Función elíptica

En el campo matemático del análisis complejo, las funciones elípticas son un tipo especial de funciones meromórficas que cumplen dos condiciones de periodicidad. Se denominan funciones elípticas porque proceden de integrales elípticas. Originalmente esas integrales ocurrieron en el cálculo de la longitud del arco de una elipse.

Funciones elípticas importantes son las funciones elípticas Jacobi y las Weierstrass ℘ ℘ {displaystyle wp}- Función.

Un mayor desarrollo de esta teoría condujo a funciones hiperelípticas y formas modulares.

Definición

Una función meromorfa se llama una función elíptica, si hay dos R{displaystyle mathbb {R}- números complejos independientes lineales ⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ 2▪ ▪ C{displaystyle omega _{1},omega _{2}in mathbb {C} tales que

f()z+⋅ ⋅ 1)=f()z){displaystyle f(z+omega _{1})=f(z)} y f()z+⋅ ⋅ 2)=f()z),О О z▪ ▪ C{displaystyle f(z+omega _{2})=f(z),quad forall zin mathbb {C}.

Entonces, las funciones elípticas tienen dos períodos y, por lo tanto, también se denominan doblemente periódicas.

Enrejado de períodos y dominio fundamental

Paralelograma donde se identifican los lados opuestos

Sif{displaystyle f} es una función elíptica con períodos ⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ 2{displaystyle omega _{1},omega ¿Qué? También sostiene que

f()z+γ γ )=f()z){displaystyle f(z+gamma)=f(z)}

para cada combinación lineal γ γ =m⋅ ⋅ 1+n⋅ ⋅ 2{displaystyle gamma =momega _{1}+nomega ¿Qué? con m,n▪ ▪ Z{displaystyle m,nin mathbb {Z}.

El grupo abeliano

▪ ▪ :=.. ⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ 2.. Z:=Z⋅ ⋅ 1+Z⋅ ⋅ 2:={}m⋅ ⋅ 1+n⋅ ⋅ 2▪ ▪ m,n▪ ▪ Z}{displaystyle Lambda:=langle omega _{1},omega ¿Qué? # Mathbb # {Z} omega ¿Qué? {Z} omega ¿Qué? _{1}+nomega _{2}mid m,nin mathbb {Z}}

se denomina rejilla del período.

El paralelograma generado por ⋅ ⋅ 1{displaystyle omega ¿Qué?y ⋅ ⋅ 2{displaystyle omega _{2}

{}μ μ ⋅ ⋅ 1+.. ⋅ ⋅ 2▪ ▪ 0≤ ≤ μ μ ,.. ≤ ≤ 1}{displaystyle {muomega _{1}+nu omega _{2}mid 0leq munu leq #

se llama dominio fundamental.

Geométricamente el plano complejo está lleno de paralelogramas. Todo lo que sucede en el dominio fundamental repite en todos los demás. Por eso podemos ver la función elíptica como funciones con el grupo cociente C/▪ ▪ {displaystyle mathbb Lambda como su dominio. Este grupo cociente, llamado curva elíptica, puede ser visualizado como un paralelograma donde se identifican los lados opuestos, que topológicamente es un torus.

Teoremas de Liouville

Los siguientes tres teoremas se conocen como teoremas de Liouville (1847).

1er teorema

Una función elíptica holomorfa es constante.

Esta es la forma original del teorema de Liouville y se puede derivar de él. Una función elíptica holomorfa está acotada ya que toma todos sus valores en el dominio fundamental que es compacto. Entonces es constante por el teorema de Liouville.

Segundo teorema

Cada función elíptica tiene finitamente muchos polos en C/▪ ▪ {displaystyle mathbb Lambda y la suma de sus residuos es cero.

Este teorema implica que no existe una función elíptica que no sea igual a cero con exactamente un polo de orden uno o exactamente un cero de orden uno en el dominio fundamental.

3er teorema

Una función elíptica no constante adquiere cada valor el mismo número de veces C/▪ ▪ {displaystyle mathbb Lambda contado con multiplicidad.

Weierstrass ℘-función

Una de las funciones elípticas más importantes es la Weierstrass ℘ ℘ {displaystyle wp}- Función. Para un periodo determinado de lattiza ▪ ▪ {displaystyle Lambda } se define por

℘ ℘ ()z)=1z2+.. λ λ ▪ ▪ ▪ ▪ ∖ ∖ {}0}()1()z− − λ λ )2− − 1λ λ 2).{displaystyle wp (z)={frac {1}{2}}}+sum _{lambda in Lambda setminus {0}left({frac {1}{(z-lambda)^{2}}}-{frac {1}{lambda ^{2}}}}}}right). }

Se construye de tal manera que tiene un polo de orden dos en cada punto de celo. El término − − 1λ λ 2{displaystyle -{frac {1}{lambda }}} {f}} {fnK}} {fn}}} {fn9}}}}}} está ahí para hacer converger la serie.

℘ ℘ {displaystyle wp} es una función incluso elíptica, eso significa ℘ ℘ ()− − z)=℘ ℘ ()z){displaystyle wp (-z)=wp (z)}.

Su derivado

℘ ℘ .()z)=− − 2.. λ λ ▪ ▪ ▪ ▪ 1()z− − λ λ )3{displaystyle wp '(z)=-2sum _{lambda in Lambda }{frac {1}{(z-lambda)}}} {}}}} {fnunció]

es una función extraña, es decir. ℘ ℘ .()− − z)=− − ℘ ℘ .()z).{displaystyle wp '(-z)=-wp '(z).}

Uno de los principales resultados de la teoría de las funciones elípticas es el siguiente: Cada función elíptica con respecto a un período determinado ▪ ▪ {displaystyle Lambda } puede expresarse como una función racional en términos de ℘ ℘ {displaystyle wp} y ℘ ℘ .{displaystyle wp}.

El ℘ ℘ {displaystyle wp}- Función satisface la ecuación diferencial

℘ ℘ .2()z)=4℘ ℘ ()z)3− − g2℘ ℘ ()z)− − g3.{displaystyle wp '^{2}(z)=4wp (z)^{3}-g_{2}wp (z)-g_{3}

g2{displaystyle G_{2} y g3{displaystyle G_{3} son constantes que dependen de ▪ ▪ {displaystyle Lambda }. Más precisamente g2()⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ 2)=60G4()⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ 2){displaystyle g_{2}(omega _{1},omega ¿Por qué? ¿Qué? y g3()⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ 2)=140G6()⋅ ⋅ 1,⋅ ⋅ 2){displaystyle g_{3}(omega _{1},omega ¿Por qué? ¿Qué?, donde G4{displaystyle G_{4} y G6{displaystyle G_{6} son tan llamadas serie Eisenstein.

En lenguaje algebraico: El campo de funciones elípticas es isomorfo al campo

C()X)[Y]/()Y2− − 4X3+g2X+g3){displaystyle mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3}}},

donde el isomorfismo mapa ℘ ℘ {displaystyle wp} a X{displaystyle X} y ℘ ℘ .{displaystyle wp} a Y{displaystyle Sí..

• 

  Weierstrass ℘ ℘ {displaystyle wp}- Función con rejilla de período ▪ ▪ =Z+e2π π i/6Z{displaystyle Lambda = 'mathbb {Z} +e^{2pi i/6}Mathbb {Z}

• 

  Derivativo del ℘ ℘ {displaystyle wp}- Función

Relación con integrales elípticas

La relación con las integrales elípticas tiene principalmente antecedentes históricos. Las integrales elípticas habían sido estudiadas por Legendre, cuyo trabajo fue asumido por Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi.

Abel descubrió funciones elípticas tomando la función inversa φ φ {displaystyle varphi } de la función integral elíptica

α α ()x)=∫ ∫ 0xdt()1− − c2t2)()1+e2t2){displaystyle alpha (x)=int _{0}{x}{frac {dt}{sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^}}}}}}} {}}}}} {}}}} {}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {

con x=φ φ ()α α ){displaystyle x=varphi (alpha)}.

Además definió las funciones

f()α α )=1− − c2φ φ 2()α α ){displaystyle f(alpha)={sqrt {1-c^{2}varphi ^{2}}}

y

F()α α )=1+e2φ φ 2()α α ){displaystyle F(alpha)={sqrt {1+e^{2}varphi ^{2}}}.

Después de continuar con el plano complejo, resultaron ser doblemente periódicas y se conocen como funciones elípticas de Abel.

Las funciones elípticas de Jacobi se obtienen de manera similar como funciones inversas de integrales elípticas.

Jacobi consideró la función integral

.. ()x)=∫ ∫ 0xdt()1− − t2)()1− − k2t2){displaystyle xi (x)=int _{0}{x}{frac {dt}{sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t}}}}}}}}}} {f}}}

y lo invertí: x=sn⁡ ⁡ ().. ){displaystyle x=operatorname {n} (xi)}. sn{displaystyle operatorname {sn} stands sinus amplitudinis y es el nombre de la nueva función. Luego introdujo las funciones cosinus amplitudinis y delta amplitudinis, que se definen como sigue:

cn⁡ ⁡ ().. ):=1− − x2{displaystyle operatorname {cn} (xi):={sqrt {1-x^{2}}}

♪⁡ ⁡ ().. ):=1− − k2x2{displaystyle operatorname {dn} (xi):={sqrt {1-k^{2}x^{2}}}.

Solo dando este paso, Jacobi pudo probar su fórmula de transformación general de integrales elípticas en 1827.

Historia

Poco después del desarrollo del cálculo infinitesimal, el matemático italiano Giulio di Fagnano y el matemático suizo Leonhard Euler iniciaron la teoría de las funciones elípticas. Cuando intentaron calcular la longitud de arco de una lemniscata, encontraron problemas que involucraban integrales que contenían la raíz cuadrada de polinomios de grado 3 y 4. Estaba claro que las llamadas integrales elípticas no podían resolverse usando funciones elementales. Fagnano observó una relación algebraica entre integrales elípticas, lo que publicó en 1750. Euler inmediatamente generalizó los resultados de Fagnano y planteó su teorema de la suma algebraica para integrales elípticas.

Excepto por un comentario de Landen, sus ideas no fueron seguidas hasta 1786, cuando Legendre publicó su artículo Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse. Posteriormente, Legendre estudió integrales elípticas y las llamó funciones elípticas. Legendre introdujo una clasificación triple –tres tipos– que fue una simplificación crucial de la teoría bastante complicada en ese momento. Otras obras importantes de Legendre son: Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792), Exercices de calcul intégral (1811–1817), Traité des fonctions elliptiques (1825–1832). El trabajo de Legendre no fue tocado por los matemáticos hasta 1826.

Posteriormente, Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi reanudaron las investigaciones y rápidamente descubrieron nuevos resultados. Al principio invirtieron la función integral elíptica. Siguiendo una sugerencia de Jacobi en 1829, estas funciones inversas ahora se denominan funciones elípticas. Una de las obras más importantes de Jacobi es Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, que se publicó en 1829. El teorema de la adición que encontró Euler fue planteado y demostrado en su forma general por Abel en 1829. Nótese que en esos días, la teoría de las funciones elípticas y la teoría de las funciones doblemente periódicas se consideraban teorías diferentes. Fueron reunidos por Briout y Bouquet en 1856. Gauss descubrió muchas de las propiedades de las funciones elípticas 30 años antes, pero nunca publicó nada sobre el tema.

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 16". Manual de Funciones Matemáticas con Fórmulas, Gráficos y Tablas Matemáticas. Serie Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Reimpresión Norte con correcciones adicionales de décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera edición). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. pp. 567, 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.Véase también el capítulo 18. (sólo considera el caso de invariantes reales).
• N. I. Akhiezer, Elementos de la Teoría de Funciones ElípticasMoscú, traducido al inglés como AMS Traducciones de Monografías Matemáticas Volumen 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Funciones modulares y serie Dirichlet en la teoría del número, Springer-Verlag, Nueva York, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (Véase Capítulo 1.)
• E. T. Whittaker y G. N. Watson. Un curso de análisis moderno, Cambridge University Press, 1952