z)-sum _{k=1}^{m}ln(z-k). }$