Función elemental

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Función matemática

En matemáticas, una función elemental es una función de una sola variable (típicamente real o compleja) que se define como sumas, productos, raíces y composiciones de un número finito de polinomios, racionales, trigonométricos, funciones hiperbólicas y exponenciales, incluidas posiblemente sus funciones inversas (por ejemplo, arcsin, log o x^1/n).

Todas las funciones elementales son continuas en sus dominios.

Joseph Liouville introdujo las funciones elementales en una serie de artículos de 1833 a 1841. Joseph Fels Ritt inició un tratamiento algebraico de las funciones elementales en la década de 1930.

Ejemplos

Ejemplos básicos

Las funciones elementales de una sola variable $x$ incluyen:

Funciones constantes: ${displaystyle 2, pi e,}$ etc.
Potencias racionales de x: ${displaystyle x, x^{2}, {sqrt {x}} (x^{frac {1}{2}}), x^{frac {2}{3}},}$ etc.
funciones algebraicas más generales: $f(x)$ satisfacción ${displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$ , que no es expresible a través de raíces n-th o poderes racionales $x$ sola
Funciones exponenciales: ${displaystyle e^{x}, a^{x}}$
Logarithms: ${displaystyle ln x, log _{a}x}$
Funciones trigonométricas: ${displaystyle sin x, cos x, tan x,}$ etc.
Funciones trigonométricas inversas: ${displaystyle arcsin x, arccos x,}$ etc.
Funciones hiperbólicas: ${displaystyle sinh x, cosh x,}$ etc.
Funciones hiperbólicas inversas: ${displaystyle operatorname {arsinh} x, operatorname {arcosh} x,}$ etc.
Todas las funciones obtenidas añadiendo, restando, multiplicando o dividiendo un número finito de cualquiera de las funciones anteriores
Todas las funciones obtenidas por extracción de raíz de un polinomio con coeficientes en funciones elementales
Todas las funciones obtenidas mediante la composición de un número finito de cualquiera de las funciones previamente enumeradas

Ciertas funciones elementales de una variable compleja $z$ , como $sqrt{z}$ y $log z$ , puede ser multivalorado. Además, algunas clases de funciones pueden ser obtenidas por otros utilizando las dos reglas finales. Por ejemplo, la función exponencial $e^{{z}}$ compuesto con adición, resta y división proporciona las funciones hiperbólicas, mientras que la composición inicial con ${displaystyle z^{i}}$ en su lugar proporciona las funciones trigonométricas.

Ejemplos compuestos

Los ejemplos de funciones elementales incluyen:

Adición, por ejemplo ( $x$ +1)
Multiplicación, por ejemplo (2 $x$ )
Funciones polinómicas
${displaystyle {frac {e^{tan x}}{1+x^{2}}}sin left({sqrt {1+(ln x)^{2}}}right)}$
${displaystyle -iln left(x+i{sqrt {1-x^{2}}}right)}$

La última función es igual a ${displaystyle arccos x}$ , la inversa cosina, en todo el plano complejo.

Todos los monomiales, polinomios, funciones racionales y funciones algebraicas son elementales. La función de valor absoluto, para real $x$ , es también elemental como se puede expresar como la composición de un poder y raíz de $x$ : ${textstyle |x|={sqrt {x^{2}}}}$ .

Funciones no elementales

Un ejemplo de una función que no es elemental es la función de error

$mathrm {erf} (x)={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{-t^{2}},dt,$

un hecho que puede no ser inmediatamente obvio, pero que puede probarse usando el algoritmo de Risch.

Vea también los ejemplos en función Liouvillian y Nonelementary integral.

Cierre

Se sigue directamente de la definición que el conjunto de funciones elementales se cierra bajo operaciones aritméticas, extracción de raíz y composición. Las funciones elementales se cierran bajo diferenciación. No están cerrados bajo límites y sumas infinitas. Es importante destacar que las funciones elementales no están cerradas bajo integración, como lo muestra el teorema de Liouville, consulte Integral no elemental. Las funciones de Liouvillian se definen como las funciones elementales y, recursivamente, las integrales de las funciones de Liouvillian.

Álgebra diferencial

La definición matemática de una función elemental, o una función en forma elemental, se considera en el contexto del álgebra diferencial. Un álgebra diferencial es un álgebra con la operación adicional de derivación (versión algebraica de diferenciación). Usando la operación de derivación, se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones se pueden usar en extensiones del álgebra. Al comenzar con el campo de las funciones racionales, se pueden agregar dos tipos especiales de extensiones trascendentales (el logaritmo y el exponencial) al campo, construyendo una torre que contiene funciones elementales.

Un campo diferencial F es un campo F₀ (funciones racionales sobre las racionales Q por ejemplo) junto con un mapa de derivación u → ∂u. (Aquí ∂u es una función nueva. A veces se usa la notación u′.) La derivación captura las propiedades de diferenciación, de modo que para dos elementos cualquiera del campo base, la derivación es lineal

partial (u+v)=partial u+partial v

y cumple la regla del producto de Leibniz

partial (ucdot v)=partial ucdot v+ucdot partial v,.

Un elemento h es una constante si ∂h = 0. Si el campo base está sobre los racionales, se debe tener cuidado al extender el campo para agregar las constantes trascendentales necesarias.

Una función u de una extensión diferencial F[u] de un campo diferencial F es una función elemental sobre F si la función u

es algebraico sobre F, o
es un exponencialEs decir,u = u ∂a para a ▪ F, o
es un LogarithmEs decir,u ==a/ a a ▪ F.

(ver también el teorema de Liouville)

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